辽宁大连市第二中学2025-2026学年上学期期末考试高一数学试题

2025-2026学年度上学期期末考试 高一数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求. 1.已知集合，，则（    ）. A． B． C． D． 2.设，则函数的零点位于区间（    ）. A．（2，3） B．（1，2） C．（0，1） D．（-1，0） 3.设，，，则（    ）. A． B． C． D． 4.函数的图象可能是（    ）. A．B． C． D． 5.某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700，从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第8个样本编号是（    ）. A．623 B．457 C．368 D．072 6.甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（    ）. A． B． C． D． 7.在中，D是AC边的中点，且点M满足，若，则（    ）. A． B． C． D． 8.设函数，若任意使不等式成立，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某市有大、中、小型商店共1500家，且这三种类型的商店的数量之比为，现在要调查该市商店的每日零售额情况，从中随机抽取60家商店，则下列选项正确的有（    ）. A．1500家商店是总体 B．样本容量为60 C．大、中、小型商店分别抽取4、20、36家 D．被抽取的60家商店的零售额情况是所抽取的一个样本 10.已知向量，，则（   ）． A． B． C． D． 11.已知：函数，若直线与函数的图象有三个交点，，，且，则下列命题中正确的是（    ） A．函数有两个零点0和2 B． C．方程有6个不同的根 D．当时，方程有两个不相等的实根 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知，且，则的最小值为 . 13.已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的第百分位数为 . 14.已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(13分) 设，是两个不共线的向量，已知，，． (1)求证：，，三点共线； (2)若，且，求实数的值． 16.(15分) 从某校学生中随机抽出50名学生参加消防安全知识竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．数据的分组依次为，，，，，． (1)求图中的值，并估计这50名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． (2)若成绩在前25%的学生可获得“消防达人”的称号，则成绩至少要达到多少分才可以被评为“消防达人”？ (3)从低于60分的学生中随机抽取2名学生，求这2名学生成绩不在同一分组的概率． 17.(15分) 已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并证明你的结论； (3)若对于恒成立，求实数m的范围. 18.(17分) 已知甲、乙两位同学参加某高校的入学面试．入学面试中有3道难度相当的题目，已知甲答对每道题目的概率都是 ，乙答对每道题目的概率都是 ．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人互不影响． (1)求甲第二次答题通过面试的概率； (2)求乙最终通过面试的概率； (3)求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率． 19.(17分) 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔.对于满足一定条件的连续函数，若存在实数使得，则称为函数不动点，若存在实数使得，则称为函数的稳定点. (1)求函数的不动点； (2)如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，求m的取值范围； (3)定义在R上的函数满足，且在上单调递减，不等式的解集为A，若函数在A中存在两个不动点，求a的取值范围. 数学试卷第 页 共5页1 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学试题命题双向细目表 题型 题号 考查知识板块 考查知识方法 分值 难易度 简单 中等 1 集合 集合的表示与运算 5 2 函数 判断零点所在的区间.零点存在性定 理的应用 5 3 对数函数 比较对数式的大小 5 % 函数性质 函数图像的识别 5 统计 随机数表法 5 ⑧ 概率 计算古典概型问题的概率，补全茎叶 图中的数据 √ 选择题 7 向量 利用平面向量基本定理求参数 函数奇偶性的定义与判断，求对数型 开 函数性质 复合函数的定义域，根据函数的单调 性解不等式，对数型复合函数的单调 5 性 9 统计 抽样比、样本总量、各层总数、总体 容量的计算，总体与样本 6 10 向量 平面向量线性运算的坐标表示 6 分段函数的性质及应用，对数的运算 11 函数综合 性质的应用.对数函数图象的应用，求 6 函数零点或方程根的个数 12 基本不等式 基本不等式“1”的妙用求最值，基本 5 不等式求和的最小值 填空题 13 统计 根据平均数求参数，总体百分位数的 估计 14 函数性质 根据函数的单调性求参数值，根据分 5 √ 段函数的单调性求参数 平面向量共线定理证明，点共线问题 15 向量 已知向量共线（平行）求参数，平面 13 向量基本定理的应用 由频率分布直方图估计平均数，总体 16 概率统计 百分位数的估计，计算古典概型问题 15 的概率，补全频率分布直方图 解答题 函数奇偶性的定义与判断，由对数函 17 函数 数的单调性解不等式，具体函数的定 15 √ 义域 18 概率 独立事件的乘法公式.利用对立事件 17 的概率公式求概率 函数新定义.求指数型复合函数的值 19 函数新定义 域.求二次函数的值域或最值，对数型 17 复合函数的单调性 较难 √2025-2026学年度上学期期末考试 高一数学参考答案 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A D C c 0 C BCD BD 题号 11 答案 ABD 1.D 【分析】解绝对值不等式可求得集合B,由交集定义可得结果. 【详解】由≤2得-2≤x≤2,故B={x-2≤x≤2}, 又A={x-3≤x≤1},所以A B={x-2≤x≤1} 故选:D 2.B 【详解】因为函数f(x)=2+x-4在R上递增, f(1)=-1<0,f(2)=2>0 函数(x)的零点位于区间(1,2). 故选:B. 3.A 【分析】分别将a,b改写为a=10g,2,b=1cg,3,再利用单调性比较即可。 【详解】因为a=1og,2<1g,9= 3 -c,b-g,3o,25= 3 3 c, 所以a<c<b 故选:A 【点晴】本题考查对数式大小的比较,考查学生转化与化归的思想,是一道中档题 4.D 【详解1()(或2 x2+2=f(x),故函数额为偶函数,排除A, 当x=0时0-3排除C,函数y=)与y=-2的图像只有2个交点即函数f(y) 只有2个零点,排除B. 故选D. 5.C 【分析】从表中第5行第6列开始向右读取,舍去超出范围和重复的数据,即可得出结果」 【详解】从表中第5行第6列开始向右读取分别为,253,313,457,860舍,736舍,253 舍,007,328,623,457舍,889舍,072,368,第8个为368 故选:C 【点睛】易错点睛:本题要舍去超出范围和重复的数据 6.C 【解析】首先求得甲的平均数,然后结合题意确定污损的数字可能的取值,最后利用古典概 型计算公式求解其概率值即可. 【详解】由题意可得:飞=88+87+85+92+93+95 =90, 6 设被污损的数字为x,则:元=85+86+86+8怒+90+99+=89 6 6 满足题意时,>元2,即:90>89+X x<6, 6 即x可能的取值为x=0,1,2,3,4,5, 结合古典慨型计算公式可得满足意的概率值:P&- 故选C. 【点睛】本题主要考查茎叶图的识别与阅读,平均数的计算方法,古典概型计算公式等知识, 意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7.D 【分析】由平面向量的基本定理结合图形计算即可 【详解】因为AM=G+BM=46+兮8D①,M=A0+DM-4C-号8D@, 由①x2+②,得3ai=2AB+Ac,所以aM=2AB+4C, 6 即2=2 名所以+=名 5 故选:D 8.C 【分析】先分析函数f(x)的性质,再根据函数性质化简不等式f(2)+(x+)<1,最后 根据不等式恒成立求解实数 的取值范围即可, 【详解】国数)=hF1-列十十2的定义域为+1-x>0,即 Vx2+1>x x2+1>x2恒成立, )-(1-+十2的完义该为R,关于隙点对称 则 以上T1gT合 (Vx2+1-x) ,2 )+f()=1,f()的图象关于点0 1 对称 又函数y=n(Wx2+1-x)=h 1 vx+1+x 和y2在R上均为减函数, “函数)=石-列+中2在R上为减西致。 不等式f(2)+f(x+a<1可化为f(ar2)<1-f(x+),即f(m2)<f(-x-a), .x2>-x-a ax2+x+a>0恒成立, 当a=0时,不等式化为x>0,舍去: =1-4a2<0'解得a> a>0 当a≠0,要使x2+x+a>0恒成立,则需满足 2 综上所述,实数a的取值范围为 2,+o0 故选:C 9.BCD 【分析】A.利用总体的定义判断;B.利用样本容量的定义判断;C,根据三种类型的商店的数 量之比为1:5:9求解判断:D.由样本的定义判断 【详解】A.1500家商店的每日零售额是总体,故错误: B.从中随机抽取60家商店,则样本容量为60,故正确: C.因为三种类型的商店的数量之比为1:5:9,所以大、中、小型商店分别抽取4、20、36 家,故正确: D被抽取的60家商店的零售额情况是所抽取的一个样本,故正确, 故选:BCD 10.BD 【分析】根据向量的坐标运算和向量的模的计算可判断选项. 【详解】2a+b=(0,7),A错误 因为a+2b=(-3,5)=(3,-5)=-c,所以(a+2b)11c,B正确: 因为a+c=(4,-2)=-2(2,1)-2b,所以a+cV42+(2=2W5,且1a+c=2,故c 错误,D正确 故选:BD 11.ABD 【分析】令f(x)=0,求出函数的零点可判断A:作出函数f(x)的大致图象,由图结合题 意可得0<x≤1<x2<2<x3,即有f(s)=f(x) -ln(x,-1)=h(),结合对数运算化 简即可判断B;方程根的问题转化为图象交点的问题,结合图形可判断C,D. 【详解】由题意,令(x)=0, 当0≤x≤1时,x2=0,解得x=0;当x>1时,n(x-1)=0,解得x=2, 则函数f(x)有两个零点0和2,故A正确: 作出函数f(x)的大致图象,如图, :y=2x y=3 y-m 由图结合题意可知,0<x1≤1<x2<2<x, 由f(x)=f(x) -lh(x2-1)=ln(x-),可得(x2-1)(x-1)=1,即x2x,=x2+x,故B正 确: 由[f(x)]-5f(c)+6=0可得f)=2或f(x)=3, 由图可知,函数y=f(x)的图象与直线y=2及y=3共有4个交点,则方程 [f(x)]-5fc)+6=0有4个不同的根,故C错误: 当k=2时, 当0≤x≤1时,令f(x)2x-1=0,解得x=1, 且由图象可得当x>1时,y=f(x)与y=2x-1只有一个交点。 综上,直线y=2x-1与函数y=f(x)的图象有两个交点,则方程f(x)=-1有两个不相等 的实根,故D正确. 故选:ABD. 12.6+42 【分析】由基本不等式“1的代换计算可得结果 【详解】因为x+y=之,所以 *当-男2+264, 当且仅当登-士即x=,y2时等号成立,可的最小值为65 2 2 11) 故答案为:6+4v2. 13.19 【分析】根据题意求出=9,再根据百分位数的计算方法可得答案. 【详解】由恩意可得13+18+15+m+20-15,解得m=9, 将数据排序得9,13,15,18,20, 5 80%=4,则这组数据的第80百分位数为第4和第5位数的平均数,即18+20=19, 2 故答案为:19 4[3封 【分析】由函数单调性的定义推出y=∫(x)+2x在R上单调递增,再由分段函数单调性建立 关于a的不等式,求解即可 【详解】不妨设5<,由)f,)-2,可得:f)-传)<-2x+25,即 X1-X2 f(x)+2x<f(x2)+2x2, -x2+(3-a)x-2a-4,x<1 则函数y=f)+2x=-a+,x21 在R上单调递增, 3-0z1 a≤1 则{a+1>0 ,解得{a>-1,即- 2sas1, -(a+1)2-12+(3-a 1-2a-4 1 a≥- 2 故实数a的取植范围为], 故答笑为:【0 15.(1)证明见解析 (2)k=12 【分析】(1)首先求出BD,即可得到AB/BD,从而得证: (2)设BF=BD(2∈R),根据平面向量基本定理得到方程组,解得即可. 【详解】(1)因为AB=2e,-8e2,CB=e+3e2,CD=2e,-e2, 所以BD=CD-CB=(2e,-e2-(8+32)=e,-4e, 所以AB=2BD,即AB/BD, 又AB与BD有公共点B,所以A,B,D三点共线 (2)由(1)可知BD=e,-4e,又BF=3配-ke, 因为BF∥BD,设BF=BD(2∈R), .3e,-ke2=e,-4e2,又e,e,是两个不共线的向量, 1=3 所以 -k=-42' 解得k=12. 16.(1)a=0.016,76.2 (2)86.25 a 【分析】(1)由频率分布直方图面积和为1,可求a=0.016,再由平均数计算公式即可求解; (2)由百分位数计算公式即可求解: (3)确定样本空间,由古典概型概率计算公式即可求解 【详解】(1)由10(0.004+0.006+a+0.020+0.024+0.030)=1, 得a=0.016, 平均数为45 0.04+55 0.06+65 0.2+75 0.3+85 0.24+95 0.16=76.2 (2) 频率组距 0.030H 0.024 0.020 0.006 0.004. 405060708090100成绩/分 前4个矩形面积为: 10(0.004+0.006+0.020+0.030)=0.6, 前5个矩形面积为: 10(0.004+0.006+0.020+0.030+0.024)=0.84, 所以若成绩在前25%的学生可获得“消防达人”的称号, 则成绩至少要达到80+10 (0.75-0. 1=86.25 0.24 (3)区间[40,50)有50 0.04=2人, 区间[50,60)有50 0.06=3人, 设[40,50)内两人为a,b,[50,60)内3人为c,d,e, 则随机抽取2名学生共有: ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de, 来自不同组的有ac,ad,ae,bc,bd,be, 所以这2名学生成绩不在同一分组的率为,8号 17.(1)(-0,-1)UL,+0) (2)奇函数,证明见解析 (3)(-0,-1] x-1 >0 【分析】(1)列出不等式 x+1,求解即可 x+1≠0 (2)利用奇函数的定义求解即可: (3)利用函数的单调性求解即可. (x-1,0 【详解】(1)由x+1,解得:x>1或x<-1,所以定义域为(-n,-1)U(1,+o). x+1≠0 (2)f(x)为奇函数,证明如下: 由(1)可知,定义域关于原点对称 又f9og=1g与 -x+1 `x+1 所以f(x)为奇函数: (3)因为f(x)=log2 -1=1og +1-2=108.0-2 x+1 x+1 x+1 又外部函数y=1o3,u为增函数,内部函数y=1-2在3,+四)上为增函数,由复合函数的 x+1 单调性知函数f(x)在[3,+o)上为增函数, 121 所以=0=g计8:片 又f(x)≥m对于x∈[3,+o)恒成立,所以≤[f(xlma,所以≤-1, 所以实数m的范围是(-0,-]. 18.(025 6 021 124 3125 226 【分析】(1)根据题意甲第二次答题通过为1555,从而可求解: (2)乙通过最终面试分:第一次答题通过、第二次答题通过、第三次答题通过共三种情况 讨论,即可求解; (3)甲、乙两人至少有一人通过面试的对立事件是甲、乙两人都没有通过面试,从而可求 解。 【详解】(1)由题意得:甲第二次通过面试的概率为: 2 2-6 5525 故甲第二次答题通过面试的概率为 6 25 (2)乙通过最终面试分:第一次答题通过、第二次答题通过、第三次答题通过共三种情况: 第一次答题通过的概率为 3 第二次答题通过的概率为 22_2 -3)3g' 第三淡浴腿适过的商本为引-引号号 则乙最终通过面试的概率 2,2,226 3+9+2727 (3)甲、乙两人至少有一人通过面试的对立事件是甲、乙两人都没有通过面试, 则甲、乙两人都没有通过面试的概率为 3x3x3 1xx=1 555(333125 所以甲、乙两人至少有一人通过面试的概率为1-,】124 125125 故甲、乙两人至少有一人通过面试的概为 124 25 19.(1)-1和3 (2)[-1,3] 居 【分析】(1)根据不动点定义列出方程,求解方程即可作答: (2)根据稳定点及不动点定义列出方程,分类讨论即可作答: (3)根据函数的单调性结合不动点定义,建立函数关系,求出参数的范围」 【详解】(1)令()=x,得2x-3 X x+6 整理得x2+4x+3=0,解得x=-1或x=-3, 经检验知均满足要求,故函数)=2x-3的不动点为-1和-3. x+6 (2)令f(x)=x,即x2-x+=x,即x2-(m+1)x+L=0, 解得x=m,x2=1 令f(f(x》=x,得(x2-x+m)-(x2-x+m)+=x, 即(x2-x+m)(x2-x+-m)+-x=0,得(-m(x3-x2+-1)=0, 所以有(x-m0(x-1)x2+1-0)x+1=0, 此方程的解只能为1或m, ①当m=1时,方程化为(x-1)2(x2+1)=0, 仅有一个实数解x=1,满足题意; ②当m≠1时,要么方程x2+(1-m)x+1=0无实数解, 要么方程x2+(1-m)x+1=0仅有一个实数解为1或者m [1-m2-4=0.「1-m2-4=0 故1-m2-4<0或 或 1+1-m+1=0m2+m0-m+1=0 解得-1≤m≤3. 综上,实数m的取值范围为[-1,3], (3)由g(x)+g(-x)=2x2得g(x)-x2+g(-x)-(-x)2=0 设h(x)=g(x)-x2,那么h(x)+(-x)=0, 即h(x)是奇函数且在R上单调递减. 8(x)+4≥8(2-x)+4x, 即h(x)+x2+4≥h(2-x)+(2-x)2+4x, 即h(x)≥h(2-x),所以x≤2-x,解得x≤1, 令f(x)=log2(4+4+2-a=x,那么4'+4+2-a=2, 所以a=4+4+2x-2x, 设t=2-2*又因为x≤1t=2-2在(∞,上单调递增,故t≤名 即a=(2-2+2-(2-2)r-1+2在〔-o, 3 上有两个不相等的实数根 结合y=-1+2+在〔引的图象可如子as号 ,11