精品解析：江苏扬州市江都区2025-2026学年八年级第一学期期末考试数学试卷

学校2025－2026第一学期期末考试 八年级数学试卷 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 2026.2 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数据中，是勾股数的是（ ） A. 0.6，0.8，1 B. 1，2， C. 4，5，9 D. 3，4，5 4. 在中，若，则边与的数量关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 在平面直角坐标系中，若点关于原点对称的点的坐标是，则坐标关于x轴对称的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，已知点D、E、F分别为边的中点，且的面积为，则阴影部分面积等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将上下两边互相平行的纸片折叠后得到阴影部分及折痕．若，，则阴影部分的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 如图1，四边形中，，，P从A点出发，以每秒一个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为t秒，的面积为S，S关于t的函数图像如图2所示，当P运动到中点时，的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 16的算术平方根是___________． 10. 比较大小：4______（填“＞”，“＜”或“＝”）． 11. 近似数万精确到_______位 12. 如果一个等腰三角形的两边长分别为4和9，则此等腰三角形的周长为______． 13. 已知直角三角形的两直角边的长分别为5和12，则斜边中线长为______． 14. 已知一次函数中，y的值随x的增大而增大，则m的取值范围是_______． 15. 如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（）处时而绳索用尽．则木柱长为______尺． 16. 如图，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，的面积是___． 17. 点P（x，y）是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是二元一次方程组的解（a为任意实数），则当a变化时，点P一定不在第________象限． 18. 如图，点D，E，F分别在边上，，的面积为15，则的周长的最小值为________． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算或解方程： （1）； （2）． 20. 已知的算术平方根是4，的立方根是3． （1）求a、b的值； （2）求的平方根． 21 已知与成正比例，当时，． （1）求出y与x的函数表达式； （2）若点在这个函数的图象上，求m的值． 22. 如图，若三角形．是由三角形平移后得到的，且三角形中任意一点经过平移后的对应点为，，且，，． （1）画出三角形； （2）写出点的坐标 ； （3）直接写出三角形的面积 ； （4）点在轴上，若三角形的面积为，直接写出点的坐标 ． 23. 如图，在中，，，D边上一点，且，． （1）求证：； （2）求面积． 24. 一辆客车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发，当客车行驶的时间为x（h）时，客车到甲地的距离为，轿车到甲地的距离为与x之间的函数关系如图所示． （1）分别求出与x之间的函数表达式； （2）两车相距时，求客车行驶的时间． 25. 如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上. （1）求证：； （2）若，，求的长. 26. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，C是x轴上一点，将沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处． （1）求点D的坐标； （2）求直线的函数表达式． 27. 八年级某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题： 问题1：如图1，在中，，，O是中点，求的取值范围； 老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑“倍长”中线，或通过作平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形中； （1）的取值范围为________； 问题2：如图2，分别以的边，为斜边向外作等腰直角，，，，，O为的中点，连接，判断的形状，并说明理由； （2）某数学学习小组发现了解题思路：延长至点F，使，连接，，请按照这个思路写出解题过程； （3）点D，E表示两个养殖场位置，村民想在O处修建一口水井，若只知道D，E的位置（如图3），请你利用无刻度的直尺和圆规，帮助村民确定水井的位置O（点O在的下方），并作简要说明（提醒：作图痕迹需要加粗）． 28. 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【模型学习】如图1，已知在中，，直线EF经过点A，于点E，于点F．易证：． （1）如图2，平面直角坐标系中，点B的坐标为，求直线的函数关系式； 【类比探究】 （2）如图3，一次函数的图象分别交x轴和y轴于M、N两点，点D坐标为． ①连接，则_____； ②点P在直线上，连接，当与直线的夹角为时，求出点P的坐标； 【拓展探究】 （3）在（2）的条件下，若一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于，请直接写出k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校2025－2026第一学期期末考试 八年级数学试卷 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 2026.2 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：A．是无理数，故符合题意； B．是分数，属于有理数，故不符合题意； C．是整数，属于有理数，故不符合题意； D．是小数，属于有理数，故不符合题意． 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，根据轴上点的纵坐标为的特征，建立方程求解． 【详解】解：点在轴上， 纵坐标， 解得：． 故选：B． 3. 下列各组数据中，是勾股数的是（ ） A. 0.6，0.8，1 B. 1，2， C. 4，5，9 D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股数的定义，解题的关键是明确勾股数需同时满足“三个正整数”和“两小边的平方和等于最大边的平方”这两个条件． 根据勾股数的定义，逐一验证每个选项是否同时满足“正整数”和“两小边的平方和等于最大边的平方”的条件． 【详解】解：勾股数的定义：三个正整数，且满足“两小边的平方和等于最大边的平方”． A、不是正整数，不满足勾股数的”正整数”要求，故A不符合； B、不是正整数，不满足勾股数的”正整数”要求，故B不符合； C、是正整数，但计算平方和：，而，不满足“两小边平方和等于最大边平方”，故C不符合； D、3、4、5是正整数，且，同时满足勾股数的两个条件，故D符合． 故选：D． 4. 在中，若，则边与的数量关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的边角关系，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的边角关系定理：在一个三角形中，较大的角对较大的边． 【详解】解：在中， ∵，边的对角为，边的对角为， ∴， 即 ． 故选A． 5. 在平面直角坐标系中，若点关于原点对称的点的坐标是，则坐标关于x轴对称的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据关于原点对称的点的坐标特征求出a和b的值，得到点A的坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵点关于原点对称的点的坐标是， ∴， 解得， ∴点A的坐标为， 点A关于x轴对称点的坐标：横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴对称点的坐标为． 故选：A． 6. 如图，在中，已知点D、E、F分别为边的中点，且的面积为，则阴影部分面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质，根据三角形的中线平分三角形的面积可得，，则可证明，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ， ∴，即阴影部分的面积为． 故选：B． 7. 如图，将上下两边互相平行的纸片折叠后得到阴影部分及折痕．若，，则阴影部分的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；过点作于点，证明是等边三角形，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 依题意， ∴，， ∴ ∵折叠 ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴阴影部分的面积为， 故选：C． 8. 如图1，四边形中，，，P从A点出发，以每秒一个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为t秒，的面积为S，S关于t的函数图像如图2所示，当P运动到中点时，的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像、三角形面积公式，看懂函数图像是解决问题的关键． 首先结合图形和函数图像判断出和，进而可得的长，从而可得E点坐标，然后再计算出当时直线解析式，然后再代入t的值计算出s即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：四边形是梯形， 当点P从C运动到D处需要2秒，则，在处时，面积为3， 则， 根据图像可得当点P运动到B点时，面积为9， 则，则运动时间为6秒， ∴， 设当时，函数解析式为， 将，分别代入，得 ∴， 解得：， ∴当时，函数解析式为， 当P运动到中点时，， 则． 故选：B． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 16的算术平方根是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵ ∴16的平方根为4和-4， ∴16的算术平方根为4， 故答案为：4 10. 比较大小：4______（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的大小比较，比较容易，由可得，从而即可得解． 【详解】解：∵, ∴， 故答案为：． 11. 近似数万精确到_______位 【答案】 百 【解析】 【分析】本题考查了近似数的精确度，注意将数据还原回原数据是解题的关键． 近似数万需先转化为整数形式，再根据原数中最后一位数字的位置确定精确度． 【详解】解：万， 的最后一位数字0位于百分位，对应整数71000的百位，故精确到百位． 故答案为：百． 12. 如果一个等腰三角形的两边长分别为4和9，则此等腰三角形的周长为______． 【答案】22 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，熟练掌握有两边相等的三角形是等腰三角形是解题的关键．分两种情况讨论∶ 当腰长为4时，当腰长为9时，即可求解． 【详解】解：①当腰长为4时，4、4、9，，不能够组成三角形； ②当腰长为9时，4、9、9，能够组成三角形，此时周长． ∴这个等腰三角形的周长是22． 故答案为：22. 13. 已知直角三角形的两直角边的长分别为5和12，则斜边中线长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质． 根据勾股定理求得斜边的长，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【详解】解∶∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴斜边长是， ∴斜边中线长为， 故答案为：． 14. 已知一次函数中，y的值随x的增大而增大，则m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键，即在中，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 根据y随x的增大而增大可得，然后可得答案． 【详解】解：∵一次函数中，y的值随x的增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（）处时而绳索用尽．则木柱长为______尺． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是熟练运用勾股定理解题．设木柱长为x尺，则绳索长为，然后根据勾股定理列式求解即可． 【详解】解：设木柱长为x尺，根据题意得： ， 则， 解得：， 答：木柱长为尺． 故答案为：． 16. 如图，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，的面积是___． 【答案】42 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 过O作于E，于F，连接，根据角平分线的性质可得，再由的面积是，即可求解． 【详解】解：如图，过O作于E，于F，连接， ∵分别平分和，， ∴， 即， ∵的周长是21， ∴， ∴的面积是 ． 故答案为：42 17. 点P（x，y）是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是二元一次方程组的解（a为任意实数），则当a变化时，点P一定不在第________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一次函数的图象． 根据加减消元法得到，即点P的坐标满足一次函数关系，再根据一次函数的图象判断直线所经过的象限即可． 【详解】解：， 得， 即， 所以 ， 即， 这是一次函数，，， 因此图象经过第一、第二和第三象限，不经过第四象限， 故点P一定不在第四象限． 故答案为：四． 18. 如图，点D，E，F分别在的边上，，的面积为15，则的周长的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理，过点A作于点H，由三角形的面积公式可得；作点E关于的对称点N，点E关于的对称点M，连接，由轴对称的性质可得，，则可证明；可证明当点E的位置固定时，的周长的最小值为的长，由勾股定理得，故当时，有最小值（此时点E与点H重合），即此时有最小值，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于点H， ∵的面积为15，， ∴， ∴； 如图所示，作点E关于的对称点N，点E关于的对称点M，连接， ∴， ， ∵， ∴ ； ∵的周长， ∴当点E的位置固定时，当四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为的长， ∴当点E的位置固定时，的周长的最小值为的长， 在中，由勾股定理得， ∴当时，有最小值（此时点E与点H重合），即此时有最小值， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算或解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，求一个数的立方根，零指数幂，立方根解方程． （1）先计算二次根式的乘法，立方根，零指数幂，再计算加减即可； （2）移项后根据立方根求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 20. 已知的算术平方根是4，的立方根是3． （1）求a、b的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了立方根，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据算术平方根是4，的立方根是3，得，，求出，，即可作答． （2）理解题意，把，代入进行计算，再求出的平方根，即可作答． 【小问1详解】 解：∵的算术平方根是4，的立方根是3， ∴，， ∴，， 解得，． 【小问2详解】 解：由（1）得，， 则． 故的平方根为． 21. 已知与成正比例，当时，． （1）求出y与x的函数表达式； （2）若点在这个函数的图象上，求m的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，一次函数的图象，掌握待定系数法是解题的关键． （ 1）设，然后把，代入求解即可； （ 2）把点代入表达式即可求出m的值． 【小问1详解】 解：设， 将，代入，得 ， 解得， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：将点代入表达式得 ， 解得：． 22. 如图，若三角形．是由三角形平移后得到的，且三角形中任意一点经过平移后的对应点为，，且，，． （1）画出三角形； （2）写出点的坐标 ； （3）直接写出三角形的面积 ； （4）点在轴上，若三角形的面积为，直接写出点的坐标 ． 【答案】（1）画图见解析； （2）； （3）； （4）或． 【解析】 【分析】（）利用平移变换的性质分别作出对应点即可； （）根据点的位置写出坐标即可； （）利用分割法把三角形面积看成长方形的面积减去周围三个直角三角形面积即可； （）设，构建方程求出即可； 本题考查了平移后的点坐标，解一元一次方程，坐标与图形，平移作图，判断平移方式，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【小问1详解】 解：∵点经过平移后的对应点为，， ∴向左平移个单位，向下平移个单位， ∴，，对应点，，， 连接即可， 如图： ∴三角形即为所求； 【小问2详解】 由（）得， 故答案为：； 【小问3详解】 三角形的面积为， 故答案为：； 【小问4详解】 设， ∴，解， ∴或． 23. 如图，在中，，，D为边上一点，且，． （1）求证：； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）84 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据，，，得，证明； （2）根据勾股定理，得，求得，计算的面积即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴. 【小问2详解】 解：∵， ，， ∴， ∴， ∴的面积为：． 24. 一辆客车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发，当客车行驶的时间为x（h）时，客车到甲地的距离为，轿车到甲地的距离为与x之间的函数关系如图所示． （1）分别求出与x之间的函数表达式； （2）两车相距时，求客车行驶的时间． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，解一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）分2种情况进行讨论，或分别解方程即可． 【小问1详解】 解：设，代入 得到：， 解得：， ∴， 设，代入，， 那么有，， 解得 ∴； 【小问2详解】 两车相距时，那么有 或 解得或 故客车行驶的时间为或． 25. 如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上. （1）求证：； （2）若，，求的长. 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识． （1）根据和都是等腰直角三角形，得到，，进而证明，即可证明，得到，从而证明； （2）根据，得到，根据勾股定理求出． 【小问1详解】 证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴ 即 在和中 ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴在中，． 26. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，C是x轴上一点，将沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处． （1）求点D坐标； （2）求直线的函数表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，折叠的性质，求一次函数解析式． （1）先求出，，得到，，根据勾股定理求出，根据折叠的性质得到，求出，即可求出点D的坐标； （2）根据折叠的性质得到，设，根据勾股定理求出，即，可知，根据待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：当时，，即； 当时，解得：，即； ∴，， ∴， ∵将沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 解：∵将沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处， ∴， 设， 则， ∴， 解得：， 则， 即， 设直线的函数表达式为， 则， 解得：， 即． 27. 八年级某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题： 问题1：如图1，在中，，，O是中点，求的取值范围； 老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑“倍长”中线，或通过作平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形中； （1）的取值范围为________； 问题2：如图2，分别以的边，为斜边向外作等腰直角，，，，，O为的中点，连接，判断的形状，并说明理由； （2）某数学学习小组发现了解题思路：延长至点F，使，连接，，请按照这个思路写出解题过程； （3）点D，E表示两个养殖场位置，村民想在O处修建一口水井，若只知道D，E的位置（如图3），请你利用无刻度的直尺和圆规，帮助村民确定水井的位置O（点O在的下方），并作简要说明（提醒：作图痕迹需要加粗）． 【答案】（1） （2）是等腰直角三角形，理由见解析 （3）见解析 【解析】 分析】（1）根据“倍长”中线法，构造，再根据三角形三边关系即可求解； （2）根据“倍长”中线法，构造，再根据角之间的关系，证明，从而，易证是等腰直角三角形，最后利用“三线合一”即可求证； （3）根据题意，易得点在线段的垂直平分线上，作垂直平分线的尺规作图，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，延长至点M，使，连接， O是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， 则， ，即O是中点， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形，理由如下， 如图，连接， O为的中点， ， ，， ， ，， ， ， 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，即，则是等腰直角三角形， ， ，即， 是等腰直角三角形； 【小问3详解】 解：如图，点O即为所作， 由（2）可知，，故点在线段的垂直平分线上，分别以点、为圆心，大于为半径，作圆弧交于两点，作过这两点的直线，即是线段的垂直平分线， 点O在的下方， 在的下方的垂直平分线上取一点，即为点． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质和判定，垂直平分线的尺规作图等知识点，读懂材料，理解倍长中线法是解题的关键． 28. 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【模型学习】如图1，已知在中，，直线EF经过点A，于点E，于点F．易证：． （1）如图2，平面直角坐标系中，点B的坐标为，求直线的函数关系式； 【类比探究】 （2）如图3，一次函数的图象分别交x轴和y轴于M、N两点，点D坐标为． ①连接，则_____； ②点P在直线上，连接，当与直线的夹角为时，求出点P的坐标； 【拓展探究】 （3）在（2）的条件下，若一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于，请直接写出k的取值范围． 【答案】（1）；（2）①90，②或；（3）且 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． (1)过点A作轴于D，过点B作轴于E，推导出，得到，求出，设直线的函数关系式为，求出直线的函数关系式为，即可解答； (2)①推导出，，在x轴上取点过点F作轴，交于E，求出，得到，继而证明，得到推导出，则即可解答； ②先证明，连接，推导出是等腰直角三角形，得到，则点P与点E重合时，与直线的夹角为，得到；当点P在x轴下方时，过点P作轴于G，推导出是等腰直角三角形，得到进而证明，得到，则得到，即可解答； (3)先求出直线的函数关系式为，直线的函数关系式为，推导出直线必定经过点，过点Q分别作和的平行线，交y轴于，求出或，由一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于，得到，求出直线的解析式为，得到，则且，，即可解答． 【详解】解：(1)过点A作轴于D，过点B作轴于E，如图， 则， ， ， ， ， ， ， 点B的坐标为， ， ， ， 设直线的函数关系式为，则 解得： 直线的函数关系式为； (2)①当时， ， 解得：， ， 当时， ， ， ∴在x轴上取点过点F作轴，交于E，如图， 则， 当时， ， ∴， ∴， ∵D坐标为， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴，即 故答案为：90； ②由①知， ∴， 连接，如图， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点P与点E重合时，与直线的夹角为，则； 当点P在x轴下方时，过点P作轴于G， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴ ∴，且点P在直线上； 综上所述，点P的坐标为或； (3)由(2)知， 同理可得，直线的函数关系式为，直线的函数关系式为， ∵，且 ∴当时， ， ∴直线必定经过点，如图， 过点Q分别作和的平行线，交y轴于， ∴或， ∵一次函数的图象与直线相交所夹锐角大于， ∴． 设直线的解析式为， 将分别代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，一次函数的图象与直线平行，此时一次函数的图象与直线垂直，不符合题意， ∴， 综上所述，且，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $