精品解析：江苏宿迁市沭阳县2025-2026学年度第一学期期末学业水平质量监测高二数学试题

2025-2026学年度第一学期期末学业水平质量监测 高二数学试题 （本试题共4页满分150分 考试时间120分钟） 一､单项选择题（共8小题满分40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“成等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2025 7. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C在第一象限内的点，且，点P关于x轴的对称点为Q，若为等边三角形．则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（共3小题满分18分） 9. 设O为坐标原点，已知抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点，过点D的直线l与C交于A，B两点，则（ ） A. B. 直线l的斜率的取值范围为 C. D. 10. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的前项和 D. 的前项和 11. 定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（） A. B. C. D. 三､填空题（共3小题满分15分） 12. 已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 13. 已知圆：与圆：有3条公切线，则实数的取值是______. 14. 已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 四､解答题（共5大题满分77分） 15. 在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若点在线段的延长线上，为的角平分线，，，求的面积． 16. 已知圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若直线：（）与圆相交于，两点，且，求． 17. 已知递增数列满足，点在函数的图象上. （1）证明：数列是等差数列； （2）若，求数列的前项和. 18. 如图，圆的半径为是圆内一个定点，且，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，以线段的中点为原点，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）过上的一点作的切线交圆于不同的两点. （i）探求点到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由； （ii）求面积的最大值. 19. 已知函数，． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末学业水平质量监测 高二数学试题 （本试题共4页满分150分 考试时间120分钟） 一､单项选择题（共8小题满分40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合交集运算求解即可． 【详解】因为集合， 所以 故选：A． 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再计算其模. 【详解】因为， 所以. 故选：A 3. “”是“成等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用推出关系来判断即可. 【详解】当时，如，此时不能成等比数列，故充分性不成立， 当成等比数列，可以推出，故必要性成立， 所以“”是“成等比数列”的必要不充分条件， 故选：B. 4. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出答案. 【详解】因为所求直线与直线垂直，设所求直线的方程为， 将的坐标代入所求直线的方程，得，解得， 故过点且与直线垂直的直线方程为. 故选：A. 5. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将题目所给方程转化为椭圆的标准方程的形式，结合题设条件，列出方程组，即可求解. 【详解】椭圆方程， 上式表示焦点在y轴上的椭圆， 则，解得， 故选：D. 6. 已知，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】求导，令，即可得解. 【详解】由，得， ，得. 故选：B. 7. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C在第一象限内的点，且，点P关于x轴的对称点为Q，若为等边三角形．则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对称性，结合直角三角形边角关系及双曲线定义求出离心率. 【详解】令双曲线的半焦距为c，由关于轴对称，且为等边三角形，得， 由，得，则， 所以双曲线的离心率. 故选：B 8. 设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将方程转化为两个方程或，再由函数图象数形结合可得所求范围. 【详解】由方程变形为， 所以或， 当时，，所以当时，；当时，. 所以函数在上有极大值也是最大值，此时. 画出图像如下： 由图可知与只有一个交点；所以与必有3个交点. 所以，解得. 故选：B 二､多项选择题（共3小题满分18分） 9. 设O为坐标原点，已知抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点，过点D的直线l与C交于A，B两点，则（ ） A. B. 直线l的斜率的取值范围为 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题设求参数判断A，再令且，联立抛物线，应用判别式求参数范围，进而确定斜率范围判断B，由向量数量积的坐标表示及韦达公式求判断C，由抛物线的定义及韦达公式求判断D. 【详解】由题设，则，故，A对， 由题意，直线的斜率存在且不为0，令且，联立抛物线得， 所以，则，可得或， 所以或，则直线l的斜率的取值范围为，B错， 由， 而，， 所以， 所以，C对， 由，，则， 而，则，D错. 故选：AC 10. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的前项和 D. 的前项和 【答案】BCD 【解析】 【分析】运用构造法求出数列的解析式后，易知其既是正项数列，又是递减数列，其最大项为，再运用分组求和法与裂项相消法分别解决选项C，D中的数列求和问题. 【详解】由题可得，可构造为， 又，因此是以3为首项，3为公比的等比数列. ，得. 对于A：由的解析式，易知其为递减数列，故A错误； 对于B：因为故.又因为为递减数列，其最大项为.故B正确； 对于C：，其前项和.故C正确； 对于D：设. 又注意到，. 因此 因此的前项和 .故D正确. 故选：BCD. 11. 定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】通过构造辅助函数、利用导数符号判断单调性，并结合给定条件分析各选项. 【详解】选项A：由且，得， 由可得在单调递增， 于是，A选项正确； 选项B：令，则单调递增， 故， 取对数得：，B选项错误； 选项C，单调递增，等价于， 又，则，矛盾， 故，C选项错误； 由B选项单调递增，， 需证，设，则证， 因为，故， 又，故， 即，D选项正确. 故选：AD 三､填空题（共3小题满分15分） 12. 已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直求出的值，再通过投影向量计算公式求出对应的投影向量. 【详解】本题考查投影向量，考查数学运算的核心素养. 由，得，解得，所以， 则向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 13. 已知圆：与圆：有3条公切线，则实数的取值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，可得圆与圆外切，再列式求解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 由圆与圆有3条公切线，得圆与圆外切， 则， 即，而，所以. 故答案为： 14. 已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】令，可得，原不等式可化为，令，要使对所有恒成立，需满足，进而求出的取值范围. 【详解】由不等式可知，令， 对，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 当时，取得极大值也是最大值， 又时，，时，，所以. 又， 所以原不等式可化为， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 又，所以要使对任意成立，则在区间内不能取得使的值， 由函数性质可知，当时，会出现负值，故须满足，解得， 又，所以，即实数的取值范围为， 故答案为：. 四､解答题（共5大题满分77分） 15. 在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若点在线段的延长线上，为的角平分线，，，求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简结合，利用两角和差公式化简，再利用正切值结合角的范围即可求得； （2）由面积公式结合角平分线得出，应用余弦定理联立方程得出，最后应用面积公式计算求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可化为：， ，又因为 即，即， 因为，解得：，且，即； 【小问2详解】 因为及为的角平分线，所以， 由三角形面积公式得， 代入得：， 因为，由余弦定理， 化简得：，即得 解得：或舍去，即， 所以的面积为. 16. 已知圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若直线：（）与圆相交于，两点，且，求． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据点在圆上，点到圆心的距离相等建立关于的方程并求解即可； （2）根据点到直线的距离公式和弦心距建立关于的方程，求解即可. 【小问1详解】 设，因为圆心在直线上，所以．① 因为圆经过点和，所以圆心到点，的距离相等， 所以，展开并化简得．② 联立①②，解得，，所以圆心． 因为圆心和点均在直线上， 所以半径， 所以圆的方程为． 【小问2详解】 设圆心到的距离为， 则，即，得． 由点到直线的距离公式得． 所以，两边平方，整理得， 解得或． 17. 已知递增数列满足，点在函数的图象上. （1）证明：数列是等差数列； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入到函数式得递推公式，根据等差数列的定义结合对数的运算即可得结果； （2）结合（1）中的结论得到数列的通项公式，通过裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 因为， 所以当时， 又因为点在函数的图象上， 所以， 所以 ， 所以数列是首项为2，公差为2的等差数列 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以， 所以 所以 所以 ， 即 18. 如图，圆的半径为是圆内一个定点，且，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，以线段的中点为原点，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）过上的一点作的切线交圆于不同的两点. （i）探求点到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）定值，4；（ii）8 【解析】 【分析】（1）根据题意分析可知，结合椭圆定义即可得方程； （2）①联立方程，结合相切关系可得和点Q的坐标，进而可得，进而可得结果；②根据垂径定理求面积，结合分析最值即可. 【小问1详解】 由题意可知：， 则， 可知动点的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）联立方程，消去可得， 因为直线与曲线相切，则， 整理可得，则原方程为，解得， 将代入直线，可得， 可知，且， 则，为定值； （ii）由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为到直线的距离 ， 可得， 因为，则， 可得， 则面积， 可知当，即时，取到最大值8. 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法 （1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解． （2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)． 19. 已知函数，． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若，，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出直线斜率，进而求出直线方程； （2）利用恒成立，构造函数，求导，利用导数分析函数单调性，进而求出实数的范围； （3）转化已知不等式，构造函数，求导，利用导数证明函数单调性． 【小问1详解】 当时，，求导得， ，， 曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 恒成立，即，即恒成立， 令，则． 令，则， 单调递减，又， 当时，，当时，， 即时，，单调递增； 时，，单调递减. ，故． 【小问3详解】 要证，， 即证，， 令， 则，令， ， 在单调递增， 又，， ，使得， 即，故， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ， 时，恒成立，得， ， 又，， 故， ，时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $