9.1～9.2平移、轴对称寒假预习讲义-2025-2026学年苏科版七年级下学期数学（知识点归纳+题型精讲+综合测试）

9.1~9.2平移、轴对称寒假预习讲义（苏科版） ✅ 课前预习★目标 ●初步认识平移和轴对称这两种图形运动，知道它们都不改变图形的形状和大小； ●能在生活实例中辨认平移现象和轴对称图形，能简单说出它们的特点； ●能指出平移的方向和距离，能找到轴对称图形的对称轴； ●初步感受平移与轴对称在设计、建筑、装饰、日常物品中的美观与实用价值。 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1平移的定义】 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 【重点提示】（1）图形平移的两要素：平移的方向与平移的距离．（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置． 【知识点2平移的性质】 图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说 ： （1）平移后，对应线段平行且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形． 【重点提示】（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．（2）要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后 的图形上本身存在的． 【知识点3平移的作图】 平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连． （1）定：确定平移的方向和距离； （2）找：找出表示图形的关键点； （3）移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； （4）连：按原图形顺次连接对应点。 【知识点4轴对称图形】 定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 轴对称图形的三个要素：（1）一个整体图形；（2）一条直线为对称轴；（3直线两旁边部分完全重合． 【知识点5两个图形成轴对称】 定义：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴． 成轴对称的三个条件：（1）有两个图形；（2）存在一条直线；（3一个图形沿着这条直线对折后与另一个图形重合． 成轴对称的两个特征：（1）成轴对称两个图形全等，但全等的两个图形不一定成轴对称；（2）成轴对称是图形的一种全等变换． 轴对称图形与轴对称的区别与联系： 轴对称图形 轴对称 区别 是一个图形自身的对称特性 是两个图形之间的对称关系 对称轴可能不止一条 对称轴只有一条 共同点 沿某条直线对折后都能够互相重合 如果轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形； 如果把轴对称图形分成两部分（两个图形），那么这两部分关于这条对称轴成轴对称． 【知识点6轴对称的有关概念与性质】 1．对应点、对应线段与对应角的概念：沿对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，重合的线段叫对应线段；重合的角叫对应角． 2．轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等． 成轴对称的三个条件： （1）找对应线段和对应角先找准对应点，对应点也就是对称点；（2）轴对称图形被对称轴分成的两部分全等，而且这两部分关于对称轴成轴对称，成轴对称的两个图形也全等，但全等的两个图形不一定成轴对称． 【知识点7画对称轴】 ●画对称轴的依据：画对称轴的依据是两个图形成轴对称和轴对称图形的性质，即对应点所连的线段被对称轴垂直平分． ●画对称轴的步骤：（1）找：找到任意一对对应点；（2）连：连接这对对应点； （3） 画：过对应点所连线段的中点作垂线． 【知识点8画已知图形的轴对称图形】 ●方法：几何图形都可以看作由点组成，对于一些图形，只要画出图形中的一些特点烊于对称轴的对称点，再连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形． ●步骤：画轴对称图形的方法可以简单归纳为“一找、二画、三连” （1）找：在原图形上找特殊点；（2）画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点； （3）连：依次连接各对称点． ✏ 核心考点★精讲讲练 题型1生活中的平移现象 例1．下列现象属于平移的是（   ） A．投篮时篮球的运动 B．用打气筒打气时，活塞的运动 C．钟摆的摆动 D．汽车雨刷的运动 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．解题的关键是注意平移是图形整体沿某一直线方向移动． 根据平移的定义，旋转的定义对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、篮球运动是曲线运动，有旋转，不属于平移，不符合题意； B、活塞在打气筒内沿直线往复运动，符合平移特征，符合题意； C、钟摆是绕固定点摆动，属于旋转，不属于平移，不符合题意； D、雨刷是绕轴旋转运动，不属于平移，不符合题意； 故选：B. 变式1．在下列四幅图中，哪几幅图是可以经过平移变换得来的 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平移的概念，正确掌握平移的概念是解题的关键． 根据平移的概念逐一判断即可求解． 【详解】解：根据平移的概念可得①②④是由平移得到的，③无法平移得到． 故答案为：①②④． 变式2．邻居李大叔自家后院有一块长为、宽为的长方形菜地，为行走方便，准备修筑两条横竖方向互相垂直的小路如图所示，如果路宽为，请你帮助李大叔计算一下种植蔬菜的面积．    【答案】种植蔬菜的面积为 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据平移的知识，把横竖各两条道路平移到正方形的边上，求剩余空白部分的面积即可． 【详解】解：如图，    由平移，可把种植蔬菜的面积看成是边长为和的长方形的面积． 所以种植蔬菜的面积为． 答：种植蔬菜的面积为． 题型2图形的平移 例2．如图，平移“月亮”图案可以得到下列选项中的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的定义：将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同，解答本题的关键是熟练掌握平移的定义． 根据平移只改变图形的位置不改变图形的形状和大小来判断即可． 【详解】解：A、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误，不符合题意； B、由图中所示的图案通过翻折而成，故本选项错误，不符合题意； C、由图中所示的图案通过平移而成，故本选项正确，符合题意； D、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 变式1．如图，最小正方形的边长为1，将字母“V”向左平移 格（两个“V”无重叠）后与平移前的图形可以组成字母“W”． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平移的性质．先画出平移后得到的“W”，然后再根据平移的性质即可解答． 【详解】解：将字母“V”向左平移2格会得到字母“W”，平移后画出图形如下： 故答案为：2． 变式2．把三角形A向右平移5格，得到三角形B，再将三角形B按扩大，得到三角形C，请在下面方格纸中画出三角形B和三角形C． 【答案】画图见解析 【分析】本题考查的是平移的作图，把图形放大，先把三角形A的每个顶点向右平移5格，再顺次连接得到三角形B，再把三角形B按扩大，得到三角形C即可. 【详解】解：如图，作图如下： 题型3利用平移的性质求解 例3．如图，将三角形沿方向平移得到对应的三角形．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段的长度相等是解题的关键． 根据平移的性质确定平移线段的长度，再将拆分为三段，通过相加计算出的长度． 【详解】解：将三角形沿方向平移得到对应的三角形， ． ， ． 故选：C． 变式1．如图，直线平移后得到直线．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移相关内容是解题的关键； 根据平移的性质可以得到平行，从而推出角相等，则可得到． 【详解】解：如图， 直线平移后得到直线， ， ． ， ， ． 故答案为；． 变式2．如图，直角三角形是由直角三角形经过平移得到的，请写出它们的对应点、对应线段和对应角． 【答案】对应点：C与F，B与E，A与D；对应线段：与，与，与；对应角：与，与，与 【分析】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的性质，结合图形可直接求解． 【详解】解：对应点：C与F，B与E，A与D； 对应线段：与，与，与； 对应角：与，与，与． 题型4利用平移解决实际问题 例4．如图，大长方形的长是，宽是，阴影部分的宽都是，则空白部分的面积是（   ） A．18 B．24 C．32 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质，把两条小路都平移到矩形的边上，然后求出空白部分的长和宽，再根据矩形的面积公式计算即可得解． 【详解】解：把小路平移到矩形的边上，则空白部分的长为，宽为， 所以，空白部分的面积是：． 故选：C． 变式1．如图，在长方形中，，，则长方形内的四个小长方形的周长之和为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 把图中四个小长方形的边长进行平移，可得到图中四个小长方形的周长之和等于长方形的周长． 【详解】解：通过平移可知，图中四个小长方形的周长之和． 故答案为：． 变式2．如图，将面积为5的沿方向平移至的位置，平移的距离是边长的3倍． (1)那么图中线段与的关系是_____________， (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是关键． （1）根据平移的性质进行解答即可； （2）设点A到的距离为h，根据平移的性质可得，然后求出，，再根据梯形的面积公式列式计算即可得到四边形的面积，根据四边形的面积即可求出答案． 【详解】（1）解：根据平移的性质得到； 故答案为： （2）解：设点A到的距离为h， 则， ∵沿方向平移的距离是边长的3倍， ∴，， ∴， ∴四边形的面积 ． ∴四边形的面积． 题型5平移（作图） 例5．如图，在正方形网格中，如果把三角形的顶点C先向右平移3格，再向上平移1格到达点，连接，则线段与线段的关系是（    ） A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直 【答案】D 【分析】此题考查了图形的平移，线段的位置及数量关系，根据平移的规律画出图形，即可得到答案，熟练掌握平移的性质是解题的关键 【详解】解：由平移可得把三角形先向右平移3格，再向上平移1格， ∴线段与线段的关系是平分且垂直， 故选：D 变式1．如图，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，记正方形和重叠的区域（不含边界）为． ①当时，区域内的整点个数为 ； ②当时，区域内的整点个数为 ． 【答案】 3 3 【分析】本题主要考查了平移作图，根据题意画出平移后的图形是解题的关键． ①将图中正方形向左平移3个单位长度，得到正方形，然后统计重叠的区域（不含边界）为内格点的个数即可； ②将图中正方形向左平移6.5个单位长度，得到正方形，然后统计重叠的区域（不含边界）为内格点的个数即可． 【详解】解：①当时，将图中正方形向左平移3个单位长度，得到正方形，区域内的整点个数为3； 解：①当时，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，区域内的整点个数为3． 故答案为：3,3 变式2．如图，平移四边形，使点移动到点，画出平移后的四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平移的性质与作图，掌握平移的方向和距离由对应点确定，按此平移所有顶点并连接成图是解题的关键． 确定点到的平移方向和距离，再按此方向和距离平移三点得到对应点，最后连接各对应点． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 题型6轴对称图形的识别 例6．剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的两条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 变式1．下列图形：线段、角、长方形、直角三角形、平行四边形、等边三角形、圆，其中一定是轴对称图形的有 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，掌握如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知， 线段，角，长方形，等边三角形和圆一定是轴对称图形； 直角三角形和平行四边形不一定是轴对称图形， 所以一定是轴对称图形有5个． 故答案为：． 变式2．下列图形中，哪些是轴对称图形？请画出轴对称图形的对称轴． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了轴对称图形，对称轴的确定，根据轴对称图形的定义，画出对称轴即可，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：是轴对称的为： ， 画对称轴如下： ． 题型7成轴对称的两个图形的识别 例7．下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴．根据定义逐一分析即可． 【详解】解：A、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； B、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； C、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； D、两个数字能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则两个数字成轴对称． 故选：D． 变式1．如图，在正方形网格中，与成轴对称的三角形可以画出 个． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】根据题意，画图如下： 有，，，共3个三角形， 故答案为：3． 变式2．如图，已知是由经过平移得到的，是否还可以看作由经过轴对称得到？ 【答案】不可以 【分析】本题考查了成轴对称图形的定义，熟练掌握成轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后与另一个图形能够互相重合，那么这两个图形就叫做成轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：因为找不到一条直线使沿着这条直线对折后与互相重合， 所以不可以看作由经过轴对称得到． 题型8作已知线段的垂直平分线 例8．如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下：①分别以点A，B为圆心，a为半径画弧交于点E，F；②过点E，F作直线，则直线就是线段的垂直平分线．则a的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图—作线段垂直平分线．根据作图方法和步骤，即可解答． 【详解】解：根据尺规作图—作线段垂直平分线的步骤可得：， ∵， ∴， ∴a的值可能是4， 故选：D． 变式1．根据图中尺规作图的痕迹，可判断一定为的 ． 【答案】中线 【分析】本题考查了尺规作图，三角形的中线，根据尺规作图痕迹判断即可． 【详解】解：由作图的痕迹可知点D是线段的中点，所以线段一定为的中线． 故答案为：中线． 变式2．如图，在四边形中，已知的平分线和线段的垂直平分线交于点．请你利用尺规找出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，掌握好尺规作图的步骤是关键． 按照角平分线和线段垂直平分线作图的步骤进行操作即可． 【详解】解：如图，点即为所作： 题型9作垂线（尺规作图） 例9．已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图——基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法；观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可. 【详解】解：A、作图痕迹可知，D为中点，不能确定，故A不符合题意； B、作图痕迹可知，D在的平分线上，能确定，故B符合题意； C、作图痕迹可知，是边上的高，不能确定，故C不符合题意； D、作图痕迹可知，D在的垂直平分线上，不能确定，故D不符合题意. 故选：B. 变式1．如图，用尺规作图过直线l上一点P作已知直线l的垂线，图中的点C是 的交点． 【答案】分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径所画两弧 【分析】本题主要考查了尺规图作过直线上一点作已知直线的垂线，根据过直线l上一点P作已知直线l的垂线的作法解答即可，熟练掌握过直线l上一点P作已知直线l的垂线的作法是解决此题的关键． 【详解】过直线l上一点P作已知直线l的垂线的作法如下： ①以P为圆心，以适当的长为半径画弧，两弧交在直线l上点P的两旁为，； ②分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点C； ③过点C、P作直线，则直线为所求作的直线； 故答案为：分别以A、B为圆心，以大于长为半径所画两弧． 变式2．尺规作图： 已知：线段． 求作：直角三角形（点在直线的上方），使，．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查的是作垂线，作一条线段等于已知线段，先过作的垂线，在射线上截取，以为圆心，为半径画弧交过的的垂线于，连接即可． 【详解】解：如图，直角三角形即为所求． 题型10根据成轴对称图形的特征进行判断 例10．如图，六边形ABCDEF关于直线l对称的图形是六边形．下列判断错误的是（   ） A． B． C．直线 D． 【答案】B 【分析】此题考查轴对称图形的性质，掌握关于某条直线对称的两个图形全等，对应点到对称轴的距离相等是解决问题的关键． 根据轴对称的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、点和对称点是点和，．故该选项说法正确，不符合题意； B、∵点、、、对称点是点、、和，，．故该选项说法错误，符合题意； C、∵点、对称点分别是点、，直线故该选项说法正确，不符合题意； D、∵点对称点是点，，故该选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 变式1．等腰三角形有 条对称轴，则其对称轴在 ． 【答案】 一条或三条 底边的垂直平分线上 【分析】本题主要考查了求几何图形对称轴的条数． 先判断等腰三角形的类型(一般等腰三角形或等边三角形)，确定对称轴的数量，再说明对称轴的位置． 【详解】解：一般等腰三角形有一条，即底边上的中线所在的直线； 若是特殊的等腰三角形即等边三角形，则有三条，即每条边上的中线所在的直线． 等腰三角形的对称轴在底边的垂直平分线上， 故答案为：一条或三条，底边的垂直平分线上． 变式2．如下图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，，，． (1)试写出EF，AD的长度． (2)求的度数． (3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？ 【答案】(1)， (2) (3)直线MN垂直平分线段BF 【分析】本题考查了轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）（2）（3）根据轴对称的性质即可得出相关信息． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称， ，， ，． （2）解：∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称， ， ∴． （3）解：∵对称轴垂直平分对应点的连线， ∴直线MN垂直平分线段BF． 题型11根据成轴对称图形的特征进行求解 例11．如图，与关于直线l对称，则（   ） A． B． C．BC D． 【答案】D 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知关于轴对称的两个图形全等是解答此题的关键． 先根据和关于直线对称得出，故可得出． 【详解】解：∵和关于直线l对称， ∴， ∴． 故选：D． 变式1．如图，“笑脸”关于轴对称，已知点坐标为，则它的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据纵坐标不变，横坐标变成相反数解答即可． 本题考查了轴对称的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据纵坐标不变，横坐标变成相反数，得点坐标为的对称点的坐标为， 故答案为：． 变式2．如图，点P在的内部，点C和点P关于直线对称，点P关于直线的对称点是点D，连接交于点M，交于点N． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为 ． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，熟知轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【详解】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ∴ ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为． 故答案为：． 题型12作角平分线（尺规作图） 例12．观察如图所示的尺规作图痕迹，则线段是的（    ） A．中线 B．高线 C．中垂线 D．角平分线 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规基本作图，掌握角平分线的尺规作图方法是解题的关键． 根据角平分线的尺规作图的作法即可解答． 【详解】解：由作图过程可得：线段是的角平分线． 故选：D． 变式1．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示的作图痕迹如下，其中，射线为的平分线的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查角平分线的性质和证明，选择适当条件证明三角形全等进而证明是解题关键． ①由图可知，，，，据此证明即可． ②由图可知，，垂直平分，据此证明即可． ③由图可知，，，，依次证明， ，即可． ④由图可知，，，据此证明即可． 【详解】解：①有图可知， ， ， ， 射线是的角平分线； ②由图可知， ，， ， ， ， 射线是的角平分线； ③由图可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 射线是的角平分线； ④由图可知， ， ， ， ， ， ， 射线是的角平分线． 故答案为：①②③④． 变式2．如图，已知平面上四个点A、B、C、D请按要求完成下列问题： (1)画直线和直线，交点为点E； (2)连接，并延长到F，使； (3)在内部，画射线，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作直线，线段，角平分线，解题的关键是熟练掌握直线，线段以及作角平分线的方法． （1）根据直线的定义即可作图； （2）根据线段的定义即可作出线段，再延长，截取即可； （3）作出的角平分线即可． 【详解】（1）解：直线和直线即为所求； （2）解：如上图，线段和点即为所求； （3）解：如上图，射线即为所求． 题型13台球桌面上的轴对称问题 例13．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 则球最后落入的球袋是2号袋． 故选：B． 变式1．2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 号袋． 【答案】3 【分析】主要考查了轴对称的性质．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是3号． 故答案为：3． 变式2．《西游记》第三十二回写道：“金角大王、银角大王派巴山虎、倚海龙去请母亲来吃唐僧肉，让她带着幌金绳来拿孙行者．”话说两个小妖在A点接到老妖婆后，来到小河边P点喝水，随后回到B点的洞府去见两位大王．小妖智商有限，请各位同学帮忙规划一下，当P点在哪时，路程最近呢？请大家作出路线图并简要说明理由．    【答案】见详解 【分析】本题主要考查了最短路线问题．根据“两点之间，线段最短”，即可求解． 【详解】解：如图，作A点关于小河的对称点，连接交小河所在直线于P点；    理由：根据作法得：， ∴（两点之间，线段最短）， 即为最短路径． 题型14轴对称中的光线反射问题 例14．如图，设和是镜面平行相对且间距为的两面镜子，把一个小球A放在和之间，小球在镜中的像为，在镜是中的像为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是镜面反射的性质即轴对称的性质；解决本题的关键，是理解实物与像关于镜面对称．那么到镜面的距离就相等．如图所示，经过反射后，，，则，即可求解． 【详解】解：如图所示， 经过反射后，，， ∴． 故选：D． 变式1．如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．    【答案】号袋 【分析】根据每次的入射角总是等于反射角画出球运动的路线，即可得出答案． 【详解】解：如图，球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中号袋．    故答案为：号袋． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是根据题意画出球运动的路线． 变式2．如图，是两面互相平行的镜面，一束光线照射到镜面上，反射光线为，则．用尺规作出，使得． 【答案】见解析 【分析】考查了平行线的性质与判定的综合运用及作一角等于已知角，作垂线，平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质与判定是解决本题的关键． 根据尺规作图的基本方法，作过作的垂线，即法线，再作反射角等于入射角即可；由反射和垂直的意义结合平行线的性质可得，利用平角的定义可得，由平行线的判定可得与平行． 【详解】解：如图，即为所作， ，理由如下： 如图： 过点作的垂线， 由题意得，， ∴， ∴ ∵， ∴， 同理可证明：， ∴， ∵， ∴, ． 题型15折叠问题 例15．将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，点B，D折叠后的对应点分别为，则下列结论正确的个数有（   ） ①若，则；②若点与点重合，则； ③若，则或；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，角的和差计算，掌握折叠的性质是解题的关键． ①由折叠可得，，则，再由求解即可；②若点与点重合，则，，那么，据此即可求解；③分两种情况讨论，在的下方和在的上方；④此时，则，再由角度和差求解即可． 【详解】解：①若，如图， 由折叠可得，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴，故错误； 若点与点重合，如图， 由折叠可得，，， ∴， 即，故正确； 如图，当在的下方时， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当在的上方时， ， ， ， ， ∴或，故错误； ④由上可知，当，在的下方，如图， ∵， ∴， ∴， ∴，故错误； ∴正确的有1个， 故选：A． 变式1．如图，将长方形纸条的一部分沿折叠到的位置．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，能根据折叠得出是解此题的关键．根据平角的定义求出，再根据折叠得出，即可求出答案． 【详解】解：， ， 由翻折的性质可得， ， 故答案为：． 变式2．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，若，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了折叠的性质，几何图形中角的计算，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． （1）由折叠的性质知，，由平角的定义求出，即可得到； （2）由计算出，据此即可求出答案； （3）同（2）求得，进一步计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由折叠的性质知，， ∵， ∴，即； （2）解：由折叠的性质知，， ∵， ∴， ∴； （3）解：由折叠的性质知，， ∵， ∴， ∴． 题型16画对称轴 例16．已知、线段、线段，小明利用尺规画出它们的对称轴，如图所示（②中为外任一点），则不一定正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．①和② 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图，轴对称图形的对称轴的判断，解题的关键的掌握五个基本作图（作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，过一点作已知直线的垂线，作角的角平分线，作线段的垂直平分线），据此分析即可作出判断． 【详解】解：①如图是作的角平分线，则该射线所在的直线为的对称轴，故该作图不符合题意； ②如图是过一点作线段所在直线的垂线，则该垂线不一定平分线段，即该垂线不一定是线段的垂直平分线，则该垂线不一定是线段的对称轴，故该作图符合题意； ③如图是作线段的垂直平分线，则该垂线所在的直线为的对称轴，故该作图不符合题意； 故选：B． 变式1．如图，长方形是轴对称图形，对称轴可以是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称图形的对称轴识别，掌握长方形的对称轴是过对边中点的直线，而非对角线所在直线是解题的关键． 先根据轴对称图形的定义，判断图中哪条直线能使长方形沿其折叠后完全重合，从而确定长方形的对称轴． 【详解】解：长方形是轴对称图形，它的对称轴是过对边中点的直线． 图中直线是竖直方向过对边中点的直线，沿它折叠，长方形两边能完全重合，是对称轴； 直线是对角线所在直线，折叠后两边无法完全重合，不是对称轴； 沿折叠后两边无法完全重合，不是对称轴； 因此，对称轴可以是直线． 故答案为：． 变式2．按要求用尺规作图（不写作法）： (1)在图1中作出它的一条对称轴； (2)在图2中作出线段的垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作垂直平分线，画轴对称图形的对称轴； （1）根据轴对称图形的性质画出一边的垂直平分线，即可求解； （2）根据题意作的垂直平分线，即可． 【详解】（1）解：如图（画法不唯一） （2）如图． 题型17画轴对称图形 例17．如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查轴对称的性质，解题关键在于根据题意画出图形． 根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向和纵向两种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与成轴对称的格点三角形，从而得解． 【详解】解：如图所示，对称轴有四种位置，与成轴对称的格点三角形有4个． 故选：C． 变式1．如图，在的正方形网格中，有一个格点（阴影部分），则在网格中可以画出的所有与其成轴对称的格点三角形共有 个．（格点三角形是指所有顶点都在格点上的三角形） 【答案】5 【分析】本题考查了轴对称，画关于某条直线对称的图形，理解轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质画格点三角形即可． 【详解】解：如图所示，与成轴对称的格点三角形共有5个． 故答案为：5． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，请按下列要求画图． (1)画出关于x轴的对称图形． (2)将先向右平移7个单位长度后再向下平移3个单位长度得到，画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形，平移作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，找出，再依次连接，得，即可作答． （2）根据平移的性质，找出，再依次连接，得，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2） 解：如图所示． 题型18求对称轴条数 例18．下列图形中，有且仅有一条对称轴的图形是（   ） A．圆 B．正方形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的对称轴数量，解题的关键是掌握常见图形的对称轴条数． 分别确定每个选项图形的对称轴数量，再筛选出“有且仅有一条”的图形． 【详解】解：A、圆有无数条对称轴，此选项不符合题意； B、正方形有4条对称轴，此选项不符合题意； C、等边三角形有3条对称轴，此选项不符合题意； D、等腰直角三角形有且仅有1条对称轴，此选项符合题意． 故选：D． 变式1．如图，该轴对称图形有 条对称轴． 【答案】4/四 【分析】本题考查了确定轴对称图形的对称轴，对称轴是对称点连线的垂直平分线，据此即可求解． 【详解】解：如图，该轴对称图形共有4条对称轴． 故答案为：4 变式2．如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的． (1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ (2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ (3)请你推断，按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 【答案】(1)图案是轴对称图形，有4条对称轴 (2)图②是轴对称图形，都有2条对称轴；图③是轴对称图形，有2条对称轴 (3)第n个图案是轴对称图形，有2条对称轴 【分析】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】（1）图案是轴对称图形，有4条对称轴； （2）图②是轴对称图形，都有2条对称轴；图③是轴对称图形，有2条对称轴． （3）第n个图案是轴对称图形，有2条对称轴． 题型19车牌号码的镜面对称 例19．小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（    ） A．70625 B．70952 C．70925 D．52607 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，掌握在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒成为解题的关键． 直接根据镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称性质，数字在镜中左右相反且部分数字会对称转换，故他的学号为70625． 故选：A． 变式1．某串数字，在镜子里显示为，则实际数字为 ． 【答案】 【分析】本题考查镜面对称，认真观察，注意技巧是解题的关键． 利用镜面对称的性质，大小和形状保持不变，方向相反，求解即可． 【详解】解：根据镜面对称的性质，将“18502”按轴对称左右颠倒，即可得“50281”， 故答案为： ． 变式2．某一车牌号码在路面水坑中的倒影为，请猜测该车的车牌号．晓华猜测该车的车牌号为M80608．请问晓华的猜测正确吗？如果不正确，请写出正确的车牌号． 【答案】不正确，M80908 【分析】此题主要考查了镜面对称，易得所求的牌照与看到的牌照关于水平的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】解：晓华的猜测不正确．如图所示． 故该车的车牌号应是M80908． 题型20钟表的镜面对称 例20．平面镜中的电子钟示数为，则实际时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了镜面对称的性质．根据镜面对称的性质，像与物左右颠倒，但数字和在镜中成像不变，且数字序列左右颠倒后不变，因此实际时间与镜中示数相同． 【详解】解：平面镜中的电子钟示数为“”的数字均为或，这些数字在平面镜中成像不变，且数字序列左右颠倒后仍为1，0，0，1， ∴实际时间为， 故选：A． 变式1．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称如图1，若从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间为如图2所示，则电子钟的实际时间应该是 ． 【答案】15∶01 【分析】本题镜面对称的知识；得到相应的对称轴是解决本题的关键；难点是作出相应的对称图形；注意2，5的关于竖直的一条直线的轴对称图形是5，2． 实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，画出相关图形可得实际时间． 【详解】解：实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称， 电子钟的实际时间应该是， 故答案为：． 题型21电子钟示数的镜面对称 例21．平面镜中电子钟示数为“”，实际时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查电子钟示数的镜面对称． 根据平面镜中的示数与实际时间左右对称，即可求解． 【详解】解：∵平面镜中电子钟示数为“”，与左右对称， ∴实际时间是“”， 故选：A． 变式1．东东放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车．由于去的早，他在候车室睡着了，等醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，则东东醒来时的正确时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查电子钟示数的镜面对称． 根据平面镜中的示数与实际时间左右对称，即可求解． 【详解】 解：∵平面镜中电子钟示数为“”，与左右对称， ∴东东醒来时的正确时间是“”， 故答案为：． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．下面四个图形中，在力的作用下，物体做平移运动的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移和旋转的定义，掌握平移是沿直线移动且方向不变，旋转是绕点转动方向改变是解题的关键． 根据平移的定义，判断每个选项的运动形式，平移是沿直线移动且方向不变，旋转是绕点转动方向改变． 【详解】解：A、杠杆绕点转动，属于旋转，不符合题意； B、压钳绕点转动，属于旋转，不符合题意； C、物体沿直线向下移动，形状和方向均未改变，属于平移，符合题意； D、杠杆绕点转动，属于旋转，不符合题意． 故选：C． 2．如图，将线段沿箭头方向平移3cm得到线段．若，则四边形的周长为（    ） A．8cm B．14cm C．16cm D．20cm 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段相等，平移距离等于对应点连线的长度是解题的关键． 根据平移的性质，得到与相等，与等于平移距离，再将四条边长相加求出四边形的周长． 【详解】解：∵将线段平移得到线段 ∴， ∵ ∴ ∵平移的距离为 ∴， ∴四边形的周长为： 故选：B． 3．如图，是一块长方形场地，米，米，，两个入口处的小路的宽都为1米，两小路汇合处的路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为（　　）平方米 A．40 B．160 C．38 D．158 【答案】B 【分析】本题考查生活中的平移现象．将三块图形平移组合成一个完整的长方形是解决问题的关键． 从图中可以看出剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形，然后根据题意求出长和宽，最后求出面积即可． 【详解】解：由图片可看出，剩余部分的草坪经过平移，正好可以拼成一个长方形，且 这个长方形的长为（米）， 这个长方形的宽为（米）， 所以草坪面积（平方米）， 故选：B 4．第十五届全运会于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地联合举办，下列四个运动项目图标中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的识别，核心是掌握轴对称图形的定义：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选项A：该图形无法找到一条直线，使得沿这条直线折叠后直线两旁的部分完全重合，不是轴对称图形； 选项B：该图形无法找到一条直线，使得沿这条直线折叠后直线两旁的部分完全重合，不是轴对称图形； 选项C：该图形沿中间的竖直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形； 选项D：该图形无法找到一条直线，使得沿这条直线折叠后直线两旁的部分完全重合，不是轴对称图形； 故选：C． 5．如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图——复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质和尺规作图，点P到点A，点B的距离相等，可知点P在线段的垂直平分线上，据此可得答案． 【详解】解：点P到点A，点B的距离相等， 点P在线段的垂直平分线上， 故选：A． 6．下列说法：（1）角平分线是角的对称轴；（2）轴对称图形有一条对称轴；（3）等腰三角形的对称轴是底边上的高；（4）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形；（5）若A、B关于直线对称，则垂直平分．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的性质及相关概念，轴对称图形的对称轴是直线，据此可判断（1）（3），轴对称图形的轴对称可能不止一条，据此可判断（2）；根据轴对称的性质可判断（4）（5）． 【详解】解：（1）角平分线所在的直线是角的对称轴，原说法错误； （2）轴对称图形可能有多条对称轴（如圆有无数条），原说法错误； （3）等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线，而非高本身，原说法错误； （4）两个图形成轴对称，则它们全等，原说法正确； （5）若A、B关于直线对称，则垂直平分，而非垂直平分，原说法错误 综上，正确说法有（4），共1个， 故选：A． 7．已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，由轴对称的性质不能得出非对应线段的关系．由轴对称的性质可以得到对应线段、对应点的连线与对称轴的位置关系，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，不能得出非对应线段的关系． 【详解】解：根据题意分析，由轴对称的性质可以得到：对应线段相等，即A选项成立；对应线段是平行，即C选项成立；对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，即D选项成立；与为非对应线段，无法得到与的关系， 故选：B． 8．如图，直线表示一条河，表示两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，向两个村庄供水．现有下面的四种铺设管道的方案，实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用轴对称求最短路线，利用对称的性质作出点M关于直线的对称点，然后将所求路线长转化为两定点之间的距离即可． 【详解】解：作点M关于直线的对称点，连接，交直线于点，如图所示，，此时所需的管道最短． 故选：D． 9．下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（    ）次． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】本题考查轴对称的知识，根据题意画出图形，然后即可作出判断．难度不大，注意画出图形会使问题比较简单直观． 【分析】解：根据图形可得总共反射了7次． 故选：B． 10．无线网络的稳定运行依托光纤传输系统．如图，光信号在光纤中的传输过程，可看作光信号经过两个平行放置的平面镜进行反射，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质推出．由光的反射定律可知，，再由平行线的性质推出，从而得出结论． 【详解】解：如图： 由光的反射定律可知， ， ， 两平面镜平行， 两直线平行，内错角相等， 由光的反射定律可知， 故选：C． 二、填空题 11．李明从平面镜中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是 【答案】 【分析】本题主要考查了镜面对称的特点，掌握其特点：上下前后方向一致，左右方向相反是解题的关键． 根据镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称求解即可． 【详解】镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的轴对称， 注意镜子中的2实际应为5，电子表的实际时刻是． 故答案为：． 12．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为 ． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称的性质，利用镜面对称的性质求解，镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 【详解】解：根据镜面对称的性质，则该车牌照的部分号码为， 故答案为：． 13．在字母、、、、、中不是轴对称图形的是 ，有两条对称轴的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．根据轴对称图形的概念即可求解． 【详解】解答：题中的、、、、为轴对称图形，不是轴对称图形． 其中、、、有一条对称轴，有两条对称轴． 故答案为：，． 14．如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是 ．    【答案】3 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离及平移的性质，根据数轴上平移前后对应点的位置即可得出结果，理解掌握平移的性质是解题关键． 【详解】解：∵长方形平移到长方形的位置，且对应点B到的距离为：， ∴平移的距离是3， 故答案为：3． 15．某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽为2米，其侧面如图，则购买地毯至少需要 元． 【答案】 【分析】本题考查了生活中的平移现象，解题的关键是掌握平移的性质，不改变图象的大小和形状． 根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求． 【详解】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，长宽分别为5.8米，2.6米， 即可得地毯的长度为米，地毯的面积为（平方米）， 故买地毯至少需要（元）． 故答案为：． 16．如图，与关于直线l对称．若，，则 ， ． 【答案】 2cm 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握该性质是解题的关键； 根据轴对称的性质解题即可得出答案． 【详解】解：∵与关于直线l对称 ∴ 故答案为：2cm， ． 17．，以为圆心，任意长为半径画弧，交于；分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于；作射线．则 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了角平分线的画法和性质，由作图可知，为的角平分线，再根据角平分线的性质即可求解，掌握角平分线的画法是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，为的角平分线， ∴， 故答案为：． 三、解答题 18．作图题：如图，已知及定点、，在的内部求作点，使点到直线、的距离相等，且． 【答案】作图见解析 【分析】本题主要考查了角平分线和垂直平分线的作图．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图分解成基本作图； 作出的平分线；连接，作出的垂直平分线，角平分线与垂直平分线的交点即为所求的点P； 【详解】解：如图，点P即为所求． 19．图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都在格点上．（提醒：每个小正方形边长为1） (1)在图1中，将平移到，使点与点对应； (2)在图2中，作出一个与关于直线成轴对称的格点三角形； (3)在图3中，作出四边形，使四边形为轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平移作图，轴对称作图；掌握平移作图及轴对称作图的作法是解题的关键． （1）将向右平移，再向下平移，作出图形，即可求解； （2）利用轴对称的性质，作出关于直线的对称点，即可求解； （3）以直线为对称轴，作出关于直线的对称点，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 为所求作图形； （2）解：如图， 为所求作图形； （3）解：如图， 四边形为所求作图形． 20．如图，中，点在上，连接，分别以、为对称轴，作点的对称点、，连接、． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若E，A，F三点在同一直线上，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键． （1）利用轴对称的性质解答即可； （2）根据E，A，F三点在同一直线上，得出，根据轴对称的性质得出，，即可得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点E、F分别是点D以、为对称轴的对称点， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵E，A，F三点在同一直线上， ∴， ∵点E、F分别是点D以、为对称轴的对称点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 21．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点． (1)画出平移以后的； (2)连接，，则这两条线段的关系是______； (3)求线段在平移过程中扫过区域的面积？ 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3)20 【分析】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据平移的性质可得答案． （3）求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由平移得，这两条线段的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． （3）解：线段在平移过程中扫过区域的面积为． 22．美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点落在了点处，交于点． (1)如果，那么_______°； (2)点为线段上一点，将三角形沿折叠，点恰好落在上的点处，如果，请用的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点落在点处，当时，求出的度数． 【答案】(1)50 (2) (3)或 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质和矩形的性质即可得到结论； （2）根据折叠的性质和矩形的性质即可得到结论； （3）根据折叠的性质和矩形的性质即可得到结论 【详解】（1）解：∵， ∴由折叠可得， ∴， 故答案为：； （2）解：因为， 所以， 所以； （3）解：①点在下方时， 设， 那么， ， ∴； ②点在上方时， 设， 那么， ， ∴， 综上所述，或． 23．如图，公园里有一个长方形湖泊，湖上架有一座观景桥(桥墩忽略不计)．已知湖泊长米，宽米，桥面的宽度为米．公园管理人员计划在湖内喂养金鱼，每平方米水面投放条金鱼．求： (1)这座桥的面积是多少？ (2)管理员准备投放多少条金鱼？ 【答案】(1)平方米 (2)条 【分析】本题考查有理数的混合运算的实际应用，平移的性质，正确计算是解题的关键． （1）观景桥经过平移，根据“长方形面积=长×宽”，桥的面积是用长方形湖泊的面积减去长是米，宽是米的长方形面积，即可解答； （2）用湖泊的面积乘每平方米投放金鱼的条数即可； 【详解】（1）解： （平方米）， ∴这座桥的面积是平方米； （2）（条）， ∴管理员准备投放条金鱼． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.1~9.2平移、轴对称寒假预习讲义（苏科版） ✅ 课前预习★目标 ●初步认识平移和轴对称这两种图形运动，知道它们都不改变图形的形状和大小； ●能在生活实例中辨认平移现象和轴对称图形，能简单说出它们的特点； ●能指出平移的方向和距离，能找到轴对称图形的对称轴； ●初步感受平移与轴对称在设计、建筑、装饰、日常物品中的美观与实用价值。 💦 重点知识★梳理归纳 【知识点1平移的定义】 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 【重点提示】（1）图形平移的两要素：平移的方向与平移的距离．（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置． 【知识点2平移的性质】 图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说 ： （1）平移后，对应线段平行且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形． 【重点提示】（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．（2）要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后 的图形上本身存在的． 【知识点3平移的作图】 平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连． （1）定：确定平移的方向和距离； （2）找：找出表示图形的关键点； （3）移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； （4）连：按原图形顺次连接对应点。 【知识点4轴对称图形】 定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 轴对称图形的三个要素：（1）一个整体图形；（2）一条直线为对称轴；（3直线两旁边部分完全重合． 【知识点5两个图形成轴对称】 定义：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴． 成轴对称的三个条件：（1）有两个图形；（2）存在一条直线；（3一个图形沿着这条直线对折后与另一个图形重合． 成轴对称的两个特征：（1）成轴对称两个图形全等，但全等的两个图形不一定成轴对称；（2）成轴对称是图形的一种全等变换． 轴对称图形与轴对称的区别与联系： 轴对称图形 轴对称 区别 是一个图形自身的对称特性 是两个图形之间的对称关系 对称轴可能不止一条 对称轴只有一条 共同点 沿某条直线对折后都能够互相重合 如果轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形； 如果把轴对称图形分成两部分（两个图形），那么这两部分关于这条对称轴成轴对称． 【知识点6轴对称的有关概念与性质】 1．对应点、对应线段与对应角的概念：沿对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，重合的线段叫对应线段；重合的角叫对应角． 2．轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等． 成轴对称的三个条件： （1）找对应线段和对应角先找准对应点，对应点也就是对称点；（2）轴对称图形被对称轴分成的两部分全等，而且这两部分关于对称轴成轴对称，成轴对称的两个图形也全等，但全等的两个图形不一定成轴对称． 【知识点7画对称轴】 ●画对称轴的依据：画对称轴的依据是两个图形成轴对称和轴对称图形的性质，即对应点所连的线段被对称轴垂直平分． ●画对称轴的步骤：（1）找：找到任意一对对应点；（2）连：连接这对对应点； （3） 画：过对应点所连线段的中点作垂线． 【知识点8画已知图形的轴对称图形】 ●方法：几何图形都可以看作由点组成，对于一些图形，只要画出图形中的一些特点烊于对称轴的对称点，再连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形． ●步骤：画轴对称图形的方法可以简单归纳为“一找、二画、三连” （1）找：在原图形上找特殊点；（2）画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点； （3）连：依次连接各对称点． ✏ 核心考点★精讲讲练 题型1生活中的平移现象 例1．下列现象属于平移的是（   ） A．投篮时篮球的运动 B．用打气筒打气时，活塞的运动 C．钟摆的摆动 D．汽车雨刷的运动 变式1．在下列四幅图中，哪几幅图是可以经过平移变换得来的 ． 变式2．邻居李大叔自家后院有一块长为、宽为的长方形菜地，为行走方便，准备修筑两条横竖方向互相垂直的小路如图所示，如果路宽为，请你帮助李大叔计算一下种植蔬菜的面积．    题型2图形的平移 例2．如图，平移“月亮”图案可以得到下列选项中的（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，最小正方形的边长为1，将字母“V”向左平移 格（两个“V”无重叠）后与平移前的图形可以组成字母“W”． 变式2．把三角形A向右平移5格，得到三角形B，再将三角形B按扩大，得到三角形C，请在下面方格纸中画出三角形B和三角形C． 题型3利用平移的性质求解 例3．如图，将三角形沿方向平移得到对应的三角形．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，直线平移后得到直线．若，则 ． 变式2．如图，直角三角形是由直角三角形经过平移得到的，请写出它们的对应点、对应线段和对应角． 题型4利用平移解决实际问题 例4．如图，大长方形的长是，宽是，阴影部分的宽都是，则空白部分的面积是（   ） A．18 B．24 C．32 D．36 变式1．如图，在长方形中，，，则长方形内的四个小长方形的周长之和为 ． 变式2．如图，将面积为5的沿方向平移至的位置，平移的距离是边长的3倍． (1)那么图中线段与的关系是_____________， (2)求四边形的面积． 题型5平移（作图） 例5．如图，在正方形网格中，如果把三角形的顶点C先向右平移3格，再向上平移1格到达点，连接，则线段与线段的关系是（    ） A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直 变式1．如图，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，记正方形和重叠的区域（不含边界）为． ①当时，区域内的整点个数为 ； ②当时，区域内的整点个数为 ． 变式2．如图，平移四边形，使点移动到点，画出平移后的四边形． 题型6轴对称图形的识别 例6．剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 变式1．下列图形：线段、角、长方形、直角三角形、平行四边形、等边三角形、圆，其中一定是轴对称图形的有 个． 变式2．下列图形中，哪些是轴对称图形？请画出轴对称图形的对称轴． 题型7成轴对称的两个图形的识别 例7．下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 变式1．如图，在正方形网格中，与成轴对称的三角形可以画出 个． 变式2．如图，已知是由经过平移得到的，是否还可以看作由经过轴对称得到？ 题型8作已知线段的垂直平分线 例8．如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下：①分别以点A，B为圆心，a为半径画弧交于点E，F；②过点E，F作直线，则直线就是线段的垂直平分线．则a的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．根据图中尺规作图的痕迹，可判断一定为的 ． 变式2．如图，在四边形中，已知的平分线和线段的垂直平分线交于点．请你利用尺规找出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 题型9作垂线（尺规作图） 例9．已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，用尺规作图过直线l上一点P作已知直线l的垂线，图中的点C是 的交点． 变式2．尺规作图： 已知：线段． 求作：直角三角形（点在直线的上方），使，．（不写作法，保留作图痕迹） 题型10根据成轴对称图形的特征进行判断 例10．如图，六边形ABCDEF关于直线l对称的图形是六边形．下列判断错误的是（   ） A． B． C．直线 D． 变式1．等腰三角形有 条对称轴，则其对称轴在 ． 变式2．如下图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，，，． (1)试写出EF，AD的长度． (2)求的度数． (3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？ 题型11根据成轴对称图形的特征进行求解 例11．如图，与关于直线l对称，则（   ） A． B． C．BC D． 变式1．如图，“笑脸”关于轴对称，已知点坐标为，则它的对称点的坐标为 ． 变式2．如图，点P在的内部，点C和点P关于直线对称，点P关于直线的对称点是点D，连接交于点M，交于点N． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为 ． 题型12作角平分线（尺规作图） 例12．观察如图所示的尺规作图痕迹，则线段是的（    ） A．中线 B．高线 C．中垂线 D．角平分线 变式1．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示的作图痕迹如下，其中，射线为的平分线的有 ． 变式2．如图，已知平面上四个点A、B、C、D请按要求完成下列问题： (1)画直线和直线，交点为点E； (2)连接，并延长到F，使； (3)在内部，画射线，使． 题型13台球桌面上的轴对称问题 例13．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 变式1．2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 号袋． 变式2．《西游记》第三十二回写道：“金角大王、银角大王派巴山虎、倚海龙去请母亲来吃唐僧肉，让她带着幌金绳来拿孙行者．”话说两个小妖在A点接到老妖婆后，来到小河边P点喝水，随后回到B点的洞府去见两位大王．小妖智商有限，请各位同学帮忙规划一下，当P点在哪时，路程最近呢？请大家作出路线图并简要说明理由．    题型14轴对称中的光线反射问题 例14．如图，设和是镜面平行相对且间距为的两面镜子，把一个小球A放在和之间，小球在镜中的像为，在镜是中的像为，则等于（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．    变式2．如图，是两面互相平行的镜面，一束光线照射到镜面上，反射光线为，则．用尺规作出，使得． 题型15折叠问题 例15．将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，点B，D折叠后的对应点分别为，则下列结论正确的个数有（   ） ①若，则；②若点与点重合，则； ③若，则或；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．如图，将长方形纸条的一部分沿折叠到的位置．若，则的度数为 ． 变式2．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，若，求的度数（用含的式子表示）． 题型16画对称轴 例16．已知、线段、线段，小明利用尺规画出它们的对称轴，如图所示（②中为外任一点），则不一定正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．①和② 变式1．如图，长方形是轴对称图形，对称轴可以是直线 ． 变式2．按要求用尺规作图（不写作法）： (1)在图1中作出它的一条对称轴； (2)在图2中作出线段的垂直平分线． 题型17画轴对称图形 例17．如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式1．如图，在的正方形网格中，有一个格点（阴影部分），则在网格中可以画出的所有与其成轴对称的格点三角形共有 个．（格点三角形是指所有顶点都在格点上的三角形） 变式2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，请按下列要求画图． (1)画出关于x轴的对称图形． (2)将先向右平移7个单位长度后再向下平移3个单位长度得到，画出． 题型18求对称轴条数 例18．下列图形中，有且仅有一条对称轴的图形是（   ） A．圆 B．正方形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 变式1．如图，该轴对称图形有 条对称轴． 变式2．如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的． (1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ (2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ (3)请你推断，按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 题型19车牌号码的镜面对称 例19．小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（    ） A．70625 B．70952 C．70925 D．52607 变式1．某串数字，在镜子里显示为，则实际数字为 ． 变式2．某一车牌号码在路面水坑中的倒影为，请猜测该车的车牌号．晓华猜测该车的车牌号为M80608．请问晓华的猜测正确吗？如果不正确，请写出正确的车牌号． 题型20钟表的镜面对称 例20．平面镜中的电子钟示数为，则实际时间为（    ） A． B． C． D． 变式1．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称如图1，若从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间为如图2所示，则电子钟的实际时间应该是 ． 题型21电子钟示数的镜面对称 例21．平面镜中电子钟示数为“”，实际时间是（    ） A． B． C． D． 变式1．东东放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车．由于去的早，他在候车室睡着了，等醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，则东东醒来时的正确时间是 ． ✍ 强化巩固★综合测试 一、单选题 1．下面四个图形中，在力的作用下，物体做平移运动的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将线段沿箭头方向平移3cm得到线段．若，则四边形的周长为（    ） A．8cm B．14cm C．16cm D．20cm 3．如图，是一块长方形场地，米，米，，两个入口处的小路的宽都为1米，两小路汇合处的路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为（　　）平方米 A．40 B．160 C．38 D．158 4．第十五届全运会于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地联合举办，下列四个运动项目图标中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 6．下列说法：（1）角平分线是角的对称轴；（2）轴对称图形有一条对称轴；（3）等腰三角形的对称轴是底边上的高；（4）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形；（5）若A、B关于直线对称，则垂直平分．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，直线表示一条河，表示两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，向两个村庄供水．现有下面的四种铺设管道的方案，实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 9．下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（    ）次． A．6 B．7 C．8 D．9 10．无线网络的稳定运行依托光纤传输系统．如图，光信号在光纤中的传输过程，可看作光信号经过两个平行放置的平面镜进行反射，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 二、填空题 11．李明从平面镜中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是 12．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为 ． 13．在字母、、、、、中不是轴对称图形的是 ，有两条对称轴的是 ． 14．如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是 ．    15．某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽为2米，其侧面如图，则购买地毯至少需要 元． 16．如图，与关于直线l对称．若，，则 ， ． 17．，以为圆心，任意长为半径画弧，交于；分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于；作射线．则 ． 三、解答题 18．作图题：如图，已知及定点、，在的内部求作点，使点到直线、的距离相等，且． 19．图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都在格点上．（提醒：每个小正方形边长为1） (1)在图1中，将平移到，使点与点对应； (2)在图2中，作出一个与关于直线成轴对称的格点三角形； (3)在图3中，作出四边形，使四边形为轴对称图形． 20．如图，中，点在上，连接，分别以、为对称轴，作点的对称点、，连接、． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若E，A，F三点在同一直线上，直接写出的度数． 21．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点． (1)画出平移以后的； (2)连接，，则这两条线段的关系是______； (3)求线段在平移过程中扫过区域的面积？ 22．美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点落在了点处，交于点． (1)如果，那么_______°； (2)点为线段上一点，将三角形沿折叠，点恰好落在上的点处，如果，请用的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点落在点处，当时，求出的度数． 23．如图，公园里有一个长方形湖泊，湖上架有一座观景桥(桥墩忽略不计)．已知湖泊长米，宽米，桥面的宽度为米．公园管理人员计划在湖内喂养金鱼，每平方米水面投放条金鱼．求： (1)这座桥的面积是多少？ (2)管理员准备投放多少条金鱼？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $