精品解析：湖南省长沙市同升湖高级中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题

长沙市同升湖高级中学2025年下学期高一期末考试数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.请把符合要求选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解集合A中函数定义域，可得，利用交集的定义即得解 【详解】由题意，集合，由交集的定义 故选：C 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可． 【详解】若，得， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 3. 函数图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据函数值的特征，利用排除法判断可得； 【详解】解：因为，定义域为，且，故函数为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除A、D，当时，，所以，故排除C， 故选：B 4. 已知函数是定义在上周期为4的奇函数，满足当时，，则等于（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由周期函数变形，再由奇函数定义转化为计算即得． 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，其最小正周期为4， 所以 又因为当时，， 故. 故选：C． 5. 已知，，，则的大小关系是（参考数据，）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出、、，即可判断. 【详解】，，，显然， ，， ， 所以，所以. 故选：B 6. 关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析不等式恒成立需满足的条件，再计算求解． 【详解】不等式对恒成立，需满足对应函数开口向上，且判别式小于零： 开口向上，满足条件； ，解得， 的取值范围是，故A正确． 故选：A． 7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】 首先先求以为终边的角为，再根据三角函数的定义求点的纵坐标，以及根据图形表示. 【详解】，所以对应的角是， 由在内转过的角为， 可知以为始边，以为终边的角为， 则点的纵坐标为， 所以点距水面的高度表示为的函数是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以在内转过的角为，再求以为终边的角为. 8. 定义域与值域均为（常数）的函数和的图像如图所示，下面选项正确的是（ ） A. 方程仅有2个解 B. 方程可能有4个解 C. 方程可能有10个解 D. 方程有且仅有1个解 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象，结合函数与方程的关系，利用换元法，可得答案. 【详解】对于A，令，由，即，则方程在上存在三个不相等的实数根， 可得，易知存在三个根，故A错误； 对于B，令，由，即，则方程在上存在一个实数根， 可得，由图象可知方程实数根的个数为，故B错误； 对于C，令，由，即，易知该方程实数根的个数为， 易知方程最多存在个实数根，故C错误； 对于D，由函数的图象可知函数是减函数，则方程有且仅有一个实数根，故D正确； 故选：D. 二､多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得2分，有选错的得0分.） 9. 已知，下列计算结果正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据同角三角函数的商数关系以及二倍角公式，可得答案. 【详解】由， 则，解得，故A错误，B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 10. 若，则的值可以为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据对数运算进行化简，然后根据基本不等式的性质计算即可. 【详解】因为，所以. 所以，由基本不等式得， 所以，解得，当且仅当时等号成立， 所以的值可以是. 故选：BCD. 11. 已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，则以下结论正确的是（ ） A. B. 不可能为上的减函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用赋值法，根据奇偶函数的定义，逐项检验，可得答案. 【详解】由，， 令，则， 令，则，即， 令，则，即， 令，则，即，A正确； 由，即，则函数不可能是减函数；故B正确. 令，则，即. 令，由，则函数为奇函数，故C正确； 令，由，则函数非偶函数，故D错误； 故选：ABC. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知先求出的定义域，即可求出的定义域. 【详解】因为的定义域为， 则，即得，所以的定义域为， 由可得，解得，所以的定义域为. 故答案为：. 13. 函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后换元，求出内层函数的单调区间，再利用复合函数“同增异减”的性质，可求得答案 【详解】函数，所以定义域为，解得或 ， 令，则，在定义域内为增函数 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以由复合函数“同增异减”的性质，可知函数的单调递减区间为. 故答案为：. 14. 函数的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】按与两类进行三角恒等变换，再利用正弦函数性质求出最大值比较而得. 【详解】当时，， ，其中锐角满足， 而，则，即时，， 当时，， ，其中锐角满足， 而，则，即时，，， 所以函数的最大值为. 故答案为： 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）当时，求的值域． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦公式以及辅助角公式，可化简，再利用正弦型函数的周期公式，即得解； （2）由，可得，结合正弦函数的图象和性质，即得解 【详解】（1）由题意， ， （2）∵ ∴ ∴ ∴的值域为 16. 已知通数的图像经过点，图像与x轴两个相邻交点的距离为． （Ⅰ）求的解析式： （Ⅱ）若，求的值． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或 【解析】 【分析】（Ⅰ）由图像与x轴两个相邻交点的距离为，可以求出周期，利用周期公式可以求出，再由图像经过点，结合，可以求出，也就能求出的解析式： （Ⅱ）由，可以求出，根据同角的三角函数关系，可求出，分类讨论，运用两角差的正弦公式，求出的值 【详解】解：（Ⅰ）由已知得，，则，所以． 又，所以， 又，所以. 所以，即， 所以. （Ⅱ）因为，所以， 所以． 当时，； 当时，. 所以，或. 【点睛】本题考查了正弦型函数的图象性质，考查了同角的三角函数关系式，考查了两角差的正弦公式，考查了数学运算能力. 17. 已知函数. （1）若函数在区间有零点，求实数的取值范围； （2）设，讨论函数在区间上的零点个数. 【答案】（1）. （2）当 或 时， 在 上有1个零点； 当 时， 在 上有2个零点； 当 时， 在 上有3个零点. 【解析】 【分析】（1）可先求出函数 的对称轴，再结合函数在区间 上的单调性，根据函数有零点的条件列出关于 的不等式组求解； （2）分别讨论 和 时函数 的零点情况，再结合区间 进行综合分析. 【小问1详解】 函数 的对称轴为 ， 因为 二次项系数，所以二次函数 的图象开口向上， 则 在 上单调递减，在 上单调递增， 函数 在区间 有零点，则需满足， 因为 ：， ： 所以不等式组为， 解不等式 得 ；解不等式 得 ， 综上，实数 的取值范围是 . 【小问2详解】 当 时，令 ，即 ，解得 ， 所以当 时， 有一个零点 ， 当 时，函数 的对称轴为 ，图象开口向上， 则 ，，， 当 时，，，， 则函数 在 上无零点，此时 在 上有1个零点， 当 时，，函数 在 上有1个零点 ，此时 在 上有2个零点， 当 时，，，， 函数 在 上有2个零点，此时 在 上有3个零点， 当 时，，， 则函数 在 上有2个零点 和 ，此时 在 上有3个零点， 当 时， 在 上的最大值为， 故函数 在 上无零点，此时 在 上有1个零点， 综上，当 或 时， 在 上有1个零点； 当 时， 在 上有2个零点； 当 时， 在 上有3个零点. 18. 设函数的定义域为，满足，且当时，. （1）若函数与函数的图像关于轴对称，函数与函数的图像关于中心对称，求的值. （2）求，函数的函数表达式. （3）若存在，使得，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的对称性，表示等式，由题干中的函数解析式，可得答案； （2）利用函数的等量关系，逐段递推，利用换元法，可得答案； （3）根据二次函数的性质，结合题意，可得函数在各个区间上的最值，利用一元二次不等式，可得答案. 【小问1详解】 由函数与函数的图象关于成中心对称，则，即； 由函数与函数的图象关于成轴对称，则，即， 由，则 所以. 【小问2详解】 当时，，则， 令，即，则； 当时，，则， 令，即，则. 综上所述，. 【小问3详解】 当时，，易知函数的最大值为， 由，则函数在的最大值为，其中， 易知，，即， 则，即数列单调递增， 由，，则当时，， 令，化简可得，解得. 综上所述，最小值为. 19. 设函数. （1）当时，求方程的实数解； （2）当时， （ⅰ）存在，使不等式成立，求k的范围； （ⅱ）设函数，若对任意的，总存在，使，求实数b的取值范围. 【答案】（1）或； （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）根据已知有，应用绝对值方程解法及指数函数性质求解即可； （2）根据指数函数性质及解析式判断单调性，（ⅰ）利用函数单调性，将问题化为上，即可求参数范围；（ⅱ）求出两个函数在上的值域，将问题化为求参数范围. 【小问1详解】 当时，，由题意得， 所以或，解得或. 【小问2详解】 当时，，该函数在上单调递增. （ⅰ）存在，使不等式成立， 即成立，即成立，从而， 又当时，，所以. （ⅱ）当时，的值域为， 当时，的值域为， 根据题意，得，从而，解得. 故实数b取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市同升湖高级中学2025年下学期高一期末考试数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.请把符合要求选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 3. 函数的图像为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是定义在上周期为4的奇函数，满足当时，，则等于（ ） A. 4 B. 2 C. D. 5. 已知，，，则大小关系是（参考数据，）（ ） A. B. C. D. 6. 关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 定义域与值域均为（常数）的函数和的图像如图所示，下面选项正确的是（ ） A. 方程仅有2个解 B. 方程可能有4个解 C. 方程可能有10个解 D. 方程有且仅有1个解 二､多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得2分，有选错的得0分.） 9. 已知，下列计算结果正确的有（ ） A. B. C D. 10. 若，则的值可以为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 11. 已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，则以下结论正确的是（ ） A. B. 不可能为上减函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 13. 函数的单调递减区间为__________. 14. 函数的最大值为__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）当时，求值域． 16. 已知通数的图像经过点，图像与x轴两个相邻交点的距离为． （Ⅰ）求的解析式： （Ⅱ）若，求值． 17. 已知函数. （1）若函数在区间有零点，求实数的取值范围； （2）设，讨论函数在区间上的零点个数. 18. 设函数的定义域为，满足，且当时，. （1）若函数与函数的图像关于轴对称，函数与函数的图像关于中心对称，求的值. （2）求，函数的函数表达式. （3）若存在，使得，求的最小值. 19. 设函数. （1）当时，求方程的实数解； （2）当时， （ⅰ）存在，使不等式成立，求k的范围； （ⅱ）设函数，若对任意的，总存在，使，求实数b的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $