17.2三角形的内角和(知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义　2025-2026学年沪教版（五四制）数学七年级下册

本讲义聚焦三角形内角和与外角性质核心知识点，系统梳理内角和定理（概念、180°定理及证明、应用方法）与外角性质（定义、360°和、等于不相邻两内角和、大于不相邻内角），构建从基础概念到解题应用的学习支架。 资料亮点在于真题精讲分层设计，含基础辨析、新定义题型（如“优美三角形”）及综合拓展题，培养抽象能力与创新意识。证明题强化推理能力，课后巩固结合随堂检测，助力查漏补缺，提升应用意识，适合教师授课与学生自主复习。

第7讲 三角形内角和与外角性质 (知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义 本节课主要针对第17章三角形进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了三角形内角和与外角性质相关概念、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点，做到能举一反三，从容面对各类考题。 知识点一 三角形内角和定理 1.三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． 2.三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 3.三角形内角和定理的证明： 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．再转化中借助平行线． 三角形内角和定理的应用方法总结： 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 知识点二 三角形外角性质 1.三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． 2.三角形的外角性质： (1)三角形的外角和为360°． (2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． (3)三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． 三角形外角方法总结： ①若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质 ②将它们转化到一个三角形中去． ③探究角度之间的不等关系，多用外角的性质 ④先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 一．三角形内角和定理（共19小题） 1．（2025春•闵行区校级月考）给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A﹣∠C＝∠B C．∠A＝∠B＝2∠C D．∠A＝∠B∠C 2．（2025春•青浦区校级期中）在△ABC中，∠A﹣∠B＝90°，那么△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 3．（2025春•静安区校级期末）若一个三角形的三个内角度数的比为2：7：5，则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．（2024春•黄浦区期末）如图，∠B，∠C的平分线相交于D，过点D作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，那么下列结论中：①BE＝DE；②DF＝ED；③∠BDC＝90°∠A；④△AEF的周长＝AB+AC，其中正确的有几个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2025春•崇明区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的度数为5x﹣35，则x的取值范围为（　　） A．x＞7 B．7＜x＜11 C．7＜x＜25 D．11＜x＜23 6．（2024春•金山区校级期末）如图，已知BP、CP分别平分∠ABD、∠ACD，若∠BAC＝α，∠BPC＝β，则∠BDC的大小为（　　） A．α+β B．180°﹣2β+α C．2β﹣α D．2α﹣β 7．（2024春•上海期末）下列说法正确的是（　　） A．如果∠A+∠B＞∠C，那么△ABC一定为锐角三角形 B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC一定为锐角三角形 C．如果AB＝BC＝AC＝2cm，那么△ABC一定为锐角三角形 D．如果∠A＜90°且∠B＜90°，那么△ABC一定为锐角三角形． 8．（2025秋•翔安区期末）如图，在△ABC中，AD是高，BE是角平分线，AD，BE相交于点O，∠ABC＝50°，则∠AOB＝ 　 　 °． 9．（2025秋•静安区校级月考）在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，∠A﹣∠B＝10°，那么∠A＝　 　 ． 10．（2025春•浦东新区校级期中）定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为100°，60°，20°的三角形是“优美三角形”．如图，点D在△ABC的边AB上，连接DC，∠BDC＞90°，作∠ADC的平分线，交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“优美三角形”，则∠B等于　 　 ． 11．（2025秋•浦东新区校级期末）在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．如图，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上；已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，若△AEF为4倍角三角形，则∠ABO＝　 　 ． 12．（2023春•闵行区期中）将△ABC沿着DE翻折，使点A落到点A′处，A′D、A′E分别与BC交于M、N两点，且DE∥BC．已知∠A′NM＝27°，则∠NEC＝　 　 ． 13．（2025秋•徐汇区校级期中）定义：若三角形的两个内角α和β满足α+2β＝90°，则称这样的三角形为“奇异互余三角形”，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝58°，P是射线CB上一点，若△APB是“奇异互余三角形”，则∠APC＝　 　 ． 14．（2025春•徐汇区校级期中）如图，已知在△ABC中，∠A＝32°，BE平分∠ABC，ED⊥BC于D，若∠DEB＝28°，求∠C的度数． 15．（2025春•徐汇区校级期中）在△ABC中，∠A＝60°，点D、E分别是△ABC边AC、AB上的点，点P是一动点，设∠PDC＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． （1）如图1，若点P在线段BC上，且∠α＝50°，求∠1+∠2的度数； （2）若点P在线段BC延长线上，请分别写出图2，图3中，∠1、∠2与∠α之间的数量关系． 图2：　 　 ；图3：　 　 ． 16．（2025春•上海校级月考）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（Thales，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于180°”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在△ABC中 求证：∠A+∠B+∠BCA＝180°． 证明：延长线段BC至点F，并过点C作CE∥AB． ∵CE∥AB， ∴∠　 　 ＝∠　 　 （　 　 ）． ∠　 　 ＝∠　 　 （　 　 ）． ∵∠ACB+∠1+∠2＝180°． ∴∠ACB+∠　 　 +∠　 　 ＝180°． 17．（2025春•杨浦区期中）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上，点E在AC上，且∠ADE＝∠AED，∠BAC＝80°． （1）如果AD平分∠BAC，求∠EDC的大小； （2）如果∠EDC与∠BAD互余，求∠CAD的大小． 18．（2025春•静安区校级期中）【概念认识】 如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”其中，BD是“邻AB三分线”，BE“邻BC三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”，则∠ABE＝　 　 °； （2）如图②，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB“三分线”和∠ACB邻AC“三分线”，且BP⊥CP，求∠A的度数； （3）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB“三分线”和∠ACB邻AC“三分线”，且∠BPC＝x°，求∠A的度数（用含x的式子表示）． 19．（2024春•杨浦区期末）上海教育出版社七年级第二学期《练习部分》第60页习题14.6（2）第5题及参考答案． 5．过下面三角形的一个顶点画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形： 参考答案： 小华在完成了以上解答后，对分割三角形的问题产生了兴趣，并提出了以下三个问题，请你解答： 【问题1】 如图1，△ABC中，∠A＝120°，∠B＝40°，∠C＝20°，请设计一个方案把△ABC分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形的三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形．请直接画出示意图并标出等腰三角形顶角的度数（示意图画在答题卡上）； 【问题2】 如果有一个内角为26°的三角形被分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形，那么原三角形最大内角的度数所有可能的值为 　 　 ； 【问题3】 如图2，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，∠C＝50°，在△DEF中，∠D＝60°，∠E＝85°，∠F＝35°，分别用一条直线分割这两个三角形，使△ABC分割成的两个小三角形三个内角的度数与△DEF分割成的两个小三角形三个内角的度数分别相等，请设计两种不同的分割方案，直接画出示意图并标出相应的角的度数（示意图画在答题卡上）． 二．三角形的外角及其性质（共15小题） 20．（2025春•虹口区期末）如图，点D是线段BC延长线上的点，∠ACD＝108°，，则∠A的度数为（　　） A．36° B．70° C．82° D．72° 21．（2025春•宝山区校级期末）下列说法： ①同位角相等，两直线平行； ②两直线相交形成的四个角中有两对角相等，则这两条直线互相垂直； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④三角形的一个外角等于两个内角的和； ⑤已知同一平面内∠AOB＝70°，∠BOC＝30°，则∠AOC＝100°． 正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．（2025春•闵行区校级期中）如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、AD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACF、外角∠EAC．其中不正确的结论有（　　） A．∠ACB＝2∠ADB B． C． D． 23．（2024春•奉贤区期末）下列说法中，正确的是（　　） A．在同一平面内不相交的两条线段必平行 B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线的长 C．三角形的一个外角大于任何一个内角 D．三角形的任意两边之和大于第三边 24．（2023春•闵行区校级期中）如图，BD、CD分别是△ABC的一条内角平分线与一条外角平分线，∠D＝30°，那么∠A的度数（　　） A．60° B．45° C．30° D．无法确定 25．（2023春•普陀区期末）下列说法：①同旁内角互补；②对顶角相等；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④如果三条线段a、b、c满足a+b＞c，那么这三条线段a、b、c一定能组成三角形．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．（2025秋•浦东新区校级期末）一个三角形的三个外角的度数比为3：4：5，那么这个三角形是 　 　 三角形． 27．（2025春•宝山区校级期末）如图，已知△ABC，BD与CD分别是外角∠EBC和外角∠ECF的角平分线，若∠D＝62°，则∠A＝ 　 　 °． 28．（2025春•杨浦区期中）如图，将一副三角板的一边叠合，图中∠α的大小为 　 　 °． 29．（2025春•长宁区期末）如图，∠ABD、∠ACD的平分线交于点P，若∠A＝48°，∠D＝10°，则∠P的度数为　 　 ． 30．（2024春•西安校级期中）如图所示，O为△ABC的三条角平分线的交点，∠BOC＝120°，则∠BAC＝　 　 度． 31．（2025春•松江区期末）如图，已知∠A＝30°，∠B＝45°，∠C＝40°，求∠DFE的度数． 32．（2024春•普陀区期中）如图，已知AE平分∠DAB，∠B＝∠C，说明AE∥BC． 解：因为AE平分∠DAB（已知）， 所以∠DAB＝2∠DAE（角的平分线的意义）， 因为∠DAB＝∠　 　 +∠　 　 （三角形的一个外角等于与它 　 　 的两个内角的和） 又因为∠B＝∠C（已知）， 所以∠DAB＝2∠　 　 （等式性质）， （完成以下说理过程） 33．（2023春•普陀区期末）已知：如图，在△ABC中，点D、G分别在边BC、AC上，且∠B＝∠GDC，F在DG的延长线上，E在GC上，如果∠AGF＝∠DAG+∠3，说明∠1＝∠3的理由． 解：因为∠B＝∠GDC（已知）， 所以AB∥GD（ 　 　 ）， 所以∠1＝　 　 （ 　 　 ）， 因为∠AGF＝∠2+　 　 ，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 因为∠AGF＝∠DAG+∠3（已知）， 所以∠2＝　 　 （等式性质）． 所以∠1＝∠3（等量代换）． 34．（2023春•徐汇区校级期末）将一副三角尺叠放在一起： （1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE的度数； （2）如图②，若∠ACE＝2∠BCD，请求出∠ACD的度数． 三．综合拓展题（共4小题） 35．（2025春•崇明区校级期末）综合与实践 （1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，如果∠A＝70°，那么∠BPC＝　 　 ． （2）如图2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试求出∠Q、∠A之间的数量关系　 　 ． （3）如图3，延长BP、QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求∠A的度数． 36．（2024春•闵行区期末）（1）阅读并填空：如图①，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线． 试说明∠D＝90°∠A的理由． 解：因为BD平分∠ABC（已知）， 所以∠1＝　 　 （角平分线定义）． 同理：∠2＝　 　 ． 因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°，（　 　 ）， 所以　 　 （等式性质）． 即：∠D＝90°∠A． （2）探究，请直接写出结果，无需说理过程： （i）如图②，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系． 答：∠D与∠A之间的等量关系是　 　 ． （ii）如图③，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系． 答：∠D与∠A之间的等量关系是　 　 ． （3）如图④，△ABC中，∠A＝90°，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线．试说明DC＝CF的理由． 37．（2025春•浦东新区校级期中）如图①所示，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则称BD、BE分别为∠ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”． （1）如图②，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝75°，若∠ABC的邻AB三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝　 　 °； （2）如图③，在△ABC中，BP是∠ABC的邻AB三分线，CP是∠ACB的邻AC三分线，若∠A＝45°，求∠BPC 的度数； （3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角（如图④），∠ABC的三分线与∠ACD的邻AC三分线交于点P，若∠A＝m°，∠ABC＝n°，直接写出∠BPC的度数． （用含m、n的代数式表示） 38．（2025秋•松江区校级月考）已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A，B均不与点O重合． （1）如图1，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D． ①若∠BAO＝30°，则∠ADB＝　 　 °． ②在点A，B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠ADB的度数；若变化，请说明理由． （2）如图2，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的平分线AI，∠OAE的平分线AF与∠BOP的平分线所在的直线分别相交于点D，F．在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请求出∠ABO的度数． 1．（2024春•浦东新区期末）在△ABC中，∠A∠B∠C，则∠B＝　 　 度． 2．（2025春•青浦区校级期中）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，如果∠A＝82°，那么∠BEC＝　 　 ° 3．（2025秋•黄浦区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AB、AC上，连接DE，若∠1＝∠2，则△ADE是　 　 三角形． 4．（2025春•嘉定区校级月考）如图，已知∠1＝27°，∠2＝83°，∠3＝47°，则∠B＝　 　 ． 5．（2023秋•松江区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，三角形的两个外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠ABE＝　 　 度． 6．（2025春•松江区月考）如图，已知∠A＝75°，∠B＝25°，∠C＝35°，求∠BDC和∠1的度数． 1．（2025春•浦东新区校级月考）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝ 　 　 ． 2．（2025春•长宁区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝65°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的两个定点．若点P在线段AB上运动，当∠α＝60°时，则∠1+∠2＝　 　 ． 3．（2025春•嘉定区期中）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个直角三角形为“特征三角形”，那么它的“特征角”等于　 　 度． 4．（2025春•宝山区校级期末）将一副三角板按照如图方式摆放，则∠FBA的度数为 　 　 ． 5．（2024春•杨浦区期中）如图，已知△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于点P，若∠A＝70°，则∠P＝　 　 ． 6．（2025春•浦东新区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CD，BE是角平分线，它们相交于点F，EG∥BC，CG⊥EG，垂足为G． （1）求∠BFD的度数； （2）求证：∠ADC＝∠GCD． 7．（2025春•浦东新区校级月考）△ABC中，∠A＝（3x+10）°，∠B＝（2x）°，∠C＝（6x﹣17）°，求∠A、∠B、∠C的度数． 8．（2025春•奉贤区期中）综合与实践 （1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，如果∠A＝50°，那么∠BPC＝ 　 　 ． （2）如图2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试求出∠Q、∠A之间的数量关系． （3）如图3，延长BP、QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出∠A的度数． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 三角形内角和与外角性质 (知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义 本节课主要针对第17章三角形进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了三角形内角和与外角性质相关概念、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点，做到能举一反三，从容面对各类考题。 知识点一 三角形内角和定理 1.三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． 2.三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 3.三角形内角和定理的证明： 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．再转化中借助平行线． 三角形内角和定理的应用方法总结： 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 知识点二 三角形外角性质 1.三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． 2.三角形的外角性质： (1)三角形的外角和为360°． (2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． (3)三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． 三角形外角方法总结： ①若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质 ②将它们转化到一个三角形中去． ③探究角度之间的不等关系，多用外角的性质 ④先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 一．三角形内角和定理（共19小题） 1．（2025春•闵行区校级月考）给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A﹣∠C＝∠B C．∠A＝∠B＝2∠C D．∠A＝∠B∠C 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和等于180°求出三角形的最大角，进而得出结论． 【解答】解：A、设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x， ∴x+2x+3x＝180°， 解得：x＝30°， ∴最大角∠C＝3×30°＝90°， ∴三角形是直角三角形，选项A不符合题意； B、∵∠A﹣∠C＝∠B， ∴∠A＝∠B+∠C， 又∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝180°÷2＝90°， ∴三角形是直角三角形，选项B不符合题意； C、设∠C＝y，则∠A＝2y，∠B＝2y， ∴y+2y+2y＝180°， 解得：y＝36°， ∴最大角∠B＝2×36°＝72°， ∴三角形不是直角三角形，选项C符合题意； D、设∠A＝z，则∠B＝z，∠C＝2z， ∴z+z+2z＝180°， 解得：z＝45°， ∴最大角∠C＝2×45°＝90°， ∴三角形是直角三角形，选项D不符合题意． 故选：C． 2．（2025春•青浦区校级期中）在△ABC中，∠A﹣∠B＝90°，那么△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】C 【分析】由题意可得∠A＝90°+∠B，结合三角形的内角和为180°，则该三角形是钝角三角形． 【解答】解：∵∠A﹣∠B＝90°， ∴∠A＝90°+∠B， ∵三角形的内角和为180°， ∴△ABC是钝角三角形． 故选：C． 3．（2025春•静安区校级期末）若一个三角形的三个内角度数的比为2：7：5，则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】A 【分析】先根据三角形的内角和定理和三个内角的度数比求出三个内角的度数，然后再根据三个内角的度数进一步判断三角形的形状即可． 【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为2：7：5，三角形内角和是180°， ∴． ∴该三角形是直角三角形． 故选：A． 4．（2024春•黄浦区期末）如图，∠B，∠C的平分线相交于D，过点D作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，那么下列结论中：①BE＝DE；②DF＝ED；③∠BDC＝90°∠A；④△AEF的周长＝AB+AC，其中正确的有几个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．版权所有 【答案】C 【分析】由△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点D，EF∥BC，易证得△BED和△CFD都是等腰三角形，继而可得EF＝BF+CF，又由△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+BE+CE+AF＝AB+AC；即可得△AEF的周长等于AB与AC的和． 【解答】解：∵EF∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB， ∵△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点D， ∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB， ∴∠EBD＝∠EDB，∠FCD＝∠FDC， ∴BE＝ED，CF＝DF， 即△BDE和△CDF都是等腰三角形； 故①正确； ∵∠ABC不一定等于∠ACB， ∴∠FBC不一定等于∠FCB， ∴BF与CF不一定相等， ∴BD与CE不一定相等，故②错误． 在△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点D， ∴∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠DBC+∠DCB＝90°∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝90°∠A；故③正确； ∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AB+BD+CE+AE＝AB+AC； 故④正确； 故选：C． 5．（2025春•崇明区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的度数为5x﹣35，则x的取值范围为（　　） A．x＞7 B．7＜x＜11 C．7＜x＜25 D．11＜x＜23 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】C 【分析】根据题意得出，然后解不等式组即可． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴， 即， 解得：7＜x＜25． 故选：C． 6．（2024春•金山区校级期末）如图，已知BP、CP分别平分∠ABD、∠ACD，若∠BAC＝α，∠BPC＝β，则∠BDC的大小为（　　） A．α+β B．180°﹣2β+α C．2β﹣α D．2α﹣β 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】C 【分析】根据角平分线定义及三角形外角性质，数形结合表示出角度即可得到答案． 【解答】解：连接AP并延长，如图所示： 由三角形外角性质可知∠BPE＝∠BAP+∠ABP；∠CPE＝∠CAP+∠ACP； ∵BP、CP分别平分∠ABD、∠ACD， ∴；； ∵∠BAC＝α，∠BPC＝β， ∴β＝∠BPC＝∠BPE+∠CPE＝（∠BAP+∠ABP）+（∠CAP+∠ACP） ， ∴∠ABD+∠ACD＝2（β﹣α）， 连接AD并延长，如图所示： ∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF＝（∠ABC+∠BAF）+（∠ACB+∠CAF） ＝∠ABD+∠BAC+∠ACD＝∠BAC+（∠ABD+∠ACD）＝α+2（β﹣α）＝2β﹣α， 故选：C． 7．（2024春•上海期末）下列说法正确的是（　　） A．如果∠A+∠B＞∠C，那么△ABC一定为锐角三角形 B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC一定为锐角三角形 C．如果AB＝BC＝AC＝2cm，那么△ABC一定为锐角三角形 D．如果∠A＜90°且∠B＜90°，那么△ABC一定为锐角三角形． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理、三角形的分类，举出适当的反例，即可得出答案． 【解答】解：A、当∠A＝20°，∠B＝100°，∠C＝60°时，满足∠A+∠B＞∠C，但△ABC不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意； B、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3， ∴，，，则△ABC为直角三角形，故原说法错误，不符合题意； C、若AB＝BC＝AC＝2cm，则△ABC为等边三角形，即为锐角三角形，故原说法正确，符合题意； D、若∠A＝20°，∠B＝20°，满足∠A＜90°且∠B＜90°，则∠C＝140°，故△ABC不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意． 故选：C． 8．（2025秋•翔安区期末）如图，在△ABC中，AD是高，BE是角平分线，AD，BE相交于点O，∠ABC＝50°，则∠AOB＝ 　115　 °． 【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．版权所有 【答案】115． 【分析】在△ABD中根据三角形内角和定理求出∠BAD的度数，再根据角平分线的定义求出∠ABO的度数，最后在△AOB中根据三角形内角和定理即可求出∠AOB的度数． 【解答】解：∵AD是高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABC＝50°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°， ∵BE是角平分线， ∴∠ABO， 在△AOB中，∠AOB＝180°﹣∠ABO﹣∠BAD＝180°﹣25°﹣40°＝115°， 故答案为：115． 9．（2025秋•静安区校级月考）在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，∠A﹣∠B＝10°，那么∠A＝　50°　 ． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】50°． 【分析】由直角三角形的性质得到∠A+∠B＝90°，而∠A﹣∠B＝10°，即可求出∠A的度数． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠A﹣∠B＝10°， ∴∠A＝50°． 故答案为：50°． 10．（2025春•浦东新区校级期中）定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为100°，60°，20°的三角形是“优美三角形”．如图，点D在△ABC的边AB上，连接DC，∠BDC＞90°，作∠ADC的平分线，交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“优美三角形”，则∠B等于　36°　 ． 【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义；平行线的判定与性质．版权所有 【答案】36°． 【分析】由∠EFC+∠DFE＝180°，且∠EFC+∠BDC＝180°，推导出∠DFE＝∠BDC，而∠DEF＝∠B，可证明∠EDC＝∠BCD，则DE∥BC，所以∠ADE＝∠B，由∠ADC的平分线交AC于点E，得∠EDC＝∠ADE，则∠BCD＝∠B，由△BCD是“优美三角形”，∠BDC＞90°，得∠BDC＝3∠B，根据三角形内角和定理得∠B+∠B+3∠B＝180°，求得∠B＝36°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵∠EFC+∠DFE＝180°，且∠EFC+∠BDC＝180°， ∴∠DFE＝∠BDC， ∵∠DEF＝∠B， ∴∠EDC＝180°﹣∠DFE﹣∠DEF＝180°﹣∠BDC﹣∠B＝∠BCD， ∴DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B， ∵∠ADC的平分线交AC于点E， ∴∠EDC＝∠ADE， ∴∠BCD＝∠B， ∵△BCD是“优美三角形”，∠BDC＞90° ∴∠BDC＝3∠B， ∵∠B+∠BCD+∠BDC＝180°， ∴∠B+∠B+3∠B＝180°， ∴∠B＝36°， 故答案为：36°． 11．（2025秋•浦东新区校级期末）在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．如图，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上；已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，若△AEF为4倍角三角形，则∠ABO＝　45°或36°　 ． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】45°或36°． 【分析】先证明∠EAF＝90°，分∠EAF＝4∠E和∠F＝4∠E两种情形分别求解即可． 【解答】解：∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG， ∴∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠FAG， ∴， ∵△EAF是4倍角三角形， ∴当∠EAF＝4∠E时，，当∠F＝4∠E时，， ∵∠ABO＝2∠E， ∴∠ABO＝45°或36°， 故答案为：45°或36°． 12．（2023春•闵行区期中）将△ABC沿着DE翻折，使点A落到点A′处，A′D、A′E分别与BC交于M、N两点，且DE∥BC．已知∠A′NM＝27°，则∠NEC＝　126°　 ． 【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．版权所有 【答案】126° 【分析】利用平行线的性质求出∠DEN＝27°，再利用翻折不变性得到∠AED＝∠DEN＝27°，再根据平角的性质即可解决问题． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠DEN＝∠A′NM＝27°， 由翻折不变性可知：∠AED＝∠DEN＝27°， ∴∠CEN＝180°﹣2×27°＝126°， 故答案为126°． 13．（2025秋•徐汇区校级期中）定义：若三角形的两个内角α和β满足α+2β＝90°，则称这样的三角形为“奇异互余三角形”，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝58°，P是射线CB上一点，若△APB是“奇异互余三角形”，则∠APC＝　74°或32°或26°　 ． 【考点】三角形内角和定理；余角和补角．版权所有 【答案】74°或32°或26°． 【分析】根据“奇异互余三角形”的定义，分三种情况：当点P在CB延长线上，∠APB＝α，则∠BAP＝β，当点P在CB延长线上，∠APB＝β时，则∠BAP＝α，当点P在线段CB上时，∠BAP＝β，∠ABP＝α＝58°，分别求出结果即可． 【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC＝58°，∠C＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝32°， 分三种情况讨论， 如图，当点P在线段CB上时，∠BAP＝β，∠ABP＝α＝58°， ∴， ∴此时∠APC＝∠ABP+∠BAP＝58°+16°＝74°； 如图，当点P在CB延长线上，∠APB＝α，则∠BAP＝β， 此时∠APB+∠BAP+∠BAC＝90°， 即α+β+32°＝90°， ∴α+β＝58°①， ∵α+2β＝90°②， 由②﹣①，可得β＝32°， ∴∠APC＝α＝58°﹣β＝26°； 如图，当点P在CB延长线上，∠APB＝β时，则∠BAP＝α， 此时∠APB+∠BAP+∠BAC＝90°，即α+β+32°＝90°， ∴α+β＝58°③， ∵α+2β＝90°④， ∴④﹣③得β＝32°， ∴∠APC＝β＝32°； 综上所述，∠APC的所有可能的度数为74°或32°或26°． 故答案为：74°或32°或26°． 14．（2025春•徐汇区校级期中）如图，已知在△ABC中，∠A＝32°，BE平分∠ABC，ED⊥BC于D，若∠DEB＝28°，求∠C的度数． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】24°． 【分析】根据ED⊥BC可得∠DBE的度数，根据角平分线的性质求出∠CBA的度数，最后根据三角形内角和可求解． 【解答】解：∵ED⊥BC，∠DEB＝28°， ∴∠DBE＝180°﹣90°﹣28°＝62°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠DBE＝∠ABE＝62°， ∴∠C＝180°﹣62°﹣62°﹣32°＝24°． 15．（2025春•徐汇区校级期中）在△ABC中，∠A＝60°，点D、E分别是△ABC边AC、AB上的点，点P是一动点，设∠PDC＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． （1）如图1，若点P在线段BC上，且∠α＝50°，求∠1+∠2的度数； （2）若点P在线段BC延长线上，请分别写出图2，图3中，∠1、∠2与∠α之间的数量关系． 图2：　∠2＝∠α+∠1+60°　 ；图3：　∠2＝∠1﹣∠α+60°　 ． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】（1）110°； （2）图2：∠2＝∠α+∠1+60°；图3：∠2＝∠1﹣∠α+60°． 【分析】（1）根据三角形的外角的性质得出∠DPB＝∠1+∠C，∠EPC＝∠2+∠B，两式相加，即可求解； （2）根据三角形的外角的性质结合图形即可求解． 【解答】解：（1）根据图1可得：∠DPB＝∠1+∠C，∠EPC＝∠2+∠B， ∴∠DPB+∠EPC＝∠1+∠2+∠C+∠B， ∵∠DPE＝∠α＝50°， ∴∠α+180°＝∠1+∠2+（180°﹣∠A），∠A＝60°， 即∠1+∠2＝60°+α＝110°； （2）由图2得∠2＝∠α+∠1+60°，由图3得∠2＝∠1﹣∠α+60°，理由如下：如图2， 如图2，设AC，EP 交于点F， ∵∠AFE＝∠1+∠α，∠2＝∠A+∠AFE， ∴∠2＝60°+∠1+∠α； 如图3，设AC，EP 交于点F， ∵∠AFE＝∠1﹣∠α，∠2＝∠A+∠AFE， ∴∠2＝∠1﹣∠α+60°； 故答案为：图2：∠2＝∠α+∠1+60°；图3：∠2＝∠1﹣∠α+60°． 16．（2025春•上海校级月考）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（Thales，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于180°”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在△ABC中 求证：∠A+∠B+∠BCA＝180°． 证明：延长线段BC至点F，并过点C作CE∥AB． ∵CE∥AB， ∴∠　2　 ＝∠B （　两直线平行，同位角相等　 ）． ∠　1　 ＝∠A （　两直线平行，内错角相等　 ）． ∵∠ACB+∠1+∠2＝180°． ∴∠ACB+∠A +∠B ＝180°． 【考点】三角形内角和定理；平行线的判定与性质．版权所有 【答案】2；B；两直线平行，同位角相等；1；A；两直线平行，内错角相等；A；B． 【分析】由CE∥AB，利用平行线的性质，可得出∠2＝∠B，∠1＝∠A，结合∠ACB+∠1+∠2＝180°，即可证出∠ACB+∠A+∠B＝180°． 【解答】证明：延长线段BC至点F，并过点C作CE∥AB． ∵CE∥AB， ∴∠2＝∠B（两直线平行，同位角相等）． ∠1＝∠A（两直线平行，内错角相等）． ∵∠ACB+∠1+∠2＝180°． ∴∠ACB+∠A+∠B＝180°． 故答案为：2；B；两直线平行，同位角相等；1；A；两直线平行，内错角相等；A；B． 17．（2025春•杨浦区期中）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上，点E在AC上，且∠ADE＝∠AED，∠BAC＝80°． （1）如果AD平分∠BAC，求∠EDC的大小； （2）如果∠EDC与∠BAD互余，求∠CAD的大小． 【考点】三角形内角和定理；余角和补角．版权所有 【答案】（1）20°； （2）20°． 【分析】（1）先根据三角形内角和定理计算出∠B＝∠C＝50°，再利用AD平分∠BAC得到∠BAD＝∠CAD＝40°，接着在△ADE中，利用三角形内角和定理计算出∠ADE＝∠AED＝70°，然后利用三角形外角性质可计算出∠EDC的度数； （2）设∠EDC＝x，则∠BAD＝90°﹣x，先利用三角形外角性质得到∠AED＝x+50°，则∠ADE＝x+50°，再利用三角形内角和定理得到∠CAD＝80°﹣2x，则利用∠BAC＝80°得到90﹣x+80°﹣2x＝80°，然后求出x后计算80°﹣2x即可． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝80°． ∴∠B＝∠C（180°﹣80°）＝50°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD∠BAC＝40°， ∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°， ∴∠ADE＝∠AED（180°﹣40°）＝70°， ∵∠AED＝∠EDC+∠C， ∴∠EDC＝70°﹣50°＝20°； （2）设∠EDC＝x，则∠BAD＝90°﹣x， ∵∠AED＝∠EDC+∠C＝x+50°， ∴∠ADE＝∠AED＝x+50°， ∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°， ∴∠CAD＝180°﹣2（x+50°）＝80°﹣2x， ∵∠BAD+∠CAD＝∠BAC， ∴90﹣x+80°﹣2x＝80°， 解得x＝30°， ∴∠CAD＝80°﹣2×30°＝20°． 18．（2025春•静安区校级期中）【概念认识】 如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”其中，BD是“邻AB三分线”，BE“邻BC三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”，则∠ABE＝　40　 °； （2）如图②，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB“三分线”和∠ACB邻AC“三分线”，且BP⊥CP，求∠A的度数； （3）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB“三分线”和∠ACB邻AC“三分线”，且∠BPC＝x°，求∠A的度数（用含x的式子表示）． 【考点】三角形内角和定理；列代数式．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据三分线的定义和角的和差关系进行计算即可； （2）根据三角形的内角和定理结合新定义进行求解即可； （3）根据三角形的内角和定理结合新定义进行求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知， ∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝20°+20°＝40°． 故答案为：40； （2）由条件可知∠PBC+∠PCB＝90°． ∵BP，CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线， ∴， ∴， ∴∠ABC+∠ACB＝135°． ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣135°＝45°； （3）∵∠BPC＝x°． ∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣x°． ∵BP，CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线， ∴， ∴， ∴． ∴． 19．（2024春•杨浦区期末）上海教育出版社七年级第二学期《练习部分》第60页习题14.6（2）第5题及参考答案． 5．过下面三角形的一个顶点画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形： 参考答案： 小华在完成了以上解答后，对分割三角形的问题产生了兴趣，并提出了以下三个问题，请你解答： 【问题1】 如图1，△ABC中，∠A＝120°，∠B＝40°，∠C＝20°，请设计一个方案把△ABC分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形的三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形．请直接画出示意图并标出等腰三角形顶角的度数（示意图画在答题卡上）； 【问题2】 如果有一个内角为26°的三角形被分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形，那么原三角形最大内角的度数所有可能的值为 　（）°、（）°、103°、102°　 ； 【问题3】 如图2，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，∠C＝50°，在△DEF中，∠D＝60°，∠E＝85°，∠F＝35°，分别用一条直线分割这两个三角形，使△ABC分割成的两个小三角形三个内角的度数与△DEF分割成的两个小三角形三个内角的度数分别相等，请设计两种不同的分割方案，直接画出示意图并标出相应的角的度数（示意图画在答题卡上）． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】（1）答案见解析；（2）（）°、（）°、103°、102°；（3）答案见解析． 【分析】（1）依据题意，作∠ABC的平分线，交AC于点D，故∠ABD＝∠CBD＝∠C＝20°，∠ADB＝40°．则DB＝DC．进而可以计算得解； （2）依据题意，分①若△ACD与△ABC的内角相同，△BCD为等腰三角形和②若△BCD与△ABC的内角相同，△ACD为等腰三角形两种情形分析即可判断得解． （3）依据题意，分别进行设计画图可以得解． 【解答】解：（1）如图，作∠ABC的平分线，交AC于点D， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠C＝20°，∠ADB＝40°． ∴DB＝DC． ∴△DBC是等腰三角形． ∴∠BDC＝140°． （2）如图，①若△ACD与△ABC的内角相同，△BCD为等腰三角形，设∠ACD＝∠B＝x°， ∴∠ADC＝154°﹣x°，∠BDC＝26°+x°，∠BCD＝154°﹣2x． 显然，26≠26+x． 当x＝154﹣2x时，x，此时最大角∠ACB＝154°﹣x°＝（）°； 当26+x＝154﹣2x时，x，此时最大角∠ACB＝154°﹣x°＝（）°． ②若△BCD与△ABC的内角相同，△ACD为等腰三角形，设∠B＝x°，∠BCD＝26°， ∴∠ADC＝x°+26°，∠BDC＝154°+x°，∠ACD＝128°﹣x°． 显然，x≠26+x． 当26+x＝128﹣x时，x＝51，此时最大角∠ACB＝154°﹣x°＝103°； 当26＝128﹣x时，x＝102，此时最大角∠B＝102°． 故答案为：（）°、（）°、103°、102°． （3）由题意，设计如下： 方案1：作∠ABC 的平分线，交AC于点M， 根据题意，得∠A＝60°，，∠C＝50°，∠AMB＝85°，∠BMC＝95°； 作∠DEN＝35°，交DF于点N， 根据题意，得∠D＝60°．∠DNE＝85°，∠NEF＝50°，∠F＝35°，∠ENF＝95°． 方案2：作∠ACQ＝15° 交AB于点Q， 根据题意，得∠A＝60°，∠AQC＝105°，∠BCQ＝35°，∠BQC＝75°，∠B＝70°； 作∠DEO＝15°，交DF于点O， 根据题意，得∠D＝60°，∠DOE＝105°，∠EOF＝75°，∠F＝35°，∠OEF＝70°． 二．三角形的外角及其性质（共15小题） 20．（2025春•虹口区期末）如图，点D是线段BC延长线上的点，∠ACD＝108°，，则∠A的度数为（　　） A．36° B．70° C．82° D．72° 【考点】三角形的外角性质．版权所有 【答案】D 【分析】由三角形的外角性质推出∠B+∠A＝∠ACD，得到∠A+∠A＝108°，即可求出∠A的度数． 【解答】解：∵∠B+∠A＝∠ACD，∠B∠A， ∴∠A+∠A＝108°， ∴∠A＝72°． 故选：D． 21．（2025春•宝山区校级期末）下列说法： ①同位角相等，两直线平行； ②两直线相交形成的四个角中有两对角相等，则这两条直线互相垂直； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④三角形的一个外角等于两个内角的和； ⑤已知同一平面内∠AOB＝70°，∠BOC＝30°，则∠AOC＝100°． 正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】三角形的外角性质；平行公理及推论；平行线的判定与性质；三角形内角和定理．版权所有 【答案】A 【分析】由三角形的外角性质，平行公理，垂直的定义，平行线的判定方法，即可判断． 【解答】解：①同位角相等，两直线平行，正确，故①符合题意； ②两直线相交形成的四个角中，两对对顶角相等，但这两条直线不一定互相垂直，故②不符合题意； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③不符合题意； ④三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故④不符合题意； ⑤若射线OC在∠AOB外部，则∠AOC＝100°，若射线OC在∠AOB内部，则∠AOC＝40°，所以∠AOC＝100°或40°，故⑤不符合题意． ∴正确的个数为1个． 故选：A． 22．（2025春•闵行区校级期中）如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、AD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACF、外角∠EAC．其中不正确的结论有（　　） A．∠ACB＝2∠ADB B． C． D． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【答案】C 【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【解答】解：∵AD平分∠EAC， ∴∠EAC＝2∠EAD， ∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB， ∴∠EAD＝∠ABC， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC， ∴∠ACB＝2∠ADB， 故A不符合题意； ∵CD平分△ABC的外角∠ACF， ∴∠ACF＝2∠DCF， ∵∠ACF＝∠BAC+∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC+∠BDC， ∴2∠DBC+2∠BDC＝∠BAC+2∠DBC， ∴∠BAC＝2∠BDC， ∴∠BDC∠BAC， 故B不符合题意；C符合题意； 在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°， ∵CD平分△ABC的外角∠ACF， ∴∠ACD＝∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB， ∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD， ∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°， ∴∠ADC+∠ABD＝90°， 即∠ADC∠ABC＝90°， 故D不符合题意； 故选：C． 23．（2024春•奉贤区期末）下列说法中，正确的是（　　） A．在同一平面内不相交的两条线段必平行 B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线的长 C．三角形的一个外角大于任何一个内角 D．三角形的任意两边之和大于第三边 【考点】三角形的外角性质；点到直线的距离；三角形三边关系；三角形内角和定理．版权所有 【答案】D 【分析】根据平行线的定义，点到直线的距离定义，三角形外角的性质，三角形的三边关系判断即可． 【解答】解：在同一平面内不相交的两条直线平行， 故A选项不符合题意； 点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长， 故B选项不符合题意； 三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角， 故C选项不符合题意； 三角形的任意两边之和大于第三边， 故D选项符合题意， 故选：D． 24．（2023春•闵行区校级期中）如图，BD、CD分别是△ABC的一条内角平分线与一条外角平分线，∠D＝30°，那么∠A的度数（　　） A．60° B．45° C．30° D．无法确定 【考点】三角形的外角性质；角平分线的定义．版权所有 【答案】A 【分析】由BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，利用角平分线的定义，可得出∠DBC∠ABC，∠DCE∠ACE，由∠ACE是△ABC的外角，∠DCE是△DBC的外角，利用三角形的外角性质，可得出∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠D+∠DBC，进而可得出∠A＝2∠D，再代入∠D＝30°，即可求出∠A的度数． 【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE， ∴∠DBC∠ABC，∠DCE∠ACE． ∵∠ACE是△ABC的外角，∠DCE是△DBC的外角， ∴∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠D+∠DBC， ∴∠ACE＝∠D+∠DBC， ∴（∠A+∠ABC）＝∠D+∠DBC， ∴∠A∠ABC＝∠D+∠DBC， ∴∠A+∠DBC＝∠D+∠DBC， ∴∠A＝2∠D＝2×30°＝60°． 故选：A． 25．（2023春•普陀区期末）下列说法：①同旁内角互补；②对顶角相等；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④如果三条线段a、b、c满足a+b＞c，那么这三条线段a、b、c一定能组成三角形．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】三角形的外角性质；同位角、内错角、同旁内角；三角形三边关系；三角形内角和定理．版权所有 【答案】A 【分析】根据三角形的外角性质、三角形的分类、三角形的三边关系、三角形内角和定理判断即可． 【解答】解：①两直线平行，同旁内角互补；故①不合题意； ②对顶角相等，故②合题意； ③、三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，故③不合题意； ④、若三条线段a、b、c，满足a+b＞c，a﹣b＜c，则此三条线段一定能组成三角形，故④不合题意； 故选：A． 26．（2025秋•浦东新区校级期末）一个三角形的三个外角的度数比为3：4：5，那么这个三角形是 　直角　 三角形． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【答案】直角． 【分析】设三个外角的度数分别为3x，4x，5x，得到3x+4x+5x＝360°，求出x＝30°，得到三个外角的度数，从而求出这个三角形三个内角的度数，即可判断此三角形的形状， 【解答】解：∵这个三角形三个外角的度数比为3：4：5， ∴设三个外角的度数分别为3x，4x，5x， ∴3x+4x+5x＝360°， ∴x＝30°， ∴三个外角的度数分别为90°，120°，150°， ∴与三个外角对应的三个内角分别为90°，60°，30°， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 27．（2025春•宝山区校级期末）如图，已知△ABC，BD与CD分别是外角∠EBC和外角∠ECF的角平分线，若∠D＝62°，则∠A＝ 　56　 °． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【答案】56． 【分析】由角平分线定义得到∠CBD∠CBE，∠BCD∠BCF，由三角形的外角性质得到∠CBE+∠BCF＝180°+∠A，因此∠CBD+∠BCD＝90°∠A，由三角形内角和定理得到∠D＝90°∠A，即可求出∠A的度数． 【解答】解：∵BD与CD分别是∠EBC和∠ECF的角平分线， ∴∠CBD∠CBE，∠BCD∠BCF， ∴∠CBD+∠BCD（∠CBE+∠BCF）， ∵∠CBE＝∠A+∠ACB，∠BCF＝∠A+∠ABC， ∴∠CBE+∠BCF＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+∠A， ∴∠CBD+∠BCD＝90°∠A， ∴∠D＝180°﹣（∠CBD+∠BCD）＝90°∠A， ∵∠D＝62°， ∴∠A＝56°． 故答案为：56． 28．（2025春•杨浦区期中）如图，将一副三角板的一边叠合，图中∠α的大小为 　75　 °． 【考点】三角形的外角性质．版权所有 【答案】75 【分析】由直角三角形的性质求出∠CBD＝30°，由对顶角的性质得到∠ABE＝∠CBD＝30°，由三角形的外角性质即可求出∠α的度数． 【解答】解：∵∠ACF＝90°， ∴∠BCD＝180°﹣90°＝90°， ∵∠D＝60°， ∴∠CBD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠ABE＝∠CBD＝30°， ∴∠α＝∠A+∠ABE＝45°+30°＝75°． 故答案为：75． 29．（2025春•长宁区期末）如图，∠ABD、∠ACD的平分线交于点P，若∠A＝48°，∠D＝10°，则∠P的度数为　19°　 ． 【考点】三角形的外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理．版权所有 【答案】19°． 【分析】延长PC交BD于E，根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠1＝∠P+∠3，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠5，整理可得，即可得解． 【解答】解：如图，延长PC交BD于点E，设AC与BP交于点F． ∵∠ABD、∠ACD的平分线交于点P， ∴根据角平分线的定义，∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∵∠A+∠1+∠AFB＝∠P+∠3+∠PFC，∠AFB＝∠PFC， ∴∠A+∠1＝∠P+∠3① ∵∠5＝∠2+∠P，∠5＝∠4﹣∠D， ∴∠2+∠P＝∠4﹣∠D② ①﹣②，得∠A﹣∠P＝∠P+∠D， ∴． ∵∠A＝48°，∠D＝10°， ∴， 即∠P的度数为19°， 故答案为：19°． 30．（2024春•西安校级期中）如图所示，O为△ABC的三条角平分线的交点，∠BOC＝120°，则∠BAC＝　60　 度． 【考点】三角形的外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理．版权所有 【答案】60 【分析】利用角平分线的定义和三角形内角和定理计算∠ABC+∠ACB的度数，从而得出∠A的度数． 【解答】解：由已知可得∠BOC＝180°（∠ABC+∠ACB）＝120°， ∴∠ABC+∠ACB＝120°， ∴∠A＝60°． 31．（2025春•松江区期末）如图，已知∠A＝30°，∠B＝45°，∠C＝40°，求∠DFE的度数． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】由三角形的外角性质推出得到∠DFE＝∠A+∠B+∠C＝115°． 【解答】解：∵∠DFE＝∠B+∠BEF，∠BEF＝∠C+∠A， ∴∠DFE＝∠A+∠B+∠C＝30°+45°+40°＝115°． 32．（2024春•普陀区期中）如图，已知AE平分∠DAB，∠B＝∠C，说明AE∥BC． 解：因为AE平分∠DAB（已知）， 所以∠DAB＝2∠DAE（角的平分线的意义）， 因为∠DAB＝∠B +∠C （三角形的一个外角等于与它 　不相邻　 的两个内角的和） 又因为∠B＝∠C（已知）， 所以∠DAB＝2∠C （等式性质）， （完成以下说理过程） 【考点】三角形的外角性质；平行线的判定；三角形内角和定理．版权所有 【答案】B；C；不相邻；C． 【分析】由角平分线的定义可得∠DAB＝2∠DAE，再由三角形的外角性质可得∠DAB＝2∠C，从而求得∠DAE＝∠C，即可判定AE∥BC． 【解答】解：∵AE平分∠DAB（已知）， ∴∠DAB＝2∠DAE（角的平分线的意义）， ∵∠DAB＝∠B+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 又∵∠B＝∠C（已知）， ∴∠DAB＝2∠C（等式性质）， ∴∠DAE＝∠C（等量代换）， ∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：B；C；不相邻；C． 33．（2023春•普陀区期末）已知：如图，在△ABC中，点D、G分别在边BC、AC上，且∠B＝∠GDC，F在DG的延长线上，E在GC上，如果∠AGF＝∠DAG+∠3，说明∠1＝∠3的理由． 解：因为∠B＝∠GDC（已知）， 所以AB∥GD（ 　同位角相等，两直线平行　 ）， 所以∠1＝　∠2　 （ 　两直线平行，内错角相等　 ）， 因为∠AGF＝∠2+　∠DAG ，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 因为∠AGF＝∠DAG+∠3（已知）， 所以∠2＝　∠3　 （等式性质）． 所以∠1＝∠3（等量代换）． 【考点】三角形的外角性质；平行线的判定与性质；三角形内角和定理．版权所有 【答案】同位角相等，两直线平行；∠2；两直线平行，内错角相等；∠DAG；∠3． 【分析】先证明AB∥GD，得∠1＝∠2，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠AGF＝∠2+∠DAG，再根据∠AGF＝∠DAG+∠3，可得∠2＝∠3，所以∠1＝∠3． 【解答】解：因为∠B＝∠GDC（已知）， 所以AB∥GD（同位角相等，两直线平行）， 所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）， 因为∠AGF＝∠2+∠DAG，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 因为∠AGF＝∠DAG+∠3（已知）， 所以∠2＝∠3（等式性质）， 所以∠1＝∠3（等量代换）． 故答案为：同位角相等，两直线平行；∠2；两直线平行，内错角相等；∠DAG；∠3． 34．（2023春•徐汇区校级期末）将一副三角尺叠放在一起： （1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE的度数； （2）如图②，若∠ACE＝2∠BCD，请求出∠ACD的度数． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据∠BAC＝90°列出关于∠1、∠2的方程求解即可得到∠2的度数，再根据同角的余角相等求出∠CAE＝∠2，从而得解； （2）根据∠ACB和∠DCE的度数列出等式求出∠ACE﹣∠BCD＝30°，再结合已知条件求出∠BCD，然后根据∠ACD＝∠ACB+∠BCD代入数据计算即可得解． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵∠1＝4∠2， ∴4∠2+∠2＝90°， ∴∠2＝18°， 又∵∠DAE＝90°， ∴∠1+∠CAE＝∠2+∠1＝90°， ∴∠CAE＝∠2＝18°； （2）∵∠ACE+∠BCE＝90°， ∠BCD+∠BCE＝60°， ∴∠ACE﹣∠BCD＝30°， 又∠ACE＝2∠BCD， ∴2∠BCD﹣∠BCD＝30°， ∠BCD＝30°， ∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+30°＝120°． 三．综合拓展题（共4小题） 35．（2025春•崇明区校级期末）综合与实践 （1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，如果∠A＝70°，那么∠BPC＝　125°　 ． （2）如图2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试求出∠Q、∠A之间的数量关系　∠Q＝90°∠A ． （3）如图3，延长BP、QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求∠A的度数． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【答案】（1）125°； （2）∠Q＝90°∠A； （3）∠A的度数是45°或135°或36°或144°． 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC 即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC 与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在△BQE 中，由于∠Q＝90°∠A，求出∠E∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝4∠E＝90°；②∠EBQ＝4∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分别列出方程，求解即可． 【解答】解：（1）∵∠A＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝110°， ∵点P是∠ABC 和∠ACB的平分线的交点， ∴∠P＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣55°＝125°， 故答案为：125°； （2）∵外角∠MBC，∠NCB 的角平分线交于点Q， ∴∠CBQ+∠BCQ∠MBC∠BCN（∠MBC+∠BCN）（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）（180°+∠A）＝90°∠A， ∴∠Q＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A． 故答案为：∠Q＝90°∠A； （3）延长BC至F， ∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线， ∴CE是△ABC 的外角∠ACF 的平分线， ∴∠ACF＝2∠ECF， ∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBC， ∵∠ECF＝∠EBC+∠E， ∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E， 又∵∠ACF＝∠ABC+∠A， ∴∠A＝2∠E，即∠E∠A； ∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ∠ABC∠MBC（∠ABC+∠A∠ACB）＝90°． 如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①∠EBQ＝4∠E＝90°，则∠E＝22.5°， ∴∠A＝2∠E＝45°； ②∠EBQ＝4∠Q＝90°，则∠Q＝22.5°，∠E＝67.5°， ∴∠A＝2∠E＝135°； ③∠Q＝4∠E，则5∠E＝90°， ∴∠E＝18°， ∴∠A＝2∠E＝36°； ④∠E＝4∠Q，则∠E＝72°， ∴∠A＝2∠E＝144°； 综上所述，∠A的度数是45°或135°或36°或144°． 36．（2024春•闵行区期末）（1）阅读并填空：如图①，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线． 试说明∠D＝90°∠A的理由． 解：因为BD平分∠ABC（已知）， 所以∠1＝　∠ABC （角平分线定义）． 同理：∠2＝　∠ACB ． 因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°，（　三角形的内角和等于180°　 ）， 所以　∠D＝180°（∠ABC+∠ACB）　 （等式性质）． 即：∠D＝90°∠A． （2）探究，请直接写出结果，无需说理过程： （i）如图②，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系． 答：∠D与∠A之间的等量关系是　∠D＝90°∠A ． （ii）如图③，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系． 答：∠D与∠A之间的等量关系是　∠D∠A ． （3）如图④，△ABC中，∠A＝90°，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线．试说明DC＝CF的理由． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）、（2）、（3）关键“三角形的一个内角等于和它不相邻的两个外角的和”、“三角形的内角和等于180°”及等式的性质分析求解． （4）利用前三个小题的结论，证明∠D＝∠DFC即可． 【解答】（1）解：因为BD平分∠ABC（已知）， 所以∠1∠ABC （角平分线定义）． 同理：∠2∠ACB． 因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°（三角形的内角和等于180°）， 所以∠D＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°（∠ABC+∠ACB） ＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A（等式性质）． 即：∠D＝90°∠A． （2）解：（i）∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝90°∠A． 理由：∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线， ∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF， ∴∠DBC+∠DCB+∠D＝180°， ∴∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， 而∠ABC＝180°﹣2∠DBC， ∠ACB＝180°﹣2∠DCB， ∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB＝180°， ∴∠A﹣2（∠DBC+∠DCB）＝﹣180°， ∴∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°， ∴∠A+2∠D＝180°， ∴∠D＝90° （ii）∠D与∠A之间的等量关系是：∠D∠A． 理由：∵BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线， ∴∠DCE＝∠DBC+∠D， ∵∠A+2∠DBC＝2∠DCE ∴∠A+2∠DBC＝2∠DBC+2∠D ∴∠A＝2∠D 即：∠D （3）解：因为 BD平分∠ABC（已知）， 所以∠DBC∠ABC（角平分线定义）． 同理：∠ACF∠ACB，∠DCA＝∠DCE∠ACE． ∵∠ACE＝∠ABC+∠A，∠DCE＝∠DBC+∠D（三角形的一个外角 等于两个不相邻的内角和）， ∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC（∠ACE﹣∠ABC）∠A． 又∵∠A＝90°（已知）， ∴∠D＝45°（等式性质）． ∵∠ACB+∠ACE＝180°（平角的定义）， ∴∠FCD＝∠FCA+∠ACD（∠BCA+∠ACE）＝90°． ∵∠D+∠DFC+∠FCD＝180°（三角形的内角和等于180°）， ∴∠DFC＝45°（等式性质）． ∴∠D＝∠DFC（等量代换）． ∴DC＝FC．（等角对等边）． 37．（2025春•浦东新区校级期中）如图①所示，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则称BD、BE分别为∠ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”． （1）如图②，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝75°，若∠ABC的邻AB三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝　70　 °； （2）如图③，在△ABC中，BP是∠ABC的邻AB三分线，CP是∠ACB的邻AC三分线，若∠A＝45°，求∠BPC 的度数； （3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角（如图④），∠ABC的三分线与∠ACD的邻AC三分线交于点P，若∠A＝m°，∠ABC＝n°，直接写出∠BPC的度数． （用含m、n的代数式表示） 【考点】三角形的外角性质；列代数式．版权所有 【答案】（1）70°； （2）90°； （3）∠BPC的度数为 或． 【分析】（1）求得∠ABD∠ABC＝25°，利用三角形外角的性质即可求得； （2）由题意可知∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，然后利用三角形内角和定理求得即可； （3）分两种情况，利用三角形外角的性质即可求解． 【解答】解：（1）已知∠ABC＝75°， ∵BD是∠ABC的邻AB三分线， ∴∠ABD∠ABC＝25°， ∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∠A＝45°， ∴∠BDC＝45°+25°＝70°， 故答案为：70； （2）在△ABC中，根据三角形内角和定理， ∠ABC+∠ACB＝180°﹣45°＝135°， ∵BP是∠ABC的邻AB三分线，CP是∠ACB的邻AC三分线， ∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB（∠ABC+∠ACB）135°＝90°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣90°＝90°， （3）∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD＝∠A+∠ABC＝m°+n°， 由于CP是∠ACD的邻AC三分线，有两种情况： 情况一：当BP是邻BC三分线时， ∠PBC∠ABC， ∠PCD∠ACD 根据三角形外角性质，∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC 情况二：当BP是邻AB三分线时， ∠PBC∠ABC， ∠PCD∠ACD， 根据三角形外角性质，∠BPC＝PCD﹣∠PCB， 综上，∠BPC的度数为 或． 38．（2025秋•松江区校级月考）已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A，B均不与点O重合． （1）如图1，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D． ①若∠BAO＝30°，则∠ADB＝　45　 °． ②在点A，B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠ADB的度数；若变化，请说明理由． （2）如图2，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的平分线AI，∠OAE的平分线AF与∠BOP的平分线所在的直线分别相交于点D，F．在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请求出∠ABO的度数． 【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．版权所有 【答案】（1）①45；②不变，∠ADB＝45°； （2）60°或45°． 【分析】（1）①由垂直的定义得∠AOB＝90°，结合∠BAO＝30°，可得∠ABM＝∠AOB+∠BAO＝120°，根据角平分线的定义可得，，最后根据三角形的外角性质即可求解；②设∠BAO＝α，则∠ABM＝90°+α，根据角平分线的定义可得，，最后根据三角形的外角性质即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，，进而得到∠DAF＝∠DAP+∠OAF＝90°，推出∠D+∠F＝90°，根据三角形外角性质可推出∠OBA＝2∠D，然后分两种情况讨论：①当∠DAF＝3∠D时，②当∠F＝3∠D时． 【解答】解：（1）①∵直线MN与PQ互相垂直，垂足为O， ∴∠AOB＝90°， ∵∠BAO＝30°， ∴∠ABM＝∠AOB+∠BAO＝90°+30°＝120°， ∵AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM， ∴，， ∴∠ADB＝∠CBA﹣∠BAD＝60°﹣15°＝45°， 故答案为：45； ②不变，∠ADB＝45°． ∵直线MN与PQ互相垂直，垂足为O， ∴∠BOA＝90°， ∵∠ABM是△ABO的外角，设∠BAO＝α， ∴∠ABM＝∠BAO+∠BOA＝90°+α， ∵AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM， ∴， ， ∴， ∴∠ADB的值不变，且∠ADB＝45°； （2）∵AI平分∠BAO，AF平分∠OAE，OD平分∠BOP， ∴，，， ∴， ∴在Rt△ADF中∠D+∠F＝90°， ∵∠DOP是△ADO的外角，∠BOP是△ABO的外角， ∴；∠OBA＝∠BOP﹣∠BAO， ∴，即∠OBA＝2∠D， ∵一个角是另一角的3倍， ∴由图可知，可分两种情况讨论： ①当∠DAF＝3∠D时， ∵∠DAF＝90°， ∴， ∴∠OBA＝2∠D＝60°； ②当∠F＝3∠D时， ∵∠D+∠F＝90°即4∠D＝90°， ∴∠D＝22.5°， ∴∠OBA＝2∠D＝45°； 综上所述，∠OBA等于60°或45°． 四．随堂检测（共6小题） 1．（2024春•浦东新区期末）在△ABC中，∠A∠B∠C，则∠B＝　60　 度． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】60 【分析】本题考查的是三角形内角和定理．设∠A为X，然后根据三角形内角和为180°的等量关系求解即可． 【解答】解：设∠A为x． x+2x+3x＝180°⇒x＝30°． ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°． 故填60． 2．（2025春•青浦区校级期中）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，如果∠A＝82°，那么∠BEC＝　131　 ° 【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．版权所有 【答案】131． 【分析】利用三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根据三等分线的定义求出∠EBC+∠ECB，即可求出∠BEC． 【解答】解：∵∠A＝82°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣82°＝98°， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴（角平分线的性质）， ∴49° ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣49°＝131°， 故答案为：131． 3．（2025秋•黄浦区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AB、AC上，连接DE，若∠1＝∠2，则△ADE是　直角　 三角形． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】直角． 【分析】根据三角形内角和定理得到∠2+∠A＝90°，进而等量代换得到∠1+∠A＝90°，进一步推出∠ADE＝90°，由此可得结论． 【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°， ∴∠2+∠A＝180°﹣∠C＝180°﹣90°＝90°， ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠A＝90°（等量代换）， ∴∠ADE＝180°﹣（∠1+∠A）＝180°﹣90°＝90°， ∴△ADE是直角三角形． 故答案为：直角． 4．（2025春•嘉定区校级月考）如图，已知∠1＝27°，∠2＝83°，∠3＝47°，则∠B＝　23°　 ． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【答案】23°． 【分析】利用三角形外角的性质可求解∠BEF的度数，再利用三角形的内角和定理可求解． 【解答】解：∵∠1＝27°，∠3＝47°，∠BEF＝∠1+∠3， ∴∠BEF＝27°+47°＝74°， ∵∠BFE＝∠2＝83°，∠B+∠BFE+∠BEF＝180°， ∴∠B＝180°﹣74°﹣83°＝23°， 故答案为23°． 5．（2023秋•松江区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，三角形的两个外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠ABE＝　25　 度． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【答案】25． 【分析】根据题意过点E作△ABC三边的垂线段EG，EH，EK，根据角平分线的性质可得，EG＝EK，进而判定BE是∠ABC的角平分线，根据角平分线的定义即可求得∠ABE． 【解答】解：如图，过点E作△ABC三边的垂线段EG，EH，EK， ∵三角形的两个外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E， ∴EG＝EH，EH＝EK， ∴EG＝EK， ∴E在∠ABC的角平分线上，即BE是∠ABC的角平分线， ∴． 故答案为：25． 6．（2025春•松江区月考）如图，已知∠A＝75°，∠B＝25°，∠C＝35°，求∠BDC和∠1的度数． 【考点】三角形的外角性质．版权所有 【答案】∠BDC＝110°，∠1＝135°． 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可直接得出答案． 【解答】解：∵∠A＝75°，∠C＝35°， ∴∠BDC＝∠A+∠C＝75°+35°＝110°， ∵∠B＝25°， ∴∠1＝∠BDC+∠B＝110°+25°＝135°． 1．（2025春•浦东新区校级月考）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝ 　90°　 ． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【答案】90° 【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果． 【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， 又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°， ∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°， ∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°， ∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°， ∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°， ∵∠PBC＝20°， ∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°， ∴∠A+∠P＝90°， 故答案为：90°． 2．（2025春•长宁区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝65°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的两个定点．若点P在线段AB上运动，当∠α＝60°时，则∠1+∠2＝　125°　 ． 【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．版权所有 【答案】125°． 【分析】连接CP，根据三角形外角的性质可得∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠EPC+∠ECP，再根据∠DCP+∠ECP＝∠DCE＝65°，∠DPC+∠EPC＝∠DPE＝60°，即可求解． 【解答】解：连接CP， ∵∠1是△DPC的外角，∠2是△EPC的外角，∠DCE＝65°，∠DPE＝∠α＝60°， ∴∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠EPC+∠ECP， ∴∠DCP+∠ECP＝∠DCE＝65°，∠DPC+∠EPC＝∠DPE＝60°， ∴∠1+∠2＝∠DCP+∠DPC+∠EPC+∠ECP＝125°． 故答案为：125°． 3．（2025春•嘉定区期中）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个直角三角形为“特征三角形”，那么它的“特征角”等于　90或60　 度． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】90或60 【分析】根据“特征角”的定义，结合直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：①“特征角”α为90°； ②“特征角”与“另一个内角”都不是直角时，设“特征角是2x”， 由题意得，x+2x＝90°， 解得：x＝30°， 所以，“特征角”是60°， 综上所述，这个“特征角”的度数为90°或60°． 故答案为：90或60． 4．（2025春•宝山区校级期末）将一副三角板按照如图方式摆放，则∠FBA的度数为 　15°　 ． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【答案】15°． 【分析】根据题意先得到∠EAD＝45°，再根据三角形的外角性质进行计算即可． 【解答】解：由题意可知∠EAD＝90°﹣45°＝45°， ∴根据三角形外角性质，∠FBA＝∠EAD﹣∠F＝45°﹣30°＝15°， 所以∠FBA的度数为15°． 故答案为：15°． 5．（2024春•杨浦区期中）如图，已知△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于点P，若∠A＝70°，则∠P＝　35°　 ． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【答案】35° 【分析】由三角形外角性质得，∠ACD＝∠A+∠ABC＝70°+∠ABC；角平分线的定义，求得∠DCP∠ACD（70°+∠ABC）＝35°∠ABC，∠CBP∠ABC；再由三角形外角性质得，∠DCP＝∠CBP+∠P即35°∠ABC∠ABC+∠P，求得∠P＝35°． 【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠ACD＝∠A+∠ABC＝70°+∠ABC ∵CP是∠ACD的平分线 ∴∠DCP∠ACD（70°+∠ABC）＝35°∠ABC ∵BP是∠ABC的平分线 ∴∠CBP∠ABC ∵∠DCP是△BCP的外角 ∴∠DCP＝∠CBP+∠P 35°∠ABC∠ABC+∠P ∴∠P＝35°． 故答案为：35°． 6．（2025春•浦东新区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CD，BE是角平分线，它们相交于点F，EG∥BC，CG⊥EG，垂足为G． （1）求∠BFD的度数； （2）求证：∠ADC＝∠GCD． 【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义；垂线．版权所有 【答案】（1）45°； （2）证明见解答过程． 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠ABC+∠ACB＝90°，由角平分线定义得到∠FBC+∠FCB（∠ABC+∠ACB）＝45°，由三角形外角的性质得到∠BFD＝∠FBC+∠FCB＝45°； （2）由平行线的性质，垂直的定义推出∠BCG＝90°，根据直角三角形的性质及角的和差即可推出∠ADC＝∠DCG． 【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠A＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°， ∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠FBC∠ABC，∠BCF∠ACB， ∴∠FBC+∠FCB（∠ABC+∠ACB）90°＝45°， ∴∠BFD＝∠FBC+∠FCB＝45°； （2）证明：∵EG∥BC，CG⊥EG， ∴CG⊥BC， ∴∠BCG＝90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∵∠ADC+∠ACD＝∠DCG+∠BCD＝90°， ∴∠ADC＝∠DCG． 7．（2025春•浦东新区校级月考）△ABC中，∠A＝（3x+10）°，∠B＝（2x）°，∠C＝（6x﹣17）°，求∠A、∠B、∠C的度数． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】∠A＝61°，∠B＝34°，∠C＝85°． 【分析】直接根据三角形内角和定理解答即可． 【解答】解：∵∠A＝（3x+10）°，∠B＝（2x）°，∠C＝（6x﹣17）°，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴3x+10+2x+6x﹣17＝180， 解得x＝17， ∴3x+10＝3×17+10＝61，2x＝2×17＝34，6x﹣17＝6×17﹣17＝85， ∴∠A＝61°，∠B＝34°，∠C＝85°． 8．（2025春•奉贤区期中）综合与实践 （1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，如果∠A＝50°，那么∠BPC＝ 　115°　 ． （2）如图2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试求出∠Q、∠A之间的数量关系． （3）如图3，延长BP、QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出∠A的度数． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【答案】（1）115°；（2）；（3）∠A的度数是45°或135°或36°或144°． 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC 即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC 与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在△BQE 中，由于，求出，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝4∠E＝90°；②∠EBQ＝4∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分别列出方程，求解即可． 【解答】解：（1）∵∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝130°， ∵点P是∠ABC 和∠ACB的平分线的交点， ∴∠P＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣65°＝115°， 故答案为：115°； （2）∵外角∠MBC，∠NCB 的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴； （3）延长BC至F， ∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线， ∴CE是△ABC 的外角∠ACF 的平分线， ∴∠ACF＝2∠ECF， ∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBC， ∵∠ECF＝∠EBC+∠E， ∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E， 又∵∠ACF＝∠ABC+∠A， ∴∠A＝2∠E，即； ∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ． 如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况： ①∠EBQ＝4∠E＝90°，则∠E＝22.5°， ∴∠A＝2∠E＝45°； ②∠EBQ＝4∠Q＝90°，则∠Q＝22.5°，∠E＝67.5°， ∴∠A＝2∠E＝135°； ③∠Q＝4∠E，则5∠E＝90°， ∴∠E＝18°， ∴∠A＝2∠E＝36°； ④∠E＝4∠Q，则∠E＝72°， ∴∠A＝2∠E＝144°； 综上所述，∠A的度数是45°或135°或36°或144°． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $