精品解析：河南洛阳市嵩县2025—2026学年上学期期末考试八年级数学试卷

2025—2026学年第一学期期末考试八年级 数 学 试 卷 注意事项： 1．本试卷共三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟； 2．本试卷上不要答题，请按答题卷上注意事项的要求直接把答案填写在答题卷上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数，算术平方根以及立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【详解】A. ，∵10不是完全平方数，∴是无理数，符合题意； B. ，循环小数可化为分数，是有理数，故不符合题意； C. ，∵，∴，是整数，是有理数，故不符合题意； D. ，是分数形式，是有理数，故不符合题意． ∴故选：A． 2. 下列说法正确的是（    ） A. 4的平方根是2 B. 8的立方根是 C. 的算术平方根是 D. 没有平方根 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可． 本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提． 【详解】解：A．的平方根是，因此选项A不符合题意； B．8的立方根是2，因此选项B不符合题意； C．的算术平方根是，因此选项C不符合题意； D．没有平方根，因此选项D符合题意； 故选：D． 3. 计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了关于幂的运算，首先逆用同底数幂相乘的法则可得：原式，再逆用积的乘方的法则进行计算． 【详解】解： ． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、合并同类项法则解出答案． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 故本题选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、合并同类项法则，对运算法则的熟练掌握并运用是解题的关键． 5. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某种柑橘的甜度情况 B. 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 C. 调查某市垃圾分类的情况 D. 调查全班观看电影《哪吒2》的情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 【详解】解：A中，调查某种柑橘的甜度情况，全面调查工作量大，且具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意； B中，调查某品牌新能源汽车的抗撞能力，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意； C中，了调查某市垃圾分类的情况 ，全面调查工作量大，适合抽样调查，故本选项不合题意； D中，调查全班观看电影《哪吒2》的情况，范围较小，适于全面调查，故本选项符合题意． 故选：D． 6. 小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P．小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形的三条角平分线交于一点 D. 三角形三边的垂直平分线交于一点 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的判定定理，在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，据此解答即可． 【详解】解：由题意可知，点P到射线的距离是直尺的宽度，点P到射线的距离也是直尺的宽度， ∴点P到射线，的距离相等， ∴点P在的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）． 故选：A． 7. 如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图——基本作图，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则，，然后根据三角形外角和定理以及内角和定理即可解答． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ， ， ， ， 故选：． 8. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，，用上述方法产生的密码不可能是（ ） A. 528024 B. 522824 C. 248052 D. 522480 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，进而代入字母的值即可求解． 【详解】解：∵ ， ∵，，则各个因式的值为，，， ∴产生的密码不可能是522824， 故选：B． 9. 如果△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)(a2+b2)=ac2-bc2,那么△ABC的形状是(　) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】将所给的等式(a-b)(a2+b2)=ac2-bc2能进行因式分解的要因式分解，整理得出关于a,b,c三边的关系式，进而判断三角形的形状. 【详解】∵(a-b)(a2+b2)=ac2-bc2 (a-b)(a2+b2)=c2(a-b) (a-b)(a2+b2- c2) =0 ∴a-b =0或a2+b2- c2 =0 ∴a =b或a2+b2=c2 故△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形，选D. 【点睛】本题考查因式分解的应用，勾股定理的逆定理. 10. 如图，在的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点，，，都在格点上，连接，相交于，那么的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取格点，连接，先证明，得出，再证明得出，最后证明是等腰直角三角形，得出，从而得出即可． 【详解】解：取格点，连接， 由已知条件可知：， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴, 即， 故选：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定与性质，所求角转换成容易求出度数的角，合理的添加辅助线是解决本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. ____． 【答案】 5 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 12. 某校对初一全体学生进行了一次视力普查，得到如下统计表，则视力在这个范围的频率为______. 视力 频数 20 40 70 60 10 【答案】0.35 【解析】 【分析】直接利用频数÷总数=频率进而得出答案． 【详解】解：∵视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频数为：60+10=70， ∴视力在4.9≤x＜5.5这个范围的频率为： =0.35． 故答案为0.35． 【点睛】此题主要考查了频率求法，正确把握频率的定义是解题关键． 13. 已知 则 的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解决本题的关键是使用变量代换． 通过变量代换，将原方程转化为关于新变量的简单方程，利用完全平方公式展开并化简求解． 【详解】解：令，则，． 代入原方程得． 展开得， 即，解得． 因此． 故答案为：4． 14. 如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B=50°，∠FAE=20°，则∠C=_____________度． 【答案】30 【解析】 【分析】根据角平分线和垂直平分线的性质得到角之间的关系，再利用三角形内角和即可求解. 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线, ∴ ∴ ∵AF平分∠BAC， ∴ 在△ABC中，，即 ∴ ∴ 故答案为 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的角平分线的定义，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 15. 如图，在正方形中，点E是的中点，F、G分别是、上的动点，且交于点H，连接和，则下列结论正确的是______． ①； ②； ③； ④当时，的最小值是． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的性质． 以为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点I，连接，根据垂线的定义证明，根据正方形的性质得到，，根据平行线间的距离处处相等得到，可知，根据证明，进而得到，，故①、③正确；根据正方形的性质得到，，根据勾股定理求出，根据平行四边形的性质得到，进而证明是等腰直角三角形，根据勾股定理得到，由可知当A、G、N在一条直线上时最小，为，故④正确；假设成立，可得，与实际情况不符，故②错误． 【详解】解：如图，以为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点I，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，故①、③正确； ∵正方形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当A、G、N在一条直线上时最小，为，故④正确； 若，则， ∵， ∴F、G在、上同向运动， 当F、G在、上向上运动时，变大，变小， ∴不成立，故②错误； 则结论正确的是①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题（本题共8小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算． （1）利用二次根式的性质化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）首先把转化为的形式，再利用完全平方公式分解因式，可得：原式，再开平方即可． 【小问1详解】 解： = =； 【小问2详解】 ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】2y-x，3 【解析】 【分析】先根据完全平方公式和整式乘法计算内的，再根据多项式除以单项式法则计算，最后将数值代入计算即可． 【详解】原式= = =． 当x=1，y=2时，原式． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的计算法则和乘法公式是解题的关键． 18. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表： 阅读时间在范围内的数据： 40，50，45，50，40，55，45，40 不完整的统计图表： 课外阅读时间x（min） 等级 D C B A 人数 3 a 8 b 结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的________； （2）统计图中B组对应扇形的圆心角为________度； （3）阅读时间在范围内的数据的众数是________；调查的20名同学课外阅读时间的中位数是________； （4）根据调查结果，请你估计全校800名同学课外阅读时间不少于的人数． 【答案】（1）5 （2）144 （3）40；40 （4）480 【解析】 【分析】（1）用调查的总人数乘以C组对应的百分比，即可求解； （2）用乘以B组对应的百分比，即可求解； （3）根据众数和中位数的意义，即可求解； （4）用800乘以课外阅读时间不少于的人数所占的百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：； 故答案为：5 【小问2详解】 解：B组对应扇形的圆心角为； 故答案为：144 【小问3详解】 解：阅读时间在范围内的数据中，40出现的次数最多， ∴阅读时间在范围内的数据的众数是； 把阅读时间在范围内的数据从小到大排列为：40，40，40，45，45，50， 50， 55， ∵， ∴调查的20名同学课外阅读时间位于正中间的两个数分别为40，40， ∴调查的20名同学课外阅读时间的中位数是； 故答案为：40；40 【小问4详解】 解：根据题意得：， ∴全校800名同学课外阅读时间不少于的人数为人． 【点睛】本题考查中位数、众数、扇形统计图，从扇形统计图准确获取信息是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法． 19. 如图所示，将两个含角的三角尺摆放在一起，可以得到是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． （1）若交换上述命题的题设和结论将得到一个新命题，请写出此命题． （2）请判断（1）中命题的真假，若为真命题，请写出已知和求证并给出证明；若为假命题，请说明理由． 【答案】（1）一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是 （2） 此命题是真命题，理由如下： 已知：在中，， 求证：． 证明：延长至点D，使，连接， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴ ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键． 延长至点D，使，连接，证明是等边三角形，得到，根据等腰三角形的三线合一证明即可． 【小问1详解】 此命题为：在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是； 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，点是的中点，于，点O在的垂直平分线上， （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵点是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）先证明垂直平分，得出，再根据垂直平分线的性质，得出，即可得出，说明是等腰三角形； （2），，得出，，根据，得出，根据三角形内角和定理得出，即可得出，最后根据等边对等角即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形． （1）请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简） 方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________； （2）将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积． （3）图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积． 【答案】（1）；；； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键． （1）运用等面积法计算即可； （2）先表示出阴影部分面积，再代入计算即可； （3）将风车周长表示出来，其中，再结合勾股定理求解出，最后计算面积即可． 【小问1详解】 解：方法1：， 方法2：， ， 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：， 当时，； 【小问3详解】 解：∵，外围轮廓（实线）的周长为24， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 22. 如图，一栋四层楼房与另一栋三层楼房（每层楼的高度都是a米）之间相距28米，小明从点沿走向点，一定时间后，他到达点，此时他测得和的夹角为，且． （1）求证： （2）请你帮小明求出楼房的高度． （3）小明同学行走的速度为，则小明从C点到达D点还需要多长时间? 【答案】（1） 证明：和的夹角为， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）16米 （3）24秒 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）先证明，再利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，，结合米，得出，求解即可； （3）由（2）可得米，计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ，， 米， ， 解得：， 米； 答：楼房高16米． 【小问3详解】 解：由（2）得：米， ． 答：小强从点到达点还需要24秒． 23. 如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，；连接、．已知，，，设． （1）①用含x的代数式表示的长； ②求出的最小值． （2）根据（1）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值． （3）若正实数a，b，c满足，请构图求出代数式的最小值． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握数形结合思想，正确构造直角三角形是解题的关键， （1）①根据勾股定理即可表示出的长；②过点作，过点作，连接，当三点共线时，的值最小，再利用勾股定理求出的最小值； （2）根据题意构造图形，过点作，过点作，连接，交于点，所以代数式的最小值为的长，由勾股定理求得的最小值； （3）由条件得，将看作直角三角形的斜边，通过平移可得水平位移的总长为，垂直位移为，再根据两点间距离最短，可得的最小值． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴． ②过点作，过点作，连接，如图，     ∴当三点共线时，的值最小， ∴， ∴的最小值为． 【小问2详解】 解：，，，，，如图： 过点作，过点作，连接，交于点， ∴代数式的最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴代数式的最小值为． 【小问3详解】 解：∵ ∴， 将、、看作直角三角形的斜边，如图所示： 通过平移可得水平位移的总长为，垂直位移总长为， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期末考试八年级 数 学 试 卷 注意事项： 1．本试卷共三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟； 2．本试卷上不要答题，请按答题卷上注意事项的要求直接把答案填写在答题卷上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（    ） A. 4的平方根是2 B. 8的立方根是 C. 的算术平方根是 D. 没有平方根 3. 计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某种柑橘的甜度情况 B. 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 C. 调查某市垃圾分类的情况 D. 调查全班观看电影《哪吒2》的情况 6. 小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P．小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形的三条角平分线交于一点 D. 三角形三边的垂直平分线交于一点 7. 如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，，用上述方法产生的密码不可能是（ ） A. 528024 B. 522824 C. 248052 D. 522480 9. 如果△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)(a2+b2)=ac2-bc2,那么△ABC的形状是(　) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 10. 如图，在的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点，，，都在格点上，连接，相交于，那么的大小是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. ____． 12. 某校对初一全体学生进行了一次视力普查，得到如下统计表，则视力在这个范围的频率为______. 视力 频数 20 40 70 60 10 13. 已知 则 的值是______． 14. 如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B=50°，∠FAE=20°，则∠C=_____________度． 15. 如图，在正方形中，点E是的中点，F、G分别是、上的动点，且交于点H，连接和，则下列结论正确的是______． ①； ②； ③； ④当时，的最小值是． 三、解答题（本题共8小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表： 阅读时间在范围内的数据： 40，50，45，50，40，55，45，40 不完整的统计图表： 课外阅读时间x（min） 等级 D C B A 人数 3 a 8 b 结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的________； （2）统计图中B组对应扇形的圆心角为________度； （3）阅读时间在范围内的数据的众数是________；调查的20名同学课外阅读时间的中位数是________； （4）根据调查结果，请你估计全校800名同学课外阅读时间不少于的人数． 19. 如图所示，将两个含角的三角尺摆放在一起，可以得到是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． （1）若交换上述命题的题设和结论将得到一个新命题，请写出此命题． （2）请判断（1）中命题的真假，若为真命题，请写出已知和求证并给出证明；若为假命题，请说明理由． 20. 如图，在中，点是的中点，于，点O在的垂直平分线上， （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 21. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形． （1）请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简） 方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________； （2）将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积． （3）图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积． 22. 如图，一栋四层楼房与另一栋三层楼房（每层楼的高度都是a米）之间相距28米，小明从点沿走向点，一定时间后，他到达点，此时他测得和的夹角为，且． （1）求证： （2）请你帮小明求出楼房的高度． （3）小明同学行走的速度为，则小明从C点到达D点还需要多长时间? 23. 如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，；连接、．已知，，，设． （1）①用含x的代数式表示的长； ②求出的最小值． （2）根据（1）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值． （3）若正实数a，b，c满足，请构图求出代数式的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $