精品解析：江苏省梁丰高级中学2025-2026学年度第一学期期末调研考试高一数学试题

江苏省梁丰高级中学2025-2026学年度第一学期期末调研考试 高一数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题为（ ） A. 某班至多有一个男生爱踢足球 B. 某班至少有一个男生不爱踢足球 C. 某班所有的男生都不爱踢足球 D. 某班所有的女生都不爱踢足球 2. 设集合，则，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数，其中，则函数值域为（ ） A B. C. D. 5. 已知、是方程的两个实根，是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设为实数，记集合,，,若，分别为集合的元素个数，则下列结论不可能的是（） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 8. 已知，则最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（　　） A. B. C. 在上的最大值是10 D. 不等式的解集为 10. 记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.则下列结论正确的是（ ） A. 所有偶函数都具有性质 B. 具有性质 C. 若，则一定存在正实数，使得具有性质 D. 已知，若函数具有性质，则 11. 设函数和是定义在上的非常数函数，.且对任意，都有，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若为非零函数，则为奇函数 C. 若，则 D. 若为奇函数且在上单调递增，则对任意成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为___________. 13. 函数，若方程恰有三个不同的解，记为，，，则的取值范围是________． 14. 已知函数，若关于的函数有6个不同的零点，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数是定义在上的偶函数． （1）请写出满足的关系式； （2）若，请判断的单调性，并用定义法证明； （3）在第二问的条件下，，对任意的，存在，使得恒成立，求的取值范围． 16. 已知函数对任意，总有，且当时， ，， (Ⅰ)求证：函数奇函数； (Ⅱ)利用函数的单调性定义证明，在上的单调递减； (Ⅲ)若不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围. 17. 若函数在定义域上满足，且时，，定义域为的为偶函数. （1）求证：（i）函数为奇函数； （ii）函数在定义域上单调递增； （2）若在区间上；在上的图象关于点对称.求函数和函数在区间上的解析式. 18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省梁丰高级中学2025-2026学年度第一学期期末调研考试 高一数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题为（ ） A. 某班至多有一个男生爱踢足球 B. 某班至少有一个男生不爱踢足球 C. 某班所有的男生都不爱踢足球 D. 某班所有的女生都不爱踢足球 【答案】B 【解析】 【分析】 命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题，书写其否定时不光要否定结论还要改变量词，由此规律易得其否定． 【详解】解：命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题， 故其否定为“某班至少有一个男生不爱踢足球”． 故选：． 【点睛】本题考查命题的否定，要注意研究命题的类型，根据其形式是全称命题得出其否定是一个特称命题是解题的关键，属于基础题． 2. 设集合，则，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义，画出数轴，可求出结果. 【详解】集合，，在数轴上表示如图所示：由图可得. 故选：B 3. 已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念结合集合间的关系可得结果. 【详解】a＝3时，A＝{1，3}，A⊆B，即充分性成立； 当A⊆B时，a＝2或3，即必要性不成立； 故选：A. 4. 函数，其中，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性求得正确答案. 【详解】， 在上递增， 所以. 故选：C 5. 已知、是方程的两个实根，是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合二次方程相关知识判断可得出结论. 【详解】因为、是方程的两个实根，则. 则，则， 所以，. 所以，是的充要条件. 故选：C. 6. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 7. 设为实数，记集合,，,若，分别为集合的元素个数，则下列结论不可能的是（） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合元素个数与方程根的个数之间的对应关系，对一次、二次方程的判别式进行分类讨论，逐项判断是否存在满足条件的实数. 【详解】选项A：且 要求仅有一个实根，即是唯一实根， 且无实根，需； 要求无实根，需无实根（即）， 且无实根，需； 取，则，，符合条件；故A可能； 选项B：且 除A中情况外，还可为唯一实根，且二次方程有重根， 即且为其根，得； 代入，则，唯一实根； 取，则，，符合条件；故B可能； 选项C：且 可为与二次方程两个不同实根 （其中一个为或都不是但二次方程有两不等实根且与一次根不同）； 要求恰有两个不同实根； 取，则，，符合条件；故C可能； 选项D：若，则，， 且不是的根，代入得， 若，由于，则有两个相异实根， 此时需是的一个根，代入得，两个条件矛盾，故D不可能； 综上，不可能成立的选项为D. 故选：D 8. 已知，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式将原等式转化为关于的一元二次不等式求解. 【详解】由，得， 整理得，即， 而，故可得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（　　） A. B. C. 在上的最大值是10 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】依题意令，求出，从而判断A；令得到，再令，，即可判断B；再利用定义法证明函数的单调性即可判断C；依题意原不等式等价于，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，即可判断D. 【详解】因为，则有， 令，则，则，故A正确； 令，则， 令代，则， 即，即，故B错误； 设且，则，由， 令，则，即， 令，，则，即， 因为时，，又，故， 所以，所以，即在上单调递减， 又，所以，， 又，所以， 故在上的最大值为，故C正确； 由，即， 即，即， 又因为，即， 所以，即， 故，即，解得， 即原不等式的解集为，故D正确； 故选：ACD. 10. 记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.则下列结论正确的是（ ） A. 所有偶函数都具有性质 B. 具有性质 C. 若，则一定存在正实数，使得具有性质 D. 已知，若函数具有性质，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用性质可判断A；利用基本不等式结合性质可判断B；根据函数的值域可判断C；根据已知条件可得出可得出，结合不等式恒成立可得出的取值范围，可判断D. 【详解】对于选项A：设函数是定义在上的偶函数，则， 可得， 所以所有偶函数都具有性质，故A正确； 对于选项B：因为， 当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，故对任意的，， 所以具有性质，故B正确； 对于选项C：因为， 且函数的值域为， 所以不存在实数，使得，故C错误； 对于选项D：因为 ， 因为，，，则，则， 可得，即，则， 要使得恒成立，则， 又因为，则， 所以，若函数具有性质，则，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 11. 设函数和是定义在上的非常数函数，.且对任意，都有，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若为非零函数，则为奇函数 C. 若，则 D. 若奇函数且在上单调递增，则对任意成立 【答案】ABD 【解析】 【分析】合理的进行赋值，结合已知条件以及奇偶性的定义，分别检验各选项即可判断． 【详解】对于A，令，代入得 ， 因为，所以，A正确； 对于B，若为非零函数，令， 代入原式：，， 设，则，故为奇函数，B正确； 对于C，若，令，所以， 令，所以， 令，，所以， 所以，所以，C错误； 对于D，若为奇函数且在上单调递增，结合， 时，；时，； 令，得， 当时，，故； 当时，，故； 当时，，因此对任意成立，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】观察方程的结构特征，将它进行变形为，然后构造函数，确定函数的单调性，从而将问题转化为当时，有两个不相等的实数根，利用根的分布列出不等式组，求解即可得到答案． 【详解】解：因为方程， 所以变形为， 令， 则有， 因为在上单调递增， 所以即为， 故当时，有两个不相等的实数根， 中，则有，即， 解得， 所以实数的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了函数单调性的应用、二次函数根的分布问题，解题的关键是将已知的方程变形为，进而构造函数分析，对于学生的思维能力有较高的要求． 13. 函数，若方程恰有三个不同的解，记为，，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图像，由恰有三个不同的解，得的范围，得到的对称性，再判断的范围，利用数形结合求解. 【详解】作出函数的图像如图所示，根据图像可知恰有三个不同的解时，设，令，可得，根据对称性可知关于对称，所以，又因为，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题利用数形结合的方法求解函数零点问题，解答本题的关键在于作出函数的图像，利用三角函数的对称性得到，再结合图像判断的范围. 14. 已知函数，若关于的函数有6个不同的零点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数的性质画出函数草图，讨论不同值域区间内解的个数，再结合题设函数有6个零点，确定对应的值域区间，利用二次函数的性质，列不等式组求参数b的范围. 【详解】作出的函数图象如下： 设，则当或时，方程只有1解， 当时，方程有2解， 当时，方程有3解， 当时，方程无解． ∵关于的函数有6个不同的零点， ∴关于的方程在上有两解， ∴，解得． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：根据分段函数的解析式，应用数形结合法判断不同值域区间上对应x的个数，再由关于的二次函数零点的个数确定的值域区间，应用二次函数性质求参数范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数是定义在上的偶函数． （1）请写出满足的关系式； （2）若，请判断的单调性，并用定义法证明； （3）在第二问的条件下，，对任意的，存在，使得恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由是定义在上的偶函数得到，整理得到，由不恒为零，得到； （2）时，，因为是定义在上的偶函数，可以只考虑在上的单调性，上的单调性与之相反，时，，所以在上单调递减，因此在上单调递增； （3）双变量问题，由题可知，由的单调性和奇偶性得到，分和两种情况讨论，在两种情况中分别令，，得到的取值范围. 【小问1详解】 因为是偶函数，所以，所以， ，， 因为对上的均满足，而不恒为零， 所以. 【小问2详解】 若，由（1）知，此时. 因为是偶函数，不妨仅考虑在上的单调性，上的单调性与之相反． 任取，不妨令， 因为，所以， 因为，所以，所以，可得， 因此， 所以在上单调递减，在上单调递增． 【小问3详解】 由题意可知，， ， 由（2）知在上单调递增，在上单调递减，且， 所以对任意的. ①当时，， 此时只需满足， 若； 若； 所以. ②当时，， 此时只需满足， 若； 若； 此时无解. 综上所述：. 16. 已知函数对任意，总有，且当时， ，， (Ⅰ)求证：函数是奇函数； (Ⅱ)利用函数的单调性定义证明，在上的单调递减； (Ⅲ)若不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(Ⅰ) 见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ） 【解析】 【分析】 (Ⅰ)利用赋值法并结合奇函数的定义即可证出； (Ⅱ)根据函数单调性的定义并函数是奇函数证明即可； (Ⅲ)结合已知可知，再利用，将不等式化为，再利用单调性去掉对应法则，解不等式即可. 【详解】(Ⅰ)令，得，所以， 令，得，即，所以， 所以函数是上的奇函数. (Ⅱ)任取,且，则， 因为当时， ，而，即，所以， 所以，所以在上的单调递减. (Ⅲ)由(Ⅰ)知是上的奇函数，所以，所以， 所以， 所以不等式可化为， 即，所以， 由(Ⅱ)知，在上的单调递减，所以， 故问题转化为对于任意的恒成立， 即对于任意的恒成立， 令，，故问题可转化为对任意的恒成立， 令，其对称轴为， 所以，所以. 【点睛】方法点睛：解函数不等式的理论依据是函数单调性的定义，具体步骤是： (1)将函数不等式转化成的形式； (2)考查函数的单调性； (3)据函数的单调性去掉法则“”，转化为形如“”或“”的常规不等式，从而得解． 17. 若函数在定义域上满足，且时，，定义域为的为偶函数. （1）求证：（i）函数为奇函数； （ii）函数在定义域上单调递增； （2）若在区间上；在上的图象关于点对称.求函数和函数在区间上的解析式. 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 （2）,； 【解析】 【分析】（1）（i）通过赋值，利用奇函数定义易证；（ii）利用题设条件，结合函数的单调性定义即可证得； （2）先由函数和的奇偶性，列出方程组，即可求得和在上的解析式，再根据题设条件求出两函数在区间上的解析式. 【小问1详解】 （i）对于，，令，可得， 再令，可得，即， 故函数为奇函数. （ii）任取，且，则，， 由 ， 可得， 故函数在定义域上单调递增. 【小问2详解】 因是定义在上的偶函数，则时，. 由时，①， 可得②， 由，可得，即得：； 由，可得，即得：； 因时，，则当时，， 由可得； 当时，，故. 综上，可知当时，都有. 又因时，，且在上的图象关于点对称， 则当时，，； 又是定义在上的偶函数， 故时，，. 综上，可知当时， 18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【答案】（1）采用方案二；理由见解析 （2）24 【解析】 【分析】（1）列出两种方案总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. 【小问2详解】 解：由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 【答案】（1）是，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设设中，得到，分，，进行分类讨论即可求解. 【小问1详解】 由，所以集合是“完美集”； 【小问2详解】 若是两个不同的正数， 且是“完美集”， 设， 根据根与系数关系可知相当于方程的两根， 由于，解得或（舍）， 所以， 又均为正数， 所以，当且仅当时成立 是两个不同的正数， 所以至少有一个大于2； 【小问3详解】 不妨设中， 由， 得， 当时，即有， 又为正整数，所以， 则，则无解，即不存在满足条件“完美集”； 当时，即有， 故只能， 则，可求得， 于是此时“完美集”只有一个为； 当时，由， 即有， 又， 又，所以， 即， 又， 即，与矛盾， 所以当时，不存在“完美集”； 综上所述，“完美集”为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $