第5讲 平行的性质及综合(知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册

本讲义聚焦平行线的性质及综合应用核心知识点，系统梳理平行线性质定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）、平行线间距离特性，明确判定与性质的区别（性质由形到数，判定由数到形），并总结辅助线构造三类角的方法，搭建从基础概念到综合解题的学习支架。 该资料以生活情境例题（如五线谱、护眼灯、自行车）培养数学眼光，通过选择、解答、材料题等多样题型提升推理能力（数学思维），结合“猪蹄模型”等帮助学生用数学语言表达问题，课中辅助教师高效授课，课后通过随堂检测与巩固练习助力学生查漏补缺。

第5讲 平行的性质及综合 (知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义 本节课主要针对第16章平行线专题讲解。在本节课中，我们梳理了平行线的性质相关概念、综合题型常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。 知识点一 平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 知识点二 平行线的判定与性质 1、平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 2、应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 3、平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． 4、辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 知识点三 平行线之间的距离 1、平行线之间的距离 从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 2、平行线间的距离处处相等． 一．平行的性质（共17小题） 1．五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，AB和CD是五线谱上的两条线段，点E在AB，CD之间的一条平行线上，若∠1＝120°，∠2＝30°，则∠BEC的度数是（　　） A．90° B．100° C．120° D．110° 2． 如图，将三角板与两边平行的直尺（EF∥HG）贴在一起，使三角板的直角顶点C在直尺的一边上，若∠2＝60°，则∠1的度数是（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 3．如图，现有一张长方形纸片ABCD，点E，F在AD上，点G，H在BC上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，点C的对应点为点C′．点B对应点为点B′．若∠α+∠β＝132°，则∠C′MB′的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 4．一学员在训练场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向和原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向左拐30°，第二次向右拐150° C．第一次向左拐30°，第二次再向左拐30° D．第一次向左拐30°，第二次再向左拐150° 5．如图，一个平面镜EF放置在两个互相平行的挡板m和n之间，平面镜EF与挡板n形成的锐角为23°．一支激光笔从点A处发出的光束投射到平面镜上的点B处，反射光束投射到挡板m上的点C处．设光束AB所在直线与挡板m的交点为D，若∠DBF＝∠CBE＝52°，则∠BCD的度数为（　　） A．75° B．76° C．104° D．105° 6．如图，如果CD平分∠ACB，DE∥BC，∠EDC＝28°，那么∠AED的度数是 　 　 ． 7．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠DCB＝144°时，台灯光线最佳．则此时∠CDE的度数为　 　 ． 8．小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图所示，EF与桌面MN垂直．当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，若∠DEF＝126°，∠BCD＝104°，则∠CDE的度数为　 　 ． 9．已知直线AB∥CD，P是平面内一点，若∠BPD＝30°，∠CDP＝20°，则∠ABP的度数为 　 　 度． 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AD∥BC，∠ABE＝2∠CBE，那么ED＝　 　 ． 11．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠（折线EF交AD于E，交BC于F），点C、D的对应点分别是C1，D1，ED1交BC于G，再将四边形C1D1GF沿FG折叠，点C1、D1的对应点分别是C2、D2，GD2交EF于H，给出下列结论： ①∠EGD2＝∠EFG； ②2∠EFC＝∠EGC+180°； ③若∠FEG＝26°，则∠EFC2＝102°； ④∠FHD2＝3∠EFB． 上述正确的结论是 　 　 ． 12．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，若∠B′FC＝50°，则∠DEF的度数为 　 　 °． 13．如图，已知AB∥CD，∠B＝∠D，∠E＝25°，求∠F的度数． 14．如图，已知∠BCD＝130°，EF∥DC，∠EAF＝100°，∠EFA＝20°，求∠B的度数． 15．如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，且交AB于点E，∠A＝118°．求∠2的度数． 16．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是过点P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠APC． （1）按照小明的思路，则∠APC的度数为 　 　 ． （2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线ON上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β．当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P不在B、D两点之间运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系． 17．【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接ME，NE，得到∠MEN，试探究∠MEN与∠AME，∠CEN之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若F在AB，CD之间，∠EMF＝3∠BMF，NF平分∠END，∠F＝2∠E，求∠AME与∠CNE的数量关系； （3）如图（3），射线ME从MA开始，绕M点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线NF从ND开始，绕N点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线ME与直线NF交于P，若直线ME与直线NF相交所夹的锐角为30°，直接写出运动时间t秒（0≤t≤14）的值． 二．平行线的判定与性质综合（共19小题） 18．已知同一平面内的三条不同直线a，b，c，则下述错误的是（　　） A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．若a⊥b，b⊥c，则a∥c D．若a∥b，b⊥c，则a⊥c 19．下列叙述正确的是（　　） A．过直线外一点可作两条直线与已知直线平行 B．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离 C．过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条 D．如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行 20．如图，这是一款自行车的平面示意图，其中AB∥CD，那么下列结论错误的是（　　） A．如果∠EAC＝∠ACB，那么AE∥CB B．如果∠EAB+∠ABC＝180°，那么AE∥CB C．如果AE∥CB，∠BCD＝∠BAC＝57°，那么∠EAC＝57° D．如果AE∥CB，∠EAC＝57°，∠ACD＝120°，那么∠ABC＝63° 21．如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小海和乐乐采用了两种不同的方法：小海把纸带①沿AB折叠，量得∠1＝∠2＝59°；乐乐把纸带②沿GH折叠，发现GD与GC重合，HF与HE重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上，则下列判断正确的是（　　） A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 22．如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论： ①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值 其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．将一副直角三角板作如图所示摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°，AB∥CD，则下列结论不正确的是（　　） A．GE∥MP B．∠EFN＝150° C．∠BEF＝60° D．∠AEG＝∠PMN 24．如图，AD⊥BD，∠3+∠2＝180°，∠1＝55°，那么∠2的度数是　 　 度． 25．如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论： ①GE∥MP； ②∠EFN＝135°； ③∠BEF＝75°； ④∠AEG＝∠PMN． 其中正确的结论有 　 　 （写出所有正确结论的序号）． 26．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当∠CAE＝15°时，BC∥DE．则∠CAE其余符合条件的度数为　 　 ． 27．将一副三角板按如图放置，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝45°，∠E＝60°，则：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝30°，则有AC∥DE；④如果∠2＝45°，则有BC∥AD．上述结论中正确的是 　 　 （填写序号）． 28．一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE，垂足为A，CD平行于地面AE，若∠ABC＝115°，则∠BCD的度数为　 　 ． 29．如图，AB∥CD，E，F分别为直线AB，CD上两点，且∠BEF＝30°，射线EB绕点E以1°/秒的速度顺时针旋转至EF停止，射线FD绕点F以5°/秒的速度逆时针旋转至射线FC后立即返回，当EB与EF重合时，两条射线都停止运动．若射线FD先转动20秒，射线EB才开始转动，在旋转过程中，当射线EB转动 　 　 秒时，EB∥FD． 30．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠EDC＝126°时，台灯光线最佳．则此时∠DCB的度数为 　 　 ． 31．将两块直角三角板（即两个直角三角形，其中，∠C＝30°，∠CDO＝60°；∠OAB＝∠OBA＝45°的直角顶点O按图1方式叠放在一起．△COD绕着点O顺时针旋转∠α（0°＜∠α＜180°），旋转的速度为每秒10°，当旋转时间为t为 　 　 秒，△COD有一边与边AB平行． 32．我们可以用图示所示方法过直线a外的一点P折出直线a的平行线b，①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一条直线的两条直线互相平行，以上判定能作为这种方法依据的有　 　 ． 33．如图，已知点E、F在直线AB上，点N在线段CD上，ED与FN交于点M，∠C＝∠1，∠2＝∠3． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠D＝47°，∠EMF＝80°，求∠AEP的度数． 34．如图，点C在射线BG上，AE∥DF，∠1＝∠2，∠B+∠D＝180°，求证：AE∥BG． 请你补全下面的证明过程： 证明： ∵∠1＝∠2（已知）， ∴AB∥　 　 （ 　 　 ）， ∴　 　 ＝∠3（ 　 　 ）， ∵∠B+∠D＝180（已知）， ∴　 　 +∠D＝180（等量代换）， ∴　 　 ∥DF（ 　 　 ）， 又∵AE∥DF（已知）， ∴AE∥BG（ 　 　 ）． 35．已知如图，CD⊥AB于D，EF⊥AB于F，∠1＝∠2，请问DG∥BC吗？如果平行，请说明理由． 36．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，交BC于点E，F是AD延长线上一点，连接EF，交CD于点G，已知∠3＝∠4． （1）证明：∠1＝∠3； （2）证明：AE∥DC； （3）若∠3+∠F＝90°，试说明CD与EF的位置关系． 三．拓展：材料题（共5小题） 37．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B． （1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 　 　 ； （2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C； （3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数． 38．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数． 小明的思路是：过P作PE∥AB，如图2，通过平行线性质来求∠APC． （1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为　 　 ；请说明理由； 问题迁移： （2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，则∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系． 39． 探究：为什么自行车尾灯没有电也会“亮”？ 【素材1】如图1，光的反射现象中，把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角，且i＝r，这就是光的反射定律． 【素材2】在生活中，光的反射现象被广泛地应用．例如自行车尾灯（如图2），它不用安装电池，也不用插电源，白天它并不发光，但在夜间或路灯照明不足的路段，尾灯能发挥其独特的作用．当汽车车灯的灯光照射到自行车上时，它能巧妙地将光线“反射”回去，从而提醒汽车司机注意前方的自行车． 【原理】图3是自行车尾部反光镜工作原理的平面示意图，a表示射入反光镜的光线，b表示经平面镜两次反射后离开反光镜的光线．当光线从某个角度入射时，经过两面镜子反射后，会朝着与入射方向平行但相反的方向返回．这就是所谓的“哪来的就回哪去”效果． 【任务】如果a∥b，那么平面镜AB与BC的夹角∠ABC的度数是多少？请把以下求解过程补充完整． 解：如图，过点P、Q分别作AB、BC的垂线，交点为G， ∵入射角等于反射角， ∴，， ∵a∥b， ∴　 　 （ 　 　 ）， ∴∠　 　 +∠　 　 ＝90°， ∵∠QPG+∠PQG+∠PGQ＝180°（ 　 　 ）， ∴∠PGQ＝ 　 　 °， ∵GP⊥AB，GQ⊥BC， ∴∠GPB＝∠GQC＝90°， ∴∠GPB+∠PGQ＝180°， ∴AB∥GQ（ 　 　 ）， ∴∠ABC＝∠GQC＝90°（ 　 　 ）． 40．问题情境 我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用． 已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF． 问题初探 （1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数． 分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数． 由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为 　 　 ，∠EMC的度数为 　 　 ． 类比再探 （2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由． （3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由． 41．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1＝∠2． （1）如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝55°，则∠2＝ 　 　 ，∠3＝ 　 　 ； （2）图2中，请你探究：当任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a、b的夹角∠3的度数； （3）如图3，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m垂直，那么此时∠O的度数是 　 　 ． 四．随堂检测（共5小题） 1．如图，∠C+∠D＝180°，∠A﹣∠B＝90°，则∠B＝ 　 　 ． 2．如图，已知∠1＝110°，∠2＝70°，∠3＝138°，那么∠4＝ 　 　 °． 3．如图，点A、B、C在一条直线上，∠1＝∠2，∠EBC＝50°，则∠A＝　 　 度． 4．将一副三角尺如图1所示摆放，AB、FD分别在直线GH、MN上，∠BAC＝30°，∠E＝45°，直线GH∥MN．现将三角尺ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角尺DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设时间为t秒，当0≤t≤180时，如果边BC与三角尺DEF的一条直角边平行（旋转过程中三角尺任意两边所在的直线不重合），那么所有满足条件的t的值为　 　 ． 5．如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝58°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF＝　 　 °． 五．课后巩固（共13小题） 1．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝125°，∠4的度数为（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 2．下列说法中，正确的是（　　） A．如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补 B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度 C．如果两条直线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行 D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 3．如图，已知直线AB，CD被直线EF所截，若∠1＝∠3，则∠2+∠3＝ 　 　 ． 4．抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一、明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：AB∥CD，∠DCE＝124°，∠E＝28°，则∠BAE的度数为 　 　 ． 5．将一副三角板按如图放置，小明得到下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，则∠4＝∠C；那么其中正确的结论有 　 　 ． 6．如图已知：EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝72°，求∠AGD的度数． 解：∵EF∥AD， ∴∠2＝　 　 （　 　 ）． 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝　 　 ． ∴AB∥　 　 （　 　 ）． ∴∠BAC+　 　 ＝180°（　 　 ）． ∵∠BAC＝72°， ∴∠AGD＝　 　 ． 7．如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC，∠1＝75°，∠2＝75°．求证：AF∥BC． 8．如图，已知AD⊥BC，垂足为点D，EG⊥BC，垂足为点G，EG交AB于点F，∠AFE＝∠E．求证：AD平分∠BAC． 9．如图，已知∠A＝∠C，AE∥CF，求证：AB∥CD． 10．四边形ABCD中，点F，点G分别是AD，BC上一点，直线FG分别交BA，DC的延长线于E，H．∠AFE＝50°，∠FGC＝130°． 求证：（1）AD∥BC； （2）若∠B＝∠D，那么AB会和CD平行吗？为什么？ 11．已知：如图，CD⊥AB，GF⊥AB，∠1＝∠2． 求证：∠FEC+∠ECB＝180°． 12．（1）问题发现： 如图1，直线AB∥CD，E是AB与CD之间的一点，连接BE、CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．说明理由； （2）解决问题： 如图2，AB∥DC，∠C＝120°，∠AEC＝80°，请求出∠A的度数． 13．【课题学习】平行线的“等角转化” 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B＝ 　 　 ，∠C＝ 　 　 ， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°． ∴∠B+∠BAC+∠C＝ 　 　 ． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“类”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B﹣∠C的度数． （3）如图3．若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请探究∠B，∠D，∠BPD之间的数量关系，并说明理由． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 平行的性质及综合 (知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义 本节课主要针对第16章平行线专题讲解。在本节课中，我们梳理了平行线的性质相关概念、综合题型常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。 知识点一 平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 知识点二 平行线的判定与性质 1、平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 2、应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 3、平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． 4、辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 知识点三 平行线之间的距离 1、平行线之间的距离 从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 2、平行线间的距离处处相等． 一．平行的性质（共17小题） 1．五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，AB和CD是五线谱上的两条线段，点E在AB，CD之间的一条平行线上，若∠1＝120°，∠2＝30°，则∠BEC的度数是（　　） A．90° B．100° C．120° D．110° 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BEF的度数，再根据两直线平行，内错角相等求出∠FEC的度数，即可求出∠BEC的度数． 【解答】解：根据题意得AB∥EF∥CD，如图， ∵AB∥EF， ∴∠1+∠BEF＝180°， ∵∠1＝120°， ∴∠BEF＝60°， ∵EF∥CD， ∴∠FEC＝∠2＝30°， ∴∠BEC＝∠BEF+∠FEC＝60°+30°＝90°， 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟知平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 2． 如图，将三角板与两边平行的直尺（EF∥HG）贴在一起，使三角板的直角顶点C在直尺的一边上，若∠2＝60°，则∠1的度数是（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 【分析】根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”即可求得． 【解答】解：∵EF∥HG，∠2＝60°， ∴∠2＝∠FCD＝60°， ∵∠1+∠FCD＝∠ACB＝90°， ∴∠1＝90°﹣∠FCD＝90°﹣60°＝30°， 所以∠1的度数是30°， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 3．如图，现有一张长方形纸片ABCD，点E，F在AD上，点G，H在BC上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，点C的对应点为点C′．点B对应点为点B′．若∠α+∠β＝132°，则∠C′MB′的度数为（　　） A．104° B．106° C．96° D．132° 【分析】由平行线的性质得到∠DEG＝∠α，∠AFH＝∠β．根据∠α+∠β＝132°得到∠DEG+∠AFH＝132°，由折叠得到∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH．即可由∠MEF+∠MFE＝180°﹣∠DEM+180°﹣∠AFM＝360°﹣2（∠DEG+∠AFH）＝96°，根据三角形的内角和定理可得∠EMF＝180°﹣（∠MEF+∠MFE）＝84°，由周角的定义得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC． ∴∠DEG＝∠α，∠AFH＝∠β． ∴∠DEG+∠AFH＝∠α+∠β＝132°， ∵点E，F在AD上，点G，H在BC上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，点C的对应点为点C′．点B对应点为点B′， ∴∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，∠C′ME＝∠B′MF＝90°． ∴∠MEF+∠MFE＝180°﹣∠DEM+180°﹣∠AFM ＝180°﹣2∠DEG+180°﹣2∠AFH ＝360°﹣2（∠DEG+∠AFH） ＝360°﹣2×132° ＝96°． ∴∠EMF＝180°﹣（∠MEF+∠MFE）＝84°， ∴∠C′MB′＝360°﹣∠EMF﹣∠C′ME﹣∠B′MF＝360°﹣84°﹣90°﹣90°＝96°． 故选：C． 【点评】此题考查了平行线的性质、折叠的性质、邻补角等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 4．一学员在训练场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向和原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向左拐30°，第二次向右拐150° C．第一次向左拐30°，第二次再向左拐30° D．第一次向左拐30°，第二次再向左拐150° 【分析】根据平行线的性质分别判断得出即可． 【解答】解：∵两次拐弯后，按原来的方向前进，即行驶方向平行， ∴根据平行线的性质，两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，且拐的角度相等． A、两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，且拐的角度相等，所以此选项正确，符合题意； B、两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，但拐的角度不相等，所以此选项错误，不符合题意； C、两次拐弯的方向相同，形成的角不是同位角，所以此选项错误，不符合题意； D、两次拐弯的方向相同，形成的角不是同位角，所以此选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题关键． 5．如图，一个平面镜EF放置在两个互相平行的挡板m和n之间，平面镜EF与挡板n形成的锐角为23°．一支激光笔从点A处发出的光束投射到平面镜上的点B处，反射光束投射到挡板m上的点C处．设光束AB所在直线与挡板m的交点为D，若∠DBF＝∠CBE＝52°，则∠BCD的度数为（　　） A．75° B．76° C．104° D．105° 【分析】延长CB交n于K，由三角形的外角性质得到∠CKL＝∠FBK+∠EFK＝75°，由平行线的性质推出∠BCD＝∠CKL＝75°． 【解答】解：延长CB交n于K， ∵平面镜EF与挡板n形成的锐角为23°， ∴∠EFK＝23°， ∵∠FBK＝∠CBE＝52°， ∴∠CKL＝∠FBK+∠EFK＝75°， ∵m∥n， ∴∠BCD＝∠CKL＝75°． 故选：A． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠BCD＝∠CKL． 6．如图，如果CD平分∠ACB，DE∥BC，∠EDC＝28°，那么∠AED的度数是 　56°　 ． 【分析】根据平行线的性质得到∠BCD＝∠EDC＝28°，根据角平分线的定义得到∠ACB＝2∠BCD＝56°，再用平行线的性质即可得到∠AED＝∠ACB＝56°． 【解答】解：∵DE∥BC，∠EDC＝28°， ∴∠BCD＝∠EDC＝28°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠BCD＝2×28°＝56°， ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ACB＝56°（两直线平行，同位角相等）， 所以∠AED的度数为56°． 故答案为：56°． 【点评】此题考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 7．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠DCB＝144°时，台灯光线最佳．则此时∠CDE的度数为　126°　 ． 【分析】过点C作CE∥AB，先由垂线的定义得到∠ABC＝90°，再证明DE∥AB∥CE，由平行线的性质求出∠DCF，∠BCF的度数即可得到答案． 【解答】解：如图所示，过点C作CF∥AB， ∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°（垂直的定义）， ∵DE∥AB， ∴DE∥AB∥CF， ∴∠DCF＝180°﹣∠CDE，∠BCF＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°， ∵∠BCD＝∠DCF+∠BCF＝144°， ∴∠CDE＝（180°﹣∠CDE）+90°＝270°﹣144°＝126°， 则∠CDE的度数为126°． 故答案为：126°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，垂线，关键是相关性质的熟练掌握． 8．小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图所示，EF与桌面MN垂直．当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，若∠DEF＝126°，∠BCD＝104°，则∠CDE的度数为　112°　 ． 【分析】依据由题，过点D作DG∥AB，过点E作EH∥AB，根据平行线的性质求解即可； 【解答】解：∵EF⊥MN， ∴∠MFE＝90°， 如图，过点D作DG∥AB，过点E作EH∥AB， ∵AB∥MN， ∴AB∥DG∥EH∥MN， ∴∠ACD+∠CDG＝180°，∠GDE＝∠DEH，∠HEF＝∠MFE＝90°， ∵∠DEF＝126°，∠BCD＝104°， ∴∠GDE＝∠DEH＝∠DEF﹣90°＝36°，∠CDG＝180°﹣104°＝76°， ∴∠CDE＝∠CDG+∠GDE＝112°， 故答案为：112°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． 9．已知直线AB∥CD，P是平面内一点，若∠BPD＝30°，∠CDP＝20°，则∠ABP的度数为 　10或50　 度． 【分析】分两种情况：当点P在AB、CD之间时；当点P在AB、CD之外时；然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当点P在AB、CD之间时，如图： 过点P作PE∥CD， ∴∠CDP＝∠EPD＝20°， ∵∠BPD＝30°， ∴∠BPE＝∠BPD﹣∠EPD＝10°， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE， ∴∠ABP＝∠BPE＝10°； 当点P在AB、CD之外时，如图： 过点P作PE∥CD， ∴∠CDP＝∠EPD＝20°， ∵∠BPD＝30°， ∴∠BPE＝∠BPD+∠EPD＝50°， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE， ∴∠ABP＝∠BPE＝50°； 综上所述：∠ABP的度数为10°或50°， 故答案为：10或50． 【点评】本题考查了平行线的性质，分两种情况讨论是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AD∥BC，∠ABE＝2∠CBE，那么ED＝　10　 ． 【分析】取DE的中点F，连接AF，根据平行线的性质，得到∠D＝∠CBE，∠DAE＝∠ACB＝90°，根据斜边上的中线得到，等边对等角，结合三角形的外角得到∠AFB＝2∠D，进而得到∠ABF＝∠AFB，得到AB＝AF，即可得出结果． 【解答】解：取DE的中点F，连接AF， ∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠CBE，∠DAE＝∠ACB＝90°（两直线平行，内错角相等）， ∴， ∴∠D＝∠FAD， ∴∠AFB＝∠D+∠FAD＝2∠D， ∵∠ABE＝2∠CBE＝2∠D， ∴∠ABF＝∠AFB， ∴AB＝AF＝5， ∴DE＝2AF＝2×5＝10； 故答案为：10． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 11．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠（折线EF交AD于E，交BC于F），点C、D的对应点分别是C1，D1，ED1交BC于G，再将四边形C1D1GF沿FG折叠，点C1、D1的对应点分别是C2、D2，GD2交EF于H，给出下列结论： ①∠EGD2＝∠EFG； ②2∠EFC＝∠EGC+180°； ③若∠FEG＝26°，则∠EFC2＝102°； ④∠FHD2＝3∠EFB． 上述正确的结论是 　②③④　 ． 【分析】由折叠性质得到∠DEF＝∠GEF，∠D2GF＝∠D1GF，根据平行线性质得到∠DEF＝∠GEF＝∠EFG，再由三角形外角性质确定∠DGF＝∠GEF+∠GFE，设∠EGD2＝α，∠EFG＝β，则 α+4β＝180°，只有当α＝β＝36°时结论①才成立；由ED1∥FC1，得到∠EGC＝∠GFC1，结合折叠性质求证即可得到②正确；在①的求证过程中可知∠GEF＝∠EFG＝26°，设∠EFC2＝α，则∠GFC2＝26°+α＝∠GFC1，从而由折叠性质表示出角度关系列方程求解即可得到③正确；在①的证明过程中∠FGH＝∠D1GF＝∠GEF+∠GFE＝2∠EFB，结合外角性质即可得到④正确；从而得到答案． 【解答】解：由折叠性质得∠DEF＝∠GEF，∠D2GF＝∠D1GF， ∴∠EGD2+∠D2GF+∠D1GF＝180°， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFG，则∠DEF＝∠GEF＝∠EFG， ∵∠D1GF是△EGF一个外角， ∴∠D1GF＝∠GEF+∠GFE， 设∠EGD2＝α，∠EFG＝β，则α+4β＝180°， 当∠EGD2＝∠EFG时，α＝β＝36°， 但题中并未明确∠EGD2、∠EFG的度数，故①错误； ∵ED1∥FC1， ∴∠EGC＝∠GFC1， 由折叠性质可知∠EFC＝∠EFC1，则2∠EFC＝∠BFC+∠GFC1＝∠EGC+180°，故②正确； 由折叠性质得∠EFC1＝∠EFC，∠GFC2＝∠GFC1． 由①的证明过程可知，∠GEF＝∠EFG＝26°， 设∠EFC2＝α，则∠GFC2＝26°+α＝∠GFC1， ∴∠EFC＝∠EFC1＝26°+（26°+α）＝α+52°， ∵∠EFG+∠EFC＝180°， ∴26°+α+52°＝180°， 解得α＝102°，即∠EFC2＝102°，故③正确； 由①知∠FGH＝∠D1GF＝∠GEF+∠GFE＝2∠EFB， ∵∠FHD2是△HGF的一个外角， ∴∠FHD2＝∠FGH+∠EFB＝3∠EFB，故④正确； 综上所述，题中正确的结论是②③④， 故答案为：②③④． 【点评】本题考查折叠求角度关系，涉及折叠性质、邻补角定义、三角形外角性质、平行线性质等知识，数形结合，利用相关几何性质． 12．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，若∠B′FC＝50°，则∠DEF的度数为 　65　 °． 【分析】利用折叠的性质求出∠BFE，再根据平行线的性质求出结果即可． 【解答】解：由折叠可得：， ∵长方形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DEF＝∠BFE＝65°（两直线平行，内错角相等）， 即∠DEF的度数为65°， 故答案为：65． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 13．如图，已知AB∥CD，∠B＝∠D，∠E＝25°，求∠F的度数． 【分析】根据AB∥CD得出∠B＝∠DCF，结合已知可得∠D＝∠DCF，即可证明ED∥BF，根据平行线的性质，即可求解． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠DCF， 由条件可知∠D＝∠DCF， ∴ED∥BF， ∴∠F＝∠E， ∴∠F＝∠E＝25°． 【点评】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握该知识点是关键． 14．如图，已知∠BCD＝130°，EF∥DC，∠EAF＝100°，∠EFA＝20°，求∠B的度数． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠E＝60°，根据平行线的性质求出∠ACD＝∠E＝60°，再根据三角形外角的性质求解即可． 【解答】解：∵∠EAF＝100°，∠EFA＝20°， ∴∠E＝180°﹣∠EFA﹣∠EAF＝60°， ∵EF∥DC， ∴∠ACD＝∠E＝60°， ∵∠BCD＝130°， ∴∠ACB＝∠BCD﹣∠ACD＝70°， ∴∠B＝∠EAF﹣∠ACB＝30°． 【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键． 15．如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，且交AB于点E，∠A＝118°．求∠2的度数． 【分析】由平行线的性质可得∠A+∠ACD＝180°，则可求得∠ACD＝62°，再由角平分线的定义得∠1＝31°，即可求解． 【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝118°， ∴∠A+∠ACD＝180°， ∴∠ACD＝180°﹣∠A＝62°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠1∠ACD＝31°， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠1＝31°． 【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 16．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是过点P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠APC． （1）按照小明的思路，则∠APC的度数为 　110°　 ． （2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线ON上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β．当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P不在B、D两点之间运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系． 【分析】（1）通过平行线性质可得∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，再代入∠PAB＝130°，∠PCD＝120°可求∠APC即可； （2）过P作PE∥AB交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案； （3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°， ∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°， ∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°． 故答案为：110°； （2）∠APC＝∠α+∠β， 理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠α+∠β； （3）如图所示，当P在BD延长线上时， ∠CPA＝∠α﹣∠β； 如图所示，当P在DB延长线上时， ∠CPA＝∠β﹣∠α． 【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． 17．【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接ME，NE，得到∠MEN，试探究∠MEN与∠AME，∠CEN之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若F在AB，CD之间，∠EMF＝3∠BMF，NF平分∠END，∠F＝2∠E，求∠AME与∠CNE的数量关系； （3）如图（3），射线ME从MA开始，绕M点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线NF从ND开始，绕N点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线ME与直线NF交于P，若直线ME与直线NF相交所夹的锐角为30°，直接写出运动时间t秒（0≤t≤14）的值． 【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行线定理及性质得出∠AEM＝∠MEF，∠CNE＝∠NEF，再根据角的和差即可得出答案； （2）设∠BMF＝y，则∠EMF＝3y，设∠ENF＝x，则∠DNF＝x， 由（1）知，∠E＝∠AME+∠CNE＝（180°﹣4y）+（180°﹣2x）＝360°﹣4y﹣2x，∠F＝x+y，可列出x+y＝2（360°﹣4y﹣2x），再代入化简即可得出答案； （3）将直线将直线EM的点M平移与直线NF的N点重合，根据运动的角度为15°t，结合题意将角度转化为30°、150°、210°角度差，结合题意列出对应的角度和差关系求解即可得出答案． 【解答】解：（1）过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠AEM＝∠MEF，∠CNE＝∠NEF， ∴∠AEF+∠CNE＝∠MEF+∠NEF＝∠MEN， 即∠MEN＝∠AEF+∠CNE； （2）如图， 设∠BMF＝y，则∠EMF＝3y，设∠ENF＝x，则∠DNF＝x， 由（1）知，∠E＝∠AME+∠CNE＝（180°﹣4y）+（180°﹣2x）＝360°﹣4y﹣2x， 同理可得∠F＝x+y， ∵∠F＝2∠E， ∴x+y＝2（360°﹣4y﹣2x）， ∴9y+5x＝720°， 由∠AME＝180°﹣4y，得， 由∠CNE＝180°﹣2x，得， 将，代入9y+5x＝720°， 可得9∠AME+10∠CNE＝540°； （3）将直线EM的点M平移与直线NF的N点重合， 根据题意得，∠DME1＝10°t，∠DNF＝25°t， 则∠FNE1＝10°t， 由题意可得：∠FNE1＝30°， ∴∠FNE1＝30°， ∴25°t﹣10°t＝30°， ∴t＝2； 根据题意得，∠DNM1＝10°t，∠CNE1＝25°t﹣180°， 由题意可得：∠M1NE＝30°， ∴∠CNE1+∠M1NE＝∠DNM1， 即25°t﹣180°+30°＝10°t， ∴t＝10； 根据题意得，∠DNM1＝10°t，∠CNE1＝360°﹣25°t， 由题意可得：∠N1NE1＝30°， ∴∠N1NE＝∠DNN1﹣∠DNE1， 即30°＝180°﹣10°t﹣（360°﹣25°t）， ∴t＝14； 综上所述，t＝2或10或14． 【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，解题的关键是利用已知的结论和使用动态的思想求解． 二．平行线的判定与性质综合（共19小题） 18．已知同一平面内的三条不同直线a，b，c，则下述错误的是（　　） A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．若a⊥b，b⊥c，则a∥c D．若a∥b，b⊥c，则a⊥c 【分析】根据平行线的判定与性质、平行公理及推论一一判断即可． 【解答】解：若a∥b，b∥c，则a∥c， 故A说法正确，不符合题意； 若a⊥b，b⊥c，则a∥c， 故B说法错误，符合题意； 若a⊥b，b⊥c，则a∥c， 故C说法正确，不符合题意； 若a∥b，b⊥c，则a⊥c， 故D说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查平行线的判定与性质、平行公理及推论，解题的关键是掌握在同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行． 19．下列叙述正确的是（　　） A．过直线外一点可作两条直线与已知直线平行 B．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离 C．过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条 D．如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行 【分析】根据点到直线的距离，平行公理，两直线的位置关系，垂线的定义知识逐项分析判断，即可求解． 【解答】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故A选项不符合题意； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离， 故B选项符合题意； 同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条， 故C选项不符合题意； 同一平面内，如果两条直线不垂直，那么这两条直线相交或平行， 故D选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理等知识，熟记平行线的判定与性质，平行公理是解题的关键． 20．如图，这是一款自行车的平面示意图，其中AB∥CD，那么下列结论错误的是（　　） A．如果∠EAC＝∠ACB，那么AE∥CB B．如果∠EAB+∠ABC＝180°，那么AE∥CB C．如果AE∥CB，∠BCD＝∠BAC＝57°，那么∠EAC＝57° D．如果AE∥CB，∠EAC＝57°，∠ACD＝120°，那么∠ABC＝63° 【分析】根据平行线的判定和性质，逐一判断各选项可得到结果． 【解答】解：A．如果∠EAC＝∠ACB，根据内错角相等，两直线平行，那么AE∥CB，故该结论正确，不符合题意； B．如果∠EAB+∠ABC＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，那么AE∥CB，故该结论正确，不符合题意； C．∵AB∥CD，∠BCD＝57°， ∴∠ABC＝∠BCD＝57°， ∵∠BAC＝57°， ∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝66°， ∵AE∥CB， ∴∠EAC＝∠ACB＝66°， 故该结论错误，符合题意； D．∵AE∥CB，∠EAC＝57°， ∴∠EAC＝∠ACB＝57°， 又∵∠ACD＝120°， ∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝63°， ∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCD＝63°， 故该结论正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 21．如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小海和乐乐采用了两种不同的方法：小海把纸带①沿AB折叠，量得∠1＝∠2＝59°；乐乐把纸带②沿GH折叠，发现GD与GC重合，HF与HE重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上，则下列判断正确的是（　　） A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 【分析】对于纸带①，根据对顶角相等可得∠1＝∠ADB＝59°，利用三角形内角和定理求得∠DBA＝62°，再根据折叠的性质可得∠ABC＝∠DBA＝62°，由平行线的判定即可判断；对于纸带②，由折叠的性质得，∠CGH＝∠DGH，∠EHG＝∠FHG，由平角的定义从而可得∠EHG＝∠FHG＝90°，∠CGH＝∠DGH＝90°，再根据平行线的判定即可判断． 【解答】解：对于纸带①， ∵∠1＝∠2＝59°， ∴∠1＝∠ADB＝59°， ∴∠DBA＝180°﹣59°﹣59°＝62°， 由折叠的性质得，∠ABC＝∠DBA＝62°， ∴∠2≠∠ABC， ∴AD与BC不平行， 对于纸带②，由折叠的性质得，∠CGH＝∠DGH，∠EHG＝∠FHG， 又∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上， ∴∠CGH+∠DGH＝180°，EHG+∠FHG＝180°， ∴∠EHG＝∠FHG＝90°，∠CGH＝∠DGH＝90°， ∴∠EHG+∠CGH＝180°， ∴CD∥EF， 综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行， 故选：D． 【点评】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 22．如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论： ①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值 其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE， ∴∠1+∠AEB＝90°，∠DEC+∠AEB＝90°， ∴∠1＝∠DEC， 又∵∠1+∠2＝90°， ∴∠DEC+∠2＝90°， ∴∠C＝90°， ∴∠B+∠C＝180°， ∴AB∥CD，故①正确； ∴∠ADN＝∠BAD， ∵∠ADC+∠ADN＝180°， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， 又∵∠AEB≠∠BAD， ∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误； ∵∠4+∠3＝90°，∠2+∠1＝90°，而∠3＝∠1， ∴∠2＝∠4， ∴ED平分∠ADC，故③正确； ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠EAM+∠EDN＝360°﹣90°＝270°． ∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F， ∴∠EAF+∠EDF270°＝135°． ∵AE⊥DE， ∴∠3+∠4＝90°， ∴∠FAD+∠FDA＝135°﹣90°＝45°， ∴∠F＝180°﹣（∠FAD+∠FDA）＝180﹣45°＝135°，故④正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 23．将一副直角三角板作如图所示摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°，AB∥CD，则下列结论不正确的是（　　） A．GE∥MP B．∠EFN＝150° C．∠BEF＝60° D．∠AEG＝∠PMN 【分析】A、由题意得∠G＝∠MPN＝∠MPG＝90°，利用内错角相等，两直线平行即可判定GE∥MP； B、由题意得∠EFG＝30°，利用邻补角即可求出∠EFN的度数； C、过点F作FH⊥AB，可得FH∥CD，从而得到∠HFN＝∠MNP＝45°，可求得∠EFN＝105°，再利用平行线的性质即可求出∠BEF； B、利用角的计算可求出∠AEG＝45°，从而可判断． 【解答】解：A、∵∠G＝∠MPN＝∠MPG＝90°， ∴GE∥MP， 故不符合题意； B、∵∠EFG＝30°， ∴∠EFN＝180°﹣30°＝150°， 故不符合题意； C、过点F作FH∥AB，如图， ∵AB∥CD， ∴FH∥CD， ∴∠HFN＝∠MNP＝45°， ∴∠EFN＝150°﹣45°＝105°， ∵FH∥AB， ∴∠BEF＝180°﹣105°＝75°； 故符合题意； D、∵∠GEF＝60°，∠BEF＝75°， ∴∠AEG＝180°﹣60°﹣75°＝45°， ∴∠AEG＝∠PMN＝45°， 故不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查平行线的性质与判定，解答关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用． 24．如图，AD⊥BD，∠3+∠2＝180°，∠1＝55°，那么∠2的度数是　35　 度． 【分析】先证明AB∥CD，然后利用平行线的性质求出∠BDC＝125°，在结合垂直的定义求解即可． 【解答】解：∵∠3+∠2＝180°， ∴AB∥CD， ∴∠1+∠BDC＝180°， 又∠1＝55°， ∴∠BDC＝125°， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝90°， ∴∠2＝∠BDC﹣∠ADB＝35°， 故答案为：35． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，垂直的定义等，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 25．如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论： ①GE∥MP； ②∠EFN＝135°； ③∠BEF＝75°； ④∠AEG＝∠PMN． 其中正确的结论有 　①③④　 （写出所有正确结论的序号）． 【分析】由内错角相等，两直线平行可判断①，由邻补角的性质可判断②，如图，延长EG交AB于K，先求解∠KEG＝45°，从而可判断③④，于是可得答案． 【解答】解：由题意得： ∠GEF＝60°，∠GFE＝30°，∠EGF＝90°＝∠MPN，∠PMN＝∠PNM＝45°， ∴∠MPG＝∠EGP＝90°， ∴EG∥PM，故①符合题意； ∵∠EFG＝30°， ∴∠EFN＝180°−30°＝150°，故②不符合题意； 如图，延长FG交AB于K， ∵AB∥CD， ∴∠GKE＝∠PNM＝45°， ∴∠KEG＝90°−45°＝45°， ∴∠BEF＝180°−45°−60°＝75°，∠AEG＝∠PMN＝45°，故③④符合题意； 综上：符合题意的有①③④ 故答案为：①③④． 【点评】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的判定与性质，三角板中角度计算问题，掌握以上基础知识是解本题的关键． 26．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当∠CAE＝15°时，BC∥DE．则∠CAE其余符合条件的度数为　60°或105°或135°　 ． 【分析】分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠CAE的度数，再找到关于A点中心对称的情况即可求解． 【解答】解：如图3，当BC∥DE时，∠CAE＝45°﹣30°＝15°； 如图，当AE∥BC时，∠CAE＝90°﹣30°＝60°； 如图，当DE∥AB（或AD∥BC）时，∠CAE＝45°+60°＝105°； 当DE∥AC时，如图①，∠CAE＝45°+90°＝135°． 综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为60°或105°或135°， 故答案为：60°或105°或135°． 【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键． 27．将一副三角板按如图放置，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝45°，∠E＝60°，则：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝30°，则有AC∥DE；④如果∠2＝45°，则有BC∥AD．上述结论中正确的是 　①②③④　 （填写序号）． 【分析】根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可． 【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3，故①正确； ②∵∠1+∠2+∠2+∠3＝180°， ∴∠CAD+∠2＝180°，故②正确； ③∵∠2＝30°， ∴∠1＝∠E＝60°， ∴AC∥DE，故③正确； ④∵∠2＝45°， ∴∠3＝∠B＝45°， ∴BC∥AD，故④正确． 故答案为：①②③④． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 28．一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE，垂足为A，CD平行于地面AE，若∠ABC＝115°，则∠BCD的度数为　155°　 ． 【分析】过点B作BF∥AE，由题意易得BF∥CD，∠BAE＝90°，然后根据平行线的性质可进行求解． 【解答】解：过点B作BF∥AE，如图所示： 由条件可知BF∥CD，∠BAE＝90°， ∵BF∥AE， ∴∠ABF＝180°﹣∠BAE＝90°， ∵∠ABC＝115°， ∴∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝115°﹣90°＝25°， 由条件可知∠CBF+∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝180°﹣∠CBF＝180°﹣25°＝155°； 故答案为：155°． 【点评】本题主要考查垂线的定义及平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 29．如图，AB∥CD，E，F分别为直线AB，CD上两点，且∠BEF＝30°，射线EB绕点E以1°/秒的速度顺时针旋转至EF停止，射线FD绕点F以5°/秒的速度逆时针旋转至射线FC后立即返回，当EB与EF重合时，两条射线都停止运动．若射线FD先转动20秒，射线EB才开始转动，在旋转过程中，当射线EB转动 　或20　 秒时，EB∥FD． 【分析】因为EB运动到EF即停止，所以只有当DF运动到EF和CF之间时，EB才有可能与FD平行，设EB运动时间为t，先求出DF的初始位置，在求出t的取值范围，用t表示出∠BEF和∠DEF，根据平行线的性质列出一元一次方程求解即可． 【解答】解：设运动时间为t，则t≤30，∠BEF＝30﹣t， ∵AB∥CD， ∴∠CFE＝∠BEF＝30°， 当射线EB开始运动时，∠CFD＝180﹣5×20＝80°， 当EB∥DF时，∠BEF＝∠DFE， ∵EB运动到EF时停止， ∴当两射线平行时，DF在EF和CF之间， 当EF和DF第一次重合时， t＝（80﹣30）÷5＝10（s）， 当DF和CF重合时， t＝80÷5＝16（s）， 当DF第二次与EF重合时， t＝（80+30）÷5＝22（s）， 当10＜t＜16时，∠CFD＝80°﹣5t， ∴∠DFE＝∠CFE﹣∠CFD＝5t﹣50°， ∴30﹣t＝5t﹣50°， 解得：t， 当16＜t＜22时，∠CFD＝5t﹣80°， ∴∠DFE＝110°﹣5t， ∴110﹣5t＝30﹣t， 解得：t＝20， 综上所述，t或20． 故答案为：或20． 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及一元一次方程的应用，先判断运动时间的取值范围是本题解题的关键． 30．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠EDC＝126°时，台灯光线最佳．则此时∠DCB的度数为 　144°　 ． 【分析】过点C作CF∥AB，根据铅笔模型进行计算，即可解答． 【解答】解：过点C作CF∥AB， ∴∠ABC+∠BCF＝180°， ∵DE∥AB， ∴DE∥CF， ∴∠CDE+∠DCF＝180°， ∴∠ABC+∠BCF+∠CDE+∠DCF＝360°， 即∠ABC+∠DCB+∠CDE＝360°， ∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， ∵∠EDC＝126°， ∴∠DCB＝360°﹣∠ABC﹣∠CDE＝144°， 故答案为：144°． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，垂线，熟练掌握铅笔模型是解题的关键． 31．将两块直角三角板（即两个直角三角形，其中，∠C＝30°，∠CDO＝60°；∠OAB＝∠OBA＝45°的直角顶点O按图1方式叠放在一起．△COD绕着点O顺时针旋转∠α（0°＜∠α＜180°），旋转的速度为每秒10°，当旋转时间为t为 　4.5或13.5或16.5　 秒，△COD有一边与边AB平行． 【分析】根据图形的旋转，平行线的性质，数形结合，分类讨论即可求解． 【解答】解：如图所示，OD∥AB， ∴∠B＝∠BOD＝45°， ∴OD从OB顺时针旋转45°的时间为； 如图所示，OC∥AB， ∴∠B＝∠BOC＝45°， ∴OC从OA顺时针旋转至图中所示位置的角度为∠AOB+∠BOC＝90°+45°＝135°， ∴所需时间为； 如图所示，CD∥AB，过点O作OF∥AB， ∴AB∥OF∥CD， ∴∠B＝∠BOF＝45°，∠C＝∠COF＝30°， ∴∠BOC＝75°， ∴OC从OA顺时针旋转至图中所示位置的角度为∠AOB+∠BOC＝90°+75°＝165°， ∴所需时间为； 如图所示，OD∥AB， ∴∠A＝∠AOD＝45°， ∴OC从OA顺时针旋转至图中所示位置的角度为360°﹣45°﹣90°＝225°＞180°，故此种情况不符合题意，舍去； 如图所示，CD∥AB，设AB，OD交于点E， ∴∠AEO＝∠D＝60°＝∠B+∠BOE， ∴∠BOE＝60°﹣45°＝15°， ∴∠BOE＝∠AOC＝15°， ∴△COD绕点O顺时针旋转至图中所示位置，旋转的角度为360°﹣15°＝345°＞180°，故此种情况不符合题意，舍去； 综上所述，当t＝4.5（s）或t＝13.5（s）或16.5（s）时，△COD有一边与边AB平行， 故答案为：4.5或13.5或16.5． 【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，几何中角度的计算，理解图形的性质，掌握平行性的性质是关键． 32．我们可以用图示所示方法过直线a外的一点P折出直线a的平行线b，①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一条直线的两条直线互相平行，以上判定能作为这种方法依据的有　①②③　 ． 【分析】根据题意，结合图形，逐一判断a∥b成立的条件和结论，即可得到结果． 【解答】解：如图， 根据题意，可得EF⊥AB，EF⊥CD， ①∵∠EPD＝∠EQB＝90°， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）； ②∵∠CPQ＝∠EQB＝90°， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行）； ③∵∠QPD+∠EQB＝180°， ∴a∥b（同旁内角相等，两直线平行）； ④图形中没有与a，b都平行的直线， 故平行于同一条直线的两条直线互相平行，不能作为判定依据， 综上所述，作为判断依据是①②③． 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了平行线的判定方法的应用，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 33．如图，已知点E、F在直线AB上，点N在线段CD上，ED与FN交于点M，∠C＝∠1，∠2＝∠3． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠D＝47°，∠EMF＝80°，求∠AEP的度数． 【分析】（1）根据内错角相等两直线平行进行判断即可； （2）先求出∠BEC的度数，根据对顶角相等得到∠AEP的度数即可． 【解答】（1）证明：∵∠2＝∠3， ∴CE∥NF， ∴∠C＝∠FND， 又∵∠C＝∠1， ∴∠FND＝∠1， ∴AB∥CD． （2）解：∵∠D＝47°，AB∥CD，∠EMF＝80°， ∴∠BED＝∠D＝47°，∠2＝EMF＝∠3＝80°， ∴∠BEC＝80°+47°＝127°， ∴∠AEP＝∠BEC＝127°． 【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 34．如图，点C在射线BG上，AE∥DF，∠1＝∠2，∠B+∠D＝180°，求证：AE∥BG． 请你补全下面的证明过程： 证明： ∵∠1＝∠2（已知）， ∴AB∥CD （ 　内错角相等，两直线平行　 ）， ∴　∠B ＝∠3（ 　两直线平行，同位角相等　 ）， ∵∠B+∠D＝180（已知）， ∴　∠3　 +∠D＝180（等量代换）， ∴BG ∥DF（ 　同旁内角互补，两直线平行　 ）， 又∵AE∥DF（已知）， ∴AE∥BG（ 　平行于同一直线的两直线平行　 ）． 【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）， ∴∠B＝∠3（两直线平行，同位角相等）， ∵∠B+∠D＝180（已知）， ∴∠3+∠D＝180（等量代换）， ∴BG∥DF（同旁内角互补，两直线平行）， 又∵AE∥DF（已知）， ∴AE∥BG（平行于同一直线的两直线平行）． 故答案为：CD，内错角相等，两直线平行，∠B，两直线平行，同位角相等，∠3，BG，同旁内角互补，两直线平行． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． 35．已知如图，CD⊥AB于D，EF⊥AB于F，∠1＝∠2，请问DG∥BC吗？如果平行，请说明理由． 【分析】欲证DG∥BC，则要证明∠1＝∠3，因为∠1＝∠2，故证∠2＝∠3，由题干条件能推出EF∥CD，然后利用平行线的性质即可证明． 【解答】解：DG∥BC． 理由： ∵CD⊥AB于D，EF⊥AB于F， ∴EF∥CD， ∴∠2＝∠3， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴DG∥BC． 【点评】本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． 36．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，交BC于点E，F是AD延长线上一点，连接EF，交CD于点G，已知∠3＝∠4． （1）证明：∠1＝∠3； （2）证明：AE∥DC； （3）若∠3+∠F＝90°，试说明CD与EF的位置关系． 【分析】（1）利用AD∥BC，得∠2＝∠3，利用AE平分∠BAD，得∠1＝∠2，即可证明； （2）利用AD∥BC，得∠4＝∠C，再结合∠3＝∠4，得∠3＝∠C，即可证明； （3）利用AD∥BC，得∠F＝∠FEC，结合∠3+∠F＝90°，得∠3+∠FEC＝90°，可得∠AEF＝180°﹣（∠3+∠FEC）＝90°，再利用AE∥DC，得∠CGE＝∠AEF＝90°，即可证明． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠2＝∠3， ∵AE平分∠BAD， ∴∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3； （2）证明：∵AD∥BC， ∴∠4＝∠C， ∵∠3＝∠4， ∴∠3＝∠C， ∴AE∥DC； （3）解：∵AD∥BC， ∴∠F＝∠FEC（两直线平行，内错角相等）， ∵∠3+∠F＝90°， ∴∠3+∠FEC＝90°， ∴∠AEF＝180°﹣（∠3+∠FEC）＝90°， ∵AE∥DC， ∴∠CGE＝∠AEF＝90°（两直线平行，同位角相等）， ∴CD⊥EF． 【点评】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，平角，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 三．拓展：材料题（共5小题） 37．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B． （1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 　∠A+∠C＝90°　 ； （2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C； （3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数． 【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可； （2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD＝∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C＝∠CBG，即可得到∠ABD＝∠C； （3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF＝∠GBF，再设∠DBE＝α，∠ABF＝β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，最后解方程组即可得到∠ABE＝15°，进而得出∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°． 【解答】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O， ∵AM∥CN， ∴∠C＝∠AOB， ∵AB⊥BC， ∴∠A+∠AOB＝90°， ∴∠A+∠C＝90°， 故答案为：∠A+∠C＝90°； （2）如图2，过点B作BG∥DM， ∵BD⊥AM， ∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°， 又∵AB⊥BC， ∴∠CBG+∠ABG＝90°， ∴∠ABD＝∠CBG， ∵AM∥CN，BG∥AM， ∴CN∥BG， ∴∠C＝∠CBG， ∴∠ABD＝∠C； （3）如图3，过点B作BG∥DM， ∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD， ∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE， 由（2）可得∠ABD＝∠CBG， ∴∠ABF＝∠GBF， 设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则 ∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α， ∴∠AFC＝3α+β， ∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°， ∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β， △BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得 （2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，① 由AB⊥BC，可得 β+β+2α＝90°，② 由①②联立方程组，解得α＝15°， ∴∠ABE＝15°， ∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用． 38．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数． 小明的思路是：过P作PE∥AB，如图2，通过平行线性质来求∠APC． （1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为　110°　 ；请说明理由； 问题迁移： （2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，则∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系． 【分析】（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质求∠APC即可； （2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案； （3）画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案． 【解答】解：（1）过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°， ∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°， ∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°． 故答案为110°． （2）∠CPD＝∠α+∠β， 理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β； （3）当P在BA延长线时， ∠CPD＝∠β﹣∠α； 当P在AB延长线时， ∠CPD＝∠α﹣∠β． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，难度适中． 39． 探究：为什么自行车尾灯没有电也会“亮”？ 【素材1】如图1，光的反射现象中，把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角，且i＝r，这就是光的反射定律． 【素材2】在生活中，光的反射现象被广泛地应用．例如自行车尾灯（如图2），它不用安装电池，也不用插电源，白天它并不发光，但在夜间或路灯照明不足的路段，尾灯能发挥其独特的作用．当汽车车灯的灯光照射到自行车上时，它能巧妙地将光线“反射”回去，从而提醒汽车司机注意前方的自行车． 【原理】图3是自行车尾部反光镜工作原理的平面示意图，a表示射入反光镜的光线，b表示经平面镜两次反射后离开反光镜的光线．当光线从某个角度入射时，经过两面镜子反射后，会朝着与入射方向平行但相反的方向返回．这就是所谓的“哪来的就回哪去”效果． 【任务】如果a∥b，那么平面镜AB与BC的夹角∠ABC的度数是多少？请把以下求解过程补充完整． 解：如图，过点P、Q分别作AB、BC的垂线，交点为G， ∵入射角等于反射角， ∴，， ∵a∥b， ∴　∠EPQ+∠PQF＝180°　 （ 　两直线平行，同旁内角互补　 ）， ∴∠QPG +∠PQG ＝90°， ∵∠QPG+∠PQG+∠PGQ＝180°（ 　三角形内角和定理　 ）， ∴∠PGQ＝ 　90　 °， ∵GP⊥AB，GQ⊥BC， ∴∠GPB＝∠GQC＝90°， ∴∠GPB+∠PGQ＝180°， ∴AB∥GQ（ 　同旁内角互补，两直线平行　 ）， ∴∠ABC＝∠GQC＝90°（ 　两直线平行，同位角相等　 ）． 【分析】结合角平分线的定义，根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【解答】解：如图，过点P、Q分别作AB、BC的垂线，交点为G， ∵入射角等于反射角， ∴∠EPG＝∠QPG∠EPQ，∠PQG＝∠FQG∠PQF， ∵a∥b， ∴∠EPQ+∠PQF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠QPG+∠PQG＝90°， ∵∠QPG+∠PQG+∠PGQ＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠PGQ＝90°， ∵GP⊥AB，GQ⊥BC， ∴∠GPB＝∠GQC＝90°， ∴∠GPB+∠PGQ＝180°， ∴AB∥GQ（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠ABC＝∠GQC＝90°（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：∠EPQ+∠PQF＝180°；两直线平行，同旁内角互补；QPG；PQG；三角形内角和定理；90；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 40．问题情境 我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用． 已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF． 问题初探 （1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数． 分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数． 由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为 　30°　 ，∠EMC的度数为 　60°　 ． 类比再探 （2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由． （3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由． 【分析】（1）过点C作CH∥GF，则CH∥DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数； （2）过C作CH∥GF，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°； （3）过B作BK∥GF，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°． 【解答】解：（1）由题可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°， ∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°； 故答案为：30°，60°； （2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由： 证明：如图， 过C作CH∥GF，则∠CAF＝∠ACH， ∵DE∥GF，CH∥GF， ∴CH∥DE， ∴∠EMC＝∠HCM， ∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°； （3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由： 证明：如图， 过B作BK∥GF，则∠BAG＝∠KBA， ∵BK∥GF，DE∥GF， ∴BK∥DE， ∴∠BMD＝∠KBM， ∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质进行推算． 41．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1＝∠2． （1）如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝55°，则∠2＝ 　110°　 ，∠3＝ 　90°　 ； （2）图2中，请你探究：当任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a、b的夹角∠3的度数； （3）如图3，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m垂直，那么此时∠O的度数是 　45°　 ． 【分析】（1）根据题意，得到∠MBD的度数，再结合两直线平行，同旁内角互补，得到∠2的度数；利用三角形的内角和为180°，求出∠3，即可得到结果； （2）仿照第（1）题，进行计算，即可得到结果； （3）根据题意，在图形上标出相应的角，利用角的计算，得到结果． 【解答】解：如图2， 设∵∠1＝55°， ∴∠CBD＝55°， ∴∠MBD＝180°﹣∠1﹣∠CBD＝70°， ∵m∥n， ∴∠MBD+∠2＝180°， ∴∠2＝110°， ∵∠BDC＝∠NDE， ∴∠BDC＝35°， ∴在△BCD中，∠3＝180°﹣∠BDC﹣∠CBD＝90°， 故答案为：110°，90°； （2）∵∠1＝∠CBD， ∴∠MBD＝180°﹣∠1﹣∠CBD＝180°﹣2∠CBD， 同理∠2＝180°﹣2∠CDB， ∵m∥n， ∴∠MBD+∠2＝180°， ∴180°﹣2∠CBD+180°﹣2∠CDB＝180°， ∴∠CBD+∠CDB＝90° ∴在△BCD中，∠3＝180°﹣（∠BDC+∠CBD）＝90°； （3）如图3， ∵m⊥n， ∴∠5+∠6＝90°， ∵∠1+∠2+∠5＝180°，∠3+∠4+∠6＝180°， ∴∠1+∠2+∠5+∠3+∠4+∠6＝360°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴2∠1+2∠3+90°＝360°， ∴∠1+∠3＝135°， ∴∠O＝180°﹣（∠1+∠3）＝45°． 故答案为：45°． 【点评】本题考查了平行线的性质，角的计算，正确认识图形，进行角的计算是解题的关键． 1．如图，∠C+∠D＝180°，∠A﹣∠B＝90°，则∠B＝ 　45°　 ． 【分析】先根据∠C+∠D＝180°判定出AD∥BC，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠A+∠B＝180°，然后联立求解即可． 【解答】解：∵∠C+∠D＝180°， ∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°， 又∵∠A﹣∠B＝90°， ∴∠A＝135°，∠B＝45°． 故答案为：45°． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，先判定出AD和BC平行是解题的关键，也是解题的突破口． 2．如图，已知∠1＝110°，∠2＝70°，∠3＝138°，那么∠4＝ 　138　 °． 【分析】根据平行线的判定和性质，易得l1∥l2，则∠3＝∠5，得到∠5＝138°，再根据对顶角相等，得到结果． 【解答】解：如图， ∵∠1＝110°，∠2＝70°， ∴∠1+∠2＝180°， ∴l1∥l2， ∴∠3＝∠5， ∵∠3＝138°， ∴∠5＝138°， ∵∠4＝∠5， ∴∠4＝138°， 故答案为：138． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 3．如图，点A、B、C在一条直线上，∠1＝∠2，∠EBC＝50°，则∠A＝　50　 度． 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴BE∥AD， ∴∠CBE＝∠A＝50°， 故答案为：50． 【点评】此题考查了平行线的判定与性质，关键是平行线判定定理的应用． 4．将一副三角尺如图1所示摆放，AB、FD分别在直线GH、MN上，∠BAC＝30°，∠E＝45°，直线GH∥MN．现将三角尺ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角尺DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设时间为t秒，当0≤t≤180时，如果边BC与三角尺DEF的一条直角边平行（旋转过程中三角尺任意两边所在的直线不重合），那么所有满足条件的t的值为　30或120　 ． 【分析】先根据题意画出旋转后的图形，由已知条件，利用平行线的旋转，求出旋转角之间的关系，列出方程解答即可．解题关键是根据题意，画出旋转后的图形． 【解答】解：由题意得：∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°， （1）当BC∥DE时， 延长AC交MN于点P， ①DE在MN上方， ∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC， ∴AP∥DF， ∴∠FDM＝∠MPA， ∵MN∥GH， ∴∠MPA＝∠HAC， ∴∠FDM＝∠HAC， 即2t＝t+30， 解得：t＝30； ②DE1在MN下方时，∠F1DP＝（2t﹣180）°， ∵DE1∥BC，DE1⊥DF1，AC⊥BC， ∴AP∥DF1， ∴∠F1DM＝∠MPA， ∵MN∥GH， ∴∠MPA＝∠HAC， ∴∠F1DM＝∠HAC， 即2t﹣180＝t+30， 解得：t＝210（舍去）； （2）如图：当BC∥DF时，延长AC交MN于点I， ①DF在MN上方，∠FDN＝（180﹣2t）度， ∵DF∥BC，AC⊥BC， ∴AI∥DE， ∴∠FDN+∠MIA＝90°， ∵MN∥GH， ∴∠MIA＝∠HAC， ∴∠FDN+∠HAC＝90°， 即180﹣2t+t+30＝90， 解得：t＝120； ②DF在MN下方，∠F2DN＝（2t﹣180）度， ∵DF2∥BC，AC⊥BC，ED2⊥DF2， ∴AC∥DE2， ∴∠AIM＝∠MDE2， ∵MN∥GH， ∴∠MIA＝∠HAC， ∴∠E2DM＝∠HAC， 即2t﹣270＝t+30， 解得：t＝300（舍去）， 综上：所有满足条件的t的值为：30或120， 故答案为：30或120． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 5．如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝58°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF＝　61或119　 °． 【分析】分两种情况：①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°，根据平行线的判定与性质和角平分线定义即可求出∠PGF的度数． 【解答】解：如图，①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°， ∵∠MFD＝∠BEF＝58°， ∴CD∥AB， ∴∠GEB＝∠FGE， ∵EG平分∠BEF， ∴∠GEB＝∠GEF∠BEF＝29°， ∴∠FGE＝29°， ∴∠PGF＝∠PGE﹣∠FGE＝90°﹣29°＝61°； ②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°， 同理：∠P′GF＝∠PGE+∠FGE＝90°+29°＝119°． 则∠PGF的度数为61°或119°． 故答案为：61或119． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 1．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝125°，∠4的度数为（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 【分析】先根据同位角相等，两直线平行判断出l1∥l2，再根据两直线平行，同旁内角互补解答． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴l1∥l2， ∴∠4＝180°﹣∠3＝180°﹣125°＝55°． 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的判断与性质，熟记性质与平行线的判定方法是解题的关键． 2．下列说法中，正确的是（　　） A．如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补 B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度 C．如果两条直线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行 D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据平行线的判定与性质，点到直线的距离，同位角，内错角，同旁内角，平行公理及推论，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补，故A不符合题意； B、点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，故B符合题意； C、如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行，故C不符合题意； D、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，点到直线的距离，同位角，内错角，同旁内角，平行公理及推论，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 3．如图，已知直线AB，CD被直线EF所截，若∠1＝∠3，则∠2+∠3＝ 　180°　 ． 【分析】由同位角相等，推出两直线平行，再由两直线平行，推出同旁内角互补． 【解答】解：∵∠1＝∠3， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2+∠3＝180°，即∠2+∠3的度数为180°． 故答案为：180°． 【点评】本题考查平行线的判定与性质，解题关键结合图形正确应用：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 4．抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一、明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：AB∥CD，∠DCE＝124°，∠E＝28°，则∠BAE的度数为 　96°　 ． 【分析】延长DC交AE于点F，先利用利用三角形的外角性质得出∠EFD，进而利用平行线的性质即可解答． 【解答】解：延长DC交AE于点F， ∵∠DCE是△CEF的一个外角， ∴∠EFC＝∠DCE﹣∠E＝124°﹣28°＝96°， ∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠EFC＝96°， 故答案为：96°． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 5．将一副三角板按如图放置，小明得到下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，则∠4＝∠C；那么其中正确的结论有 　①②④　 ． 【分析】根据平行线的性质和判定和三角形内角和定理逐个判断即可． 【解答】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°， ∴∠1＝60°， ∵∠E＝60°， ∴∠1＝∠E， ∴AC∥DE，故①正确； ∵∠CAB＝∠DAE＝90°， ∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正确； ∵BC∥AD，∠B＝45°， ∴∠3＝∠B＝45°， ∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°， ∴∠2＝45°，故③错误； ∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°， ∴∠BAE＝30°， ∵∠E＝60°， ∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°， ∴∠4+∠B＝90°， ∵∠B＝45°， ∴∠4＝45°， ∵∠C＝45°， ∴∠4＝∠C，故④正确； 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 6．如图已知：EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝72°，求∠AGD的度数． 解：∵EF∥AD， ∴∠2＝　∠3　 （　两直线平行，同位角相等　 ）． 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝　∠3　 ． ∴AB∥DG （　内错角相等，两直线平行　 ）． ∴∠BAC+　∠DGA ＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　 ）． ∵∠BAC＝72°， ∴∠AGD＝　108°　 ． 【分析】根据平行线性质推出∠2＝∠3，根据平行线判定推出AB∥DA，根据平行线判定推出∠BAC+∠DGA＝180°，求出即可． 【解答】解：由条件可知∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）， 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行）， ∴∠BAC+∠DGA＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）， 由条件可知∠AGD＝108°； 故答案为：∠3，两直线平行，同位角相等；∠3；DA，内错角相等，两直线平行；∠DGA，两直线平行，同旁内角互补；108°． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 7．如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC，∠1＝75°，∠2＝75°．求证：AF∥BC． 【分析】根据平行线的性质得出∠C＝∠1，得出∠C＝∠2，根据平行线的判定得出AF∥BC即可得证． 【解答】证明：∵DE∥AC，∠1＝75°，∠2＝75°， ∴∠C＝∠1， ∴∠1＝∠2， ∴∠C＝∠2， ∴AF∥BC（内错角相等，两直线平行）． 【点评】本题考查平行线的性质与判定，关键是平行线判定定理的应用． 8．如图，已知AD⊥BC，垂足为点D，EG⊥BC，垂足为点G，EG交AB于点F，∠AFE＝∠E．求证：AD平分∠BAC． 【分析】由AD⊥BC，EG⊥BC，可得出AD∥EG，利用平行线的性质可得出∠E＝∠CAD，∠EFA＝∠BAD，再结合∠E＝∠EFA，可得出∠CAD＝∠BAD，即AD平分∠BAC． 【解答】证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC， ∴AD∥EG， ∴∠E＝∠CAD，∠EFA＝∠BAD． 又∵∠E＝∠EFA， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴AD平分∠BAC． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． 9．如图，已知∠A＝∠C，AE∥CF，求证：AB∥CD． 【分析】根据两直线平行同位角相等可得∠A＝∠FGB，等量代换可得∠C＝∠FGB，根据同位角相等两直线平行，即可得证． 【解答】证明：∵AE∥CF（已知）， ∴∠A＝∠FGB（两直线平行，同位角相等）， ∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠C＝∠FGB（等量代换）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 【点评】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 10．四边形ABCD中，点F，点G分别是AD，BC上一点，直线FG分别交BA，DC的延长线于E，H．∠AFE＝50°，∠FGC＝130°． 求证：（1）AD∥BC； （2）若∠B＝∠D，那么AB会和CD平行吗？为什么？ 【分析】（1）根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得证； （2）根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【解答】（1）证明：∵∠AFE＝∠DFH＝50°，∠FGC＝130°， ∴∠DFH+∠FGC＝180°， ∴AD∥BC； （2）解：AB会和CD平行，理由如下： ∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠B， ∵∠B＝∠D， ∴∠EAD＝∠D， ∴AB∥CD． 【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 11．已知：如图，CD⊥AB，GF⊥AB，∠1＝∠2． 求证：∠FEC+∠ECB＝180°． 【分析】依据“同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相垂直”可得CD∥GF由平行线的性质和已知可得∠1＝∠FGB，从而证明EF∥BC，从而得到结论． 【解答】证明：∵CD⊥AB，GF⊥AB， ∴CD∥GF， ∴∠2＝∠FGB 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠FGB， ∴EF∥BC， ∴∠FEC+∠ECB＝180°． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是找到∠1＝∠FGB从而证明EF∥BC． 12．（1）问题发现： 如图1，直线AB∥CD，E是AB与CD之间的一点，连接BE、CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．说明理由； （2）解决问题： 如图2，AB∥DC，∠C＝120°，∠AEC＝80°，请求出∠A的度数． 【分析】（1）过点E作EF∥AB，证明EF∥CD，得出∠C＝∠CEF，再根据平行线的性质得出∠B＝∠BEF，推出∠B+∠C＝∠CEF+∠BEF，即可得出结论； （2）作EF∥AB，利用平行线的性质得到∠C+∠CEF＝180°，∠BAE＝∠AEF，则∠CEF＝60°，所以∠AEF＝20°，从而得到∠A的度数． 【解答】（1）证明：过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴EF∥CD， ∴∠C＝∠CEF（两直线平行，内错角相等）， ∵EF∥AB， ∴∠B＝∠BEF（两直线平行，内错角相等）， ∴∠B+∠C＝∠CEF+∠BEF， 即∠B+∠C＝∠BEC． （2）解：作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠C+∠CEF＝180°，∠BAE＝∠AEF， ∵∠C＝120°，∠AEC＝80° ∴∠CEF＝180°﹣120°＝60°，∠AEF＝∠AEC﹣∠CEF＝80°﹣60°＝20°， ∴∠A＝20°． 所以∠A的度数为20°． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握性质和判定是做题的关键． 13．【课题学习】平行线的“等角转化” 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B＝ 　∠EAB ，∠C＝ 　∠DAC ， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°． ∴∠B+∠BAC+∠C＝ 　180°　 ． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“类”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B﹣∠C的度数． （3）如图3．若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请探究∠B，∠D，∠BPD之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）过点A作ED∥BC，从而利用平行线的性质可得∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，再根据平角定义可得∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，然后利用等量代换可得∠B+∠BAC+∠C＝180°，即可解答； （2）过点E作EF∥AB，从而利用平行线的性质可得∠BEF＝180°﹣∠B，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得EF∥CD，然后利用平行线的性质可得∠FEC＝∠C，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点P作PE∥CD，从而利用平行线的性质可得∠D＝∠DPE，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得AB∥PE，然后利用平行线的性质可得∠B＝∠BPE，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）过点A作ED∥BC， ∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°， 故答案为：∠EAB；∠DAC；180°； （2）过点E作EF∥AB， ∴∠B+∠BEF＝180°， ∵EF∥CD， ∴∠FEC＝∠C， ∵∠BEC＝80°， ∴∠BEF+∠FEC＝80°， ∴∠B﹣∠C＝100°； （3）∠BPD＝∠B﹣∠D， 理由：过点P作PE∥CD， ∴∠D＝∠DPE， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE， ∴∠B＝∠BPE， ∵∠BPD＝∠BPE﹣∠DPE， ∴∠BPD＝∠B﹣∠D． 【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，解题的关键是掌握平行线的判定． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $