精品解析：河北衡水中学2025-2026学年度高三年级上学期2月期末综合素质评价数学试题

2025-2026学年度高三年级上学期期末综合素质评价 数学学科 考试时间：120分钟 第I卷（共58分） 一､单选题（共8给小题，每题5分，共40分） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列满足，则公比（ ） A. B. C. D. 4. 已知是定义在R上的偶函数，且周期.若当时，，则（ ） A. 4 B. 16 C. D. 5. 、、是平面，a，b，c是直线，以下说法中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ，， D. ， 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在R上的偶函数，且周期.若当时，，则（ ） A. 4 B. 16 C. D. 8. 在中，已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知过点作抛物线的两条切线，分别交轴于点，则外接圆的方程为（ ） A. B. C. D. 二､多选题 10. 下列结论正确的是（ ） A. 一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17 B. 若随机变量，满足，则 C. 若随机变量，且，则 D. 根据分类变量与成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断与有关 11. 已知数列是公差为d等差数列，是其前n项的和，若，，则（ ） A. B. C. D. 12. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”.那么（ ） A. 存旋转函数 B. 旋转函数一定是旋转函数 C. 若为旋转函数，则 D. 若旋转函数，则 三､填空题（每题5分，共15分） 13. 的展开式中的系数为__________. 14. 已知中，，，，若线段的延长线上存在点，使，则__________． 15. 如果一个四位数的各位数字之和为9，则称A是一个“好数”，则“好数”的个数为__________. 四､解答题 16. 已知函数. （1）求函数在上的单调递增区间； （2）若函数在上的值域为，求的取值范围. 17. 2025年“十一”黄金周期间，上饶市文旅局对五大热门景区（三清山、婺源、龟峰、葛仙村、望仙谷）游客数据进行了统计．已知前五日每日总游客接待量（，单位：万人次）与全市旅游综合收入，单位：亿元的抽样数据如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 29 32 36 30 28 6 7 8 6.5 5.5 （1）根据数据建立旅游综合收入关于游客接待量的线性回归方程，并预测第六日游客接待量达到38万人次时，该市旅游综合收入的估计值； （2）在“十一”黄金周期间，望仙谷景区单日客流量超过承载上限（5万人次）的概率为0.4．黄金周七天中随机抽取三天，记客流量超过承载上限的天数为，求的分布列及数学期望． 参考数据：． 参考公式：． 18. 已知函数，其中. （1）求函数的单调区间； （2）讨论函数零点的个数； 19. 已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆上. （1）求椭圆C的方程； （2）直线交椭圆于，两点.设点关于轴的对称点为（点与点不重合），且直线与轴交于点， （i）P点是否为定点，若是求出P点坐标；若不是，说明理由 （ii）求的面积最大值 20. 如图所示，已知四棱锥，平面，点为的中点，，垂足分别为，，，． （1）证明：； （2）若平面EBD，设二面角的平面角为，且为钝角，求的最大值； （3）若，点都在同一个球面上，且给定该球的半径时，三棱锥的体积有3个可能的值，求该球半径的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高三年级上学期期末综合素质评价 数学学科 考试时间：120分钟 第I卷（共58分） 一､单选题（共8给小题，每题5分，共40分） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得. 详解】全集，集合， 所以. 故选：D 2. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先使用复数的除法法则化简计算，再求出模长. 【详解】由题可得， 所以. 故选：A. 3. 已知等比数列满足，则公比（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式求解. 【详解】是等比数列，，， ，. 故选：D. 4. 已知是定义在R上的偶函数，且周期.若当时，，则（ ） A. 4 B. 16 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性和周期性求解即可. 【详解】因. 故选：B. 5. 、、是平面，a，b，c是直线，以下说法中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ，， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中直线、平面的位置关系一一判定选项即可. 【详解】对于A，，可以平行，也可以相交， 对于B，a，c可以平行，可以相交，也可以异面， 对于D，，可以平行，也可以相交， 对于C，不妨设，在平面内作， 因为，则，同理在平面内作，则， 所以， 又，则，而，所以，所以，即C正确. 故选：C 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断； 【详解】因为，即，所以， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称， 故排除； 当时，，即，因此，故排除A. 故选：D. 7. 已知是定义在R上的偶函数，且周期.若当时，，则（ ） A. 4 B. 16 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性和周期性求解即可. 【详解】因为. 故选：B. 8. 在中，已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用和角的正切公式求出，再代入计算即得. 【详解】在中，，否则， ，，矛盾，并且有， ， 因此，而，则，， 所以. 故选：A 9. 已知过点作抛物线的两条切线，分别交轴于点，则外接圆的方程为（ ） A. B C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设切线方程为，联立抛物线方程，由，求得参数.根据题意求得的坐标，利用待定系数法求得圆的标准方程. 【详解】设切线方程为. 由，得. 由，得. 所以切线方程为. 令，得或. 所以，或. 设外接圆的方程为， 则，解得. 所以外接圆的方程为. 故选：B. 二､多选题 10. 下列结论正确的是（ ） A. 一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17 B. 若随机变量，满足，则 C. 若随机变量，且，则 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断与有关 【答案】CD 【解析】 【分析】A应用百分位数求法判断；B由方差性质判断；C根据正态分布对称性求概率判断；D由独立检验的基本思想判断结论. 【详解】A：由，故第80百分位数为，错； B：由方差的性质知：，错； C：由正态分布性质，随机变量的正态曲线关于对称， 所以，对； D：由题设，结合独立检验的基本思想，在小概率情况下与有关，对. 故选：CD 11. 已知数列是公差为d的等差数列，是其前n项的和，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得，从而可求出，即可判断A；再结合等差数列的性质及前项和公式即可判断BCD. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 又因为，所以，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； 因为， 所以当时，，当时，， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：在等差数列中，求的最小（大）值的方法： （1）利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和最小（大）； （2）借助二次函数的图象及性质求解. 12. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”.那么（ ） A. 存在旋转函数 B. 旋转函数一定是旋转函数 C. 若为旋转函数，则 D. 若为旋转函数，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，举例说明即可；对B，举反例判断即可；根据函数的性质，结合“旋转函数”的定义逐个判断即可；对CD，将旋转函数转化为函数与任意斜率为1的函数最多一个交点，再联立函数与直线的方程，分析零点个数判断即可. 【详解】对A，如满足条件，故A正确； 对B，如倾斜角为的直线是旋转函数，不是旋转函数，故B错误； 对C，若为旋转函数，则根据函数的性质可得，逆时针旋转后，不存在与轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点.故不存在倾斜角为的直线与的函数图象有两个交点.即与至多1个交点.联立可得. 当时，最多1个解，满足题意； 当时，的判别式，对任意的，都存在使得判别式大于0，不满足题意，故.故C正确； 对D，同C，与的交点个数小于等于1，即对任意的，至多1个解，故为单调函数，即为非正或非负函数. 又，故，即恒成立. 即图象在上方，故，即. 当与相切时，可设切点，对求导有，故，解得，此时，故.故D正确. 故选：ACD 三､填空题（每题5分，共15分） 13. 的展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将原式化简得到，得到的通项为，再分别当 ， 时，两种情况讨论即可. 【详解】， 其中的通项为， 当 时，，乘以 ，得到的系数为5； 当 时，，乘以 ，得到的系数为 ； 所以展开式中的系数为 . 故答案为：. 14. 已知中，，，，若线段的延长线上存在点，使，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先结合已知条件和余弦定理求出，然后在中利用正弦定理即可求解. 【详解】因为线段的延长线上存在点，使，如下图所示： 因为，，， 所以，即， 所以， 所以， 在中，由正弦定理可得，. 故答案为：. 15. 如果一个四位数的各位数字之和为9，则称A是一个“好数”，则“好数”的个数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题可通过设出四位数的各位数字，将问题转化为求不定方程的非负整数解的个数，再利用隔板法进行求解. 【详解】设这个四位数的各位数字从最高位到最低位依次是， 则，均为整数， 设，，，， ，，， 对于方程 可将其看作是把个相同的元素分成组，每组元素个数分别对应的值， 为了使用隔板法，我们可以想象在个元素和个隔板的排列中， 隔板将元素分成组，总共有个位置，从中选个位置放隔板， 其余位置放元素，其组合数为. 故答案为：. 四､解答题 16. 已知函数. （1）求函数在上的单调递增区间； （2）若函数在上的值域为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用差角的正弦公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的单调性求出指定区间上的递增区间. （2）求出相位范围，再利用给定值域，结合正弦函数性质列出不等式求出范围. 【小问1详解】 函数， 由，得，则当，即时，函数单调递增， 所以函数在上的单调递增区间是. 【小问2详解】 由，得，而函数在上的值域为， 则，解得， 所以的取值范围为. 17. 2025年“十一”黄金周期间，上饶市文旅局对五大热门景区（三清山、婺源、龟峰、葛仙村、望仙谷）的游客数据进行了统计．已知前五日每日总游客接待量（，单位：万人次）与全市旅游综合收入，单位：亿元的抽样数据如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 29 32 36 30 28 6 7 8 6.5 5.5 （1）根据数据建立旅游综合收入关于游客接待量的线性回归方程，并预测第六日游客接待量达到38万人次时，该市旅游综合收入的估计值； （2）在“十一”黄金周期间，望仙谷景区单日客流量超过承载上限（5万人次）的概率为0.4．黄金周七天中随机抽取三天，记客流量超过承载上限的天数为，求的分布列及数学期望． 参考数据：． 参考公式：． 【答案】（1），8.7亿元 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）因为，由求出，由求出 再由回归方程求解旅游综合收入的估计值即可； （2）由题意可知，，根据二项分布概率公式求解分布列，再根据二项分布的期望求解期望. 【小问1详解】 因为 所以． 所以回归方程为：，当时， 当第六日游客接待量达到38.0万人次时，该市旅游综合收入的估计值为8.7亿元． 【小问2详解】 由题意可知， 则 所以的分布列为： 0 1 2 3 P . 18. 已知函数，其中. （1）求函数的单调区间； （2）讨论函数零点的个数； 【答案】（1）单调递增区间为，；单调递减区间为 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求导后，根据的正负可得单调区间； （2）取，结合（1）的结论可知在上无零点；讨论的情况时，分别在、和的情况下，根据的正负，结合零点存在定理得到零点个数. 【小问1详解】 由题意知：定义域为，， 令，解得：，，又， 当时，；当时，； 的单调递增区间为，；单调递减区间为. 【小问2详解】 取，则当时，，，， ； ，由（1）知：在上单调递增， 当时，，即在上无零点； 下面讨论的情况： ①当时，在上单调递减，在上单调递增， ， 又，， 在和上各存在一个零点，即有两个不同零点； ②当时，在上单调递减，在上单调递增，又， 有唯一零点； ③当时，在上单调递减，在上单调递增， ，无零点； 综上所述：当时，有两个不同零点；当时，有且仅有一个零点；当时，无零点. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数单调区间、讨论函数零点个数问题；本题讨论零点个数的关键是根据函数的单调性，将问题转化为函数最小值正负的讨论问题，由此可确定参数在不同范围时的零点个数. 19. 已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆上. （1）求椭圆C的方程； （2）直线交椭圆于，两点.设点关于轴的对称点为（点与点不重合），且直线与轴交于点， （i）P点是否为定点，若是求出P点坐标；若不是，说明理由 （ii）求的面积最大值 【答案】（1） （2）（i）是定点，（ii）1 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的左顶点在圆上，求出；再根据离心率为，求得，由求得.即可得到椭圆的方程. （2）（i）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得直线与轴的交点为定点；（ii）结合（i）的结论，利用韦达定理用表示的面积，根据基本不等式可得取最大值. 【小问1详解】 因为椭圆的左顶点在圆上. 令，则. 所以椭圆的左顶点坐标为，且. 又离心率为，所以，所以， 所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）设，. 直线与椭圆方程联立 化简并整理得， ∴， 由题设知，直线的方程为 令得 点是定点，其坐标为. （ii）由（i）知，点.记点，则直线恒过定点. 所以 （当且仅当即时等号成立） 的面积的最大值为1. 20. 如图所示，已知四棱锥，平面，点为的中点，，垂足分别为，，，． （1）证明：； （2）若平面EBD，设二面角的平面角为，且为钝角，求的最大值； （3）若，点都在同一个球面上，且给定该球的半径时，三棱锥的体积有3个可能的值，求该球半径的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理，证明平面，再利用线面垂直的性质定理证明即可. （2）由平面，得，建立空间直角坐标系,由，得：，设平面与平面的法向量分别为，， 求出计算即可求得的最大值. （3）由线面垂直得，设， 设的外心为， 由，利用两点间距离公式，整理得：，因此球心即为过且垂直于平面的直线与的交点，得到， 令，代入及表达式， 分取值范围讨论即可. 方法二：设球心，利用，整理得，下同方法一. 【小问1详解】 ，点为的中点， ， 又，， ， 、为等腰直角三角形， 由题意，可知， 如图， 取PE中点H，连接， ,， 平面，平面，， 平面， 平面， . 【小问2详解】 设与的交点为， ∵平面，平面平面， 平面， ， 点为的中点， 为的中点， 平面，平面， ， 又，， ， 如图所示，建立空间直角坐标系， 则，，， 设，，， ， ， ， 得， 同理：可得， 不妨设，，其中，， 过，从而， 由，， 得，则， 设平面与平面的法向量分别为，， ，即， 可得， 同理可得：， ， 且易知，满足θ为钝角， 而，当且仅当，时取等号， 故， 二面角的平面角的余弦值的最大值为. 【小问3详解】 如图， 且， , 平面，平面， , 平面，平面， ， 由（2）知，， 关于平面对称， 设，则，其中且， 设的外心为，显然应在轴上， 设， ， 故有，整理得：， 同时在平面的垂直平分线恰为， 因此球心即为，过点且垂直于平面的直线与的交点， 故， 令，则且，代入及表达式， 得， 因此，令， 故，且， 且给定该球的半径时，三棱锥P-BCD的体积有3个可能的值， 等价于有3个不同的解，即有3个不同的解， ①当时，关于的方程， 在区间上有唯一解， 此时关于v的方程仅在区间有一解，不满足题意； ②当时， 关于的方程恰有两解，， 方程在区间有1解，有唯一解， 故共有2组解，不满足题意； ③当时， 关于的方程在，分别有一解， 此时关于v的方程在区间有一解，在有2解， 共3解，符合题意， 因此，即， 综上所述，该球半径的取值范围是； 解法二：令，则且， 代入的表达式为：， 则，结合，后同解法一的讨论． 方法二：（3），且， 故， 平面，平面， ， 平面， 平面， ， 由（2）知，， 关于平面对称， 设，则，其中且， 设球心，则， 化简整理得：，且，故， 下同方法一. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $