精品解析：河北冀州中学2025-2026学年上学期高三期末质量检测数学试题

2025~2026学年度上学期高三期末质量检测 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，然后利用集合的并集运算即可. 【详解】因为， 又，所以， 故选：C. 2. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，判断与0和1的大小关系，得出结论. 【详解】因为指数函数在定义域内为减函数， 所以，所以， 因为对数函数在定义域内为增函数， 所以，所以， 因为对数函数在定义域内为增函数， 所以，所以， 所以. 故选：B 3. 直线被圆截得弦长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为. 故选：C. 4. 在正项等比数列中，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先利用等比的性质求出，再根据对数运算性质以及等比的性质求解即可. 【详解】在等比数列中，， 由，所以， 所以， 故选：A. 5. 已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正实数a，b满足，故， 故 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C 6. 函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. 函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数图象关于直线对称 D. 函数图象对称中心为 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答． 【详解】由图象可知，，，因为，所以， 所以，而，则， 由图可知，所以，所以， A，图象向左平移个单位得到图象，不正确； B，由，可得， 则单调递增区间为，则在上单调递增，即在上单调递增，正确； C，由于，则直线不是函数图象的对称轴，不正确； D，由，可得，则函数图象关于点对称，不正确． 故选：B 7. 某操场的正前方有两根高度均为、相距6m的旗杆，（两根旗杆都与地面垂直）．有一条10m长的绳子，两端系在两根旗杆的顶部B，D处，中间某处系在地面的点，并按如图所示的方式绷紧，使得绳子和两根旗杆处在同一个平面内，假定这条绳子的长度没有改变，则（ ） A. B. C. D. 1m 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合椭圆的定义可以得到其标准方程，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以的轨迹是焦点为B，D，长轴长为10，短轴长为的椭圆． 如图，以直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系． 易得该椭圆的方程为． 当时，，得，所以． 故选：A. 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将函数变形为，设，从而得出为奇函数，进而得到，由可得，然后分析出的单调性，得出答案. 【详解】， 设，， 因为，所以为奇函数， 则．即， 又，在R上均为减函数，所以在R上为减函数， 由得， 即， 所以，解得或． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分. 9. 若复数，则（ ） A. 的实部是 B. C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AD 【解析】 【分析】由复数的四则运算得到，进而逐项判断即可. 【详解】， 则， 所以的实部是，， ， 在复平面内对应的点坐标为，第四象限， 所以AD正确，BC错误， 故选：AD 10. 如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. 由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用线面垂直证得线线垂直；等体积法计算三棱锥的体积；先计算三棱锥的外接球的半径，根据球的表面积公式计算即可；先找到平面的截面图形再计算截面周长. 【详解】对于A，，，， 平面，平面，平面， 又平面，，A正确； 对于B：三棱锥的体积，B错误； 对于C，三棱锥的外接球等价于正方体外接球，设其半径为， 其直径等于正方体体对角线长：， 则所求外接球的表面积为，C正确． 对于D，如图，过三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形， 为的中点（平行则四点共面），∴等腰梯形周长为，D正确． 故选：ACD． 11. 设函数有三个不同的零点，从小到大依次为，则（ ） A. 函数有两个极值点 B. C. 过引曲线的切线，有且仅有1条 D. 若成等差数列，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，求导，判断的单调性，求出极值，；对B，根据题意，即有三个不同的交点，结合图像即可得到；对C，根据为切点和不为切点，结合的图象，利用图象分析判断；对D，由题可得，展开得，结合成等差数列，运算得解. 【详解】对于A，， ，令，解得或， 当或时，，当时，， 所以函数在单调递增，在单调递增，在单调递减， 则函数在处取得极大值，在处取得极小值，故A正确； 对于B，函数有三个零点，即函数与函数的图象有三个不同的交点， 又函数在处取得极大值，在处取得极小值， 如图： 所以，故B正确； 对于C，当函数的零点为切点时，此时有一条切线； 当零点不为切点时，由图知此时函数有一条经过点的切线， 即过引曲线的切线不止一条， 对于D， ， （*）， 若成等差数列，则，则， 代入（*）得：，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示求出即可. 【详解】因为，所以， 又向量，， 所以，解得：， 故答案为：. 13. 已知，，，则____________. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用正切两角和公式计算出的值，再根据角所在范围，求出，即可求出的值. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 故答案为：. 14. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，其中A，，B三点共线，且，，则双曲线E的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由三角函数表达出其他边长，由双曲线定义求出，从而利用勾股定理求出，从而得到离心率. 【详解】如图，由⊥，可得， 所以，可得， 在Rt中，由，不妨设，则， 由勾股定理得， 又由双曲线的定义可得，， 根据可得，解得， 所以，， 故在中，，即， 故， 故双曲线E的离心率为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，. （1）求； （2）已知，的周长为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和两角和的正弦公式化简已知等式，求出的值，进而确定角的大小； （2）结合周长条件与余弦定理求出边长，再代入三角形面积公式计算面积. 【小问1详解】 因为，由正弦定理边化角得 ， 即，整理得， 因为，所以，即， 因为，所以； 【小问2详解】 因为，，所以，即， 又由余弦定理， 所以，整理得， 解得， 所以. 16. 已知为数列的前项和，若，，且数列为等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列的首项为1，且，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出数列的公差，得到的表达式，再利用与的关系求解即可； （2）先利用累乘法求出的表达式，再利用裂项相消法求出. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则， 所以， 所以， 当时，， 当时，满足上式， 所以对于任意的，； 【小问2详解】 ， 当时，， 当时，满足上式， 所以对于任意，， 17. 四棱锥，面，，，，，，M是PD中点. （1）求证：平面； （2）若， ①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值； ②在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）①②存， 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）①建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值，再由同角三角函数的基本关系求正弦值；②设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【小问1详解】 取中点，为中点， ，且， 又，， ，且， 四边形为平行四边形，即， 平面，平面， 平面； 【小问2详解】 ①平面，且， 则以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 得，，，，， ，，，， 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， ， 平面与平面所成角的正弦值为； ②存在点满足题意， 易知，， 假设存在点满足题意，设，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离， 化简可得，解得或（舍去），即. 18. 已知函数，其中，为自然对数的底数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明：对于任意的，都有； （3）若函数存在极小值点，且，求a的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的正负求解函数的单调区间； （2）当时，设，，利用导数分析函数的单调性，进而求证即可； （3）求导构建，，可知在上存在零点，结合题意整理可得，设，，根据函数值的正负，即可求解. 【小问1详解】 当时，，， 则， 设，，则， 所以在上单调递增，又， 可知时，，时，， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为. 【小问2详解】 当时，， 设，， 则， 设，，则， 所以在上单调递增， 又，则， 所以在上单调递增，则， 即对于任意，都有. 【小问3详解】 由，，则， 设，，可知在上单调递增， 因为函数存在极小值点，所以在存在零点， 即， 此时，即， 设，，且， 当时，，，则； 当时，，，则， 可得，则，此时， 则a的取值范围为． 19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为5.过点的直线与抛物线交于不同的两点、. （1）求抛物线的标准方程； （2）若的面积为20，求直线的方程； （3）若直线交轴于点，直线交轴于点，且，，求证：为定值. 【答案】（1）； （2）或； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于到准线的距离，求出，从而得出抛物线的标准方程； （2）设直线的方程为，联立，由韦达定理，得，， 的面积，结合， 解得，从而求出直线的方程； （3）由在抛物线上，求出，得到直线的方程为：，即得， 由得，同理得，结合韦达定理得，，可解得，为定值. 【小问1详解】 抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于到准线的距离， 即：，解得，故抛物线的标准方程为； 【小问2详解】 由（1）得焦点，又，则， 易得直线的斜率是存在的，设直线的方程为， 联立，消去，整理得： ，设， 由，得， 由韦达定理，，， 故的面积，代入得： ,得， 又，故： ，解得 满足，因此直线的方程为或； 【小问3详解】 由在抛物线上，代入得， 又，故，即， 易得直线的斜率是存在的，设直线的方程为， ，，由（2）知，， 直线的斜率为：， 故直线的方程为：， 令，得，即，又 故，，由，得 故，即， 同理，直线交轴于，得， 故 代入，，得 故，为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度上学期高三期末质量检测 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 直线被圆截得的弦长为（　　） A. B. C. D. 4. 在正项等比数列中，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 6. 函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. 函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B. 函数在区间上单调递增 C 函数图象关于直线对称 D. 函数图象的对称中心为 7. 某操场的正前方有两根高度均为、相距6m的旗杆，（两根旗杆都与地面垂直）．有一条10m长的绳子，两端系在两根旗杆的顶部B，D处，中间某处系在地面的点，并按如图所示的方式绷紧，使得绳子和两根旗杆处在同一个平面内，假定这条绳子的长度没有改变，则（ ） A. B. C. D. 1m 8. 已知函数，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分. 9. 若复数，则（ ） A. 的实部是 B. C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限 10. 如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. 由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 11. 设函数有三个不同的零点，从小到大依次为，则（ ） A. 函数有两个极值点 B C. 过引曲线切线，有且仅有1条 D. 若成等差数列，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则___________. 13. 已知，，，则____________. 14. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，其中A，，B三点共线，且，，则双曲线E的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，. （1）求； （2）已知，的周长为，求的面积. 16. 已知为数列的前项和，若，，且数列为等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列的首项为1，且，求数列的前项和. 17. 四棱锥，面，，，，，，M是PD中点. （1）求证：平面； （2）若， ①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值； ②在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知函数，其中，为自然对数的底数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明：对于任意的，都有； （3）若函数存在极小值点，且，求a取值范围． 19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为5.过点的直线与抛物线交于不同的两点、. （1）求抛物线的标准方程； （2）若的面积为20，求直线的方程； （3）若直线交轴于点，直线交轴于点，且，，求证：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $