8 第二单元 第7讲 一元二次方程及其应用-【中考拐点】2026年四川南充中考数学讲义本配套课件

该初中数学中考复习课件系统覆盖一元二次方程的概念、解法、判别式、根与系数关系及实际应用等核心考点，严格依循课标要求，通过分析近三年中考真题明确各考点考查权重，如解法占30%、实际应用占25%，并归纳出直接开平方法、配方法等常考题型，体现中考备考的针对性。 课件特色在于“真题训练+技巧点拨+素养提升”模式，如结合2024南充真题解析根与系数关系的分式型公式应用，培养学生运算能力与推理意识，针对“每每型”利润问题构建数学模型，帮助学生掌握列方程技巧，助力教师高效组织复习，提升学生中考得分率。

第7讲　一元二次方程及其应用 第二单元　方程与不等式 《中考拐点》 2026南充数学 1 2 2 2 1 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 目 录 2 素养储备·依标扣本 考点综述 01 3 课标 要求 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程. 2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等. 3.了解一元二次方程的根与系数的关系. 4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 知识 导图 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是①_____的整式方程  一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 知识点一 一元二次方程及其解法 一元二次方程及其解法 2 解法 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 6 解法 解法 适用情况 方程的根 直接开 平方法 x2＝m(m≥0) x1＝，x2＝－ (x＋n)2＝p(p≥0) x1＝－n， x2＝－－n 配方法 可化为(x＋n)2＝p(p≥0) 公式法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0) x＝②____________   因式分解法 ax2＋bx＋c＝a(x－m)(x－n)＝0(a≠0) x1＝m，x2＝n 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式是Δ＝b2－4ac 知识点二 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式 与根的关系 (1)Δ＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根；　　　 (2)Δ③__________0⇔一元二次方程有两个相等的实数根； (3)Δ④__________0⇔一元二次方程无实数根 →[切记：不能说方程有一个实数根]   ＝ ＜ 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 关系：x1，x2为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则x1＋x2＝⑤_________，x1x2＝ ⑥_____ 知识点三 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的 根与系数的关系 －   →[注意：Δ≥0是前提条件]  运用 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 平方型：＝(x1＋x2)2－2x1x2，(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 括号型：(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1 分式型： 绝对值型：|x1－x2|＝ 因式分解型：x2＋x1＝x1x2(x1＋x2) 运用 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 知识点四 一元二次方程的实际应用 一元二次方程的实际应用 步骤： 实际问题 列一元二次方程 解一元二次方程 一元二次方程的根 实际问题的解 常见类型 平均变化率问题 传播问题 面积问题 利润问题(“每每型”) 握手(单循环赛)与送礼物问题 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 设原来的量为a，变化后的量为b. 当连续两次增长，平均每次增长率为x时，则有a(1＋x)2＝b； 当连续两次下降，平均每次下降率为x时，则有⑦_____________ 平均变化率问题 在求解时一般使用直接开平方法. a(1－x)2＝b 传播问题：与平均变化率问题类似，若开始数量为a，每轮传染中每个个体传染的数量为x，经2轮传染后的数量为b，则有a(1＋x)2＝b 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (1)如图1，设空白部分的宽为x，则S阴影＝⑧________________ 面积问题 (a－2x)(b－2x) (2)如图2、图3、图4，设空白部分的宽为x， 则S阴影＝⑨_______________ (a－x)(b－x) 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (1)常用公式：利润＝售价－成本，总利润＝每件利润×销售量 (2)“每每型”问题中，单价每涨a元，少卖b件.若涨价y元，则少卖的数量为×b件 利润问题 (“每每型”) 握手(单循环赛) 与送礼物问题 (1)若x人中每两人之间握手一次(x队每两队之间比赛一场)，握手总次数为m(总比赛场数为m)，则⑩ ________＝m (2)若全班有x人，每人向其他人送一份礼物，共送m份礼物，则x(x－1)＝m  知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 素养积累·考点过关 考点综述 02 15 例1 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的有(　　) ①x2＋；②|x|＝x＋3；③(x＋2)(x－2)＝x2－2x；④ax2＋bx＋c＝0. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 例2 (2024·南充) 已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则(m＋5)(m－1)的值为__________.  考点一 一元二次方程的有关概念 A －4 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 16 1.若方程(a－2)x|4－a|＋7x－1＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为__________.  针对训练 6 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 例3 在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程. ①x2＋2x－1＝0； ②x2－3x＝0； ③x2－4x＝4； ④x2－4＝0. 考点二 解一元二次方程 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 18 解：①利用公式法：这里a＝1，b＝2，c＝－1， Δ＝22－4×1×(－1)＝4＋4＝8＞0， ∴x＝＝－1±. ∴x1＝－1＋，x2＝－1－. ②利用因式分解法：x(x－3)＝0. ∴x1＝0，x2＝3. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 ③利用配方法：两边都加上4， 得x2－4x＋4＝8. ∴(x－2)2＝8.∴x－2＝±2. ∴x1＝2＋2，x2＝2－2. ④利用因式分解法：(x＋2)(x－2)＝0. ∴x1＝－2，x2＝2. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 2.(2025·贵州) 一元二次方程x2－1＝0的根是__________.  3.解方程： (1)(2025·徐州) x2＋2x－4＝0； 解：(x＋1)2＝5. ∴x＋1＝或x＋1＝－， 解得x＝－1或x＝－－1. 针对训练 x＝±1 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (2)(2025·广元) x2－(＋1)x＋＝0. 解：(x－)(x－1)＝0. ∴x－＝0或x－1＝0， ∴x1＝，x2＝1. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 例4 关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是(　　) A.m≤3 B.m＜3 C.m＜3且m≠2 D.m≤3且m≠2 【解析】∵关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根， ∴m－2≠0且Δ≥0，即22－4×(m－2)×1≥0，解得m≤3且m≠2.故选D. 考点三 一元二次方程根的判别式 D 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 23 　　运用一元二次方程根的判别式时，一定要注意二次项系数a≠0. 解题反思 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 24 4.(2025·广安) 关于x的一元二次方程x2＋3x＋1＝0的根的情况是(　　) A.没有实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.无法确定 针对训练 B 5.(2025·广元) 若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋(a－1)x－＝0有两个相等的实数根，则a＝__________.  －1 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 6.(2024·南充) 已知x1，x2是关于x的方程x2－2kx＋k2－k＋1＝0的两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围；(2)若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值. 解：(1) ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(－2k)2－4×1×(k2－k＋1)＝4k2－4k2＋4k－4＝4k－4＞0. 解得k＞1. (2) ∵1＜k＜5，∴整数k的值可以为2，3，4. 当k＝2时，方程为 x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3； 当k＝3或k＝4时，此时方程的解不是整数.综上所述，k的值为2. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 例5 (2023·南充) 已知关于x的一元二次方程x2－(2m－1)x－3m2＋m＝0. (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； 考点四 一元二次方程的根与系数的关系 证明：∵Δ＝[－(2m－1)]2－4×1×(－3m2＋m)＝4m2－4m＋1＋12m2－4m＝16m2－8m＋1＝(4m－1)2≥0， ∴无论m为何值，方程总有实数根. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 27 (2)若x1，x2是方程的两个实数根，且＝－，求m的值. 解：由题意，得x1＋x2＝2m－1，x1x2＝－3m2＋m. ∵－2＝－， ∴－2＝－. 整理，得5m2－7m＋2＝0. 解得m＝1或m＝. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 7.(2025·湖北) 一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下 列结论正确的是(　　) A.x1＋x2＝－4 B.x1＋x2＝3 C.x1x2＝4 D.x1x2＝3 8.(2025·乐山) 若方程x2－x－2＝0的两个根是x1和x2，则x2＋x1的 值为(　　) A.－1 B.1 C.－2 D.2 针对训练 D C 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 9.(2025·南充) 设x1，x2是关于x的方程(x－1)(x－2)＝m2的两根. (1)当x1＝－1时，求x2及m的值； 解：把x1＝－1代入方程(x－1)(x－2)＝m2，得m2＝6， ∴m＝±. ∴(x－1)(x－2)＝6，即x2－3x－4＝0. ∴(x－4)(x＋1)＝0. ∴x1＝－1，x2＝4. ∴x2＝4，m＝±. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (2)求证：(x1－1)(x2－1)≤0. 证明：∵方程(x－1)(x－2)＝m2即x2－3x＋2－m2＝0的两根为x1，x2， ∴x1＋x2＝3，x1x2＝2－m2. ∴(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝2－m2－3＋1＝－m2. ∵m2≥0， ∴－m2≤0，即(x1－1)(x2－1)≤0. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 例6 (2025·广元) 如图，在长为12 m，宽为10 m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米?设花卉带的宽度为x m，则可 列方程为(　　) 考点五 一元二次方程的实际应用 A.(12－x)(10－x)＝12×10× B.(12－2x)(10－x)＝12×10× C.(12－x)(10－2x)＝12×10× D.(12－2x)(10－2x)＝12×10× D 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 32 例7 某商店销售每件进价为70元的一款童装，每件售价为110元时，每天可售出20件.为了尽快减少库存，商店决定降价销售，经市场调查发现，该童装每降价1元，每天可多售出2件，设每件童装降价x元. (1)降价后，每件童装的利润为__________元，平均每天的销售量为__________件；(用含x的式子表示)  解：(40－x)　(20＋2x) (40－x) (20＋2x) 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (2)为了尽可能多的减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利1 200元，那么每件童装应降价多少元? 解：(40－x)(20＋2x)＝1 200， 解得x1＝10，x2＝20. ∵为了减少库存，∴x＝10应舍去.∴x＝20. 答：每件童装应降价20元. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 10.(2025·凉山州) 某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1 860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方 程是(　　) A.560(1＋x)2＝1 860 B.560＋560(1＋x)＋560(1＋2x)＝1 860 C.560＋560(1＋x)＋560(1＋x)2＝1 860 D.560＋560(1＋2x)2＝1 860 针对训练 C 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 11.甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的主要临床表现为发热、乏力、干咳.在“甲流”初期，有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后 共有256人感染了“甲流”.则下列方程正确的是(　　) A.x＋x(x＋1)＝256 B.x2＋x＝256 C.1＋x＋x(x＋1)＝256 D.(x＋1)＋(x＋1)2＝256 C 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 12.(2025·威海) 如图，某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为24 m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 解：设小路的宽度为x m，则9块矩形地块可合成长为(20－4x)m，宽为(14－4x)m的矩形. 根据题意，得(20－4x)(14－4x)＝24×9. 解得x1＝0.5，x2＝8(不合题意，舍去). 答：小路的宽度为0.5 m. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 请完成《练测本》P15~16素养练测7 本讲内容结束 $