8 第二单元 第7讲 一元二次方程及其应用-【中考总动员】2026年四川泸州中考数学讲义本配套课件

该初中数学中考复习课件系统覆盖一元二次方程的核心考点，严格对接课标要求，包括解法（配方法、公式法、因式分解法）、根的判别式、根与系数关系及实际应用（平均变化率、面积、利润等）。分析近三年中考考点分布，解法占30%、判别式与根与系数关系占25%、应用占45%，并归纳5类常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“考点梳理+真题精讲+针对训练”模式，如2023泸州真题用判别式判断根的情况培养数学思维，2025广元面积问题示范方程建模发展模型意识。提供“易错点对比表”和“解题步骤模板”，帮助学生掌握技巧，教师可依此制定精准复习计划，提升备考效率。

第7讲　一元二次方程及其应用 第二单元　方程与不等式 《中考复习总动员》 2026泸州数学 1 2 2 2 1 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 目 录 2 课标 要求 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程. 2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等. 3.了解一元二次方程的根与系数的关系. 4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 首页 目录 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 知识 导图 首页 目录 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 素养储备·依标扣本 考点综述 01 5 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是①_____的整式方程  一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 知识点一 一元二次方程及其解法 一元二次方程及其解法 2 解法 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 6 解法 解法 适用情况 方程的根 直接开 平方法 x2＝m(m≥0) x1＝，x2＝－ (x＋n)2＝p(p≥0) x1＝－n， x2＝－－n 配方法 可化为(x＋n)2＝p(p≥0) 公式法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0) x＝②____________   因式分解法 ax2＋bx＋c＝a(x－m)(x－n)＝0(a≠0) x1＝m，x2＝n 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式是Δ＝b2－4ac 知识点二 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式 与根的关系 (1)Δ＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根；　　　 (2)Δ③__________0⇔一元二次方程有两个相等的实数根； (3)Δ④__________0⇔一元二次方程无实数根 →[切记：不能说方程有一个实数根]   ＝ ＜ 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 8 关系：x1，x2为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则x1＋x2＝⑤_________，x1x2＝ ⑥_____ 知识点三 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的 根与系数的关系 －   →[注意：Δ≥0是前提条件]  运用 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 9 平方型：＝(x1＋x2)2－2x1x2，(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 括号型：(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1 分式型： 绝对值型：|x1－x2|＝ 因式分解型：x2＋x1＝x1x2(x1＋x2) 运用 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 知识点四 一元二次方程的实际应用 一元二次方程的实际应用 步骤： 实际问题 列一元二次方程 解一元二次方程 一元二次方程的根 实际问题的解 常见类型 平均变化率问题 传播问题 面积问题 利润问题(“每每型”) 握手(单循环赛)与送礼物问题 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 11 设原来的量为a，变化后的量为b. 当连续两次增长，平均每次增长率为x时，则有a(1＋x)2＝b； 当连续两次下降，平均每次下降率为x时，则有⑦_____________ 平均变化率问题 在求解时一般使用直接开平方法. a(1－x)2＝b 传播问题：与平均变化率问题类似，若开始数量为a，每轮传染中每个个体传染的数量为x，经2轮传染后的数量为b，则有a(1＋x)2=b 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (1)如图1，设空白部分的宽为x，则S阴影＝⑧________________ 面积问题 (a－2x)(b－2x) (2)如图2、图3、图4，设空白部分的宽为x， 则S阴影＝⑨_______________ (a－x)(b－x) 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 13 (1)常用公式：利润＝售价－成本，总利润＝每件利润×销售量 (2)“每每型”问题中，单价每涨a元，少卖b件.若涨价y元，则少卖的数量为×b件 利润问题 (“每每型”) 握手(单循环赛) 与送礼物问题 (1)若x人中每两人之间握手一次(x队每两队之间比赛一场)，握手总次数为m(总比赛场数为m)，则⑩ ________＝m (2)若全班有x人，每人向其他人送一份礼物，共送m份礼物，则x(x－1)＝m  知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 素养积累·考点过关 考点综述 02 15 例1 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的有(　　) ①x2＋；②|x|＝x＋3；③(x＋2)(x－2)＝x2－2x；④ax2＋bx＋c＝0. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 考点一 一元二次方程的有关概念 A 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 16 例2 (2024·凉山州) 若关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，则a的值为(　　) A.2 B.－2 C.2或－2 D. A 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 1.若方程(a－2)x|4－a|＋7x－1＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为__________.  针对训练 6 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 例3 在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程. ①x2＋2x－1＝0； ②x2－3x＝0； ③x2－4x＝4； ④x2－4＝0. 考点二 解一元二次方程 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 19 解：①利用公式法：这里a＝1，b＝2，c＝－1， Δ＝22－4×1×(－1)＝4＋4＝8＞0， ∴x＝＝－1±. ∴x1＝－1＋，x2＝－1－. ②利用因式分解法：x(x－3)＝0. ∴x1＝0，x2＝3. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 ③利用配方法：两边都加上4， 得x2－4x＋4＝8. ∴(x－2)2＝8.∴x－2＝±2. ∴x1＝2＋2，x2＝2－2. ④利用因式分解法：(x＋2)(x－2)＝0. ∴x1＝－2，x2＝2. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 2.(2025·泸县五中一模) 方程x2＝3x的解是(　　) A.x＝0 B.x＝3 C.x＝0或x＝3 D.x＝± 针对训练 C 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 3.(1)解方程：x2－1＝4(x＋1). 解：整理，得(x＋1)(x－1)－4(x＋1)＝0， (x＋1)(x－1－4)＝0，x＋1＝0或x－5＝0. ∴x1＝－1，x2＝5. (2)(2025·徐州) 解方程：x2＋2x－4＝0. 解：(1)(x＋1)2＝5. ∴x＋1＝或x＋1＝－， 解得x＝－1或x＝－－1. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (3)(2025·广元) 解方程： x2－(＋1)x＋＝0. 解：(x－)(x－1)＝0. ∴x－＝0或x－1＝0， ∴x1＝，x2＝1. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 例4 (2023·泸州) 关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2－1＝0的根的情况 是(　　) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.实数根的个数与实数a的取值有关 考点三 一元二次方程根的判别式 C 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 25 4.(2025·老窖天府中学二模) 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x＋1＝0，要使该方程有实数根，则m必须满足(　　) A.m＜2 B.m≤2 C.m＜2且m≠1 D.m≤2且m≠1 5.(2025·广元) 若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋(a－1)x－＝0有两个相等的实数根，则a＝__________.  针对训练 D －1 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 6.(2024·泸州) 已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋1－k＝0无实数根， 则函数y＝kx与函数y＝的图象交点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 7.(2017·泸州) 已知m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根，则(m＋2)(n＋2)的最小值是(　　) A.7 B.11 C.12 D.16 A D 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 例5 (2022·泸州) 已知关于x的方程x2－(2m－1)x＋m2＝0的两实数根为 x1，x2，若(x1＋1)(x2＋1)＝3，则m的值为(　　) A.－3 B.－1 C.－3或1 D.－1或3 考点四 一元二次方程的根与系数的关系 A 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 28 【解析】∵方程x2－(2m－1)x＋m2＝0的两实数根为x1，x2， ∴x1＋x2＝2m－1，x1x2＝m2. ∵(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＝3， ∴m2＋2m－1＋1＝3. 解得m1＝1，m2＝－3. ∵方程有两实数根， ∴Δ＝(2m－1)2－4m2≥0，即m≤. ∴m1＝1不合题意，舍去. ∴m＝－3.故选A. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 例6 (2023·泸州) 若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2－10x＋m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为 (　　) A. B.2 C. D.2 C 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 【解析】 设该菱形的两条对角线长分别为a，b.由题意，得∴菱形的边长为.故选C. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 8.(1)(2025·泸州) 若一元二次方程2x2－6x－1＝0的两根为α，β，则2α2－3α＋3β的值为__________.  (2)(2024·泸州) 已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实数 根，则(x1－x2)2＋3x1x2的值是__________.  (3)(2020·泸州) 已知x1，x2是一元二次方程x2－4x－7＝0的两个实数 根，则＋4x1x2＋的值是__________.  针对训练 10 14 2 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (4)(2019·泸州) 已知x1，x2是一元二次方程x2－x－4＝0的两实根，则(x1＋4)(x2＋4)的值是__________.  (5)(2018·泸州) 已知x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两实数根，则 的值是__________.  16 6 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 9.如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，对角线AC，BD的长分别是一元二次方程x2－mx－x＋2m＝0的两个实数根，DH是AB边上的高，则 DH的长为(　　) A. B. C. D.3 A 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 例7 (2025·广元) 如图，在长为12 m，宽为10 m的矩形地 面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要求花卉带的宽 度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度 应为多少米?设花卉带的宽度为x m，则可列方程为(　　) A.(12－x)(10－x)＝12×10× B.(12－2x)(10－x)＝12×10× C.(12－x)(10－2x)＝12×10× D.(12－2x)(10－2x)＝12×10× 考点五 一元二次方程的实际应用 D 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 35 例8 (2025·泸州) 某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元. (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； 解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x.根据题意，得125(1－x)2＝80. 解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(不合题意，舍去). 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (2)2024年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品. 解：设购进y件甲种商品，则购进(100－y)件乙种商品.根据题意，得 (125－25×2)y＋80(100－y)≤7 800. 解得y≥40.∴y的最小值为40. 答：最少购进40件甲种商品. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 10.(2025·新疆)如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙(墙足够长)和24 m长的围栏围成一个面积为40 m2的矩形场地.设矩形的宽为 x m，根据题意可列方程为(　　) 针对训练 A.x(24－2x)＝40 B.x(24－x)＝40 C.2x(24－2x)＝40 D.2x(24－x)＝40 A 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 11.(2025·凉山州) 某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相 同，第一季度共生产钢铁1 860吨，若设月平均增长率为x，那么可列 出的方程是(　　) A.560(1＋x)2＝1 860 B.560＋560(1＋x)＋560(1＋2x)＝1 860 C.560＋560(1＋x)＋560(1＋x)2＝1 860 D.560＋560(1＋2x)2＝1 860 C 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 12.(2024·龙马潭区月考) 某学习小组全体同学都为本组其他人员送了 一张新年贺卡，若全组共送贺卡156张，则这个小组的同学共有(　　) A.15人 B.14人 C.13人 D.12人 C 13.(2023·江阳区期末) 小明在研学实践中发现一种植物的主干长出若 干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小 分支的总数是21，则这种植物每个支干长出的小分支个数是(　　) A.7 B.6 C.5 D.4 D 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 请完成《练测本》P15~16素养练测7 本讲内容结束 $