精品解析：湖北省荆州中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

荆州中学2025～2026学年高一上学期期末考试 数 学 试 题 （全卷满分150分，考试用时120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，根据集合的交集，并集及包含关系判断即可. 【详解】，, A、B选项错误； ，，故C错误，D正确. 故选：D 2. 四边形ABCD中，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形法则即可求解. 【详解】由三角形法则可得：. 故选：A 3. 的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，再利用充分不必要条件对应的集合需是解集的真子集判断选项即可. 【详解】不等式的解集为：或，而充分不必要条件对应的集合需是该解集的真子集. 对于A，因不是或的真子集，故A不符合； 对于B，因是或的真子集，故B符合； 对于C，因不是或的真子集，故C不符合； 对于D，因或，但或， 即或不是或的真子集，故D不符合. 故选：B 4. 用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 15 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A. 1.6 B. 1.7 C. 1.8 D. 1.9 【答案】C 【解析】 【分析】根据二分法求方程的近似解以及零点存在定理得出零点存在区间即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间内. 结合选项可知，方程的近似解可取为1.8. 故选：C. 5. 已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇函数的性质及函数对称性，结合已知抽象函数推出函数周期，求出一个周期内的和，再利用函数周期性求解． 【详解】已知是定义域为的奇函数，则，且， ，可知图象关于直线对称，即， ，故， 把替换为，则， 把替换为，则， 函数周期， ，，， ， ， ， 由函数周期性知：， ，故C正确． 故选：C． 6. 设函数，且在区间上单调，则的最大值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据与可得，再根据单调性可得，验证， 与即可. 【详解】由,得， 由，得， 两式作差，得， 因为在区间上单调，所以，得. 当时，,因为,所以, 所以. ，,因为， 所以在区间上不单调，不符合题意； 当时，，因为,所以， 所以. ，,因为， 所以在区间上不单调，不符合题意； 当时，，因为,所以, 所以. ，， 所以在区间上单调，符合题意，所以的最大值是3. 故选:B. 7. 已知函数，则函数的零点个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过设换元，先解方程得到的取值，再分类求解，最后合并即得所求函数的零点个数. 【详解】当时，为增函数，且，故，即； 当时，，即. 设，则， ① 当时，，方程为即， 若，左式为，右式为，等式成立，故是一个解， 若，，，因指数函数增长慢于线性函数，方程无解； ② 当时，，方程为， 若，，为减函数，函数值从递减到， 而为增函数，函数值从递增到，两者存在一个交点； 若，因均为增函数，，而， 且的增长速度远慢于的增长速度，两者图象无交点. 综上，方程有两解，分别为和； 下面求解方程. (i)，当时，由，方程无解； 当时，由，解得或， 即或，经检验均符合题意，共个解； （ii），当时，，而，方程无解； 当时，由，解得或， 经检验均符合题意，此时方程有个解； 综上，有个解，有个解，故函数共有个零点. 故选：A 8. 已知实数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】采用换元法化简已知等式，求出目标表达式，再利用基本不等式求最小值． 【详解】令，则，， 原式化为：， 令，单调递增，单调递增，单调递增， ， ， ，故，即， ， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为，故D正确． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题为真命题的是（ ）（多选） A. 若，则 B. 零向量与任意向量共线 C. 互为相反向量的两个向量的模相等 D. 若向量，满足，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量的相关概念判断ABC，利用判断D项. 【详解】A选项：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小（仅模可比较），故A为假命题； B选项：根据零向量的性质，零向量与任意向量共线，故B为真命题； C选项：互为相反向量的两个向量方向相反且模相等，故C为真命题； D选项：由向量模的三角不等式，代入，得，故D为真命题。 综上，真命题为BCD. 故选：BCD 10. 下列等式成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换公式化简计算可得； 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，， 所以，即， 又，所以，故C错误； 对于D， ，故D正确； 故选：ABD 11. 已知函数的部分图象如图，将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 点是图象的一个对称中心 B. 是图象一条对称轴 C. 在区间上单调递增 D. 若，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】由三角函数的图象与性质可得，再由三角函数图象变换法则可得，再结合三角函数的图象与性质逐项判断即可得解. 【详解】由图象可知函数的最大值为2，最小正周期满足即， 所以，， 又点在函数图象上，所以， 所以即， 又，所以，， 将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的，可得的图象， 再将所得函数图象向左平移个单位长度，可得的图象， 所以， 因为， 所以点不是图象的一个对称中心，是图象的一条对称轴， 故A错误，B正确； 当时，， 所以在区间上不单调，故C错误； 若，则、分别为函数的最大值、最小值； 由函数的最小正周期为可得的最小值为， 故D正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查了三角函数解析式的确定及图象变换的应用，考查了三角函数图象与性质的应用，属于中档题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】结合诱导公式，根据弦切互化奇次式分式化简求值即可. 【详解】，， 原式. 故答案为：2 13. 若在区间内单调递增，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性判断方法求函数的单调递增区间，由条件列不等式求结论. 【详解】由，可得， 故函数的定义域为， 设，， 因为函数为减函数， 函数的单调递减区间为， 所以函数的单调递增区间为， 由已知，且， 所以，且， 所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数，若关于的方程恰有四个相异实数解，则实数的最小值为 __________；的取值范围为 __________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】运用辅助角公式化简函数解析式并画出图象，运用转化法、数形结合思想，结合正弦型函数的对称性、对勾函数的单调性进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，函数单调递增，且； 当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增， 所以函数的图象如下图： 因为关于的方程恰有四个相异实数解， 所以函数的图象与直线有四个不同的交点， 从左到右依次为点，其中关于直线对称， 所以， 当，或， 当，或， 所以， 由数形结合思想可知：，所以实数的最小值为， ， 当时， ， 所以，因为， 所以函数单调递减， 所以， 即， 因此的取值范围为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，且都有，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据一元二次不等式的解集即可求解； (2)根据题意可得函数关于直线对称，利用二次函数的对称轴得出，再结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 依题意可知：和是方程的两根， 则有且 ∴ 【小问2详解】 由知关于直线对称， 即 当且仅当时等号成立. ∴的最大值为 16. 已知. （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值以及相应的的取值； （3）若为锐角，，求. 【答案】（1） （2）当时，，当时， （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，利用正弦函数的单调性求解； （2）由的范围求出的范围，结合正弦函数的单调性求解； （3）由范围求得范围，再运用同角三角函数的平方关系求得的值，运用配凑角可求得结果. 【小问1详解】 ， 令，解得， 函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 ，， 时，即时，， 时，即时，. 【小问3详解】 ， 为锐角，， . 17. 荆州古城“策马三国，新春灯会嘉年华”正在火热筹备中，核心区域为边长为100米的正方形三国文化灯街区，按功能划分为三大板块：扇形区域打造三国非遗灯展，以为半径的弧悬挂关羽、张飞主题花灯，是灯会核心打卡点；矩形区域布置三国文创市集，售卖荆州特产与三国周边；其余区域规划为策马巡游通道与游客休憩区．其中分别在上，落在弧的花灯轨道上，米，设矩形的面积为单位：平方米． （1）若，请写出单位：平方米关于的函数关系式，并注明的取值范围； （2）为保障“策马巡游”通道的宽度，需让文创市集面积最小化，求的最小值． 【答案】（1）  （2） 平方米 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义，结合矩形的面积公式进行求解即可； （2）根据同角三角函数关系式，结合换元法、辅助角公式、二次函数的最值性质进行求解即可. 【小问1详解】 延长交于，则 ， ， 则 ， ，  ． 【小问2详解】 由（1）得：， 令  ，则 ，  ，    ，  ，当 时， ， 即当 时，矩形面积的最小值为平方米． 18. 已知函数. （1）当时，求该函数值域； （2）求不等式的解集； （3）若对于恒成立，求的最小值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法，将函数转化为关于的二次函数，从而得解； （2）利用换元法，将不等式转化为关于的二次不等式，解后再利用对数函数的单调性即可得解； （3）利用换元法与参数分离法得到的恒成立问题，再利用函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 因为， 令，由，可知， 函数转化为． 因为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值，为． 由，可知当时，取到最大值， 故当时，函数的值域为． 【小问2详解】 由题得，令， 则，即，解得或， 当时，即，解得； 当时，即，解得， 故不等式的解集为或. 【小问3详解】 由于对于恒成立， 令，则，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，所以当时，函数取得最大值，为， 故当时，对于恒成立． 所以的最小值为. 【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 19. 已知， （1）证明：关于对称； （2）若的最小值为3 （i）求； （ii）不等式恒成立，求的取值范围 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）代入验证即可求解， （2）利用单调性的定义证明函数的单调性，即可结合对称性求解，分离参数，将恒成立问题转化为，构造函数，结合不等式的性质即可求解最值. 【小问1详解】 证明：因为， 所以 ， 所以，所以关于对称. 【小问2详解】 （ⅰ）任取且 ，， ， 所以在上单调递增，又关于对称，则在上单调递减. 所以， 所以. （单调性也可以用单调性的性质、复合函数的单调性判断、导数证明） （ⅱ）不等式恒成立 等价于恒成立， 即恒成立，即 令，则， 令，则则， 因为，取等号，则， 所以， 所以即 【点睛】思路点睛：恒成立问题求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆州中学2025～2026学年高一上学期期末考试 数 学 试 题 （全卷满分150分，考试用时120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合和，则（ ） A. B. C. D. 2. 四边形ABCD中，设，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 或 4. 用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A. 1.6 B. 1.7 C. 1.8 D. 1.9 5. 已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，且在区间上单调，则最大值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 7. 已知函数，则函数的零点个数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，则最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题为真命题的是（ ）（多选） A. 若，则 B. 零向量与任意向量共线 C. 互为相反向量的两个向量的模相等 D. 若向量，满足，，则 10. 下列等式成立的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的部分图象如图，将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 点是图象的一个对称中心 B. 是图象的一条对称轴 C. 在区间上单调递增 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. 若在区间内单调递增，则实数的取值范围为______． 14. 已知函数，若关于的方程恰有四个相异实数解，则实数的最小值为 __________；的取值范围为 __________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，且都有，求的最大值. 16. 已知. （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值以及相应的的取值； （3）若为锐角，，求. 17. 荆州古城“策马三国，新春灯会嘉年华”正在火热筹备中，核心区域为边长为100米的正方形三国文化灯街区，按功能划分为三大板块：扇形区域打造三国非遗灯展，以为半径的弧悬挂关羽、张飞主题花灯，是灯会核心打卡点；矩形区域布置三国文创市集，售卖荆州特产与三国周边；其余区域规划为策马巡游通道与游客休憩区．其中分别在上，落在弧的花灯轨道上，米，设矩形的面积为单位：平方米． （1）若，请写出单位：平方米关于的函数关系式，并注明的取值范围； （2）为保障“策马巡游”通道的宽度，需让文创市集面积最小化，求的最小值． 18 已知函数. （1）当时，求该函数的值域； （2）求不等式的解集； （3）若对于恒成立，求的最小值. 19. 已知， （1）证明：关于对称； （2）若最小值为3 （i）求； （ii）不等式恒成立，求的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $