精品解析： 湖北省武汉市二中广雅中学2024-2025学年九年级下学期二月考试数学试卷

武汉二中广雅九年级下学期二月考试数学试卷 总分120分 时间120分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. 3 C. D. 2. 汉字是中华文化的精粹，以下是用电脑字体库中黑体写出的“中考加油”字样，若将这四个字抽象为几何图形，其中可以看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. “连续掷两次硬币，都是正面向上”，这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 4. 如图，该几何体是由5个形状大小相同的正方体组成，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ） A. B. C. D. 7. 在反比例函数图象上有两点，，，，则有（ ） A. B. C. D. 8. 武汉二中广雅中学举办的“强基计划五大学科展示汇”吸引了众多学生前来参观，如图所示的是该展览馆出入口的示意图，是入口，是出口．小颖从入口进，从口出的概率是（ ） A. B. C. D. 9. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为20，现用一个半径为的圆形纸片将阴影部分完全覆盖，则的最小值是（ ） A B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点恰好分别落在函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，共18分） 11. 写出一个小于4的正无理数是________． 12. 随着科学技术的不断提高，5G网络已经成为新时代的“宠儿”，预计到2025年，中国5G用户将超过460000000人．将460000000用科学记数法表示为________． 13. 计算的结果为______． 14. 如图，在龟山附近的小山的顶部有一座通讯塔，点位于同一直线上．在地面处，测得塔顶的仰角为，塔底的仰角为．已知通讯塔的高度为29米，则小山的高度为______米．（结果取整数，参考数据：．） 15. 在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象如图所示，与x轴的交点分别为，，且函数与y轴交点在的下方，现给以下结论：①；②；③；④当时，y的取值范围是．则下列说法正确的是__________． 16. 如图，为等腰的延长线上一点，且，是延长线上一点，且，，则__________． 17. 已知为抛物线与轴交点的横坐标，则的值为___________________． 18. 如图，，，，连接，是上一点，，连接交于点，若，，__________． 三、解答题（共8个小题，共72分） 19. 求满足不等式组的整数解． 20. 在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长． 21. 某校检测学生跳绳水平，抽样调查了部分学生“1分钟跳绳”成绩，并制成了下面的频数分布直方图（每小组含最小值，不含最大值）和扇形图 （1）D组的人数是　 　人，补全频数分布直方图，扇形图中m＝　 　； （2）本次调查数据中的中位数落在　 　组； （3）如果“1分钟跳绳”成绩大于或等于120次为优秀，那么该校4500名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的大约有多少人？ 22. 已知如图，四边形，，以为直径的圆O交于点E，与相切于点C，连接． （1）求证； （2）若，，求． 23. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图1中，，，是格点，直接写出 ． （2）在图1中，，，是格点，先在上画点，使于点；再画点，使，两点关于直线对称； （3）在图2中，，格点，在格线上，画出点，使． 24. 如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． （1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处点的坐标； （2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由； （3）在该运动员入水点的正前方有，两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点距水面5米，若该运动员出水点在之间（包括，两点），请直接写出的取值范围_____． 25. 已知， （1）延长至，使，点为中点，于点，连，． ①如图，若，求证：； ②如图，若，求证：； （2）如图，中，是内一点，，，，，则（直接写出答案） 26. 如图1，抛物线的顶点坐标是，且经过点，与横轴交于，两点（点在点的左边） （1）求抛物线的解析式； （2）如图，设点是直线上方且位于抛物线上的一动点，过点作交直线于点， ① ； ②求的最大值； （3）如图，将抛物线平移到顶点为坐标原点抛物线．动直线与抛物线交于，，且点在点的左侧，过点，点作直线、，，与抛物线都只有唯一公共点，分别为，．且直线，交于点，若与轴交于点，与轴交于点，，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉二中广雅九年级下学期二月考试数学试卷 总分120分 时间120分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查倒数，根据乘积是1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故选：C． 2. 汉字是中华文化精粹，以下是用电脑字体库中黑体写出的“中考加油”字样，若将这四个字抽象为几何图形，其中可以看成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、是轴对称图形，本选项符合题意； 、不是轴对称图形，本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，本选项不符合题意； 故选：． 3. “连续掷两次硬币，都是正面向上”，这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：连续掷两次硬币，可能两次正面向上，也可能两次反面向上，或一次正面一次反面，结果不确定， 所以“连续掷两次硬币，都是正面向上”是随机事件． 故选：B． 4. 如图，该几何体是由5个形状大小相同的正方体组成，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】从几何体的上面观察其形状，即可得出俯视图． 【详解】解：从几何体的上面观察可得，选项D的图形符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图，掌握三视图的概念是解题的关键，此知识点重在培养学生观察分析能力和空间想象能力． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方及积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：A. ，原计算错误，不符合题意； B. ，原计算错误，不符合题意； C. ，计算正确，符合题意； D. ，原计算错误，不符合题意； 故选C 6. 向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键． 根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升高度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断． 【详解】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么高度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为B． 故选：B． 7. 在反比例函数图象上有两点，，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据，有，判断出反比例函数的比例系数的正负，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上有两点，，，， ∴反比例函数的图象在二、四象限， ， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出反比例函数的图象在二、四象限是解答此题的关键． 8. 武汉二中广雅中学举办的“强基计划五大学科展示汇”吸引了众多学生前来参观，如图所示的是该展览馆出入口的示意图，是入口，是出口．小颖从入口进，从口出的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用树状图计算概率，正确画出树状图是解题的关键．根据题意画出树状图，即可得到答案． 【详解】解：该展览馆有两个入口，三个出口，且从每个入口进入和每个出口出去的可能性是一样的，列树状图如下： 由树状图可知，所有等可能的结果共有种，小颖从入口进且从口出的情况只有种， 所以概率为． 故选：B． 9. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为20，现用一个半径为的圆形纸片将阴影部分完全覆盖，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点M，连接，求出，，得出，，证明C、D、E、M四点共圆，且此圆正好将阴影部分完全覆盖，半径r最小，根据，得出，求出，根据勾股定理得出，即可求出结果． 【详解】解：延长交于点M，连接，如图所示： ∵大正方形的面积为20， ∴正方形的边长为， ∵直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，， ∴， 即， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴，， ∵， ∴C、D、E、M四点共圆，且此圆正好将阴影部分完全覆盖，半径r最小， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为直径， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，平行线的性质，四点共圆，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和判定． 10. 在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点恰好分别落在函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】点落在函数，的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案． 【详解】过点分别作轴，轴，垂足为， 点在反比例函数上，点在上， 又 ， 设则 在 故选 【点睛】考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出sin∠ABO的值． 二、填空题（共6小题，共18分） 11. 写出一个小于4的正无理数是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据无理数估算的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键． 12. 随着科学技术的不断提高，5G网络已经成为新时代的“宠儿”，预计到2025年，中国5G用户将超过460000000人．将460000000用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数且比原数的整数位的个数少1，即可求解． 【详解】解：将数460000000用科学记数法表示为， 故答案为：． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键． 13. 计算的结果为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，掌握通分方法成为解题的关键． 先通分，然后再计算，最后约分即可． 【详解】解： ． 故答案为． 14. 如图，在龟山附近的小山的顶部有一座通讯塔，点位于同一直线上．在地面处，测得塔顶的仰角为，塔底的仰角为．已知通讯塔的高度为29米，则小山的高度为______米．（结果取整数，参考数据：．） 【答案】102 【解析】 【分析】本题考查三角函数测高，解题的关键在运用三角函数的定义表示出未知边，列出方程求解．在中，由求得，在中，由求得，代入求解即可． 【详解】解：由题意可知， 在中， ，， ， ， 在中， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象如图所示，与x轴的交点分别为，，且函数与y轴交点在的下方，现给以下结论：①；②；③；④当时，y的取值范围是．则下列说法正确的是__________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】先根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与坐标轴交点等信息，确定、、的符号及相关系数关系，再逐一分析各个结论． 【详解】解：∵二次函数图象开口向上， ∴． ∵对称轴，， ∴． ∵函数与轴交点在下方， ∴． ∴，故①正确． ∵二次函数与轴交点为，， ∴对称轴， ∴．． ∴． ∵，即， ∴，故②正确． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴， 故③错误． 对称轴（）， 当时，． 当时，． 当时，最小值，最大值为， ∴，故④正确． 故答案为：①②④ ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、与坐标轴交点及函数值取值范围的确定方法是解题的关键． 16. 如图，为等腰的延长线上一点，且，是延长线上一点，且，，则__________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定（两角分别相等判定相似）及利用对应边成比例计算线段长度是解题的关键． 延长交的延长线于点，证明，得出对应边比例关系求出 ；再证明，结合比例关系求出 ，进而得到 然后计算的值． 【详解】解：延长交的延长线于点，如图， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得（负值舍去）， ∴， ∵， ∴． 故答案为：18． 17. 已知为抛物线与轴交点的横坐标，则的值为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线与x轴的交点问题，建立关于x的一元二次方程，由公式法解方程得，，然后代入计算即可． 【详解】解： 设，当时，有， 整理，得， ∴， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题以及一元二次方程的应用，解题的关键是将二次函数图像与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程式． 18. 如图，，，，连接，是上一点，，连接交于点，若，，__________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，连接，则，可证是等腰直角三角形，，如图，延长交的延长线于，则，，如图，将绕着点逆时针旋转到，连接，证明，则，，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，可求，由，可得，由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 如图，延长交的延长线于， ∴， ∴， 如图，将绕着点逆时针旋转到，连接， ∴，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理等知识．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理是解题的关键 三、解答题（共8个小题，共72分） 19. 求满足不等式组的整数解． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解．先分别求两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，最后求整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为2． 20. 在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F． （1）求证：四边形ABCD平行四边形； （2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2）3 【解析】 【分析】（1）根据两组对边分别平行证明该四边形为平行四边形． （2）利用等面积法求出CD长． 【详解】（1） 证明：∵AD//BC， ∴∠BAD+∠B＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠BAD+∠D＝180°， ∴AB//CD， 又∵AD//BC， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∴平行四边形的面积＝BC×AE＝CD×AF， ∵AF＝2AE， ∴BC＝2CD＝6， ∴CD＝3． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和等面积法的使用，掌握这两点是解题关键． 21. 某校检测学生跳绳水平，抽样调查了部分学生的“1分钟跳绳”成绩，并制成了下面的频数分布直方图（每小组含最小值，不含最大值）和扇形图 （1）D组的人数是　 　人，补全频数分布直方图，扇形图中m＝　 　； （2）本次调查数据中的中位数落在　 　组； （3）如果“1分钟跳绳”成绩大于或等于120次为优秀，那么该校4500名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的大约有多少人？ 【答案】（1）16、84°；（2）C；（3）该校4500名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的大约有3000（人） 【解析】 【分析】（1）根据百分比＝所长人数÷总人数，圆心角＝百分比，计算即可； （2）根据中位数的定义计算即可； （3）用一半估计总体的思考问题即可； 【详解】（1）由题意总人数人， D组人数人； B组的圆心角为； （2）根据A组6人，B组14人，C组19人，D组16人，E组5人可知本次调查数据中的中位数落在C组； （3）该校4500名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的大约有人． 【点睛】本题主要考查了数据的统计，熟练掌握扇形图圆心角度数求解方法，总体求解方法等相关内容是解决本题的关键. 22. 已知如图，四边形，，以为直径的圆O交于点E，与相切于点C，连接． （1）求证； （2）若，，求． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，根据切线的性质得出，证明，根据平行线的性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，即可证明，得出答案即可； （2）连接，，证明，得出，在中，，设，则，得出，求出或，根据中，，，再进行验证即可． 【小问1详解】 证明：连接，，如图所示： ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：连接，， ∵是的直径， ∴， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，设，则， ∴， 即， 解得：或， ∵中，， ∴， 当时，，， ∵， ∴此时不符合题意，舍去； 当时，，， ∵， ∴此时符合题意； ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，切线的性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 23. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图1中，，，是格点，直接写出 ． （2）在图1中，，，是格点，先在上画点，使于点；再画点，使，两点关于直线对称； （3）在图2中，，是格点，在格线上，画出点，使． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】（1）取格点、，利用相似三角形的判定及性质可得解； （2）取格点、、、、，连接、，、，交于，延长交于，由得，结合直角三角形的性质及判定可得，从而得，根据勾股定理及平行四边形的判定及平行线的判定可得四边形是平行四边形，，、、三点共线，从而得，利用平行线分线段成比例及线段垂直平分线的定义可得垂直平分，从而和关于对称． （3）取格点，连接交的垂直平分线于，连接，根据垂直平分线的性质得，得，又得进而得，结合，根据三角形的中位线性质可得． 【小问1详解】 解：取格点、， ∵， ∴， ∴ 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，点和点即为所求， ． 【小问3详解】 解：即为所求作的图形， 【点睛】本题主要考查勾股定理、格点图形中垂直与对称的构造、平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定及性质、三角形的中位线性质，，熟练利用网格特点，结合几何定理（勾股定理、垂直性质、对称性质、平行判定）是解题的关键． 24. 如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． （1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处点的坐标； （2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由； （3）在该运动员入水点的正前方有，两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点距水面5米，若该运动员出水点在之间（包括，两点），请直接写出的取值范围_____． 【答案】（1），， （2）该运动员此次跳水会失误． （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质． （1）设抛物线的解析式为，代入解析式，得，进而可得空中运动时对应抛物线的解析式为，令，则，求出满足要求的，进而可得点坐标． （2）由题意知，当距点水平距离为5米时，对应的横坐标为．将代入中，得．根据，判断作答即可． （3）由题意知，，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点距水面5米，经过，求解当抛物线经过点，当抛物线经过点时的解析式，从而可得答案． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得， 空中运动时对应抛物线的解析式为， ∵ 令，则， 解得（舍去），， 的坐标为． 【小问2详解】 解：当距点水平距离为5米时，对应的横坐标为． 将代入中， 得． ， 该运动员此次跳水会失误． 【小问3详解】 解：∵，，， ∴，， 该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点距水面5米，经过， 当抛物线经过点时， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴设抛物线为：， 把代入可得：， 解得：； 当抛物线经过点时， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴设抛物线为：， 把代入可得：， 解得：； ∵出水点在之间（包括，两点） ∴． 25. 已知， （1）延长至，使，点为中点，于点，连，． ①如图，若，求证：； ②如图，若，求证：； （2）如图，中，是内一点，，，，，则（直接写出答案） 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①先根据已知条件得出线段相等关系，判定为等腰直角三角形，结合得出等结论，再利用判定．②由和推出角相等，进而得到，再结合其他角的关系证明． （2）通过作辅助线构造特殊角和全等、相似三角形，利用三角函数、勾股定理逆定理等求出相关线段长度，进而计算． 【小问1详解】 解：①证明：∵，点为中点， ∴，， 又， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴是斜边的中线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 在和中，，，， ∴． ②证明：∵，， ∴，， ∴． ∵，， ∴，， ∴即， ∴△FAE∽△FBC． 【小问2详解】 解∶以为边向上作，过作于，连接，过作于， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形判定（等）、相似三角形判定与性质、等腰直角三角形性质、勾股定理及逆定理、三角函数等知识，熟练掌握全等与相似三角形的判定和性质，以及合理作辅助线构造特殊图形是解题的关键． 26. 如图1，抛物线的顶点坐标是，且经过点，与横轴交于，两点（点在点的左边） （1）求抛物线的解析式； （2）如图，设点是直线上方且位于抛物线上的一动点，过点作交直线于点， ① ； ②求的最大值； （3）如图，将抛物线平移到顶点为坐标原点的抛物线．动直线与抛物线交于，，且点在点的左侧，过点，点作直线、，，与抛物线都只有唯一公共点，分别为，．且直线，交于点，若与轴交于点，与轴交于点，，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）①；②； （3）或． 【解析】 【分析】（1）设顶点式，代入已知点坐标，通过解方程确定值，从而得到抛物线解析式． （2）①先求出抛物线与轴交点、坐标，再计算、、的长度平方，利用勾股定理逆定理判断的形状，进而得出角度 ．②求最大值：通过作辅助线，利用平行线性质、三角函数建立与其他线段的关系，先求出直线解析式，设动点坐标表示出相关线段长度，根据二次函数性质求最值，进而得到最大值． （3）先确定平移后抛物线解析式，设出、坐标，根据直线与抛物线只有一个公共点，利用判别式求出直线、解析式，联立解析式求出坐标表达式，再结合的长度建立方程求解． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 将代入解析式得 解得 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：①令，，， ∴或， ∴，， ∵，， ∴，， ∴ ， 故答案为：； ②令抛物线的对称轴与轴交于点，交于点，过作轴交于点，则轴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，，顶点 ∴，， ∴， ∴即是当最大时，最大， 设：，代入、： 解得，， 直线：， 设，则， ∴ ∴当时，最大，最大为， ∴的最大值为； 【小问3详解】 解：∵将抛物线：平移到顶点为坐标原点的抛物线， ∴抛物线解析式为， 设，，且， 设直线的解析式为， ∴，得：①， ∵过点的直线与抛物线只存在唯一公共点， ∴有两个相同的解，即有两个相等的实数根， ∴②， 将①代入②得：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 用同样的方法可得：直线的解析式为， 联立方程组，解得：， ∴， ∵直线：与轴交于点， 当时，得：， ∴， ∵直线：与轴交于点， 当时，得：， ∴， ∵， ∴，即， ∵点，在直线上， ∴， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，则， 当时，，则， ∴直线，的交点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式求解、二次函数的性质应用（如最值）、直线与抛物线的位置关系（交点、唯一公共点）、勾股定理及其逆定理、三角函数等知识点 ．熟练掌握二次函数的表达式形式及性质，准确分析直线与抛物线的位置关系并运用相关定理（勾股定理、判别式等）进行计算推理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $