精品解析：江苏常州市天宁区2025-2026学年度第一学期期末调研考试高一数学试题

常州市天宁区2025—2026学年度第一学期期末调研考试 高一数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】全称命题的否定是特称命题，任意改为存在，再把结论否定. 【详解】由题意，，否定是， 故选：B． 2. 下列五个写法：①；②；③；④；⑤，其中错误写法的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据“”用于元素与集合，“”用于集合与集合间判断出①⑤错，根据是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出②④的对错；根据集合元素的三要素判断出③对. 【详解】对于①，“”是用于元素与集合的关系，故①错； 对于②，是任意集合的子集，故②对； 对于③，根据集合中元素的无序性可知两个集合是同一集合，任何一个集合都是它本身的子集，故③对； 对于④，因为是不含任何元素的集合，故④错； 对于⑤，因为“”用于集合与集合，故⑤错. 故错误的有①④⑤，共3个， 故选：C. 3. 若，，，则a、b、c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式得到，并得到，，比较出大小. 【详解】， ，， 则. 故选：A 4. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象的变换得到答案. 【详解】将的图象向右平移1个单位长度，再向上平移一个单位，即可得到函数的图象. 故选：B. 5. 下列区间中，函数单调递增的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论. 【详解】因为函数的单调递增区间为， 对于函数，由， 解得， 取，可得函数一个单调递增区间为， 则，，A选项满足条件，B不满足条件； 取，可得函数的一个单调递增区间为， 且，，CD选项均不满足条件 故选：A. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数． 6. 已知函数，且对于定义域内的，都满足，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数，是减函数，由求解. 【详解】因为函数，对于定义域内的，都满足， 所以函数在定义域内是减函数， 所以， 解得， 所以实数a的取值范围是， 故选：C 7. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】逐一检验，对A，取，判断可知；对B， ，可知；对C，利用作差即可判断；对D根据不等式同向可加性可知结果. 【详解】对A，取，所以，故错误； 对B，由，，所以，故正确； 对C, ， 由，，所以，所以，故正确； 对D，由，所以，又，所以 故选：A 8. 设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数最多两个零点，讨论在区间分别取4、5、6个零点时的的取值范围，再讨论在区间分别取0、1、2个零点时的的取值范围，最后进行组合即可. 【详解】⸪函数在区间内恰有6个零点，且二次函数最多两个零点， ⸫当时，至少有四个根， 令，则 解得：，⸪，⸫，即， 当时，， ①若有4个零点，此时，即； ②若有5个零点，此时，即； ③若有6个零点，此时，即； 当时，， 令，解得：， ①若，没有零点；②若，，有1个零点； ③若，，且对称轴， 当时，即，有2个零点； 当时，即，有1个零点 综上所述，函数在区间内恰有6个零点需要满足， 或或 解得 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 是函数的对称中心 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数图象知：、、为对称轴、是函数的一个对称中心，结合余弦函数的性质即可判断各选项的正误. 【详解】由图知：，即，而，可得，A正确； 且，可得，B错误； 为对称轴，C正确； 由是函数的一个对称中心，则是函数的对称中心，D正确； 故选：ACD 10. 若，，且，则下列说法正确的是（ ） A 有最大值 B. 有最大值2 C. 有最小值5 D. 有最小值 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意利用基本不等式逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以有最大值，故A正确； 对于选项B：因为， 当且仅当时，等号成立，可得， 所以有最大值，故B错误； 对于选项C：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最小值5，故C正确； 对于选项D：因为， 则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以有最小值，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，，则下列说法正确的有（ ） A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 若函数在上的最大值、最小值分别为 M、 N，则 D. 在上单调递增 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过函数图象的平移结合奇函数的性质可判断AB；通过函数的单调性和对称性可判断CD. 【详解】对于A，将的图象向左平移一个单位得 为奇函数，图象关于原点对称，则的图象关于对称，故A正确； 对于B，将的图象向下平移两个单位得再 向左平移一个单位得 ，的图象关于对称， ∴的图象关于对称，故B正确； 对于C，因为在上递减，且为奇函数，， 在上为减函数， 在上为减函数， 又上为减函数，故是上的减函数， ∴在处取得最大值，则在处取得最小值，利用函数的对称性， 可得 故C正确， D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若集合有8个子集，则实数的取值范围为________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可知集合中包含3个元素，结合，即可得出实数的取值范围. 【详解】解：因为集合有8个子集，所以集合中包含3个元素， 所以，所以， 则实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知函数，若存在满足，且（，），则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，因此要使得满足条件的最小，须取 即 考点：三角函数性质 14. 已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为__________，方程解的个数为__________. 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】作出函数与函数的图象，数形结合可得出实数的取值范围；对于方程，设，作出函数的图象，数形结合可得出函数与直线的交点横坐标、、的取值范围，再结合图形得出方程、、的根的个数即可. 【详解】如图，作出函数的图象， 由题意，直线与函数的图象有两个不同的交点. 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个不同的交点， 故实数m的取值范围为； 对于方程，设，则有， 依题意，即是求解函数与直线的交点个数问题. 作出函数的图象如下图所示： 因为，函数与有个交点， 即有三个根、、，其中、、， 再结合的图象可知，方程有个不同的根，方程有个根，方程有个根， 综上所述，方程有个不同的解. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于、两点，，，. （1）若的横坐标为，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义结合同角三角函数的基本关系可求得，由题意得出，可求出的值，再利用诱导公式化简可求得所求代数式的值； （2）由诱导公式结合已知条件可得出，利用同角三角函数的平方关系可求出的值，联立方程组求出、的值，再利用同角三角函数的商数关系可求得的值. 【小问1详解】 因为点在单位圆上且横坐标为，所以， 因为，所以. 因为，所以，所以. 所以. 【小问2详解】 因为，所以①， 由，得， 所以. 因为，所以，所以②， 联立①②得，，， 所以. 16. 2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地 球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式： ，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为发动机的喷射速度，和分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完 ）时的质量．被称为火箭的质量比． （1）某单级火箭的初始质量为160吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的质量为40吨，求该单级火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）； （2）根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度千米/秒，并说明理由．（参考数据：，无理数） 【答案】（1）千米/秒 （2）该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度千米/秒，理由见解析 【解析】 【分析】（1）明确各个量的值，代入即可; （2）求出最大理想速度，利用放缩法比较与的大小即可. 【小问1详解】 ，，， ， 该单级火箭的最大理想速度为千米/秒. 【小问2详解】 ，， ， ， ， . 该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度千米/秒. 17. 已知函数和的定义域分别为D1和D2，若对任意，恰好存在n个不同的实数，使得（其中，，），则称为的“n重覆盖函数”. （1）试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由； （2）若为的“2重覆盖函数”，求实数a； （3）函数表示不超过x的最大整数，如，，.，，若为，的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围. 【答案】（1）不是，理由见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“重覆盖函数”的定义判断即可； （2）由题意可得即对任意，存在2个不同的实数），使得（其中），即，对进行分类讨论来进行求解. （3）先求出，再做出函数的图象，数形结合解决问题. 【小问1详解】 对于，有，而， 所以不是的“2重覆盖函数”. 【小问2详解】 由题意可得的定义域为， 即对任意，存在2个不同的实数）， 使得（其中）， ，则， ，即， 即对任意有2个实根， 当时，已有一个根， 故只需时，仅有1个根①： 当时，， 则，此不等式组无解. 当时，令，解得， 当时，， 所以，解得. 当时，不满足①， 当时，， 所以，解得. 综上所述，或 【小问3详解】 因， 当时，， 当时，且， 当且仅当时取等号，所以． 综上可得，即， 则对于任意要有2024个根， 作出函数的图象（部分），如图： 要使有2024个根，则， 又，则，故正实数的取值范围． 【点睛】难点点睛：本题难点在于对新概念的理解，只需根据定义将问题转化为对于定义域内任意实数m，直线与函数的图象有n个交点的问题，然后利用单调性或图象即可求解. 18. 已知偶函数和奇函数满足：． （1）求解析式； （2）解不等式； （3）存在实数满足存在最值大值，求的取值范围． 【答案】（1），． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性构造方程，解方程组得解； （2）利用对数函数单调性解不等式得解； （3）利用复合函数的单调性求出函数最值，原问题可化为，列出不等式即可得解. 【小问1详解】 为奇函数，， 为偶函数，． ，① ，② 联立①②得，， ． 【小问2详解】 ． ， ，， 不等式的解集为． 【小问3详解】 ， 当时，令为增函数， 由在上单调递增知，知在单调递增， 所以的最小值为． ， 由在上单调递减，单调递增， 知在单调递减，的最大值为． 当时，． 存在实数满足， ， ． ， 在取到最大值，， ，解得，或． 综上所述，的取值范围为． 19. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； （3）任意，求实数的所有整数解. 【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2）在上单调递减，证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性的定义结合对数的运算证明即可； （2）利用单调性的定义任取满足，结合对数的运算判断的符号证明即可； （3）由在上单调性求出的最值，解不等式即可. 【小问1详解】 函数是奇函数，证明如下： ，所以，解得函数定义域, 因为任意，都有， 又，所以函数是奇函数. 【小问2详解】 在上单调递减，证明如下： 法一：任取满足， 因为 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． 法二：任取满足，因为， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，即，所以在上单调递减． 【小问3详解】 由第（2）问知在上单调递减， 所以， 因为， 所以， 所以，即得，解得， 因为，所以或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市天宁区2025—2026学年度第一学期期末调研考试 高一数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列五个写法：①；②；③；④；⑤，其中错误写法的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若，，，则a、b、c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 函数图象是（ ） A. B. C D. 5. 下列区间中，函数单调递增的区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，且对于定义域内，都满足，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中，错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 8. 设，函数，若函数在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 是函数的对称中心 10. 若，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最大值2 C. 有最小值5 D. 有最小值 11. 已知函数，，则下列说法正确的有（ ） A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 若函数在上的最大值、最小值分别为 M、 N，则 D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若集合有8个子集，则实数的取值范围为________________． 13. 已知函数，若存在满足，且（，），则的最小值为__________． 14. 已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为__________，方程解的个数为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于、两点，，，. （1）若的横坐标为，求的值； （2）若，求的值. 16. 2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地 球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式： ，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为发动机的喷射速度，和分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完 ）时的质量．被称为火箭的质量比． （1）某单级火箭的初始质量为160吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的质量为40吨，求该单级火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）； （2）根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度千米/秒，并说明理由．（参考数据：，无理数） 17. 已知函数和的定义域分别为D1和D2，若对任意，恰好存在n个不同的实数，使得（其中，，），则称为的“n重覆盖函数”. （1）试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由； （2）若为的“2重覆盖函数”，求实数a； （3）函数表示不超过x的最大整数，如，，.，，若为，的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围. 18 已知偶函数和奇函数满足：． （1）求解析式； （2）解不等式； （3）存在实数满足存在最值大值，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； （3）任意，求实数所有整数解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $