精品解析：河南南阳市宛城区2025年秋期期末质量评估检测八年级数学试卷

2025年秋期期末质量评估检测 八年级数学试题卷 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、考号、学校等填写在试题卷和答题卡相应的位置． 3．考生作答时，将答案涂、写在答题卡上，在本试题卷上答题无效． 4．考试结束，将答题卡和试题卷一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 下列各式，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，最适合采用普查方式的是（ ） A. 调查2025年“九三阅兵”活动对全国青少年爱国主义教育的效果 B. 对中山大学学生团队自主研制的立方星“逸仙-A星”的零部件质量的调查 C. 在全省范围内，研究父母与孩子交流的时间量与孩子性格之间是否有联系 D. 调查全国观众对电影《浪浪山小妖怪》的喜爱程度 4. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 直角三角形的两锐角互余 B. 全等三角形的对应角相等 C. 等边三角形的每个角都是 D. 等腰三角形的底角相等 5. 沙燕风筝是中国传统风筝的典型样式，被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图中，若，，则添加如下条件仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，三边分别为，，，下列条件中，能判断是直角三角形的个数为（ ） ①； ②，，； ③； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 《醉翁亭记》中写道：…射者中…，其中射指投壶，宴饮时的一种游戏，如图示，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，经过点A，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 满足的整数可以是______（写一个符合题意的数即可）． 12. 在“风声雨声读书声声声入耳”这句话中，“声”字出现的频率是______． 13. 牛顿曾说过：反证法是数学家最精良的武器之一．用反证法证明：在中，至少有一个内角小于或等于，第一步应假设______ 14. 如图，有一根长米的晾衣杆斜靠在阳台一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为．如果晾衣杆底端不动，顶端靠在阳台另一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为，那么的长是______米． 15. 如图，中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上一个动点，当周长最小时，的长为______________． 三、解答题（共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）分解因式： 17. 南阳一个值得三顾的地方！为厚植学子的家国情怀、传承地方文化底蕴，南阳市某中学开展我为南阳代言·争做小小宣传员主题活动，需要为最推荐的景点撰写宣传词，可选景点有：武侯祠，医圣祠，南阳府衙，世界月季园．为了解学生对这四个项目的报名参赛情况（每名学生选报一个项目），学校随机抽取了部分学生开展你选择参加哪一景点的调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题． （1）填空：本次抽样调查的人数是______人；在条形统计图中，______； （2）求在扇形统计图中，项目所在扇形的圆心角的度数； （3）若该学校共有学生名，请根据抽样调查的结果，估计学校将有多少人参加项目比赛活动？ 18. 先化简，再求值： ，其中，． 19. 如图，是的平分线，点在射线上，、是射线上的两点，点在点的右侧，且，作线段的垂直平分线，分别交射线、于点、点，连接、．求证：． 小明运用添加辅助线、构造全等三角形的方法证明．请你帮助小明完善说理过程． 证明：连接， 垂直平分（已知）， （______），（1） 是等腰三角形（等腰三角形定义）， ______（等腰三角形的两个底角相等），（2） 是的平分线（已知）， （角平分线的定义）， 　　　　（等量代换），（3） （请你填空并完成剩下的证明过程．） 20. 在学习了全等三角形判定后，聪明的小宛猜想了一个命题：如果两个三角形有两边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．她根据命题的意义画出了图形（如图），并写出了部分已知条件，请你把已知条件补充完整，并写出证明过程． 已知：如图，和分别是和的中线，______，，． 求证：． 21. 【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第57页B组第12题和第13题． 第12题：已知，，求的值． 第13题：已知，，求值． 【例题讲解】老师讲解了第12题的两种方法： 方法一：，，． 又，． 方法二：，， 又，， ． 【方法运用】（1）已知，，求的值． 【类比迁移】（2）若，求． 【应用拓展】（3）如图，在中，，分别以、为边向其外部作正方形和正方形．若，正方形与正方形的面积和为64，则的面积为______． 22. 【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点、、在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． 【问题解决】 （1）如图1，，，直角边分别为，，斜边为，证明勾股定理． （2）如图2，，，，，，求阴影部分面积． 【知识应用】 （3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上，并新修一条路，使，现测得千米，千米，千米，则新修路的长为______千米． 23. 【提出问题】数学课上老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点使，连接．由已知和作图能得到，所以． 【思考发现】 （1）如图1，请根据小明的方法思考，直接写出______（写一个即可）． 【类比应用】 （2）如图2，是的中线，交于，交于，．探究与的关系，并说明理由． 【深入探究】 （3）如图3，在和中，，，且，连接、，中点，连接并延长交于，，，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期期末质量评估检测 八年级数学试题卷 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、考号、学校等填写在试题卷和答题卡相应的位置． 3．考生作答时，将答案涂、写在答题卡上，在本试题卷上答题无效． 4．考试结束，将答题卡和试题卷一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较实数的大小，先化简各数，再根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数为； 故选：D． 2. 下列各式，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除、幂的乘方法则． 根据合并同类项、同底数幂的乘除、幂的乘方法则计算各选项结果后判断即可． 【详解】解：，故A不符合； ，故B不符合； ，故C符合； ，故D不符合； 故选：C． 3. 下列调查中，最适合采用普查方式的是（ ） A. 调查2025年“九三阅兵”活动对全国青少年爱国主义教育的效果 B. 对中山大学学生团队自主研制的立方星“逸仙-A星”的零部件质量的调查 C. 在全省范围内，研究父母与孩子交流的时间量与孩子性格之间是否有联系 D. 调查全国观众对电影《浪浪山小妖怪》的喜爱程度 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了普查与抽样调查的适用范围，普查适用于调查范围小、对结果准确性要求高且无破坏性的情况，抽样调查适用于调查范围大、具有破坏性或无需全面调查的情况． 根据普查与抽样调查的适用范围逐一判断即可． 【详解】解：A选项调查全国青少年，范围过大，适合抽样调查； B选项立方星零部件质量关乎卫星安全，需逐一检查，适合普查； C选项全省范围研究相关联系，范围大，适合抽样调查； D选项调查全国观众，范围过大，适合抽样调查； 故选：B． 4. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 直角三角形的两锐角互余 B. 全等三角形的对应角相等 C. 等边三角形的每个角都是 D. 等腰三角形的底角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了逆命题，判断命题的真假． 先写出各选项命题的逆命题，再结合三角形相关性质判断逆命题真假，找出逆命题为假的选项即可． 【详解】解：A选项：原命题逆命题为两锐角互余的三角形是直角三角形， ∵三角形内角和为，若两锐角互余即和为， ∴第三个角为，该三角形是直角三角形，逆命题为真命题； B选项：原命题逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形， ∵仅角相等不能保证边也相等（如边长不同的等边三角形）， ∴该逆命题为假命题； C选项：原命题逆命题为每个角都是的三角形是等边三角形， ∵三角形三个角均为，根据等角对等边，三边相等， ∴该三角形是等边三角形，逆命题为真命题； D选项：原命题逆命题为有两个角相等的三角形是等腰三角形， 根据等角对等边的性质，可知该逆命题为真命题； 故选：B． 5. 沙燕风筝是中国传统风筝典型样式，被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图中，若，，则添加如下条件仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定条件，准确分析判断是解题的关键． 根据已知的条件，，加入选项中得条件判断即可； 【详解】解：，，， ，故选项不符合题意； ， ， ， ，，， ，故选项不符合题意； 当时，与，不能构成的判定条件，故符合条件； 当时，与，可以构成的判定条件，故不符合题意； 故选：． 6. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查作图-基本作图、线段的垂直平分线、角平分线等知识点，读懂图形信息、灵活运用所学知识是解题的关键． 由作图可知平分，垂直平分线段，进而判断各选项即可． 【详解】解：由作图可知：平分，垂直平分线段， ∴，，， 无法判断． 故选：A． 7. 在中，三边分别为，，，下列条件中，能判断是直角三角形的个数为（ ） ①； ②，，； ③； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理． 通过勾股定理逆定理和三角形内角和定理，逐一分析每个条件是否能判定为直角三角形即可． 【详解】解：①∵， ∴设，，（）， ∵， ∴是直角三角形． ②∵，，， ∵， ∴不满足勾股定理逆定理， ∴不是直角三角形． ③∵， ∴设，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． ④∵，且， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． 综上，能判断是直角三角形的有①③④，共3个． 故选：C． 8. 《醉翁亭记》中写道：…射者中…，其中射指投壶，宴饮时的一种游戏，如图示，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并能求出箭在投壶内部的最大长度是解题的关键．先利用勾股定理求出箭在投壶内部的最大长度，再用箭的总长度减去这个最大值，得到箭在投壶外面部分的最小长度，最后判断选项中哪个数值小于这个最小长度． 【详解】解：如图， ∵投壶内部底面直径，内壁高， ∴箭在投壶内部的最大长度 ∵箭总长为， ∴箭在投壶外面部分的最小长度为：， 箭在投壶外面部分的最大长度为：， ∴箭在投壶外面部分的长度不可能为． 故选：． 9. 如图，，经过点A，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理的应用，全等三角形的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用全等三角形的性质得出，，再利用等边对等角得出，然后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ， 故选：D． 10. 如图，在中，，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理；根据题意证明得出，进而在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，则， 依题意，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴ 在中， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 满足的整数可以是______（写一个符合题意的数即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算． 先估算的取值范围，再找出满足的整数即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，且为整数， ∴可以是、或． 故答案：（答案不唯一）． 12. 在“风声雨声读书声声声入耳”这句话中，“声”字出现的频率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求频率，根据频率频数总数进行求解即可，熟知频率频数总数是解题的关键 【详解】解：∵在“风声雨声读书声声声入耳”这句话中，一共有个字，其中“声”字一共出现了次， ∴“声”字出现的频率为， 故答案为：． 13. 牛顿曾说过：反证法是数学家最精良的武器之一．用反证法证明：在中，至少有一个内角小于或等于，第一步应假设______ 【答案】中每个内角都大于 【解析】 【分析】本题考查了反证法． 反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，即否定“至少有一个内角小于或等于”，从而假设所有内角都大于． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步应假设原命题的结论不成立， 即假设中每个内角都大于． 故答案为：中每个内角都大于． 14. 如图，有一根长米的晾衣杆斜靠在阳台一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为．如果晾衣杆底端不动，顶端靠在阳台另一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为，那么的长是______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形判定和性质． 求出，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：由图可知，， ∵， ∴是等边三角形， ∴米． 故答案为：． 15. 如图，中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上一个动点，当周长最小时，的长为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换、勾股定理及逆定理，轴对称的性质，掌握其性质是解决此题关键，根据翻折的性质及勾股定理的逆定理可得为直角三角形，设，则，然后再由勾股定理可得答案． 【详解】解：由题意可知，两点关于射线对称， ∴， ∵为定值， 要使周长最小，即最小， ∴由两点之间线段最短知，与射线的交点，即为使周长最小的点，如图所示， ∵ ，且， ∴ ， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， ∴， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）分解因式： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算和因式分解的知识，熟练掌握平方根，绝对值，与立方根概念，完全平方公式，以及实数的混合运算法则是解本题的关键． （1）利用平方根，绝对值，与立方根先求出各数，再相加即可； （2）根据题意，首先提取公因式，再根据完全平方公式的性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式． 17. 南阳一个值得三顾的地方！为厚植学子的家国情怀、传承地方文化底蕴，南阳市某中学开展我为南阳代言·争做小小宣传员主题活动，需要为最推荐的景点撰写宣传词，可选景点有：武侯祠，医圣祠，南阳府衙，世界月季园．为了解学生对这四个项目的报名参赛情况（每名学生选报一个项目），学校随机抽取了部分学生开展你选择参加哪一景点的调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题． （1）填空：本次抽样调查的人数是______人；在条形统计图中，______； （2）求在扇形统计图中，项目所在扇形的圆心角的度数； （3）若该学校共有学生名，请根据抽样调查的结果，估计学校将有多少人参加项目比赛活动？ 【答案】（1）； （2） （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用、用样本估计总体等知识点，熟练掌握从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． （1）根据A项目的人数和所占百分比，计算本次抽样调查的总人数；再根据总人数和C项目所占百分比，计算的值． （2）先计算B项目的人数，再求出其占总人数的百分比，最后用乘以该百分比，得到B项目所在扇形的圆心角的度数． （3）先计算D项目人数占总人数的百分比，再用全校总人数乘以该百分比，估计参加D项目比赛活动的人数． 【小问1详解】 解：本次抽取调查的人数 （人）， ； 【小问2详解】 解： 项目所占百分比 ∴圆心角度数； 【小问3详解】 解：项目所占百分比， 估计人数（人）， ∴学校将有人参加项目比赛活动． 18. 先化简，再求值： ，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查的是整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 先利用完全平方公式和平方差公式对原式进行化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 19. 如图，是平分线，点在射线上，、是射线上的两点，点在点的右侧，且，作线段的垂直平分线，分别交射线、于点、点，连接、．求证：． 小明运用添加辅助线、构造全等三角形的方法证明．请你帮助小明完善说理过程． 证明：连接， 垂直平分（已知）， （______），（1） 是等腰三角形（等腰三角形定义）， ______（等腰三角形的两个底角相等），（2） 是的平分线（已知）， （角平分线的定义）， 　　　　（等量代换），（3） （请你填空并完成剩下的证明过程．） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定定理是解题的关键．先利用线段垂直平分线的性质得到，再结合角平分线的定义和等腰三角形的性质，通过等量代换得到角相等，最后构造全等三角形证明． 【详解】证明：连接， 垂直平分（已知）， （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）， 是等腰三角形（等腰三角形定义）， （等腰三角形的两个底角相等）， 是的平分线（已知）， （角平分线的定义）， （等量代换）， 在和中， （） ． 20. 在学习了全等三角形的判定后，聪明的小宛猜想了一个命题：如果两个三角形有两边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．她根据命题的意义画出了图形（如图），并写出了部分已知条件，请你把已知条件补充完整，并写出证明过程． 已知：如图，和分别是和的中线，______，，． 求证：． 【答案】，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质． 根据“其中一边上的中线分别相等”可知应补充的条件为；根据和分别是和的中线可知，，即，证明，得到，即可证明． 【详解】补充：． 证明：和分别是和的中线， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ． 故答案为：． 21. 【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第57页B组第12题和第13题． 第12题：已知，，求的值． 第13题：已知，，求值． 【例题讲解】老师讲解了第12题的两种方法： 方法一：，，． 又，． 方法二：，， 又，， ． 【方法运用】（1）已知，，求的值． 【类比迁移】（2）若，求． 【应用拓展】（3）如图，在中，，分别以、为边向其外部作正方形和正方形．若，正方形与正方形的面积和为64，则的面积为______． 【答案】（1）12；（2）10；（3）9． 【解析】 【分析】本题主要考查的是完全平方公式的应用，对公式进行适当变形是解题的关键． （1）根据完全平方公式，得出、与之间的关系，再代入求值； （2）根据进行求解； （3）对于直角三角形，面积是两条直角边相乘再除以2，令，根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 又∵，， ∴； （2），， ； （3）令， ∵，， ∴， ∴， ∵正方形与正方形的面积和为64， ， ∵， ， ， 故答案为：9． 22. 【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点、、在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． 【问题解决】 （1）如图1，，，直角边分别为，，斜边为，证明勾股定理． （2）如图2，，，，，，求阴影部分的面积． 【知识应用】 （3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上，并新修一条路，使，现测得千米，千米，千米，则新修路的长为______千米． 【答案】（1）见解析；（2）24；（3）1.2 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的验证，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理解三角形的公式的应用． （1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可表示． （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积． （3）设，结合两个直角三角形由勾股定理列式求解x的值，再代入求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 梯形面积为， ∴，即． （2）解：∵，，， 由勾股定理可得， ∵，， 满足，即， ∴阴影部分的面积为． （3）解：设千米，则千米， ∵，即， 在中，， 在中，， ∴，即， 整理可得， 解得， ∴千米， ∴（千米）， 则新修路的长为1.2千米． 故答案为：1.2． 23. 【提出问题】数学课上老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点使，连接．由已知和作图能得到，所以． 【思考发现】 （1）如图1，请根据小明的方法思考，直接写出______（写一个即可）． 【类比应用】 （2）如图2，是的中线，交于，交于，．探究与的关系，并说明理由． 【深入探究】 （3）如图3，在和中，，，且，连接、，为中点，连接并延长交于，，，则______． 【答案】（1）答案不唯一，1，3，5，7，9，11均为正确答案；（2），理由见解析；（3）11 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质得出，证出即可得到； （3）由“SAS”可证，可得，，由“”可证，可得，，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：（1）延长至点E，使，连接， 则， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴ 即； 边的长度为奇数， 或3或5或7或9或11； （2），理由如下： 延长到M，使，连接，如图2所示： 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ∴， ∵， ， ； （3）延长到R，使得，连接、， 点F是的中点， ， 又，， ∴， ，， ∴， ∴， ，，， ，， ， ∴， ，， ， ， ， 即， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $