精品解析：辽宁省大连文谷高级中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题

2025-2026学年度上学期高一期末考试 数学试卷 试卷总分：150分 考试时间：120分钟 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 下列函数不是幂函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（ ） A. 25 B. 15 C. 30 D. 20 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 函数的定义域为（ ） A. B. C D. 8. 设函数，若，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列两个向量，不能作为基底向量的是（ ） A. B. C. D. 10. 为弘扬数学文化，激发同学们学习数学的兴趣，某校“数学强基社团”组织开展数学文化知识竞赛，8个小组所得分数依次为75，80，82，85，85，88，90，95.关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 众数85 B. 平均数是85 C. 75%分位数是89 D. 方差是34 11. 已知函数（且），则下列正确的是（ ）． A. 的定义域为 B. 当时，在上的值域为 C. 的图象关于点对称 D. 若有两个零点，则的取值范围为 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则__________. 13. 现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第3支水笔的编号为__________. 14. 已知函数为定义在上单调函数，则的取值范围是___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在一次数学练习中，甲､乙两人同时独立做同一道数学题，已知甲､乙能做对的概率分别是0.7和0.6. （1）求两人都做对此数学题的概率； （2）求恰有一人做对此数学题的概率. 16. 设，，，为平面内的四点，且，，. （1）若，求点的坐标； （2）设向量，若与平行，求实数的值. 17. 若函数，则不等式的解集为，集合. （1）求集合及. （2）已知函数，当时，求该函数的值域. 18. 有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的的鱼被人食用后，就会对人体产生危害．在一批该鱼中随机抽取30条作为样本，检测其汞含量（乘以百万分之一）如下： 0.07 0.24 0.95 0.98 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39 1.02 1.44 1.58 0.54 1.08 0.61 0.72 1.20 1.14 1.62 1.68 1.85 1.20 0.81 0.82 0.84 1.29 1.26 2.10 1.65 1.31 （1）依据样本数据，补充完成下列频率分布直方图，并分析这30条鱼的汞含量的分布特点； （2）分别依据样本数据和（1）中频率分布直方图估计这批鱼的汞含量的第60百分位数，得到的结果完全一致吗?为什么? （3）将样本中汞含量最低的两条鱼分别放入相互连通的A、B水池，若这两条鱼的游动相互独立，均有的概率游入另一个水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率． 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”. （1）已知函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由； （2）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围； （3）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期高一期末考试 数学试卷 试卷总分：150分 考试时间：120分钟 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】, 故选：D 2. 向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量减法的坐标运算可得结果. 【详解】因为向量，，则. 故选：A. 3. 函数的零点为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点的概念，结合函数与方程的关系，利用指数函数与一次函数的单调性，可得答案. 【详解】由，即，易知与方程组只有一组解， 由函数为增函数，函数为减函数， 则两函数有且仅有一个交点，即方程存在唯一解， 当时，，所以函数的零点为. 故选：C. 4. 下列函数不是幂函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，逐一分析选项，判断其是否符合幂函数的形式. 【详解】对于选项A，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项B，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项C，不符合幂函数的形式，不是幂函数； 对于选项D，符合幂函数的形式，是幂函数. 故选：C. 5. 某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（ ） A. 25 B. 15 C. 30 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】先求出全校女生人数，再根据分层抽样的比例计算即可. 【详解】2500人中女生人数为， 则容量为50的样本中女生的人数为. 故选：D 6. 已知，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分和必要条件的知识确定正确答案. 【详解】当“”时，“”； 当“”时，可能，不能得到“”； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用对数函数定义域列式，再解分式不等式即可. 【详解】因为，所以，即，解得， 函数的定义域为. 故选：A. 8. 设函数，若，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，可得答案. 【详解】由函数在上单调递增，且当时，， 则当时，；当时，. 由函数在上单调递增，且当时，， 则当时，；当时，. 令，即，易知恒成立. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列两个向量，不能作为基底向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据两个向量不平行能作为基底确定正确选项. 【详解】A选项，零向量和任意向量平行，所以不能作为基底. B选项，不平行，可以作为基底. C选项，，所以平行，不能作为基底. D选项，不平行，可以作为基底. 故选：AC 10. 为弘扬数学文化，激发同学们学习数学的兴趣，某校“数学强基社团”组织开展数学文化知识竞赛，8个小组所得分数依次为75，80，82，85，85，88，90，95.关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 众数是85 B. 平均数是85 C. 75%分位数是89 D. 方差是34 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，找该组数据中出现次数最多的数据就是众数；对于B，通过平均数计算公式即可求该组数据的平均数；对于C，通过百分位数的计算方法即可求解；对于D，通过方差的计算公式即可求该组数据的方差. 【详解】对于A，这组数据中85出现2次，出现的次数最多，所以这组数据的众数是85，故A正确； 对于B，由条件得，故B正确； 对于C，由条件得，可知该组数据的第75百分位数是从小到大排列的第6个数和第7个数的平均值即，故C正确； 对于D，由条件得， 故D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数（且），则下列正确的是（ ）． A. 的定义域为 B. 当时，在上的值域为 C. 的图象关于点对称 D. 若有两个零点，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据解析式求出函数的定义域判断；对B，判断在上的单调性，求解值域判断；对C，利用函数对称性的定义判断；对D，函数和的图象有两个交点，数形结合判断. 【详解】对于A，由，即，所以，即的定义域为，故A正确； 对于B，当时，，因为和在上单调递减， 所以在上单调递减，又，，所以的值域为，故B错误； 对于C，因为， 所以关于点对称，故C正确； 对于D，令，即，作出函数和的图象，如下图， 若有两个零点，即函数和图象有两个交点，由图可得，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据模长公式即可得解. 【详解】因为， 则. 故答案为：. 13. 现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第3支水笔的编号为__________. 【答案】32 【解析】 【分析】先确定起始位置，再从起始位置开始，按顺序每次读取两位数字，作为候选编号，最后按顺序筛选出的第 3 个有效编号即可. 【详解】先从随机数表第 9 个数字开始读取： 随机数表：39832776 39918535 32591131 40469235 04982212 20671263 第 9 个数字是 3（来自第二组 39918535）， 从左向右依次读取两位数字，并筛选出在 01~50 范围内且不重复的编号： 第 1 个：39 → 有效，对应编号 39 第 2 个：91 → 无效（>50），跳过 第 3 个：85 → 无效（>50），跳过 第 4 个：35 → 有效，对应编号 35 第 5 个：32 → 有效，对应编号 32 所以，抽取的第 3 支水笔的编号为 32. 故答案为：32. 14. 已知函数为定义在上的单调函数，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，函数在上为减函数，根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为函数在上为减函数，且函数为定义在上的单调函数， 故函数在上为减函数， 所以在上为减函数，则， 函数在上为减函数，则，解得， 且有，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在一次数学练习中，甲､乙两人同时独立做同一道数学题，已知甲､乙能做对的概率分别是0.7和0.6. （1）求两人都做对此数学题的概率； （2）求恰有一人做对此数学题的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率的乘法公式求解即可； （2）根据概率的加法与乘法公式求解即可. 【小问1详解】 设事件：“甲做对”，事件：“乙做对”，则“两人都做对”为事件， 因为相互独立，故； 【小问2详解】 恰有一人做对为事件，事件互斥, 相互独立，相互独立， 所以. 16. 设，，，为平面内的四点，且，，. （1）若，求点的坐标； （2）设向量，若与平行，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算以及相等向量、共线向量的坐标运算即可得解. 【小问1详解】 设点，则,. 因为， 所以，即得. 所以点的坐标为. 【小问2详解】 由题意得， 所以，. 因为，所以， 解得. 17. 若函数，则不等式的解集为，集合. （1）求集合及. （2）已知函数，当时，求该函数的值域. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数单调性解不等式得集合，解一元二次不等式得集合，再由交集的求解即得； （2）设，由条件得，求出关于的二次函数的值域，即可求出答案. 【小问1详解】 由可得，解得，即， 由，解得，即， 故. 【小问2详解】 ， 设，因，则， 则函数在上单调递减， 则函数的值域为， 所以当时，函数的值域为. 18. 有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的的鱼被人食用后，就会对人体产生危害．在一批该鱼中随机抽取30条作为样本，检测其汞含量（乘以百万分之一）如下： 0.07 0.24 0.95 0.98 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39 1.02 1.44 1.58 0.54 1.08 0.61 0.72 1.20 1.14 1.62 1.68 1.85 1.20 0.81 0.82 0.84 1.29 1.26 2.10 1.65 1.31 （1）依据样本数据，补充完成下列频率分布直方图，并分析这30条鱼汞含量的分布特点； （2）分别依据样本数据和（1）中频率分布直方图估计这批鱼的汞含量的第60百分位数，得到的结果完全一致吗?为什么? （3）将样本中汞含量最低的两条鱼分别放入相互连通的A、B水池，若这两条鱼的游动相互独立，均有的概率游入另一个水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率． 【答案】（1）答案见解析； （2），，不一致，理由见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）汞含量在样本数为12，求出频率即可补充直方图； （2）分别依据样本数据和（1）中频率分布直方图估计第60百分位数即可求解； （3）记“两条鱼最终均在A水池”为事件A，记“两条鱼最终均在B水池”为事件B，根据互斥事件的概率加法公式即可求解. 【小问1详解】 汞含量在的样本数为12，故频率为, 在频率分布直方图中对应的高为, 补充频率分布直方图如图所示： 汞含量分布偏向于大于的方向，即多数鱼的汞含量分布在大于的区域. 【小问2详解】 依据样本数据：由，样本数据的第60百分位数为第18，19项数据的平均数，即， 所以估计这批鱼的汞含量的第60百分位数为； 依据频率分布直方图：由， 所以估计这批鱼的汞含量的第60百分位数为， 两种方式得到的估计结果不一致，但相差不大，因为在频率分布直方图中已经损失了一些样本信息，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的，此时，通常假设数据在组内均匀分布. 【小问3详解】 记“两条鱼最终均在A水池”为事件A，则， 记“两条鱼最终均在B水池”为事件B，则， 因为事件与事件互斥， 所以这两条鱼最终在同一水池的概率为. 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”. （1）已知函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由； （2）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围； （3）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用定义验证即可； （2）问题化为即在上有解，利用单调性奇偶性求在上的值域即可； （3）问题化为有解，令即有解，利用求根公式求出根即可求解. 【小问1详解】 由得，方程无解；故不是“局部奇函数” 小问2详解】 是定义在区间上的“局部奇函数”，则在有解， 即在上有解，即在上有解， 令，，，故为偶函数. 只需研究在上的值域，令， 由对勾函数的单调性知在单调递增，又单调递增， 故在上单调递增，故. 故在上的值域为， 所以，解得. 所以实数的取值范围是 【小问3详解】 若为定义域上的“局部奇函数”则在上有解， 即有解， 即有解， 令，则有解， 即有解， 所以， 此时方程的解为， 所以或，解得. 实数的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $