精品解析：山东聊城市甘泉高级中学2026届高三上学期期末考试数学试题

高三上学期期末考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数虚部的定义即可得解. 【详解】，的虚部为， 故选：B. 2. 已知集合 ，则的子集个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式即可化简集合，根据集合交集的概念计算即可得，从而可得子集个数. 【详解】解不等式可得，所以， 因为，所以， 故的子集为，故子集个数为. 故选：C. 3. “”是“函数的图象关于点对称”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件、必要条件的定义，结合三角函数的性质判断即可. 【详解】正切函数的对称中心为， 令，解得， 所以函数的对称中心为. 因为是的真子集， 所以“”是“函数的图象关于点对称”的充分不必要条件. 故选：A． 4. 已知O为坐标原点，过双曲线C：（，）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点M，过M作x轴的垂线，垂足为N，若N为OF的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线的性质可得：，因为为直角三角形，且，利用勾股定理得到，点N为垂足，且N为OF的中点，所以，即，再结合离心率的公式，即可得离心率的值. 【详解】 如图所示：双曲线的右焦点到渐近线的距离为，得， 又，在，，所以， 又且N为OF中点，所以， 即该双曲线为等轴双曲线， 所以离心率； 故选：B 5. 已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇函数可得，又，即可求解. 【详解】∵函数为奇函数，∴， 又∵， ∴，故选项C正确. 其他三个选项条件不足无法计算，故选C. 故选：C. 6. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B. 7. 函数(其中，，)相邻两条对称轴之间的距离为，最大值为，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，若为偶函数，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由最大值可得，由最小正周期为可得，由三角函数图象平移变换可得解析式，由为偶函数可得，由的范围可得结果. 【详解】最大值为，； 相邻两条对称轴之间的距离为，，解得：； ， 为偶函数，，解得：， 又，. 故选：C. 【点睛】方法点睛：由正弦型函数奇偶性求解参数值的基本方法如下： 若为奇函数，则； 若偶函数，则. 8. 若存在，对任意，都有，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】问题转化为在上恒成立，令，利用导数求出，则存在，使，令，利用导数求出的最大值即可得到的最大值. 【详解】任意的，都有， 则有在上恒成立， 令，函数定义域为， ，令，解得， 时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增， ， 因此存在，使， 令，，令，解得， 时，在上单调递增； 时，在上单调递减， 有， 所以时，的最大值为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个是最符合题目要求的，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知随机变量，则 B. 已知随机变量，且，则 C. 已知一组数据：7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的第30百分位数是8 D. 抽取高三年级50名男生、50名女生的二模数学成绩，男生平均分123分，方差为60；女生平均分128分，方差为40，则抽取的100名学生数学成绩的方差为80 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据二项分布的方差计算公式求解；对于B，根据正态分布曲线的对称性求解；对于C，先把数据从小到大排列，8个数中的第3个数即为结果；对于D，根据方差的计算公式求解. 【详解】对于A，随机变量，，则，故A正确； 对于B，随机变量，且，则根据正态分布曲线的对称性可知，故B正确； 对于C，依题意，这组数据共8个，从小到大排列为5，6，7，7，8，9， 8，8，第30百分位数是7，故C错误； 对于D，依题意，设50名男生为，50名女生为， 则，， ，， 这100名学生的平均成绩， 这100名学生数学成绩的方差，故D错误. 故选：AB. 10. 已知正方体的棱长为2，点E，F，G分别是线段，，的中点，则（ ） A. B. ∥平面 C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 过点F且与直线垂直的平面，截该正方体所得截面的周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量的性质，是否等于零，可判断A选项；求出平面的法向量，与判断是否垂直，可判断B选项；直线与平面所成的角的余弦值可先求出与平面的法向量的余弦值，再根据角的关系，求出所要求的结果，即可判断C选项；做出过点F且与直线垂直的平面的截面图，根据几何关系即可求出其周长，可计算出D选项. 【详解】以D为坐标原点，以、、分别为、、轴，建立坐标系，如图所示， ，，，，，，， ， ，故A选项正确； ，， 设平面的法向量为， 则即，令，则，， 则 与平面不平行，故B选项不正确； ， 设直线与平面所成的角为， 则 ，故C选项正确； 平面 取、为、的中点，，由几何关系可知，，，则组成一个平面， 由，，，均在平面内， 则平面，即过点F且与直线垂直的平面，截该正方体所得截面如图所示平面， 则截面的周长为 故D选项正确； 故选：ACD. 11. 某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会，现有10名学生，其中5名男生5名女生，若从中选取4名学生参加研讨会，则（ ） A. 选取的4名学生都是女生的不同选法共有5种 B. 选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有400种 C. 选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有420种 D. 选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项只在女生5人中选取4人，直接列式求解；B选项男、女生选取各2人，则分别选取即可列式求解；C用间接法列式求解；D分情况讨论. 【详解】选取的4名学生都是女生的不同选法共有种，故A正确； 恰有2名女生的不同选法共有=100种，故B错误； 至少有1名女生的不同选法共有种，故C错误； 选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有种，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可. 【详解】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. 故答案为：60. 13. 记为等差数列的前n项和．若，，则______． 【答案】20 【解析】 【分析】根据等差数列性质求首项和公差，再求前5项和即可. 【详解】因为是等差数列，所以, 所以, 所以, 所以. 故答案为：. 14. 随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明上班出行方式由三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】法1：设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，，利用贝叶斯公式即可得到答案； 法2：直接在迟到的前提下计算概率. 【详解】法1：由题意设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”， 事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”， 则； ， 小明迟到了，由贝叶斯公式得他自驾去上班的概率是， 法2：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积. 【答案】（1）最小正周期为；单调递增区间为，. （2） 【解析】 【分析】（1）用平方差公式和二倍角公式对函数进行化简，再根据正弦函数性质求最小正周期和单调递增区间. （2）先求出角，再用余弦定理求出边长，最后用三角形面积公式求出面积即可. 【小问1详解】 ， ， 所以的最小正周期， 令，，解得，， 所以的最小正周期为，单调递增区间为，. 【小问2详解】 已知，则， 即； 因为三角形是锐角三角形，所以，则， 在这个区间内，解得， 依据余弦定理，可得， 即，解得或； 当时，， 此时为钝角，不符合题干锐角三角形的条件，舍去这种情况； 当时，， 此时为锐角，符合题干锐角三角形的条件，且， ∠C也为锐角，故△ABC为锐角三角形，符合题干条件; 根据三角形面积公式，可得， 所以的面积为. 16. 冬季气温骤降、空气干燥且气压变化大，慢性阻塞性肺疾病（慢阻肺），哮喘，间质性肺病、肺纤维化，肺炎、支气管炎患者等呼吸系统疾病患者对氧气需求增加，尤其需要制氧机辅助，近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量与年份的统计表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万台） 2 3.5 2.5 8 9 （1）求这种品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程，并预测2027年这种品牌制氧机的销量； （2）为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如下列联表： 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 20 女生 40 合计 （ⅰ）根据已知条件，填写列联表； （ⅱ）根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否有关联； （3）从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的学生人数进行分层抽取10人，再从这10人中随机抽取4人做某项调查，记这4人中对制氧机知识不了解的人数为，试求的分布列和数学期望. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），12.4万台 （2）（ⅰ）表格见解析；（ⅱ）有关联，理由见解析； （3）分布列见解析，数学期望为 【解析】 【分析】（1）计算出，得到线性回归方程，代入，从而预测2027年这种品牌制氧机的销量； （2）（ⅰ）补全列联表；（ⅱ）计算出，从而得到结论； （3）求出的可能取值并得到相应的概率，从而得到分布列，计算出数学期望. 【小问1详解】 年份代码的平均数，销量的平均数， 所以， ， 所以， 所以， 所以这个地区某品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程为， 由于2027年对应的年份代码为，得， 所以预测2027年这个地区某品牌制氧机的销量约为12.4万台． 【小问2详解】 （ⅰ）根据男生和女生各100名，补全列联表： 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 80 20 100 女生 40 60 100 合计 120 80 200 （ⅱ）零假设：该校学生对制氧机知识的了解情况与性别无关. 根据（ⅰ）中的列联表中的数据可得， . 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即该校学生对制氧机知识的了解情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. 【小问3详解】 从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的比例选取10人， 则抽取的10人中，了解的人数为6人，不了解的人数为4人 再随机从中抽取4人，对制氧机知识不了解的人数的所有可能取值为0，1，2，3，4. 且， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 4 数学期望为 17. 已知函数． （1）若直线与曲线在处的切线平行，求的值． （2）求函数的极值； （3）设函数，若对，恒不小于，求的最大值． 【答案】（1）; （2）极小值为，无极大值； （3） 【解析】 【分析】(1)先求出曲线在处的切线，根据平行直线的性质斜率相等，即可得到结论； (2)求导得到函数单调性，根据极值得定义可得； (3)根据题意问题转化为恒成立，令，求导得其最小值，令，求导得其最大值即得. 【小问1详解】 求导得，所以， 直线与曲线在的处切线平行， 即与曲线在的处切线平行，所以. 【小问2详解】 由(1) 得， 令，得； 令，得； 所以在单调递减，在单调递增； 故的极小值为，无极大值； 【小问3详解】 依题意，对，恒成立， 即，即恒成立； 令，则； 若，则恒成立，在上单调递增，无最小值，不符合题意； 若，令得， 当，即时，单调递减； 当，即时，单调递增； 所以； 所以，令，则； 当时，单调递增； 当时，单调递减； 故，即， 的最大值为. 18. 由平行六面体截去三棱锥后得到如图所示的几何体，其体积为5，底面为菱形，与交于点O，． （1）求证平面； （2）求证平面平面； （3）设，，与底面所成角为，求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）补全平行六面体，连接交于点，连接，由平行四边形证得，即可得到线面平行； （2）由底面是菱形，得到，由等腰三角形三线合一得到，从而得到线面垂直，进而得到面面垂直； （3）由几何体的体积先求出几何体的高，建立空间直角坐标系，由与底面所成角为，求出的坐标，进而用向量求出平面与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 证明：如图补全平行六面体，连接交于点，连接， 在平行六面体，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又为的中点，为的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又所以平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 证明：因为底面是菱形，所以， 又因为，，所以， 又平面，平面，， 所以平面，又平面，所以平面平面. 【小问3详解】 解：， 因为截后的几何体体积为5，所以平行六面体体积为6， 又因为，，设平行六面体的高为， 所以，所以，， 以O为坐标原点，为x轴，为y轴， 过O与平面垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，设，则， 又因为，， 因为，所以， 所以，因为与底面所成角为， 平面的一个法向量为， 所以， 又，，由图可知，所以，所以， 设平面的一个法向量为， 则，取一个法向量， 设平面的一个法向量为， 则，取一个法向量， 所以，， 所以，平面与平面所成角的正弦值. 【点睛】 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的一点. （1）求椭圆的方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件得，将点坐标代入方程，结合，即可求得的值，即可得答案. （2）由题意直线l的斜率不为0，设其方程为，与椭圆联立，根据韦达定理，可得表达式，根据弦长公式，可得的表达式，求出P点坐标，即可得的表达式，代入所求，利用换元法，结合基本不等式，即可得答案. 【小问1详解】 因为左焦点为，所以， 由点在椭圆上， 代入可得， 又，与上式联立可得， 所以椭圆E的方程为： 【小问2详解】 当直线l的斜率为0时，线段的垂直平分线为，与不相交，不符合题意， 故直线l的斜率不为0，设其方程为，， 联立，可得， ， ， 则 =. 又，， 由可得，直线PQ的斜率为， 所以， 所以， 令，则，所以 代入上式可得，， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三上学期期末考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 2. 已知集合 ，则的子集个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 32 3. “”是“函数图象关于点对称”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知O为坐标原点，过双曲线C：（，）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点M，过M作x轴的垂线，垂足为N，若N为OF的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（ ） A. B. C. D. 6. 过点与圆相切两条直线的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 函数(其中，，)相邻两条对称轴之间的距离为，最大值为，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，若为偶函数，则=（ ） A. B. C. D. 8. 若存在，对任意的，都有，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个是最符合题目要求的，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知随机变量，则 B. 已知随机变量，且，则 C. 已知一组数据：7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的第30百分位数是8 D. 抽取高三年级50名男生、50名女生的二模数学成绩，男生平均分123分，方差为60；女生平均分128分，方差为40，则抽取的100名学生数学成绩的方差为80 10. 已知正方体的棱长为2，点E，F，G分别是线段，，的中点，则（ ） A. B ∥平面 C. 直线与平面所成的角的余弦值为 D. 过点F且与直线垂直的平面，截该正方体所得截面的周长为 11. 某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会，现有10名学生，其中5名男生5名女生，若从中选取4名学生参加研讨会，则（ ） A. 选取的4名学生都是女生的不同选法共有5种 B. 选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有400种 C. 选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有420种 D. 选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为_________． 13. 记为等差数列的前n项和．若，，则______． 14. 随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明上班出行方式由三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积. 16. 冬季气温骤降、空气干燥且气压变化大，慢性阻塞性肺疾病（慢阻肺），哮喘，间质性肺病、肺纤维化，肺炎、支气管炎患者等呼吸系统疾病患者对氧气需求增加，尤其需要制氧机辅助，近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量与年份的统计表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万台） 2 3.5 2.5 8 9 （1）求这种品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程，并预测2027年这种品牌制氧机的销量； （2）为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如下列联表： 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 20 女生 40 合计 （ⅰ）根据已知条件，填写列联表； （ⅱ）根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否有关联； （3）从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的学生人数进行分层抽取10人，再从这10人中随机抽取4人做某项调查，记这4人中对制氧机知识不了解的人数为，试求的分布列和数学期望. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数． （1）若直线与曲线在处的切线平行，求的值． （2）求函数极值； （3）设函数，若对，恒不小于，求的最大值． 18. 由平行六面体截去三棱锥后得到如图所示的几何体，其体积为5，底面为菱形，与交于点O，． （1）求证平面； （2）求证平面平面； （3）设，，与底面所成角为，求平面与平面所成角的正弦值． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的一点. （1）求椭圆的方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $