精品解析：湖北省荆州中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

荆州中学2024~2025学年高一上学期期末考试 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的运算求解即可； 【详解】由题意可得. 故选：C. 2. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的周期概念求解． 【详解】由已知最小正周期是， 故选：C． 3. 已知命题，命题，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据指对函数的性质，结合充分，必要条件，即可判断选项. 【详解】因为函数和都是增函数， 若命题成立，则，则， 所以命题是命题的充分条件， 反之，若命题成立，则，但当是非正数时，不等式没有意义， 所以命题不是命题的必要条件， 所以命题是命题的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据与的大小关系比较即可 【详解】依题意得，， ， ，所以， 故， 故选：B. 5. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数的单调性可得在上单调递增，然后将不等式化简，结合对数函数的单调性求解，即可得到结果. 【详解】因为定义在R上的偶函数在上单调递减，则在上单调递增， 所以不等式即，即，解得， 所以实数的取值范围为． 故选：C 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用两角和差公式可得，再利用倍角公式结合齐次化问题分析求解. 【详解】因为，则，可得， 所以. 故选：B. 7. 设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的图象经过的点及范围求出，再根据x的范围得，结合正弦函数的性质，列出相应不等式，即可求得范围，即可得答案. 【详解】因为的图象经过点，所以，又，所以， 则函数，当时，， 因为在上恰有2个零点， 所以，所以，即实数ω的取值范围是. 故选：B. 8. 已知对恒成立，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先分析函数在区间的零点和正负区间，再根据不等式分析函数的零点，利用韦达定理表示 关系，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】当，，则， 当，， 当，，， 当，， 当，，， 若对恒成立， 则，并且函数的两个零点分别是1和7， 则，则，，， 所以， 当，，即时，等号成立， 所以的最小值为6. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是转化为分析两个函数和 的零点. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由不等式性质判断A，取特殊值判断BC，利用作差法判断D. 【详解】由不等式的性质知，，则，故A正确； 当时，，但，故B错误； 当时，，但，故C错误； 因为，， 所以，，所以，即， 故D正确. 故选：AD 10. 下列各式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式可判断A选项；利用二倍角的余弦公式可判断B选项；利用两角差的正切公式可判断C选项；利用二倍角的正切公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，； 对于D选项，. 故选：AC. 11. 在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则（ ） A. 双曲正弦函数是增函数 B. 双曲余弦函数是增函数 C. 双曲正切函数是增函数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A、B：借助导数求导后即可得；对C：借助双曲正弦函数与双曲余弦函数将双曲正切函数化简后，结合指数函数性质即可得；对D：借助双曲正弦函数与双曲余弦函数，分别将等式左右两边化简即可得. 【详解】对A：令， 则恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确； 对B：令， 则，由A知，为增函数，又， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对C：， 由在上单调递增，且， 故是增函数，故C正确； 对D：由C知，则， ， 故，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据，表示出，根据对数的运算即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：2. 13. 已知函数，则函数的值域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方关系降幂，再利用二倍角公式化简后，结合正弦函数值域与二次函数性质得值域． 【详解】， 又， 所以， 故答案为：． 14. 设函数，若恒成立，求的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，问题转化为这两个函数在定义域内同正同负或同为0，结合函数图象得出它们的图象与轴交点重合，从而得出关系，代入，再由基本不等式得最小值． 【详解】由已知的定义域是， 设，，显然它们在定义域内都是增函数， 因此恒成立，则与在定义域内同正同负或同为0， 作出的图象，要求，只要它们的图象与轴的交点重合，如图所示， 由，由， 所以，， 所以，当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助诱导公式可得，再借助弦化切后计算即可得； （2）结合三角函数基本关系，将弦化切后计算即可得. 【小问1详解】 ，即， 则； 【小问2详解】 . 16. 已知函数，． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； （3）求不等式的解集． 【答案】（1）；单调递减区间是， （2），；， （3） 【解析】 【分析】（1）由的性质求周期，结合余弦函数单调性得减区间； （2）求出的范围，再结合余弦函数的性质得最值； （3）由余弦函数的性质解不等式． 【小问1详解】 的最小正周期， 当，即，时，单调递减， ∴的单调递减区间是，. 【小问2详解】 ∵，则， 故， ∴，此时，即， ，此时，即． 【小问3详解】 ，即， 所以或，， 即或，， 所以不等式的解集为． 17. 已知函数 （1）求关于的不等式的解集； （2）若函数在时存在零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）原不等式等价于，分，与三种情况解不等式即可. （2）原命题等价于有实根，令，令，，，利用对勾函数的性质求得在上的值域即可得到a的取值范围. 【小问1详解】 由得，即， ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为 【小问2详解】 因为在时存在零点， 在时存在实根， 即方程有实根， 令， 令，，， 由对对勾函数性质知，在上单调递减，在单调递增. ，，， 所以. 18. 已知函数（，，）是定义在上的奇函数. （1）求和实数b的值； （2）当时，若满足，求实数t的取值范围； （3）若，问是否存在实数m，使得对定义域内的一切t，都有恒成立？ 【答案】（1）， （2） （3）存在 【解析】 【分析】（1）直接代入计算出，由奇函数的定义求出值； （2）利用奇函数的性质变形不等式，再由单调性化简后求解； （3）假定存在实数m，对定义域内的一切，都有恒成立，利用奇偶性单调性变形化简不等式转化为二次不等式恒成立（注意定义域），分别求解后求交集得出． 【小问1详解】 依题意，， 又是上的奇函数，则，即， 亦即，整理得，于是，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 显然函数在上单调递减， 由奇函数性质及，得， 当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 不等式化为，解得， 【小问3详解】 假定存在实数m，对定义域内的一切，都有恒成立， 即恒成立， 当时，由（2）知函数在上单调递增， 不等式化为，整理得， 于是有对任意恒成立，则， 当时，，因此； 有对任意恒成立，设， ①当时，函数的图象开口向上，对称轴， （i）当，即时，必有，则； （ii）当，即时，在上恒成立，则； （iii）当，即时，在上恒成立，则； ②当时，，不满足在上恒成立， 综上得且， 所以存在使得对定义域内的一切，都有恒成立. 19. 已知函数，其中t为常数. （1）当时，若，求x的值； （2）设函数在上有两个零点m，n， ①求t的取值范围； ②证明：. 【答案】（1）或，， （2）①；②令，， 则，为关于的方程的两根， 则有，， 所以，， 所以， 即， 即有，由①知， 故，又，故， 由于，则，故， 又在上单调递增，故， 即. 【解析】 【分析】（1）将代入后可得，结合范围计算即可得解； （2）①借助换元法，结合二次函数的性质计算即可得；②由韦达定理可得，，结合三角函数在上的单调性与①中所得计算有，即可得，即可得证. 【小问1详解】 时，即为，， 或 所以或，， 【小问2详解】 ①令，因为，所以，则， 则， 由在上单调递增， 故关于的方程在上有两个不相等实数根， 即有， 解得，即的取值范围为； ②略 【点睛】方法点睛：与有关的零点问题，可能通过换元法转化为一元二次方程的根的分布问题，而要证明零点满足的不等式，需要找出两个零点之间的关系及其中一个零点的范围，然后利用函数的性质如单调性证明出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆州中学2024~2025学年高一上学期期末考试 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，命题，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知对恒成立，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列各式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 11. 在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则（ ） A. 双曲正弦函数是增函数 B. 双曲余弦函数是增函数 C. 双曲正切函数是增函数 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 13. 已知函数，则函数的值域为___________． 14. 设函数，若恒成立，求的最小值为___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，求下列各式的值． （1）； （2）． 16. 已知函数，． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； （3）求不等式的解集． 17. 已知函数 （1）求关于的不等式的解集； （2）若函数在时存在零点，求实数的取值范围． 18. 已知函数（，，）是定义在上的奇函数. （1）求和实数b的值； （2）当时，若满足，求实数t的取值范围； （3）若，问是否存在实数m，使得对定义域内的一切t，都有恒成立？ 19. 已知函数，其中t为常数. （1）当时，若，求x的值； （2）设函数在上有两个零点m，n， ①求t的取值范围； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $