河南南阳市方城县第一高级中学2026届高三寒假提分练数学试题（二十）

方城县第一高级中学2026届高三寒假提分练数学试题（二十） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，游速为时耗氧量的单位数为，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．已知向量满足，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C．3 D． 5．已知，则（   ） A．5 B． C．1 D． 6．若，，则（    ） A． B． C． D． 7．对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义在上的偶函数，对任意不相等的两个正实数，，恒成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数，则下列判断正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．是函数的一个增区间 C．函数的图象向左平移个单位得到一个偶函数的图象 D．函数在区间上有个零点和个极值点 10．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．不存在，使得 C．若，则 D．若，则在上的投影向量的坐标为 11．已知函数，则下列结论正确的有（   ） A．若函数在区间的取值范围为，则的最小值是 B．若，则 C．若，则 D．若函数在上单调递减，在上有且只有一个零点，则的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在中，，若，则 ． 13．的定义域为，满足，则的最小值为 . 14．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒，经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是 ． ①， ②当时，点到轴的距离的最大值为； ③当时，函数单调递减； ④当时， 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．如图，在矩形中，点是边上的一点，且，点是线段上的一点（不同于点）． (1)若，求的值； (2)若，求的最小值． 16．已知，，. (1)求的值； (2)求的值. 17．已知函数，. (1)求使的成立的的取值范围； (2)若时，求函数的值域； (3)若对恒成立，求的取值范围. 18．已知函数. (1)若，解不等式； (2)若函数的最大值与最小值互为相反数，求； (3)若，设函数，对任意的的图象上总存在两点关于点对称，求的取值范围. 19．已知，且是定义在上的奇函数. (1)求实数，的值； (2)判断在上的单调性（直接写出结论即可，不需要证明） (3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《方城县第一高级中学2026届高三寒假提分练数学试题（二十）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A D B A C D AC BD 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】先计算集合，结合交集的定义进行计算； 【详解】因为，，故. 故选：A. 2．C 【分析】利用对数的运算法则计算即可. 【详解】根据题意可得，， 两式相减得，所以， 所以，所以. 故选：C. 3．A 【分析】根据向量模长坐标运算直接求解即可. 【详解】，. 故选：A. 4．D 【分析】根据给定条件，求出，再利用和角的正切求解即得. 【详解】由，得，解得， 所以． 故选：D 5．B 【分析】诱导公式化简后，弦化切，再代入计算． 【详解】由诱导公式可得， . 故选：B 6．A 【分析】利用同角三角函数关系和二倍角公式求解即可. 【详解】因为，所以原式可转化为， 因为，所以， 因为，所以，， 故原式整理得， 因为，故， 原式可分解为， 所以，解得， 故选：A 7．C 【分析】由，利用基本不等式可算出，再将最小值代入，解一元二次不等式即可求解. 【详解】由不等式恒成立，即， ，，且， ， 当且仅当，即时取等号， ， ，即， 解得， 故实数的取值范围是. 故选：C 8．D 【分析】由题可知在上单调递增，在上单调递减，且，可得的解集为. 【详解】对任意不相等的两个正实数，，恒成立， 不妨设，，，， ，在上单调递增， 是定义在上的偶函数，在上单调递减， ，的解集为． 故选：D. 9．AC 【分析】先利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，再根据正弦函数的性质判断A，B，D项，根据平移变换和偶函数的定义判断C项. 【详解】 ， 故它的最小正周期为，故A正确； 当 时， ，因函数在上不是增函数，故 在也不是增函数，即B错误； 把函数的图象向左平移 个单位，可得 ， 显然所得函数是偶函数，故C正确； 由，可得，即， 故当时，零点有两个，分别为； 由，可得，即， 故当时，极值点有两个，分别为. 即函数 在区间 上有个零点和个极值点 ，故D错误． 故选：AC． 10．BD 【分析】对于A，根据向量垂直的坐标表示列方程求即可判断，对于B，根据向量平行的坐标表示列方程，求即可判断，对于C，先求，再根据向量的模的坐标公式求即可判断，对于D，根据投影向量的坐标公式求在上的投影向量的坐标即可判断. 【详解】对于A，若，则，即，解得，故A错误； 对于B，若，则，整理得，此方程无解，故不存在，使得，故B正确； 对于C，当时，，所以，故C错误； 对于D，当时，，，则，， 所以在上的投影向量的坐标为，故D正确． 故选：BD. 11．ABD 【分析】利用三角恒等变换化简函数，利用函数值范围求出范围判断A；利用齐次式法求值判断B；利用差角的余弦公式求得目标值判断C；利用零点及正弦函数单调性求出范围判断D. 【详解】函数 ， 对于A，由，得，得， 解得，由函数在区间的取值范围为， 得或， 因此的最小值是，A正确； 对于B，由，得 ，B正确； 对于C，由，得，由，得， 则，，C错误； 对于D，，由，得， 由函数在上有且只有一个零点，得，解得， 由，得，而且， 由函数在上单调递减，得，解得， 因此的取值范围是，D正确. 故选：ABD 12．0 【分析】根据向量线性运算得，利用向量数量积运算可得解. 【详解】， ， 又，即， . 故答案为：0. 13． 【分析】建立方程组求出的解析式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得， 联立消去，得， 而，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为：. 14．①②④ 【分析】求出圆的半径，利用周期求出，通过三角函数的解析式求解初相，求出函数的最值以及正弦函数的单调性判断，即可求解. 【详解】由题意，可得，所以， 点代入可得，因为，所以，所以①正确； 由，当时，，点到轴的距离的最大值为6，所以②正确； 当时，，函数单调递减，所以③不正确； 当时，，点的纵坐标为6，，所以④正确. 所以正确的是①②④. 【点睛】本题主要考查了由图象求得函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中正确求得函数的解析式，合理利用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 15．(1) (2)-25 【分析】（1）首先根据图形将用表示出来，然后将用表示出来，从而可求出的值. （2）首先建立平面直角坐标系，然后将每个点的坐标表示出来，进而可以将向量表示出来，根据已知条件求出的表达式，进而可利用一元二次函数的性质求出最小值. 【详解】（1）由图形可知： ，所以. 而. 所以，解得，所以. （2）以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示. 则根据题意，，， 设，根据三角形相似可知：，所以. 所以.所以，，. 所以. 因为，， 所以，又，所以. 所以 因为，所以当时，取最小值为. 16．(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角的正切公式求出，再利用同角三角函数的关系求出； （2）先利用同角三角函数的关系求出，再利用两角差的正切公式求出的值. 【详解】（1）因为，所以，则， 因为，所以， 因为，所以. （2）因为，所以， 因为，所以， 则， 因为，所以， 因为，所以. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）应用对数函数单调性解对数不等式即可； （2）应用换元结合对数函数值域，结合二次函数单调性得出值域； （3）先换元，再把恒成立问题转化为最值计算求解. 【详解】（1）因为，由，可得，解得， 即不等式的解集为； （2）时，， 设，，可得， 设，开口向上，对称轴， 函数在上单调递减，在上单调递增， 且，所以，， 所以函数的值域为； （3）因为对恒成立，因为， 可得恒成立， 设，，可得， 设，则在上单调递增， 且，， 可得，所以. 即的范围为. 18．(1) (2) (3). 【分析】（1）根据对数函数的单调性解不等式即可； （2）求出，根据真数大于0，及最大值最小值和为0，求解即可； （3）由题意，转化为对任意的，总存在使得成立，利用值域的包含关系得解. 【详解】（1）若，则. 由得，所以，所以， 即，所以，所以， 即不等式的解集是. （2）因为， 所以. 因为的最大值与最小值互为相反数， 所以，且， 即，解得. （3）由题意知. 的图象上存在两点关于点对称，即存在，使得成立， 即成立， 亦即成立. 因为对任意的，总存在使得该等式成立，所以该等式左边的取值范围包含右边的取值范围. 设，当时，. 设， 表示开口向下，对称轴为的抛物线， 因为，所以在处取得最大值，为， 又，所以的取值范围是. 由前面的分析知， 所以，解得， 即的取值范围为. 19．(1)，； (2)在上单调递增. (3) 【分析】（1）由奇函数的性质及指数幂运算进行求解； （2）由，根据指数函数性质及单调性性质进行判断； （3）原不等式可转化为，根据在上单调递增，得，令，整理得：，令，则则，利用二次函数的性质进行求解． 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数， 则有，可得：，所以， 又因为，所以，化简得，所以， 所以，， 得，则， 得， 故是定义在上的奇函数， 故，； （2）在上单调递增. 证明如下：由（1）知，， 由于为增函数，则为减函数，得为增函数， 故为增函数，故在上单调递增. （3）由（1）（2）知，是定义在上的奇函数且在上单调递增， 原不等式可转化为：， 即， 又因为在上单调递增，所以， 令，则，原式化为：， 整理得：， 令，则，且当时等号成立，则， 令，则对恒成立， ①，即，解得：； ②，即，无解； 综上所述，的取值范围为. 答案第12页，共12页 答案第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $