湖北省荆州市开发区文华初级中学2024-2025学年九年级下学期数学2月第二次双周练

2025年2月荆州开发区文华初级中学九年级数学第二次双周练 范围：相似、锐角三角函数 考试时间：120分钟 一、单选题 1．在RtABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值 （     ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 2．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是 （     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，∠B＝90°，下列结论中正确的是 （     ） A． B． C． D． 4．如图，若点 A 的坐标为(1，2)，则tan∠1＝ （     ） A． B． C． D． 5．如图，缩小后变为，其中、的对应点分别为、，点、、、均在图中格点上，若线段上有一点，则点在上的对应点的坐标为 （     ） A． B． C． D． 6．如图，是电杆一根拉线，米，，则拉线长为 （    ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为 （    ） A． B． C． D． 8．如图，在Rt中，CD是斜边AB上的高，，则下列比值中不等于的是 （     ） A． B． C． D． 9．一次数学活动课上，老师带领学生去测一条东西流向的河宽，如图所示，小明在河北岸点A处观测到河对岸有一点C在A的南偏西60°的方向上，沿河岸向西前行到达B处，又测得C在B的南偏西的方向上，请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．（结果保留根号）这条河的宽度是（   ） A． B． C． D． 10．如图，矩形中，，E为的中点，将沿翻折得到，延长交于G，，垂足为H，连接、．以下结论：①； ②； ③；④，其中正确的个数是 （ 　 ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝___ __． 12．在△ABC中，，则∠C=________________________． 13．如图，是平面镜，光线从A点出发经上点O反射后照射到B点，若入射角为，反射角为（反射角等于入射角），于点C，于点D，且，，，则的值为______． 14．如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为，在B处放置高的测角仪，测得树顶A的仰角为，则树高为___________m（结果保留根号）． 15．如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4米．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4米，那么相邻两树间的坡面距离为____________米．（结果保留根号） 16．如图，将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点B(，2)．D是边BC上一点(不与点B重合)，过点D作DE∥OB交OC于点E．将该纸片沿DE折叠，得点C的对应点C′．当点C′落在OB上时，点C′的坐标为________． 三、解答题 17．计算： 计算：． 18．如图，在中，，已知，，求，，的值． 19．如图，利用标杆测量建筑物的高度，如果标杆高1.2m，测得，，楼高是多少？ 20．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，且，，． (1)以原点O为位似中心，在x轴上方画出，使得与位似，且相似比为； (2)在（1）的条件下，分别写出点B、C的对应点、的坐标． 21．一名医务工作者从宾馆C出发，沿北偏东的方向行走1000米到达A处，后又从A处沿正南方向行走一段距离到达位于宾馆南偏东方向的B处，如图所示，若这名工作者以100米/分的速度从B处返回宾馆，那么他在10分钟内能否到达宾馆？（参考数据：，，，） 22．在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的、两点，与y轴交于点，过点A作轴，垂足为H，，，点B的坐标为． (1) 求的周长和面积； (2)求该反比例函数和一次函数的解析式． 23．如图1，与相切于点，经过上的点，交于点，，是的直径． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的半径长； (3)在（2）的条件下，如图2，若直线与分别交于、两点，连接，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】利用∠A的大小没有变进行判断． 【详解】解：∵∠C＝90°，各边都扩大5倍所得的三角形与原三角形相似， ∴∠A的大小没有变， ∴tanA的值不变． 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°．把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 2．D 【分析】由位似三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：位似属于相似， A对 由位似可知： B对 C对 的相似比为 D错 故选D 【点睛】本题考查了位似的性质，熟记位似的所有性质是解题的关键． 3．C 【分析】根据锐角三角函数的定义解答． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°， 则． 故选：C． 【点睛】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 4．A 【分析】过点A作AB⊥x轴，垂足为B，根据点A的坐标，得到OB=1，AB=2，根据正切的定义计算选择即可． 【详解】过点A作AB⊥x轴，垂足为B，根据点A的坐标(1，2)， ∴OB=1，AB=2， ∴ tan∠1＝， 故选A． 【点睛】本题考查了坐标的意义，正切的定义即对边比邻边，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 5．C 【分析】先确定好点、、、的坐标，再根据缩小后变为，即可得到规律是按照比例缩小，即可得出的坐标为． 【详解】解：由题意得点的坐标为，点的坐标为、点的坐标为，点的坐标为， ∵缩小后变为，其中、的对应点分别为、， ∴线段上有一点，则点在上的对应点的坐标为． 故选：C 【点睛】本题考查了位似图形的性质，根据已知对应点的坐标变化发现位似变换规律是解题关键． 6．B 【分析】根据余弦的定义即可求解． 【详解】由题意可知． ∵，米， ∴米． 故选B． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．掌握余弦的定义并利用数形结合的思想是解题关键． 7．B 【分析】连接（图先详解），构造直角三角形，利用直接求出的值． 【详解】解：如图，连接， 由网格可得出， 则，， 故． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，理解三角函数的定义并能构造直角三角形是解决本题的关键． 8．D 【分析】利用锐角三角函数定义判断即可． 【详解】在中， , 在中， , , , , 在中，, 故选：D． 【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 9．A 【分析】过点C作于D．构造直角三角形，设，列出关于x的比例式，再根据三角函数的定义解答即可． 【详解】解：如图，过点C作于D． 设， 在中， ∵， ∴． 在中，，，， ∴， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数的定义等知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 10．D 【分析】根据矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理依次对各个选项进行判断、计算，即可得出答案． 【详解】解：①∵，E为的中点， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③过点E作于点M，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 故③正确； ④， 故④正确； 综上共有4个正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理、三角函数等知识，本题综合性较强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 11． 【分析】根据三角函数的定义即可得到cosB＝sinA＝． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∵sinA＝＝， ∴cosB＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，由定义可推出互余两角的三角函数的关系：若∠A+∠B＝90°，则sinA＝cosB，cosA＝sinB．熟知相关定义是解题关键． 12．75°##75度 【分析】根据非负数的性质，可得特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴ 故答案为：75° 【点睛】本题考查了非负数的性质，利用非负数的性质得出特殊角三角函数值是解题关键． 13． 【分析】如图（见解析），先根据平行线的判定与性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的长即可得． 【详解】解：如图，由题意得：， ， ， ， 同理可得：， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键． 14．## 【分析】在中，利用，求出，再加上1m即为AC的长． 【详解】解：过点D作交于点E，如图： 则四边形BCED是矩形， ∴BC=DE，BD=CE， 由题意可知：，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的应用—仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 15． 【分析】根据题意画出图形，如图，根据坡度的概念求出米，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，由题意得， ∵AB的坡度为0.5， ∴, ∵米, ∴米， 在中，米． 故答案为： 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题意画出图形，熟知坡度的概念是解题的关键． 16． 【分析】根据B点坐标可求出AB、OB，得到，所以，，再利用折叠与平行的性质，证明△OEC′是等边三角形，OE=CD=，然后可利用三角函数求出点C′的坐标． 【详解】∵点B坐标为(，2)， ∴AB=2，OA=， ∴ ∴ ∴， ∵C′是C关于DE的对称点 ∴， EC=EC′ ∵DE∥OB ∴=60° ∴∠OE C′=180°-2×60°=60° ∴△OE C′是等边三角形 ∴OE= EC=EC′== ∴C′横坐标=，纵坐标= ∴C′坐标为 【点睛】本题考查了三角形，熟练运用特殊三角形的性质是解题的关键． 17． 【分析】将三角比的数值分别代入式子计算即可． 【详解】原式= 【点睛】本题考查了实数的运算，熟记特殊角的三角比的数值是解题关键． 18．1 【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值等计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值，准确熟练地化简各式是解题的关键． 19．，，． 【分析】由勾股定理可得的长度，再根据正弦的三角函数的定义即可求得的正弦值，从而可求得这个角的度数，进而可求得的度数． 【详解】解：∵，，， ∴， 则， ∴，． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，特殊角的三角函数值，直角三角形的性质，勾股定理，关键是求得的正弦值． 20．楼高是10.5m 【分析】证明，由相似三角形的性质可知，然后结合题意代入数值求解即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：楼高是10.5m． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，理解并掌握相似三角形的判定方法与性质是解题关键． 21．(1)画图见解析 (2) 【分析】（1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，将A，B，C的坐标都乘以得到的坐标，描出，然后连线即可求解； （2）根据（1）所作图形进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵与关于原点位似，且相似比为，，， ∴． 【点睛】本题考查作图—位似变换，掌握关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征是解题的关键．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 22．能到达宾馆 【分析】过作于，由含角的直角三角形的性质求得的长，再在中，求出的长，然后由时间路程速度求出他到达宾馆需要的时间，与10分钟比较即可． 【详解】解：过作于， 由题意可得：，，米， （米）， 在中，， （米）， 这名工作者以100米分的速度从处返回宾馆， 他到达宾馆需要的时间为（分）分， 这名工作者在10分钟内能到达宾馆． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23．(1)12，6 (2)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 【分析】（1）根据三角函数的性质计算，计算得，根据勾股定理的性质，计算得，即可完成求解； （2）结合（1）的结论，根据直角坐标系的性质，得，通过求解一元一次方程，即可得反比例函数解析式，再通过列分式方程并求解，得及点坐标，通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案． 【详解】（1）∵，，轴 ∴ ∴ ∴ ∴的周长 （2）∵，，点在第二象限 ∴ ∵反比例函数的图象过点 ∴ ∴ ∴反比例函数解析式为：； ∵反比例函数的图象过点，点的坐标为 ∴ ∴ 经检验，是的解； ∴ ∵一次函数的图形过、两点 ∴ ∴ ∴一次函数解析式为：． 【点睛】本题考查了三角函数、勾股定理、一次函数、反比例函数、分式方程、直角坐标系、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数、勾股定理、一次函数、反比例函数的性质，从而完成求解． 24．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接OD，证明，得出，进而即可得出结论； （2）证明，根据相似三角形的性质，列出方程，解方程即可求解； （3）连接，证明，根据（2）的结论，得出，进而即可求解． 【详解】（1）证明：连接OD，如图： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的切线，与相切，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 即的半径长为3 （3）连接，如图： ∵， ∴ ∵为直径，∴ ∵与相切于点， ∴，即 ∴，又 ∴ ∴， 由（2）可知，， ∴， 令AQ为x 则有， 解得 又， ∴ 则 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，求正切，综合运用以上知识是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $