精品解析：山东省青州第一中学2025-2026学年高三上学期数学周测（期末模拟四）

山东省青州第一中学2025-2026学年高三上学期数学周测 （期末模拟四） 一、选择题 1. 已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数乘方，除法法则化简得到，从而确定所在象限. 【详解】， 故在复平面内对应的点坐标为，位于第四象限. 故选：D 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为对数函数是上的减函数， 所以由，得，则； 因为指数函数是上的增函数， 所以由，得，则， 由此，. 故选：B. 3. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. -4 B. -1 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求导数得切线斜率，再根据切线方程列等量关系，解得结果. 【详解】. 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以 故选：C 【点睛】本题考查导数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题. 4. 现要从6名学生中选4名代表班级参加学校接力赛，其中已经确定甲参加且跑第1棒或第4棒，乙和丙2人只能跑第2，3棒，丁不能跑第1棒.那么合适的选择方法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类计数原理和分步计数原理可求答案. 【详解】若甲跑第1棒，剩余3棒需要从5人中选3人安排，分为三种情况： 乙，丙均不参加，此时有种安排方案； 乙，丙有且仅有一人参加，此时有种安排方案； 乙，丙均参加，此时有种安排方案； 若甲跑第4棒，第1棒只能从去除乙，丙，丁后的2人中选择，第2,3棒从剩余的4人中安排即可，此时有种安排方案； 由分类计数原理可得，共有种安排方案. 故选：B 5. 在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为（ ） A. -15 B. -12 C. -6 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算将用，表示，再由向量数量积运算可得结果. 【详解】 ，， ，, , 又, ，又，，， . 故选：B. 6. 已知定义在R上的函数的图象关于对称，且当时，单调递减，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数是偶函数，再判断自变量的大小，利用函数性质比较大小. 【详解】∵定义在上的函数的图像关于对称， 向左平移一个单位得到，那么关于轴对称， ∴函数为偶函数， ∵， ∴， ∴，，． ∵当时，单调递减，∴， 故选：A． 【点睛】本题考查函数性质的综合应用，属于基础题型，比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小 7. 已知椭圆的左､右焦点分别为是的左顶点，为所在平面内一点，且.若与均为等腰三角形，则的离心率为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据与均为等腰三角形，结合，分情况讨论三角形的腰长，进而求出椭圆的离心率. 【详解】已知椭圆的左、右焦点为，，左顶点. 因为为等腰三角形且，所以是等边三角形，边长为，故，点坐标为. 又为等腰三角形，，，. 由等腰三角形性质， 若，则，则，离心率. 若，可得，即，则，因为，所以此情况不成立. 若，可得，则， 化简得，因为，所以，不满足，此情况不成立. 因此，椭圆的离心率为. 故选：D 8. 已知函数（为自然对数的底数），关于的方程恰有四个不同的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，由，可得，利用导数分析函数的单调性与极值，作出函数的图象，由图象可知，方程有两根、，且满足，，设，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】令，由，可得， 函数的定义域为，. 当时，，由可得，由可得. 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. ； 当时，，此时函数单调递增，且， 作出函数的图象如下图所示： 由于关于的方程恰有四个不同的实数根， 则关于的二次方程恰有两个不同的实根、， 且直线与函数的图象有三个交点，直线与函数的图象有且只有一个交点，所以，，， 设，由二次函数的零点分布可得，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号. 结合图象得出关于参数的不等式组求解. 二、多选题 9. 某市场供应三种品牌的工具刀，相应的市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 丙 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 90% 80% 70% 记，，表示买到的工具刀的品牌分别为甲、乙、丙，表示买到的工具刀是优质品．在该市场中随机买一种品牌的工具刀，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率加法判断选项A，用乘法公式计算联合概率判断选项B，用全概率公式计算总优质率判断选项C，用贝叶斯公式计算条件概率判断选项D. 【详解】市场占有率：,,; 优质率（条件概率）：,,; 选项A：因为、互斥，所以，则选项A正确； 选项B：表示“买到乙品牌且为优质品”的概率，由乘法公式： ，则选项B错误； 选项C：由全概率公式： ，则选项C正确； 选项D：由贝叶斯公式：，则选项D错误. 故选：AC 10. 已知首项为2的数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. 是等差数列 C. 是等差数列 D. 若，则n的最小值为5 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据数列前项和与通项的关系（，需验证的情况），等差数列的定义，通过对递推式变形，构造新的等差数列，及代入具体正整数验证不等式成立的最小取值，逐个分析即可. 【详解】选项A：因为，， 令，则， 因为，所以， 又因为，故，选项A正确； 选项B：因为， 则两边同时除以，得：， 即，且， 因此是首项为1，公差为1的等差数列，选项B正确； 选项C：由的通项可得：，即， 当时，， 当时，，通项成立， 则， 所以：， 所以是等差数列，选项C正确； 选项D：由，则不等式为：， （，，两边除以）得：， 则当时：，，，不成立， 当时：，，，成立， 所以的最小值为6，选项D错误. 故选ABC. 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，D是AC的中点，则（ ） A. B. 的面积为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由及，再结合正弦定理可化简式子得，即求出角B的大小；对于B，结合及正弦定理可解得，再根据三角形正弦定理面积公式即可求解；对于C，根据余弦定理及基本不等式即可求解b的范围；对于D，结合及基本不等式即可判断． 【详解】对于A，已知，所以， 也即， 所以可得，又，故，故A正确； 对于B，， 又由正弦定理，，可得， 所以， 又，所以， 所以，也即，又， 解得，所以，故B错误； 对于C，因为，，所以， 又，当且仅当时取等号， 故，也即，故C正确； 对于D，D是AC中点，所以， 因为，所以， 当且仅当时取等号， 所以，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12. 若圆与抛物线的准线相切，则C的焦点坐标为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线准线与圆相切可求的值，再确定抛物线的焦点即可. 【详解】如图： 抛物线为开口向右的抛物线，焦点为，准线为. 因为准线与圆相切， 所以. 所以抛物线的焦点坐标为：. 故答案为： 13. 若，则的值为__________. 【答案】0 【解析】 【分析】通过赋值，代入即可求解. 【详解】由，令， 则有， 即. 故答案为：0 14. 已知正方体的棱长为2，点均在某圆锥的侧面上，点均在该圆锥的底面上，则该圆锥的体积的最小值为__________. 【答案】. 【解析】 【分析】设圆锥底面半径为，高为，过正方体的一组对棱作圆锥的截面，利用三角形相似对应边成比例列方程得到与关系，把圆锥的体积表示为关于的函数，利用导数求最小值． 【详解】设圆锥底面半径为，高为，则， 过正方体的一组对棱作圆锥的截面，如图所示： 由题意可得：，， 正方体的棱长为2，则， 面对角线，所以， 由，可得，， 即，解得：， 所以圆锥的体积， 令，则， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以，时，圆锥的体积有最小值. 故答案为： 四、解答题 15. 已知等差数列的前n项和为，且满足，，数列满足，. （1）证明：数列是等比数列，并求，的通项公式； （2）已知数列满足求数列的前2n项和. 【答案】（1） 依题意，设数列的公差为， 因为，所以，则， 因为，即，所以， 所以，所以，即． 所以，所以， 又因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，根据题意求得和，得到，得到，再由，得到为等比数列，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得到，结合分组求和，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，可得， 所以 ． 16. 如图，在四边形中，． （1）求的值； （2）若，且的面积是面积的4倍，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，结合以及，运用正弦定理以及差角的正弦公式，再运用同角三角函数的基本关系，即可得解； （2）根据（1）中结论，结合，运用正弦定理可求得，再根据二倍角公式求出，最后利用三角形面积公式列出方程，即可解得. 【小问1详解】 设，则， 由正弦定理可知，，即， 整理得，又因为，， 可解得，即. 【小问2详解】 由（1）可知，，. 由正弦定理可知，，解得， 又，. ，. ， ，， ， 解得. 17. 已知菱形中，，，为中点，如图一所示，现将沿着折起，使得点到达点，如图二所示． （1）当时，证明：平面平面； （2）当时，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 在菱形中，由，得是正三角形，由为中点，得， 在图二中，，由，得， 又平面，因此平面，由，得平面， 又平面，所以平面平面. （2）． 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质，线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （2）取中点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得平面，取的中点为，连接，由，得为正三角形， 则，作，则平面，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）经过双曲线E的右焦点F的直线l与E相交于A，B两点， （ⅰ）若交点A，B在双曲线E的右支，点，证明：. （ⅱ）以AB为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明： 如图： 因为双曲线的右焦点为，设，， 所以， 同理. 又， 同理. 欲证，只需证， 即 等价于 因为 . 因为点三点共线，所以， 所以， 整理得. 所以成立，故. （ⅱ）以AB为直径的圆恒过x轴上的定点. 【解析】 【分析】（1）根据条件列式可求的值，可得双曲线的方程. （2）（ⅰ）设，，分别表示出，，，，结合三点共线，即可证明结论. （ⅱ）设直线方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理表示出，，，，利用圆的直径式得到以为直径的圆的方程，求其与轴的交点坐标即可. 【小问1详解】 双曲线的右顶点为，渐近线为，即. 由题意：，. 所以双曲线的方程为：. 【小问2详解】 （ⅰ）略； （ⅱ）因为直线斜率不能为0，可设直线：. 由， 整理得：. 则，. 于是，. 以为直径的圆的直径式方程为， 令得：， 所以 所以. 所以不管取何值，都是方程的解. 即以为直径的圆恒过点. 19. 定义：函数图象上不同的三点A，B，C，它们的横坐标成等差数列，且该函数在点B处切线的斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数，设． （1）讨论的极值； （2）若是其定义域上的“等差偏移”函数，求a的取值范围； （3）当时，数列满足，，记前n项和为，试证明：． 【答案】（1）无极小值． （2）． （3）方法一：时，，， ，假设，，， 令，，， 在上单调递增，，对恒成立 时 ， 而，对恒成立 ． 方法二：，则， 设，， 因为，当时在单调递增，，故． 构造函数， 即在单调递增，则，故当时， 所以有，故 即． 所以，即； 故 【解析】 【分析】（1）求导，分类讨论函数单调性、极值即可； （2）设，，，故只需判断的符号即可； （3）由题意，证明得到，放缩即可得证. 【小问1详解】 ． 当时，在上单调递减，无极值； 当时，令易知在上单调递增；上单调递减， 无极小值． 【小问2详解】 方法一：设，不妨设， 由是其定义域上的＂等差偏移＂函数， ， 令， ，而时，，，， 即a的取值范围为． 方法二：设A，C两点的横坐标分别为，，则B点横坐标为， 由“等差偏移”函数定义知：，化简得： ， 即：，即， 令，函数，， 故，又因为，所以， 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省青州第一中学2025-2026学年高三上学期数学周测 （期末模拟四） 一、选择题 1. 已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. -4 B. -1 C. D. 4 4. 现要从6名学生中选4名代表班级参加学校接力赛，其中已经确定甲参加且跑第1棒或第4棒，乙和丙2人只能跑第2，3棒，丁不能跑第1棒.那么合适的选择方法种数为（ ） A. B. C. D. 5. 在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为（ ） A. -15 B. -12 C. -6 D. 0 6. 已知定义在R上的函数的图象关于对称，且当时，单调递减，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左､右焦点分别为是的左顶点，为所在平面内一点，且.若与均为等腰三角形，则的离心率为（） A. B. C. D. 8. 已知函数（为自然对数的底数），关于的方程恰有四个不同的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 某市场供应三种品牌的工具刀，相应的市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 丙 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 90% 80% 70% 记，，表示买到的工具刀的品牌分别为甲、乙、丙，表示买到的工具刀是优质品．在该市场中随机买一种品牌的工具刀，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知首项为2的数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. 是等差数列 C. 是等差数列 D. 若，则n的最小值为5 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，D是AC的中点，则（ ） A. B. 的面积为 C. D. 三、填空题 12. 若圆与抛物线的准线相切，则C的焦点坐标为_____. 13. 若，则的值为__________. 14. 已知正方体的棱长为2，点均在某圆锥的侧面上，点均在该圆锥的底面上，则该圆锥的体积的最小值为__________. 四、解答题 15. 已知等差数列的前n项和为，且满足，，数列满足，. （1）证明：数列是等比数列，并求，的通项公式； （2）已知数列满足求数列的前2n项和. 16. 如图，在四边形中，． （1）求的值； （2）若，且的面积是面积的4倍，求的长． 17. 已知菱形中，，，为中点，如图一所示，现将沿着折起，使得点到达点，如图二所示． （1）当时，证明：平面平面； （2）当时，求平面与平面所成角的余弦值． 18. 已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）经过双曲线E的右焦点F的直线l与E相交于A，B两点， （ⅰ）若交点A，B在双曲线E的右支，点，证明：. （ⅱ）以AB为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 19. 定义：函数图象上不同的三点A，B，C，它们的横坐标成等差数列，且该函数在点B处切线的斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数，设． （1）讨论的极值； （2）若是其定义域上的“等差偏移”函数，求a的取值范围； （3）当时，数列满足，，记前n项和为，试证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $