精品解析：四川绵阳市东辰学校2025-2026学年高一上学期第三学月考试数学试题

东辰中学高2024级第三学月考试 数 学 总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：刘亦菡 审题人：孙莉 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则A∩B=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义求解. 【详解】因为，，则A∩B=， 故选:D. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的基本性质，赋值法逐项判断即可. 【详解】对于A，可以取，，，此时，所以A错误. 对于B：∵，∴，因为，所以，故B正确； 对于C：取，时，则，，，则，故C错误； 对于D：当，时，，，则，故D错误； 故选：B. 3. “”是“幂函数在上单调递减”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充要 【答案】D 【解析】 【分析】由题知，解得，再根据充要条件的概念判断即可. 【详解】解：因为幂函数在上单调递减， 所以，解得， 所以“”是“幂函数在上单调递减”的充要条件. 故选：D 4. 若是第三象限角，则所在的象限是（ ） A. 第一或第二象限； B. 第三或第四象限； C. 第一或第三象限； D. 第二或第四象限． 【答案】D 【解析】 【分析】根据是第三象限角的范围，可判断所在的象限. 【详解】因为为第三象限角, 即 , 所以,, 当 为奇数时, 是第四象限的角; 当 为偶数时, 是第二象限的角. 故选:D. 5. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个函数的图象如图，其对应的函数解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由定义域判断A；利用特殊函数值：、的符号判断B、C；利用奇偶性定义及区间单调性判断D. 【详解】A：函数的定义域为，不符合； B：由，不符合； C：由，不符合； D：且定义域为，为偶函数， 在上单调递增，上单调递减， 结合偶函数的对称性知：上递减，上递增，符合. 故选：D 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数单调性得到，，对利用换底公式变形后作差，结合基本不等式，得到，从而得到答案. 【详解】因为单调递减，所以， 又与均单调递增，故，， 其中，， ，其中，故， 其中， 故， 所以，即， 故. 故选：D 7. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“函数”定义结合分段函数值域列出关于m的不等关系即可求解. 【详解】由题可得函数定义域为，函数是“函数”， 所以函数值域为， 又当时，时单调递增，所以， 所以. 故选：B 8. 已知函数 与 （ 且 ）的图象上存在关于轴对称的点，则的取值不可能是下列数据中的（ ） A. B. e C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将题设问题等价转换成，构造函数，利用指数函数性质求出该函数值域即可求解. 【详解】设对称点为函数图象上的点， 则关于轴对称且在函数图象上的点为， 因为函数， 所以，即， 设，因为函数均为减函数， 所以在上单调递减， 所以，又时， 所以函数的值域为，又，所以. 所以的取值不可能是. 故选：A 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9. 下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由幂函数、指数函数的性质判断A、B、D，应用奇偶性的定义和一次函数的性质判断C. 【详解】由为偶函数，且在上单调递增，A不符； 由为非奇非偶函数，B不符； 由的定义域为R，且，即函数为偶函数， 当，则，故函数在上单调递减，C符合； 由为奇函数，D不符. 故选：C 10. 给出下列结论，其中正确的结论是（ ） A. 函数在中存在零点，用二分法求零点时，若要求精确度为，则运算次数至少为次 B. 已知函数（且）在上是减函数，则实数的取值范围是 C. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称 D. 若，则的值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二分法的精确度，代入公式，即可判断A的正误；根据a的范围，可得为减函数，根据的范围，可求得的范围，分别讨论和两种情况，分析即可判断B的正误；根据与互为反函数，即可判断C的正误；根据题意，可求得、的值，根据对数的运算性质，即可判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A选项，二分法精确度为，所以，可得，故至少运算次，A对； 对于B选项，因为，所以为减函数， 因为函数（且）在上是减函数，则，解得， 当时，在上单调递增，故舍去， 当时，在上单调递减，满足题意， 所以实数的取值范围是，B错； 对于C选项，函数与互为反函数，所以函数与的图象关于直线对称，C对； 对于D选项，因为，所以， 因为，所以， 所以，D对. 故选：ACD. 11. 已知定义在上的函数在区间上满足，当时，；当时，.若直线与函数的图象有个不同的交点，各交点的横坐标为，且 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用函数的对称性和解析式作出函数图象，分别求出直线与函数的图象的交点的横坐标的范围，运用基本不等式和二次函数的值域依次检验选项即得. 【详解】如图，依题意可得，作出函数在上的图象， 设直线与的图象分别交于、、、四点， 显然有、、， 由知函数在区间上的图象关于直线对称， 故可得：. 对于A选项，由可得，，化简得， 由基本不等式得：，故A项正确； 对于B选项，当时，由可知其对称轴为直线，故， 又因，故在时单调递增， 则有，故B项正确； 对于C选项，由可得，， 化简得， 故有，即C项错误； 对于D选项，依题意，且， 故， 又因函数在区间上的图象关于直线对称， 故， 又由B项分析知，于是， 故得：，故D项正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.将答案填写在答题卡的横线上. 12. 已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出半径，再用扇形面积公式计算即可. 【详解】，根据弧长公式， 则，所以扇形的面积为. 故答案为： 13. 今年8月24日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上；有8种半衰期在1万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式（，为大于0的常数且）.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要________年（最终结果四舍五入，参考数据： ，） 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件得，解方程组求出的值，当时，在等式两边取对数即可求解. 【详解】由题意得：，解得，所以， 当时，得，即， 两边取对数得（其中应用换底公式：）. 所以， 即这种有机体体液内该放射性元素浓度时，大约需要年. 故答案是：. 14. 若，，，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据所给因式特征先提取公因式c，接着利用常数“1”进行等价代换并结合基本不等式得到仅关于c的因式，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，，， 所以 . 当且仅当且即且时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合 ，集合 （1）求 和 ； （2）设 ，若 ，求实数的取值范围. 【答案】（1）  ，或； （2）. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式和分式不等式求出集合A、B，再由交集、并集和补集定义计算即可求解； （2）由并集结果列出关于a的不等式组即可求解. 【小问1详解】 由题可得集合 ， 集合 ， 所以  ， 或或； 【小问2详解】 由（1）或，， 若 ， 则， 所以实数的取值范围为. 16. （1）化简: ； （2）计算: ； （3）已知是关于的方程 的一个实根，且是第三象限角，求 的值. 【答案】（1）；（2）2；（3）1. 【解析】 【分析】（1）利用对数运算法则及换底公式计算得解. （2）利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算得解. （3）解方程求出，再利用正余弦齐次式法计算得解. 【详解】（1） . （2）原式 . （3）解方程 ，得， 是第三象限角，所以，则， 所以. 17. 随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路､地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，一般情况下，该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当隧道内的车流密度达到120辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度与车流密度之间满足函数关系式：，（为常数）. （1）若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围； （2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：） 【答案】（1） （2）隧道内车流量的最大值为辆/小时，此时车流密度为辆/千米. 【解析】 【分析】（1）先根据时，得到，从而得到满足要求，时，解不等式，得到答案； （2）分和两种情况，表达出车流量关于车流密度的关系式，由函数单调性和基本不等式求出最值，比较后得到答案. 【小问1详解】 当时， 由题意得，当时，，即，解得， 当时，车流速度为60千米/小时，满足要求， 若，令，解得， 综上，，车流密度的取值范围为； 【小问2详解】 当时，，单调递增， 故当时，取得最大值，最大值为辆/小时； 当时，， 令，则 ， 当且仅当，即时，等号成立，此时 由于， 故隧道内车流量的最大值为辆/小时，此时车流密度为辆/千米. 18. 已知函数（其中），函数（其中）. （1）若且函数存在零点，求的取值范围； （2）若是偶函数且函数的图象与函数的图象只有一个公共点，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意，分离参数且利用对数型复合函数的单调性求得的值域，即可求得参数的取值范围； （2）根据是偶函数求得参数，再根据题意，求解指数方程即可求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意知函数存在零点，即有解. 又， 易知在上是减函数，又，，即， 所以，所以的取值范围是. 【小问2详解】 的定义域为，若是偶函数，则， 即解得. 此时，， 所以即为偶函数. 又因为函数与的图象有且只有一个公共点，故方程只有一解， 即方程有且只有一个实根. 令，则方程有且只有一个正根 ①当时，，不合题意， ②当时，方程有两相等正根，则， 且，解得，满足题意； ③若一个正根和一个负根，则，即时，满足题意， 综上所述：实数的取值范围为或. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性求参数值，以及对数方程的求解，对数型复合函数值域的求解，解决问题的关键是熟练的掌握对数函数的性质，属综合困难题. 19. 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”； 对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”. （1）判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由； （2）若函数是区间上的“1阶自伴函数”，求的值； （3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）不是，理由如下： 假定函数是区间上的“2阶自伴函数”， 则对任意的，总存在唯一的，使成立， 令，函数在上单调递增， 而函数在上单调递增， 因此函数在单调递增， ，，由，得， 则，即不成立， 所以不是区间上的“2阶自伴函数”. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）探讨函数在上单调性，并确定函数值范围，再利用“2阶自伴函数”定义判断即可. （2）利用“1阶自伴函数”定义，将表示在上的函数，再确定单调性并求出值域，借助集合的包含关系求解即可. （3）由单调性求出在区间上的值域，进而将问题转化为在区间上的值域是的子集，再结合二次函数的性质，分类讨论即可求解. 【小问1详解】 不是，理由略； 【小问2详解】 函数是区间上的“1阶自伴函数”， 则对任意，总存在唯一的，使得， 则，即，而函数在上单调递减， 且当时，，当时，， 因此对内的每一个，在内有唯一值与之对应， 而，于是， 所以，解得，即， 所以的值是1. 【小问3详解】 函数分别为定义域内单调递增和单调递减函数， 则函数分别为定义域内单调递减和单调递减函数， 于是函数在上单调递增，且， 函数的值域为， 由函数是在区间上的“2阶伴随函数”， 得对任意的，总存在唯一的时，使得成立， 即， 于是在区间上的值域是区间的子集， 而函数的图象开口向上，对称轴为， 显然， ，， 当时，在上单调递增， 则，即，无解； 当时，在上单调递减， 则，即，无解； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，即，解得； 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东辰中学高2024级第三学月考试 数 学 总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：刘亦菡 审题人：孙莉 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则A∩B=（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 3. “”是“幂函数在上单调递减”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充要 4. 若是第三象限角，则所在的象限是（ ） A. 第一或第二象限； B. 第三或第四象限； C. 第一或第三象限； D. 第二或第四象限． 5. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个函数的图象如图，其对应的函数解析式可能是（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 与 （ 且 ）的图象上存在关于轴对称的点，则的取值不可能是下列数据中的（ ） A. B. e C. D. 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9. 下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 10. 给出下列结论，其中正确的结论是（ ） A. 函数在中存在零点，用二分法求零点时，若要求精确度为，则运算次数至少为次 B. 已知函数（且）在上是减函数，则实数的取值范围是 C. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称 D. 若，则的值为 11. 已知定义在上的函数在区间上满足，当时，；当时，.若直线与函数的图象有个不同的交点，各交点的横坐标为，且 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.将答案填写在答题卡的横线上. 12. 已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为__________. 13. 今年8月24日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上；有8种半衰期在1万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式（，为大于0的常数且）.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要________年（最终结果四舍五入，参考数据： ，） 14. 若，，，则的最小值为________. 四、解答题：共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合 ，集合 （1）求 和 ； （2）设 ，若 ，求实数的取值范围. 16. （1）化简: ； （2）计算: ； （3）已知是关于的方程 的一个实根，且是第三象限角，求 的值. 17. 随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路､地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，一般情况下，该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当隧道内的车流密度达到120辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度与车流密度之间满足函数关系式：，（为常数）. （1）若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围； （2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：） 18. 已知函数（其中），函数（其中）. （1）若且函数存在零点，求的取值范围； （2）若是偶函数且函数的图象与函数的图象只有一个公共点，求实数的取值范围. 19. 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”； 对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”. （1）判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由； （2）若函数是区间上的“1阶自伴函数”，求的值； （3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $