精品解析：河南南阳市宛城区2025年秋期期末质量评估检测九年级数学试卷

2025年秋期期末质量评估检测 九年级数学试题卷 注意事项 1．本试卷共8页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前考生务必将自己的姓名、考号、学校等填写在试题卷和答题卡相应的位置． 3．考生作答时，将答案涂、写在答题卡上，在本试题卷上答题无效． 4．考试结束，将答题卡交回． 一、选择题：（每小题3分，共30分．）（下列各小题中只有一个答案是正确的．） 1. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 2. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（ ） A. 出现点数为6的概率是 B. 出现点数为0是随机事件 C. 出现点数为偶数是必然事件 D. 出现点数为奇数是不可能事件 3. 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是，则这个一元二次方程可能是（ ） A. B. C. D. 4. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 5. 下列说法正确的是（ ） A. “明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨 B. 经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯 C. “某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖 D. 小明前几次的数学测试成绩都在90分以上，这次数学测试成绩也一定在90分以上 6. 下列二次根式中，能够与合并的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8. 如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ） A. 200tan70°米 B. 米 C. 200sin70°米 D. 米 9. 三个连续奇数的平方和是371，则这三个奇数中最小的是（ ） A. B. 9 C. 或9 D. 或9 10. 如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值______． 12. 用力旋转如图所示的两个转盘（每个转盘均被等分）进行“配紫色”游戏（规定红色和蓝色能配成紫色），则配得紫色的概率是_______． 13. 二次函数的部分对应值列表如下： x … 0 1 3 5 … y … 7 7 … 则方程的解为______． 14. 手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象．它的原理是利用光的直线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像．如图，为了投影出一个动物造型，手的长度是15厘米，，光源到手的距离是100厘米，手到幕布的距离是20厘米．此时的长度是______厘米． 15. 如图，在中，，，将绕直角顶点旋转得到，其中、的对应点分别为、，取的中点，连接，则线段的长为______． 三、解答题（共8个小题，满分75分） 16. 对于任意两个非零实数、，定义运算“”如下：，如：，．根据上述定义，解决下列问题： （1）计算：①________，②______． （2）若，求的值． 17. 为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有种体育类活动供学生选择：．羽毛球，．乒乓球，．花样跳绳，．踢毽子，每名学生只能选择其中一种． （1）若小宛在这种体育活动中随机选择，则他选中“乒乓球”活动的概率是_______； （2）请用画树状图或列表的方法，求小聪和小明随机选择恰好都选到“乒乓球”活动的概率； （3）学校准备从技能优良的甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽取两名学生参加“乒乓球表演赛”，直接写出甲乙两名同学同时被选中的概率． 18. 已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）． 若将图中的垂线改为斜交，如图，ABCD，AD，BC相交于点E，过点E作EFAB交BD于点F，则： （1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明． 19. “道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某车的刹车距离与行驶时间之间有如下的函数关系：．已知当时，；当时，． （1）求关于的函数关系式； （2）请结合平面直角坐标系中已描出的点，画出符合题意的函数图像（至少再描个点，画图，不必列表）； （3）求该汽车刹车后到停下来，需要多长时间？前进了多远？ 20. 某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，坡角为，右边滑梯的高度为，坡角为，支架、都与地面垂直，、都与地面平行，两支架之间的距离为（点、、、在同一条直线上）．（两问结果均精确到．参考数据：，，，，） （1）求两滑梯的高度差； （2）两滑梯的底端分别为、，求的长． 21. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，销售单价不低于进价，市场调查发现：日销售量（盒）与销售单价（元/盒）之间满足函数关系． （1）直接写出该超市日销售利润（元）与销售单价（元/盒）之间的函数关系式； （2）超市决定每销售一盒糖果就捐赠元给“爱心助学”机构．主管部门要求该种糖果的销售单价不超过26元/盒，当时，超市仍希望日销售利润随销售单价的增大而增大，求的取值范围． 22. 项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为，宽为的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ （2）若任务二中设计的收纳盒的底面积为． 求该收纳盒的高是多少？ 判断能否把一个尺寸如图所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 23. 如图，矩形中，已知，，点是射线上的一个动点，连接并延长交射线于点．将沿直线翻折，点的对应点为，延长交直线于点． （1）如图1，若，则的长为______； （2）若是直角三角形，在图2或图3中画出图形，求的长； （3）若，直接写出的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期期末质量评估检测 九年级数学试题卷 注意事项 1．本试卷共8页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前考生务必将自己的姓名、考号、学校等填写在试题卷和答题卡相应的位置． 3．考生作答时，将答案涂、写在答题卡上，在本试题卷上答题无效． 4．考试结束，将答题卡交回． 一、选择题：（每小题3分，共30分．）（下列各小题中只有一个答案是正确的．） 1. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项． 【详解】解：要使在实数范围内有意义， 需满足被开方数， 解得． ∴符合． 故选：D． 2. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（ ） A. 出现点数为6的概率是 B. 出现点数为0是随机事件 C. 出现点数为偶数是必然事件 D. 出现点数为奇数是不可能事件 【答案】A 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可． 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A．出现点数为6的概率是，正确，符合题意； B．出现点数为0是不可能事件； C．出现点数为偶数是随机事件； D．出现点数为奇数是随机事件； 故选A． 3. 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是，则这个一元二次方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A选项：是一元一次方程，不符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意； B选项：的二次项系数为1，常数项为2，故本选项不符合题意； C选项：的常数项为，故本选项不符合题意； D选项：将移项得，其中二次项系数为3，常数项为，故本选项符合题意； 故选D 4. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根．把代入即可得出关于m的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：， 故选：B． 5. 下列说法正确的是（ ） A. “明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨 B. 经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯 C. “某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖 D. 小明前几次的数学测试成绩都在90分以上，这次数学测试成绩也一定在90分以上 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率的意义即可求出答案． 【详解】解：A. “明天的降水概率为80%”，只能说明有很大机会下雨，而不能说明有80%的时间降雨，故A错误； B. 经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，说法正确符合题意； C. “某彩票中奖概率是1%”，只能说明中奖的机会很小，故C错误； D. 小明前几次的数学测试成绩与这次测试成绩并没有任何关系，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查概率的意义，解题的关键是正确理解概率的意义． 6. 下列二次根式中，能够与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的识别，化简二次根式，能够合并的二次根式一定是同类二次根式，即被开方数相同的最简二次根式才能合并，据此把和对应选项中的二次根式化为最简二次根式即可得到答案． 【详解】解：，，，， ∴能够与合并的是， 故选：C． 7. 如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与互余的角是，共有4个， 故选：C． 8. 如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ） A. 200tan70°米 B. 米 C. 200sin70°米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长． 【详解】解：在Rt△PQT中， ∵∠QPT=90°，∠PQT=90°-70°=20°， ∴∠PTQ=70°， ∴， ∴， 即河宽米， 故选：B． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键． 9. 三个连续奇数的平方和是371，则这三个奇数中最小的是（ ） A. B. 9 C. 或9 D. 或9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决数字问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 本题可通过设中间的奇数为未知数，利用连续奇数的差为2表示出另外两个奇数，再根据平方和为371列一元二次方程求解． 【详解】解：设三个连续奇数中间的数为，则最小的奇数为，最大的奇数为，根据题意得， 解得， 当时，最小的奇数为； 当时，最小的奇数为； ∴这三个奇数中最小的是或9， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，坐标与图形变换—平移，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．过点作轴，作交的延长线于点，证明，得到，根据点的坐标，结合的值，求出，平移求出点坐标，进而得到平移规则，再求出点坐标即可． 【详解】解：过点作轴，作交的延长线于点，则： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平移， ∴， ∴， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴； 故选B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，结合一元二次方程的二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， ∴k的值可以为（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）． 12. 用力旋转如图所示的两个转盘（每个转盘均被等分）进行“配紫色”游戏（规定红色和蓝色能配成紫色），则配得紫色的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可，正确画出树状图是解题的关键． 【详解】解：根据题意画树状图如下， 由树状图可知一共有种等可能性的结果数，其中配得紫色的结果数有种， ∴配得紫色的概率是：， 故答案为： 【点睛】 13. 二次函数的部分对应值列表如下： x … 0 1 3 5 … y … 7 7 … 则方程的解为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，正确求出二次函数的对称轴是解题的关键．先求出二次函数的对称轴，进而得到和时，，继而得解； 【详解】解：∵当和当时的函数值相同， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，， ∴当时，， ∴方程的解为，， 故答案为：， 14. 手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象．它的原理是利用光的直线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像．如图，为了投影出一个动物造型，手的长度是15厘米，，光源到手的距离是100厘米，手到幕布的距离是20厘米．此时的长度是______厘米． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，然后根据相似三角形的对应高之比等于相似比求解即可． 【详解】解∶根据题意，得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴的长度是18厘米， 故答案为∶18． 15. 如图，在中，，，将绕直角顶点旋转得到，其中、的对应点分别为、，取的中点，连接，则线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，三角形中位线定理，分如图，将绕直角顶点顺时针旋转得到，如图，将绕直角顶点逆时针旋转得到，两种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将绕直角顶点顺时针旋转得到，取中点，连接，则， 由旋转性质可得，，，， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴； 如图，将绕直角顶点逆时针旋转得到，取中点，连接，， 由旋转性质可得，，，， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴； 综上可得，线段的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（共8个小题，满分75分） 16. 对于任意两个非零实数、，定义运算“”如下：，如：，．根据上述定义，解决下列问题： （1）计算：①________，②______． （2）若，求的值． 【答案】（1）① ② （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、解一元二次方程、新运算、平方差公式，解决本题的关键是根据新运算的规定把新运算转化为一般的运算． (1)①根据新运算定义进行计算； ②根据新运算的定义把新运算转化为一般的运算，再利用平方差公式进行计算； (2)根据新运算定义把方程转化为一元二次方程，再用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 ①解：， ； ②解：， ； 【小问2详解】 解：， 原方程可化为， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，， 经检验，，均满足条件， 方程的解为：，． 17. 为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有种体育类活动供学生选择：．羽毛球，．乒乓球，．花样跳绳，．踢毽子，每名学生只能选择其中一种． （1）若小宛在这种体育活动中随机选择，则他选中“乒乓球”活动的概率是_______； （2）请用画树状图或列表的方法，求小聪和小明随机选择恰好都选到“乒乓球”活动的概率； （3）学校准备从技能优良的甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽取两名学生参加“乒乓球表演赛”，直接写出甲乙两名同学同时被选中的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图是解题的关键． （）根据概率公式直接求解； （）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可； （）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：小宛在这种体育活动中随机选择，则他选中“乒乓球”活动的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下， 由树状图可知一共有种等可能性的结果数，其中小聪和小明随机选择恰好都选到“乒乓球”活动的结果数有种， ∴小聪和小明随机选择恰好都选到“乒乓球”活动的概率是； 【小问3详解】 解：根据题意画树状图如下， 由树状图可知一共有种等可能性的结果数，其中甲乙两名同学同时被选中的结果数有种， ∴甲乙两名同学同时被选中的概率为． 18. 已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）． 若将图中的垂线改为斜交，如图，ABCD，AD，BC相交于点E，过点E作EFAB交BD于点F，则： （1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明． 【答案】（1）成立 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知，两直线平行是很关键的条件，要根据三角形平行线分线段成比例，找出关系，然后相加就得到结果； （2）要用到第一问的结论，作出各个三角形的高，再把各面积用边表示出来，即可找到关系． 【小问1详解】 成立．证明：∵ ABEF, 所以, ∵CDEF, ∴, ∴=1, ∴, 【小问2详解】 关系式为:, 证明如下:分别过A作AM⊥BD于M,过E作EN⊥BD于N,过C作CK⊥BD交BD的延长线于K, 由题设可得:, ∴, 又∵•BD•AM=S△ABD, =S△BCD ∴BD•EN=S△BED, ∴. 【点睛】此题考查平行线分线段成比例定理的运用，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 19. “道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某车的刹车距离与行驶时间之间有如下的函数关系：．已知当时，；当时，． （1）求关于的函数关系式； （2）请结合平面直角坐标系中已描出的点，画出符合题意的函数图像（至少再描个点，画图，不必列表）； （3）求该汽车刹车后到停下来，需要多长时间？前进了多远？ 【答案】（1）； （2） 描点画出符合题意的函数图像如下： （3）；． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图像与性质，画函数图像，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）当时；当时；当时，；当时，；然后描点、连线即可； （）由，，则时，取最大值，最大为，从而求解． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得， ∴该函数的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时； 当时，； 当时，； 当时，； 【小问3详解】 解：∵，， ∴时，取最大值，最大为， ∴该汽车刹车后到停下来，需要，前进了． 20. 某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，坡角为，右边滑梯的高度为，坡角为，支架、都与地面垂直，、都与地面平行，两支架之间的距离为（点、、、在同一条直线上）．（两问结果均精确到．参考数据：，，，，） （1）求两滑梯的高度差； （2）两滑梯的底端分别为、，求的长． 【答案】（1）两滑梯高度差为； （2）长为． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用——坡度坡比问题，掌握知识点的应用是解题的关键． （）通过解，求出，再通过即可求出两滑梯的高度差； （）通过解，求出，通过解，求出，再通过，代入数值计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：在中，，， ∵， ∴， ∴． 答：两滑梯高度差为； 【小问2详解】 解：在中，，， ∵， ∴， 在中，，， ∵， ∴， ∴． 答：长为． 21. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，销售单价不低于进价，市场调查发现：日销售量（盒）与销售单价（元/盒）之间满足函数关系． （1）直接写出该超市日销售利润（元）与销售单价（元/盒）之间的函数关系式； （2）超市决定每销售一盒糖果就捐赠元给“爱心助学”机构．主管部门要求该种糖果的销售单价不超过26元/盒，当时，超市仍希望日销售利润随销售单价的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）利用销售利润单件的利润乘以销售量，即可列出函数关系式； （2）根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：； 【小问2详解】 解：根据题意，得：． 销售单价不超过26元/盒， ， ， 二次函数图象开口向下，对称轴为， ∴当时，日销售利润随销售单价的增大而增大， ， 解得， 的取值范围． 22. 项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为，宽为的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ （2）若任务二中设计的收纳盒的底面积为． 求该收纳盒的高是多少？ 判断能否把一个尺寸如图所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 【答案】（1） （2）； 解：不能； 理由：∵，，但，， ∴玩具车不能完全放入该收纳盒． 【解析】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键． （）设剪去的小正方形的边长为，由题意得，然后解方程并检验即可； （）根据题意，设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为，宽为，则，然后解方程并检验即可； 求出，，但，，从而即可判断玩具车不能完全放入该收纳盒． 【小问1详解】 解：（1）设剪去的小正方形的边长为，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：剪去的小正方形的边长为； 【小问2详解】 解：根据题意，设收纳盒的高为， 则收纳盒底面的长为，宽为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为； 略 23. 如图，矩形中，已知，，点是射线上的一个动点，连接并延长交射线于点．将沿直线翻折，点的对应点为，延长交直线于点． （1）如图1，若，则的长为______； （2）若是直角三角形，在图2或图3中画出图形，求的长； （3）若，直接写出的正弦值． 【答案】（1） （2）如图所示： ，的长为10； ，的长为2； （3）或 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得到，，，则可证明，得到，据此求解即可； （2）分和两种情况，根据折叠的性质、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质讨论求解即可； （3）分情况讨论，在线段上，或在延长线上，利用相似三角形的性质和勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图2-1所示，当时， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2-2所示，当时，则， 由折叠的性质可得， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴和都是等腰直角三角形， ∴； 综上所述，的长为10或2； 【小问3详解】 解：如图，当点在线段上时， ∵四边形是矩形， ∴，， ， ， ， 由折叠的性质可得， ∵， ， ， ， 设， ， ， 在中，由勾股定理得 ∴， ， ∴， ； ②如图，当点在的延长线上时， 由折叠的性质可得， ∵， ， ， ， ， ， ∵四边形为矩形， ，， ∴， ， ， ∴， 设为， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ， ， 综上：的值为或． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $