精品解析：河南许昌市鄢陵县彭店乡第二中学、鄢陵县望田镇第二中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年第一学期期末试卷 九年级数学 注意事项 1.本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴为直线（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 矩形 C. 平行四边形 D. 圆 4. 已知的直径为10，点到圆心的距离为6，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定 5. 若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 16 8. 连续掷两枚质地均匀的硬币，两枚正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 若二次函数的图象与y轴交于点C，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解为__________． 12. 抛物线 的最小值为__________． 13. 圆内接正三角形的边长为，则该圆的半径为_________． 14. 若点关于原点对称的点是点B，则点B的坐标为 ___________． 15. 已知扇形的弧长为cm，半径为6cm，则此扇形的圆心角为_____ 度． 三、解答题（共75分） 16. 解一元二次方程：． 17. 已知二次函数． （1）求该函数图象的顶点坐标； （2）求该函数图象与y轴的交点坐标． 18. 如图，与相切于点C，，、分别交于点D、E，已知的半径为3，． （1）求证：； （2）求的长． 19. 一个不透明的袋子里装有 4 个红球和 2 个白球，这些球除颜色外都相同． （1）从中随机摸出一个球，求摸到白球的概率； （2）从中随机摸出两个球，求摸到两个红球的概率． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个根均为正整数，且为整数，求满足条件的所有的值． 21. 某工厂生产的某种产品，每件成本为20元，销售价为30元，每月可售出200 件．为了调整营销策略，工厂决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件产品每降价1元，每月可多售出20件．若每月要盈利1500元，每件产品应降价多少元？ 22. 为美化校园，学校计划修建一个矩形花园，花园一面靠墙，另外三面用总长为的栅栏围成，墙的长度为，花园内沿栅栏修建一条宽度为的环形小路（小路面积不计入花园种植面积），设花园与墙平行的边长为，花园的种植面积为． （1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围； （2）当种植面积为时，求花园与墙平行的边长； （3）若种植面积不低于，求x的取值范围． 23. 已知二次函数 的图象经过点，，． （1）求该二次函数的解析式； （2）若点 Q 是该函数图象上的一点，且，求点 Q 的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末试卷 九年级数学 注意事项 1.本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程．根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，． 故选：C． 2. 抛物线的对称轴为直线（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称轴公式，对于（），其对称轴公式为直线． 根据对称轴公式直接计算即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线． 故选：A． 3. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 矩形 C. 平行四边形 D. 圆 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，圆的性质． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念，对各选项逐一分析判断即可． 【详解】解：等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，A不符合题意； 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，B不符合题意； 平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，C符合题意； 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，D不符合题意； 故选：C． 4. 已知的直径为10，点到圆心的距离为6，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：∵的直径为10， ∴的半径为5， ∵点到圆心的距离为6，且， ∴点P在外． 故选：C 5. 若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据方程有两个不相等的实数根得出判别式大于0，进而求解m的取值范围即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 移项得， ∴． 故选：A． 6. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移．根据“上加下减，左加右减”的平移规律作答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，得， 再向上平移2个单位，得． 故选：B． 7. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用．对于一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根，据此列方程求解的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 即 解得， 故选：B． 8. 连续掷两枚质地均匀的硬币，两枚正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】硬币有正反两面，两个硬币，可能出现的情况有四种，由此即可求出所需答案． 【详解】解：两面均匀的硬币可能出现的结果是 第一枚硬币 第二枚硬币 情况一 正面 正面 情况二 正面 反面 情况三 反面 正面 情况四 反面 反面 ∴ ， 故选： ． 【点睛】本题主要考查列举法求概率，分析事件所需结果与可能出现的结果之间的比值乘以百分百就是所需结果的概率，关键是找出事件可能出现的结果的总量． 9. 若二次函数的图象与y轴交于点C，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与y轴的交点坐标．将代入二次函数计算纵坐标即可． 【详解】解：将代入二次函数中， 得， ∴点C的坐标为． 故选：A． 10. 二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点坐标为． 根据二次函数顶点式的性质作答即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．将方程移项后因式分解求解即可． 【详解】解：， 移项得， 因式分解得 即， ∴或， 解得． 12. 抛物线 的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题． 将二次函数化为顶点式，二次函数开口向上，最小值在顶点处取得，进而作答即可． 【详解】解：， ∵， ∴二次函数开口向上，最小值为． 故答案为：． 13. 圆内接正三角形的边长为，则该圆的半径为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆内接正三角形的性质、垂径定理及勾股定理．关键是通过作辅助线，将圆的半径、正三角形边长的一半转化到直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设该圆的圆心为，半径为，圆内接正三角形为，连接、，过作于点， 则，，． ， 为直角三角形，， 且， ， ； 由勾股定理得，即，解得(舍去负值)； 故答案为：． 14. 若点关于原点对称的点是点B，则点B的坐标为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题是解题关键． 平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆． 【详解】解：∵点关于原点对称点为点B， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 15. 已知扇形的弧长为cm，半径为6cm，则此扇形的圆心角为_____ 度． 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形的弧长公式：l＝计算即可． 【详解】设扇形的圆心角为n°． 则有4π＝， 解得n＝120， 故答案为：120 【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式，解题的关键是熟知扇形的弧长公式的运用. 三、解答题（共75分） 16. 解一元二次方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ∴， ∴或， 解得，； 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 17. 已知二次函数． （1）求该函数图象的顶点坐标； （2）求该函数图象与y轴的交点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）将二次函数化为顶点式，进而根据顶点式的性质作答即可； （2）将代入解析式求出的值即可求出与y轴的交点坐标． 【小问1详解】 解： ， 即顶点坐标为； 【小问2详解】 解：当时，， 即该函数图象与y轴的交点坐标为． 18. 如图，与相切于点C，，、分别交于点D、E，已知的半径为3，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵与相切于点C， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）连接，根据切线的性质得到，证明，即可得到； （2）先求出，，再根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵的半径为3， ∴， ∴． 19. 一个不透明的袋子里装有 4 个红球和 2 个白球，这些球除颜色外都相同． （1）从中随机摸出一个球，求摸到白球的概率； （2）从中随机摸出两个球，求摸到两个红球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查用列表法或画树状图法求概率，根据概率公式求概率． （1）根据概率公式可直接进行求解； （2）先画出树状图，再根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可得摸到白球的概率为； 【小问2详解】 解：画出树状图，如图所示： ∴两次摸出球的情况总共有30种，其中两次摸出的球都是红球有12种情况， ∴两次摸出的球都是红球的概率为． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个根均为正整数，且为整数，求满足条件的所有的值． 【答案】（1） 证明：方程是一元二次方程，且， ， 任意实数的平方均为非负数，即， ， 该方程总有两个实数根； （2），或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及整数根的求解，关键是运用根的判别式和因式分解法解方程． （1）要证明方程总有两个实数根，只需计算判别式，通过化简证明即可，关键是将判别式转化为完全平方式； （2）先通过因式分解求出方程的两根，再结合“两根均为正整数、为整数”的条件，分析的整数性，进而确定的取值，关键是利用根的表达式筛选符合条件的整数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：对原方程因式分解得：，， 方程的两个根为，， 方程的两个根均为正整数，且为整数， 为正整数，即为整数，且， 是的因数，即，， 当时，，是正整数，符合条件； 当时，，是正整数，符合条件； 当时，，不是正整数，不符合条件； 当时，，是正整数，符合条件； 满足条件的所有的值为，，． 21. 某工厂生产的某种产品，每件成本为20元，销售价为30元，每月可售出200 件．为了调整营销策略，工厂决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件产品每降价1元，每月可多售出20件．若每月要盈利1500元，每件产品应降价多少元？ 【答案】每件产品应降价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用-营销问题．设每件产品降价x元，根据题意列出方程，求解一元二次方程并得出符合题意的x值即可． 【详解】解：设每件产品降价x元， 由题意，得， 解得，（舍去）， 即每件产品应降价5元． 22. 为美化校园，学校计划修建一个矩形花园，花园一面靠墙，另外三面用总长为的栅栏围成，墙的长度为，花园内沿栅栏修建一条宽度为的环形小路（小路面积不计入花园种植面积），设花园与墙平行的边长为，花园的种植面积为． （1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围； （2）当种植面积为时，求花园与墙平行的边长； （3）若种植面积不低于，求x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及列代数式． （1）已知矩形的长和栅栏的总长度可表示出矩形花园的宽，再由花园内沿栅栏修建一条宽度为的环形小路，表示出花园内部种植区域的长和宽，并建立面积函数关系式，从花园宽为正和墙长限制得出x的取值范围； （2）将代入（1）中的表达式中通过解一元二次方程得出x的值，再根据实际情况进行取舍； （3）根据题意得到不等式，解不等式再结合（1）中x的取值范围得出最终结果． 【小问1详解】 解：由题意知，矩形花园的宽为， ∵花园内沿栅栏修建一条宽度为的环形小路， ∴除去小路宽度的花园内部长为，宽为， ∴花园的种植面积为：， 根据题意，得，解得， 即y与x之间的函数关系式为，x的取值范围是． 【小问2详解】 解：当时，得， 解得，（超过取值范围，舍去）， 即花园与墙平行的边长为． 【小问3详解】 解：由题意得，， 解得， 由（1）知，x的取值范围是， ∴x的取值范围是． 23. 已知二次函数 的图象经过点，，． （1）求该二次函数的解析式； （2）若点 Q 是该函数图象上的一点，且，求点 Q 的坐标． 【答案】（1） （2）Q点坐标为：或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合运用，正确掌握求二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求解； （2）设，易求点到的距离，根据面积公式可得，求解即可． 【小问1详解】 解：过，，， ，解得， 该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 设， ，， ，且轴，则点到的距离为：， ， ，即， 当时，解得或，当，，无解， ， 则Q点坐标为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $