精品解析：江苏省宿迁市沭阳县智慧路初级中学2025-2026学年第一学期八年级期末数学试题

2025~2026学年度第一学期期末测试 八年级数学 （时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 点关于原点的对称点的坐标是（　　） A. B. C. D. 2. 下列几组数中，不能作为直角三角形三条边长的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，12，15 C. 7，24，25 D. 0.3，0.4，0.5 3. 根据下列已知条件，不能画出唯一的的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是．在此变化过程中，变量是（ ） A. 速度、时间 B. 路程、时间 C. 速度、路程 D. 速度、路程、时间 5. 下列整数中，与的值最接近的是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，菱形 的对角线 与相交于点 ，于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小； ②方程的解为； ③； ④ 其中正确结论的序号是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 8. 如图，在中，，，点D是边的中点，点P是 边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 二、填空题（本大题共有 10 小题，每题 3 分，共 30 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上） 9. 近似值9.65万精确到______位． 10. 的算术平方根是______． 11. 若一个直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的平方是__． 12. 已知点，，若直线轴，则的值为______． 13. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点，则________． 14. 若一次函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是______． 15. 如图，在中，于点E，于点F．若，，的周长为40，则的面积为________． 16. 如图，矩形 内接于 ， 分别以为直径向外作半圆，若，则阴影部分的面积为____________． 17. 如图，正方形 的顶点 ， 分别在轴，轴上，点，在直线 ：上，直线 分别交轴，轴于点 ， ，将正方形 沿轴向下平移个单位长度后，点 恰好落在直线 上，则的值为______． 18. 若，，且，，均为非负数，则的最大值为_____． 三、解答题（本大题共有 10 小题，共 96 分．请在指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 求下列各式中的值： （1）； （2）． 20. 已知：y与x+2成正比例，且x＝﹣4时，y＝﹣2； （1）求y与x之间的函数表达式； （2）点P1（m，y1），P2（m﹣2，y2）在（1）中所得函数图像上，比较y1与y2的大小． 21. 如图，已知、 （1）请在表格中画出直角坐标系，点的坐标为______； （2）连接、、，的面积为______； （3）点为轴上一点，当的值最小时，求点的坐标． 22. 已知：如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°. 求证：AO=BO. 23. 如图，的对角线相交于点O，E，F分别是上的点，且．求证： ． 24. 如图，在矩形 中，，是对角线． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交 ，于点E，F（在图中标明相应的字母，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，，若， ，求四边形的周长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴交于点，与轴交于点 ，与正比例函数的图象相交于点 ，点 的横坐标为． （1）求一次函数的表达式； （2）是射线上一点，过点作轴的平行线交直线于点，当时，请求出点的坐标． 26. 艾草作为一种多年生草本药用植物，其特有的药食保健功能深受广大群众的喜爱，河南某艾草经销商计划购进一批香艾草和苦艾草进行销售，两种艾草的进价和售价如表所示：已知该经销商购进20千克香艾草和5千克苦艾草共需200元，购进15千克香艾草和10千克苦艾草共需225元． 进价（元/千克） 售价（元/千克） 香艾香 a 12 苦艾草 b 16 （1）求a，b的值； （2）若该经销商购进两种艾草共160千克，其中苦艾草的进货量不超过香艾草进货量的3倍，设购进香艾草千克，则该经销商应该如何进货才能使销售利润y（元）最大？最大利润为多少？ 27. 定义：我们把一次函数与正比例函数的图象的交点称为一次函数的“亮点”，例如求的“亮点”，联立，得方程组，解得，则的“亮点”为． （1）由定义可知，一次函数的“亮点”为______ （2）一次函数的“亮点”为，求p，q的值； （3）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线上没有“亮点”．P为x轴上一点，若，求点P的坐标． 28. （1）思考尝试：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形 中，E是的中点，与正方形的外角的平分线交于P点．试猜想与的数量关系，并加以证明．同学们发现，取 的中点G，连接可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题； （2）实践探究：和谐小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形 中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题； （3）拓展迁移：辉煌小组深入研究和谐小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形 中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末测试 八年级数学 （时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 点关于原点的对称点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于原点的对称点的坐标特点：横纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：因为点关于原点的对称点的坐标特点：横纵坐标互为相反数， 所以对称点的坐标是， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了关于原点的对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 2. 下列几组数中，不能作为直角三角形三条边长的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，12，15 C. 7，24，25 D. 0.3，0.4，0.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可解答． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，不符合题意； B、，不能构成直角三角形，符合题意； C、，能构成直角三角形，不符合题意； D、，能构成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 3. 根据下列已知条件，不能画出唯一的 的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理即可求解，包括等，不能保证唯一三角形；本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：选项A：已知，但不是 和的夹角，属于情况，不能唯一确定三角形； 选项B：已知三边的长度，符合定理，能唯一确定三角形； 选项C：已知，是 和的夹角，符合定理，能唯一确定三角形； 选项D：已知，符合定理，能唯一确定三角形； 故选：A． 4. 已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是．在此变化过程中，变量是（ ） A. 速度、时间 B. 路程、时间 C. 速度、路程 D. 速度、路程、时间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数关系式，常量与变量，弄清变量概念是解题的关键．根据变量的定义判断即可． 【详解】解：已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是． 在此变化过程中，变量是路程、时间， 故答案为：B． 5. 下列整数中，与的值最接近的是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算；通过估算的近似值，估算的值，并比较与各选项整数的距离． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴最接近整数5． 故选：D． 6. 如图，菱形 的对角线 与 相交于点 ，于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式的综合运用，利用“等面积法”将边长与高建立联系是解题的关键，先根据菱形对角线的性质结合勾股定理求出边长，再通过面积相等列出等式，进而求出的长． 【详解】解：在菱形 中， ，，， ， ， ， ． 故选：． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小； ②方程的解为； ③； ④ 其中正确结论的序号是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的增减性，两直线的交点坐标的意义是解题的关键． 根据图示得到，，两直线交点坐标为，根据一次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：根据图示，一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小，故①正确； ∵两直线交点坐标为， ∴方程的解为，故②正确； 一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴，故③错误，④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故选：B ． 8. 如图，在 中， ，，点D是 边的中点，点P是 边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，由题意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，进而可得△PCD≌△QED，则有∠PCD=∠QED=90°，然后可得点Q是在QE所在直线上运动，所以CQ的最小值为CQ⊥QE时，最后问题可求解． 【详解】解：以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∵∠CDQ是公共角， ∴∠PDC=∠QDE， ∴△PCD≌△QED（SAS）， ∵ ，，点D是 边的中点， ∴∠PCD=∠QED=90°，， ∴点Q是在QE所在直线上运动， ∴当CQ⊥QE时，CQ取的最小值， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键． 二、填空题（本大题共有 10 小题，每题 3 分，共 30 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上） 9. 近似值9.65万精确到______位． 【答案】百 【解析】 【分析】本题考查了近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字的说法．将近似值9.65万转换为96500，数字5位于百位，因此精确到百位． 【详解】解：9.65万，最后一位数字5对应百位， 故近似值9.65万精确到百位． 故答案为：百． 10. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 11. 若一个直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的平方是__． 【答案】100或28##28或100 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．分两种情况：当两直角边的长分别为6和8时，当斜边长为，一条直角边长为时，分别计算即可得出答案． 【详解】解：∵一个直角三角形的两边长分别为6和8， ∴当两直角边的长分别为6和8时，第三边的平方是， 当斜边长为，一条直角边长为时，第三边的平方是， 故答案为：100或28． 12. 已知点，，若直线轴，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟记“平行于轴的直线上的点的纵坐标相等”是解题的关键．由于直线轴，因此点 和点的纵坐标相等，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解： 直线轴， ， 解得：． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式．将点代入一次函数，得出，再代入求值即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴，即， ∴． 故答案为：0． 14. 若一次函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质、解一元一次不等式组，根据一次函数的图像不经过第二象限，可得关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解： 一次函数的图像不经过第二象限， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式的解集为：． 故答案为：． 15. 如图，在 中，于点E，于点F．若，， 的周长为40，则 的面积为________． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的周长与面积得到关于 、 的两个方程并求出 的值是解题的关键．根据平行四边形的周长求出，再根据平行四边形的面积求出，然后求出 的值，再根据平行四边形的面积公式计算即可得解． 【详解】解：的周长， ①， 于 ，于 ，，， ， 整理得，②， 联立①②解得，， 的面积． 故答案为：48． 16. 如图，矩形 内接于 ， 分别以为直径向外作半圆，若，则阴影部分的面积为____________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形的面积，连接 ，勾股定理求出 的长，利用四个半圆的面积加上矩形的面积减去 的面积，求解即可． 【详解】解：连接 ， ∵矩形 内接于 ， ∴，， ∴ 为 的直径，， ∴阴影部分的面积； 故答案为：12． 17. 如图，正方形 的顶点 ， 分别在轴，轴上，点，在直线：上，直线分别交轴，轴于点 ， ，将正方形 沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数解析式的求解、全等三角形的判定与性质以及坐标平移的应用，先利用点的坐标求出直线的解析式，再通过全等三角形确定点的坐标，最后根据平移后点在直线上建立方程求解． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 如图，过点作轴于点 ，过点作于点，则，． ∵四边形 是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，则， 同理，证明， ∴，， ∴， ∴点的坐标为. 将正方形沿轴向下平移个单位后，点的对应点坐标为， ∵该点在直线上， ∴， 解得； 故答案为： ． 18. 若，，且，，均为非负数，则的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组、一次函数的增减性，首先解方程组，把、用含的代数式表示出来，根据，，均为非负数，可得关于的一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围，把转化为 关于的一次函数关系，根据一次函数的增减性求出 的最大值即可． 【详解】解：解方程组， 可得：， ，，均为非负数， ， 解得：， 则， 整理得：， ， 随着的增大而减小， 当时， 有最大值，最大值是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共有 10 小题，共 96 分．请在指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 求下列各式中的值： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根、立方根，根据平方根和立方根的定义得到关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值． (1)方程两边同时除以，再把两边同时开平方得到关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值； (2)把常数项移到等号右边，再把两边同时开立方得到关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值． 【小问1详解】 解：， 方程两边同时除以得：， 两边同时开平方得：， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 两边同时开立方得：， 移项可得：， 合并同类项得：． 20. 已知：y与x+2成正比例，且x＝﹣4时，y＝﹣2； （1）求y与x之间的函数表达式； （2）点P1（m，y1），P2（m﹣2，y2）在（1）中所得函数图像上，比较y1与y2的大小． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】解：（1）∵y+与x+2成正比例，设y＝k（x+2）， 把x＝﹣4，y＝﹣2代入得：﹣2＝k（﹣4+2）， 解得：k＝1， ∴y＝x+2； （2）∵k＝1＞0， ∴y随x的增大而增大， 又∵m＞m-2， ∴y1＞y2． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式和一次函数的性质，属于基本题型，熟练掌握一次函数的基本知识是解题关键． 21. 如图，已知、 （1）请在表格中画出直角坐标系，点 的坐标为______； （2）连接、、，的面积为______； （3）点 为轴上一点，当的值最小时，求点 的坐标． 【答案】（1）见解析， （2）15 （3） 【解析】 【分析】（1）根据点A和B的坐标，确定x轴和y轴的位置，在图中画出即可，再根据此直角坐标系写出Q点坐标即可； （2）直接根据三角形的面积公式计算即可； （3）根据轴对称的性质和两点之间距离最短，可作点作关于y轴的对称点，连接，交轴于点P，此时的值最小．设直线的关系式为，利用待定系数法即可求出其解析式，再令x=0，求出y的值，即得出P点坐标． 【小问1详解】 如图所示直角坐标系为所求， 根据所画直角坐标系即可知Q点坐标为(3，3)． 故答案为：(3，3)； 【小问2详解】 ， 故答案为：15； 【小问3详解】 如图，作点作关于y轴的对称点，连接，交轴于点P，此时的值最小． 设直线的关系式为：则：， 解得： 则线的解析式为：， 当时，， 则点 的坐标为． 【点睛】本题考查平面直角坐标系的坐标与图形问题，轴对称的性质，两点之间线段最短，一次函数的应用等知识．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 22. 已知：如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°. 求证：AO=BO. 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用HL证明Rt△ACB≌Rt△ADB，得到∠ABC=∠BAD，即可得到OA=OB 【详解】∵∠C=∠D=90°， ∴△ACB和△ADB为直角三角形， 在Rt△ACB和Rt△ADB中， ∴Rt△ACB≌Rt△ADB， ∴∠ABC=∠BAD， ∴OA=OB 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，以及等腰三角形的判定，解决本题的关键是证明Rt△ACB≌Rt△ADB． 23. 如图， 的对角线相交于点O，E，F分别是上的点，且．求证： ． 【答案】 证明：∵四边形 是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质易证，，再结合，即可证，得出 ． 【详解】略 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质．证明是解题关键． 24. 如图，在矩形 中，，是对角线． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交 ，于点E，F（在图中标明相应的字母，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，，若， ，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）15 【解析】 【分析】（1）根据作垂直平分线的步骤作图即可； （2）如图，记 与 的交点为 ，则，证明，则，由，证明四边形为菱形，设，则，由勾股定理得，，即，可求，进而可求菱形的周长． 【小问1详解】 解：如图，垂直平分线 ，点即为所作； 【小问2详解】 解：如图， 与 的交点为 ， ∵ 垂直平分 ， ∴， ∵四边形 为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， 设，则， 由勾股定理得，， 即， 解得：， ∵， ∴菱形的周长为15． 【点睛】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握作垂直平分线，垂直平分线的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴交于点，与轴交于点 ，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． （1）求一次函数的表达式； （2） 是射线上一点，过点 作轴的平行线交直线于点，当时，请求出点 的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数解析式的确定、一次函数与正比例函数的交点问题以及平面直角坐标系中线段长度的计算，熟练运用待定系数法和数形结合思想是解答本题的关键． （1）先利用正比例函数解析式求出交点的坐标，再结合已知点的坐标，通过待定系数法求解一次函数的表达式； （2）先求出一次函数与轴交点的坐标，进而得到的长度，再设出点的横坐标，根据平行于轴的直线上点的坐标特征表示出、的坐标，结合线段长度关系列方程求解点的坐标． 【小问1详解】 解：把代入得：， ， 把和代入得： ， 解得：， 一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：把代入得：， ， ， 设点 的横坐标为，则，， ， ， ， ， ． 26. 艾草作为一种多年生草本药用植物，其特有的药食保健功能深受广大群众的喜爱，河南某艾草经销商计划购进一批香艾草和苦艾草进行销售，两种艾草的进价和售价如表所示：已知该经销商购进20千克香艾草和5千克苦艾草共需200元，购进15千克香艾草和10千克苦艾草共需225元． 进价（元/千克） 售价（元/千克） 香艾香 a 12 苦艾草 b 16 （1）求a，b的值； （2）若该经销商购进两种艾草共160千克，其中苦艾草的进货量不超过香艾草进货量的3倍，设购进香艾草千克，则该经销商应该如何进货才能使销售利润y（元）最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）a的值为7，b的值为12； （2）该经销商应购进100千克香艾草，60千克苦艾草，才能使销售利润y（元）最大，最大利润为740元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的不等式，函数关系式，方程组是解题的关键． （1）根据购进20千克香艾草和5千克苦艾草共需200元，购进15千克香艾草和10千克苦艾草共需225元列出方程组求解即可； （2）设香艾草的进货量为x千克，则苦艾草的进货量为千克，根据苦艾草的进货量不超过香艾草进货量的3倍，列出不等式求出x的取值范围，再根据利润 （售价进价）销售量列出y关于x的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：依题意，得：， 解得：， 答：a的值为7，b的值为12； 【小问2详解】 解：设购进香艾草千克，则购进苦艾草千克， 依题意，得： ， 解得：， 故， ∵全部销售完后的销售利润， ∵， ∴y随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，y取得最大值，最大值， 此时． 答：该经销商应购进100千克香艾草，60千克苦艾草，才能使销售利润y（元）最大，最大利润为740元． 27. 定义：我们把一次函数与正比例函数的图象的交点称为一次函数的“亮点”，例如求的“亮点”，联立，得方程组，解得，则的“亮点”为． （1）由定义可知，一次函数的“亮点”为______ （2）一次函数的“亮点”为，求p，q的值； （3）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线上没有“亮点”．P为x轴上一点，若，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，熟练地利用数形结合的方法解题是关键． （1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“亮点”为，代入求得q，进而把点的坐标代入求得p即可； （3）根据题意可得，进而设，根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 联立， 解得， 一次函数的“亮点”为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据定义可得，点在上， ， 解得， ∵点又在上， ， ∴， 【小问3详解】 解：∵直线上没有“亮点”， ∴直线与平行， ∴， ∴， 令，则， 令，则， ， ， 设， ∵， ， ∴， ， 即或， 解得或， ∴或． 28. （1）思考尝试：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形 中，E是的中点，与正方形的外角的平分线交于P点．试猜想与的数量关系，并加以证明．同学们发现，取 的中点G，连接可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题； （2）实践探究：和谐小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形 中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题； （3）拓展迁移：辉煌小组深入研究和谐小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形 中，E为边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值． 【答案】[思考尝试]：，理由见详解；[实践探究]：；[拓展迁移]： 【解析】 【分析】[思考尝试]：取的中点 ，连接，利用同角的余角相等说明，再根据证明，得； [实践探究]：在上取，连接，由（1）同理可得，则，再说明是等腰直角三角形即可得出答案； [拓展迁移]：作，交 的延长线于 ，交于 ，连接 ，则是等腰直角三角形，可知点 与 关于对称，则的最小值为 的长，利用勾股定理求出 ，进而得出答案． 【详解】解：[思考尝试]， 理由如下：取的中点 ，连接， ∵四边形 是正方形， ∴， ∴ 、 分别为正方形的边、 的中点， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； [实践探究] 解：在上取，连接， 由（1）同理可得， ， ∵是等腰直角三角形 ∴， ， ， ， ， ，而， ， ， ， ， [拓展迁移] 解：连接，作，交 的延长线于 ，交于 ，连接 ，， 由（2）知，， ， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， 点 与 关于对称， ∴最小值为 的长， ， ，， 由勾股定理得， 周长的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $