10.3 平行线的性质 同步复习讲义2025-2026学年沪科版数学七年级下册

本讲义聚焦平行线的性质及判定与性质的综合应用，先通过性质定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补及平行线间距离）构建基础，再结合判定形成“性质理解-判定应用-综合解题”的学习支架，衔接前后知识逻辑。 资料特色在于情境化问题设计（如单车车架、光的折射等实例）和分层题型（选择、填空、证明），培养几何直观与推理意识。课题学习“等角转化”引导学生抽象模型，提升创新意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第10章 10.3 平行线的性质 题型1 平行线的性质 题型2 平行线的判定与性质 题型1 平行线的性质 【知识点的认识】 1、平行线性质定理 定理1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:两直线平行,同位角相等. 定理2:两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:两直线平行,同旁内角互补. 定理3:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:两直线平行,内错角相等. 2、两条平行线之间的距离处处相等. 1.如图,直线a∥b,三角板的直角顶点放在直线b上,两直角边与直线a相交,如果∠1=60 ,那么∠2等于( ) A.30 B.40 C.50 D.60 2.如图,矩形纸片ABCD沿EF折叠,A,D两点分别与A′,D′对应,若∠1=2∠2,则∠AEF的度数为( ) A.60 B.65 C.72 D.75 3.如图,l1∥l2,∠1=30 ,∠2=50 ,则∠3的度数为( ) A.90 B.100 C.110 D.120 4.如图,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=60 ,则∠2的大小为( ) A.60 B.35 C.30 D.45 5.随着人们对环境的日益重视,骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活,如图是某单车车架的示意图,线段AB,CE,DE分别为前叉、下管和立管(点C在AB上),EF为后下叉.已知AB∥DE,AD∥EF,∠BCE=67 ,∠CEF=133 ,则∠ADE的度数为( ) A.57 B.66 C.67 D.74 6.如图,直线l1∥l2,∠ =∠ ,∠1=35 ,则∠2=( ) A.105 B.145 C.135 D.150 7.一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放(厚度忽略不计),若∠ =20 ,则∠ 的度数为( ) A.45 B.40 C.25 D.20 8.如图,烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行,光线EF从液体中射向空气时发生折射,光线变成FH,点G在射线EF上.已知∠HFB=18 ,∠FED=56 ,则∠GFH的度数为( ) A.34 B.36 C.38 D.56 9.如图,AB∥CD,F为AB上一点,FD∥EH,且FE平分∠AFG,过点F作FG⊥EH于点G,且∠AFG=2∠D,则下列结论:①∠D=30 ;②2∠D+∠EHC=90 ;③FD平分∠HFB;④FH平分∠GFD.其中正确结论的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.下列结论错误的是( ) A.垂直于同一直线的两条直线互相平行 B.两直线平行,同旁内角互补 C.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D.同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线 11.将一个直角三角板和一把直尺按如图所示方式摆放(60 角的顶点在直尺的边上),若∠1=54 ,则∠2=( ) A.144 B.154 C.134 D.126 12.如图,AB∥CD,用含∠1,∠2,∠3的式子表示∠4,则∠4的值为( ) A.∠1+∠2﹣∠3 B.∠1+∠3﹣∠2 C.180 +∠3﹣∠1﹣∠2 D.∠2+∠3﹣∠1﹣180 13.如图是可调节台灯及其示意图.固定支撑杆AO垂直底座MN于点O,现调节台灯使外侧光线CD∥MN,CE∥BA,若∠BAO=158 ,则∠DCE=( ) A.58 B.68 C.32 D.22 14.在一个由工程车搭建的创意展览场景中,小明站在工程车旁边观察,发现从某个角度看,工作篮底部AB与支撑平台CD平行.若∠1=30 ,∠3=150 ,则∠2的度数为( ) A.60 B.50 C.40 D.30 15.如图,已知CD∥AB,MN⊥CD于点N,若∠M=32 ,则∠1的大小是( ) A.32 B.42 C.58 D.68 16.如图是路政工程车的工作示意图,工作篮底部与支撑平台平行.若∠1=30 ,∠2=50 ,则∠3的度数为( ) A.130 B.140 C.150 D.160 17.如图为小颖在试鞋镜前的光路图,入射光线OA经平面镜后反射入眼,若CB∥OA,∠CBO=122 ,∠BON=90 ,则入射角∠AON的度数为( ) A.22 B.32 C.35 D.122 18.如图,在空气中平行的两条入射光线,在水中的两条折射光线也是平行的.若水面和杯底互相平行,且∠1=100 ,则∠2的度数为( ) A.60 B.70 C.80 D.100 19.如图,AB∥CD,∠A=70 ,则∠1的度数是( ) A.130 B.110 C.100 D.70 20.如图,在反射现象中,反射光线,入射光线和法线都在同一平面内,反射光线和入射光线分别位于法线两侧,入射角i等于反射角r,法线垂直于镜面,这就是光的反射定律.若入射角i的度数为50 ,反射光线DC与镜面OB平行,则两镜面的夹角∠AOB的度数为 . 21.如图,已知AB∥CD,M、N是AB、CD之间的两点,且2∠M=3∠N,若∠B=45 ,∠C=20 ,则∠M的度数为 . 22.如图,纸片的边缘AB,CD互相平行,将纸片沿EF折叠,使得点B,D分别落在点B′,D′处.若∠1=80 ,则∠2的度数是 . 23.如图,AB∥CD,∠A=30 ,DA平分∠CDE,则∠DEB的度数为 . 24.如图,把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后,D、C分别落在D′,C′的位置上,ED′与BC交于G点,若∠EFG=56 ,则∠AEG= . 25.如图,已知长方形纸带ABCD,将纸带沿EF折叠后,点C,D分别落在点H,G的位置,GH与BC交于点M,如图2,再将三角形MHF沿BC折叠,点H落在点N的位置.若∠DEF=72 ,则∠GMN= . 26.如图是一种躺椅及其简化结构示意图,扶手AB与底座CD都平行于地面,靠背DM与支架OE平行,前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D,AB与DM交于点N,当前支架OE与后支架OF正好垂直,∠ODC=32 时,人躺着最舒服,则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM= . 27.如图,把装有水的大水槽放在水平桌面上,水面EF与槽底HG平行,一束激光AC从空气斜射入水,入射光线AB在水面EF的点B处出现偏折,这种现象在物理上称为光的折射.若∠ABE=45 ,∠CBD=19 ,则∠BDH的度数为 . 28.如图,AB∥CD,EF与AB,CD交于点G,H,GM平分∠FGB,∠3=60 ,求∠1的度数. 请将下面的推理过程补充完整,并在括号内注明理由. 解:因为EF与CD交于点H( ), 所以∠3=∠4( ). 因为∠3=60 (已知), 所以∠4=60 ( ). 因为AB∥CD(已知), 所以∠4+∠FGB=180 ( ), 所以∠FGB= . 因为GM平分∠FGB(已知), 所以 = ( ). 29.如图,EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70 .求∠AGD的度数. 30.已知:如图,EF∥CD,∠1+∠2=180 . (1)判断GD与CA的位置关系,并说明理由. (2)若CD平分∠ACB,DG平分∠CDB,且∠A=40 ,求∠ACB的度数. 31.【课题学习】平行线的“等角转化”. 如图1,已知点A是BC外一点,连接AB,AC.求∠BAC+∠B+∠C的度数. 解:过点A作ED∥BC, ∴∠B= ,∠C= , 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180 . ∴∠B+∠BAC+∠C= . 【问题解决】(1)阅读并补全上述推理过程. 【解题反思】从上面的推理过程中,我们发现平行线具有“等角转化”的功能,将∠BAC,∠B,∠C“凑”在一起,得出角之间的关系,使问题得以解决. 【方法运用】(2)如图2,已知AB∥CD,BE、CE交于点E,∠BEC=80 ,求∠B−∠C的度数. (3)如图3,若AB∥CD,点P在AB,CD外部,请直接写出∠B,∠D,∠BPD之间的关系. 32.经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路.已知AB∥CD,点E,F分别在直线AB,CD上,点M在AB,CD之间. (1)如图1,过点M作MP∥AB,利用平行线的性质可以得出∠1,∠2,∠EMF之间的数量关系为 . (2)①如图2,若∠1=30 ,∠2:∠3=1:2,试判断ME与MF的位置关系,并说明理由; ②如图3,若∠1=30 ,点F在点E的右侧,N为直线CD下方一点,EM平分∠AEN,FC平分∠MFN,求∠EMF+∠ENF的大小. 题型2 平行线的判定与性质 【知识点的认识】 (1)平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系. (2)应用平行线的判定和性质定理时,一定要弄清题设和结论,切莫混淆. (3)平行线的判定与性质的联系与区别 区别:性质由形到数,用于推导角的关系并计算;判定由数到形,用于判定两直线平行. 联系:性质与判定的已知和结论正好相反,都是角的关系与平行线相关. (4)辅助线规律,经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线,构造出三类角. 33.如图所示,小华借助直尺和三角板,根据“一重合、二紧靠、三移动、四画线”的步骤完成了“过直线AB外一点P画直线CD∥AB”,其中依据的数学原理是( ) A.内错角相等,两直线平行 B.同位角相等,两直线平行 C.两直线平行,同位角相等 D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 34.如图,若∠B+∠BAD=180 ,则下列结论正确的是( ) A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.∠D+∠BAD=180 D.∠B=∠DCE 35.在学习了平行线的性质与判定后,数学活动小组的同学们对小学学过的光线的折射现象做了如下实验:如图,光线EF从液体中射向空气时会发生折射,光线变成FH,点G在射线EF上,烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行.已知∠GFH=40 ,∠CEF=120 ,则∠HFB 的度数为( ) A.10 B.20 C.40 D.50 36.将一副三角板按如图放置,∠BAC=∠DAE=90 ,∠B=45 ,∠E=60 ,则:①∠1=∠3;②∠CAD+∠2=180 ;③如果∠2=30 ,则有AC∥DE;④如果∠2=45 ,则有BC∥AD.上述结论中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 37.如图,将一副三角尺的直角顶点重合放置则下列结论不正确的是( ) A.若∠2=30 .则AC∥DE B.若BC∥AD,则∠2=45 C.∠BAE+∠CAD=180 D.若∠CAD=140 ,则∠4=∠C 38.如图,AB⊥BC,AE平分∠BAD交BC于点E,AE⊥DE,∠1+∠2=90 ,M,N分别是BA,CD延长线上的点,∠EAM和∠EDN的平分线交于点F.下列结论:①AB∥CD;②∠AEB+∠ADC=180 ;③DE平分∠ADC;④∠F为定值,其中结论正确的有( ) A.①④ B.①②④ C.①②③ D.①③④ 39.如图a∥b,c与a相交,d与b相交,下列说法: ①若∠1=∠2,则∠3=∠4; ②若∠1+∠4=180 ,则c∥d; ③∠4﹣∠2=∠3﹣∠1; ④∠1+∠2+∠3+∠4=360 ,正确的有( ) A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③ 40.在综合与实践课上,同学们以“一副直角三角板和两条平行线”为主题开展活动,把一副直角三角板如图摆放,已知l1∥l2,∠ACD=60 ,∠1= (0< <45),则下列结论:①BC⊥DE;②AB∥ED;③∠2=(45+ ) ;④当 =15时,AC平分∠MAB.其中正确的结论个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 41.我市为了方便市民绿色出行,推出了共享单车服务.图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图,图②是其示意图,其中AB,CD都与地面l平行,∠BCD=60 ,∠BAC=50 ,当∠MAC为( )度时,AM∥BE. A.15 B.65 C.70 D.115 42.如图,将长方形纸片ABCD沿着直线EF折叠后,点A,B分别落在点A′,B′的位置上,再沿着线段AD折叠后,A′,B′点分别落在点M,N的位置上,已知∠CFG=70 ,则∠FEM的度数是( ) A.14 B.15 C.16 D.17 43.下列说法中,正确的是( ) A.过直线外一点作直线的垂线段,叫做点到直线的距离 B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C.两条直线被第三条直线所截,内错角相等 D.平行于同一条直线的两条直线平行 44.月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的.当太阳光线垂直照射在太阳光板上时,接收的太阳光能最多,某一时刻太阳光的照射角度如图所示,如果要使此时接收的太阳光能最多,那么将太阳光板绕支点P顺时针旋转的最小角度为( ) A.40 B.45 C.50 D.60 45.在中国传统建筑中,“四梁八柱”不仅是一个工艺术语,更是一种独具东方智慧的结构美学.它不仅承载了建筑物的重量,更呈现了生活中的数学之美.其中房梁中的一些图形可抽象出如图所示的几何模型.在三角形ABC中,点D、E、F分别在边AC,AB,BC上,DF∥AB,∠B=∠EDF,则下列结论错误的是( ) A.DE∥BC B.∠BFD=∠BED C.∠B+∠CDE=180 D.∠AED=∠DFC 46.如图,AB与HN交于点E,点G在直线CD上,∠FMA=∠FGC,∠FEN=3∠NEB,∠FGH=3∠HGC.下列四个结论: ①AB∥CD; ②∠FEN+∠FGH=3∠H; ③∠H+∠F=∠FGD; ④4∠H﹣∠F=180 . 其中正确的结论有( )个. A.1 B.2 C.3 D.4 47.如图所示,小亮借助直尺和三角板,根据“一重合、二靠紧、三移动、四画线”的步骤完成了“过直线AB外一点P画直线CD∥AB”.其依据是( ) A.同位角相等,两直线平行 B.两直线平行,内错角相等 C.同旁内角互补,两直线平行 D.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 48.将一副三角板按如图放置,则下列结论①∠1=∠3;②如果∠1=30 ,则有AC∥DE;③如果∠2=45 ,则有BC∥AD;④如果∠4=∠C,必有∠2=30 ,其中正确的有( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 49.已知AB∥CD,点E在AB上,点F在DC上,点G为射线EF上一点. (1)【基础问题】如图1,试说明:∠AGD=∠A+∠D.(完成下面的填空部分) 证明:过点G作直线MN∥AB, ∵AB∥CD, ∴① ∥CD. ∵MN∥AB, ∴② =∠MGA. ∵MN∥CD, ∴∠D=③ (④ ). ∴∠AGD=∠AGM+∠AGM=∠A+∠D. (2)【类比探究】如图2,当点G在线段EF延长线上时,请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系,并说明理由. (3)【应用拓展】如图3,点E与点A重合,AH平分∠GAB,且∠HDF=22 ,∠AFC=72 ,那么∠H的度数为 . 50.【感知】如图①,若AB∥CD,AM平分∠BAC,求证:∠CAM=∠CMA. 请将下列证明过程补充完整: 证明:∵AM平分∠BAC,(已知), ∴∠CAM= (角平分线的定义). ∵AB∥CD(已知), ∴∠CMA= (两直线平行,内错角相等). ∴∠CAM=∠CMA(等量代换). 【探索】如图②,AM平分∠BAC,∠CAM=∠CMA,点E在射线AB上,点F在线段CM上,若∠AEF=∠C,求证:EF∥AC. 【拓展】如图③,将【探索】中的点F移动到线段CM的延长线上,其他条件不变,若∠CAM=3∠MEF=57 ,请直接写出∠AME的度数. 51.如图,点F在线段AB上,点E,G在线段CD上,FG∥AE,∠1=∠2. (1)请判断AB与CD的位置关系,并说明理由; (2)若BC平分∠ABD,∠D=112 ,求∠C的度数. 52.如图,已知∠1=∠BDC,∠2+∠3=180 . (1)求证:AD∥CE; (2)若DA平分∠BDC,CE⊥AE于点E,∠1=64 ,试求∠FAB的度数. 53.如图:BD平分∠ABC,F在AB上,G在AC上,FC与BD相交于点H.∠GFH+∠BHC=180 ,求证:∠1=∠2. 54.如图,已知∠1=∠2,∠C=∠D. 求证:∠A=∠F. 证明:∵∠1=∠2 (已知),∠1=∠3( ), ∴∠2=∠3( ). ∴BD∥CE (同位角相等,两直线平行). ∴∠4= (两直线平行,同位角相等). ∵∠C=∠D(已知), ∴ =∠C(等量代换). ∴DF∥AC( ). ∴∠A=∠F( ). 55.按要求完成下列说明过程. 已知:如图,在三角形ABC中,CD⊥AB于点D,E是AC上一点,且∠1+∠2=90 . 请说明:DE∥BC. 解:∵CD⊥AB( ), ∴∠ADC= ( ). ∴∠1+ =90 . ∵∠1+∠2=90 (已知), ∴ ∠CDE = ( ). ∴DE∥BC( ). 56.(1)如图,若AB∥DE,∠B=135 ,∠D=145 ,你能求出∠BCD的度数吗? (2)在AB∥DE的条件下,你能得出∠B、∠BCD、∠D之间的数量关系吗?并说明理由. 57.在下列解答中,填空(理由或数学式). 如图,已知直线b∥c,∠1=116 ,∠3=∠4. (1)求∠AOB的度数. (2)求证:直线a∥c. 解:(1)∵∠1=116 (已知),且∠1=∠2 ( ), ∴∠2=116 ( ). ∵b∥c(已知), ∴∠AOB=∠2 ( ). ∴∠AOB= (等量代换). 证明:(2)∵∠3=∠4 ( ), ∴a∥b ( ). 又∵b∥c(已知), ∴a∥c ( ). 58.如图,如图,在 ABC中,点D,E在AB边上,点F在AC边上,点H在BC边上,DH∥AC,且∠1+∠2=180 . (1)求证:EF∥DC; (2)若CD平分∠ACB,∠BHD=64 ,求∠2的度数. 59.综合与实践 问题背景:如图,这是我省北部部分地区使用的太阳能烧水器,其原理是凹面镜的聚光技术.如图1,这是烧水器的截面示意图,平行的太阳光线AB和CD经过凹面镜的反射后,反射光线BE,DF交于一点P. 探索发现: (1)如图1,太阳光线AB,CD平行,利用平行线的性质,把∠BPD分成两部分进行研究,则∠BPD,∠ABP和∠CDP之间存在的数量关系是 . (2)如图2,AB∥CD,点M,N分别在AB,CD上,点P是AB,CD之间,且位于MN右侧的任意一点,连接PM,PN,试探究∠MPN,∠AMP与∠CNP之间的数量关系,并写出解答过程. 拓展延伸: (3)如图3,在(2)的条件下,在AB,CD之间,MN左侧再取一点Q,连接QM,QN.若使∠AMQ∠AMP,∠CNQ∠CNP,求∠P与∠Q之间的数量关系. 60.读懂下面的推理过程,并填空(理由或数学式). 中国汉字博大精深,方块文字智慧灵秀,奥妙无穷.如图1是一个“互”字,如图2是由图1抽象出的几何图形,其中AB∥CD,点E,M,F在同一直线上,点G,H,N在同一条直线上,且∠AEF=∠GHD,MG∥FN.求证:∠EFN=∠G. 证明:如图2,延长EF交CD于点P. ∵AB∥CD(已知), ∴∠AEF=∠EPD( ). 又∵∠AEF=∠GHD( ), ∴∠EPD= (等量代换). ∴EP∥GH( ). ∴∠EFN+ =180 (两直线平行,同旁内角互补). 又∵ (已知), ∴∠FNG+∠G=180 ( ). ∴∠EFN=∠G( ). 学科网(北京)股份有限公司 $ 第10章 10.3 平行线的性质 题型1 平行线的性质 题型2 平行线的判定与性质 ▉题型1 平行线的性质 【知识点的认识】 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 1．如图，直线a∥b，三角板的直角顶点放在直线b上，两直角边与直线a相交，如果∠1＝60°，那么∠2等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】A 【解答】解：已知直线a∥b， ∴∠3＝∠1＝60°（两直线平行，同位角相等）， ∠4＝90°（已知）， ∠2+∠3+∠4＝180°（已知直线）， ∴∠2＝180°﹣60°﹣90°＝30°． 故选：A． 2．如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A′，D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（　　） A．60° B．65° C．72° D．75° 【答案】C 【解答】解：∵AB∥DC， ∴∠1＝∠AEF， 由折叠的性质得出∠AEF＝∠FEA′， ∵∠1＝2∠2， ∴∠AEF＝∠FEA′＝2∠2， ∵∠AEF+∠FEA′+∠2＝180°， ∴2∠2+2∠2+∠2＝180°， 解得∠2＝36°． ∴∠AEF＝72°． 故选：C． 3．如图，l1∥l2，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【答案】B 【解答】解：∵l1∥l2， ∴∠2+∠1+∠3＝180°， ∵∠1＝30°，∠2＝50°， ∴∠3＝100°． 故选：B． 4．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝60°，则∠2的大小为（　　） A．60° B．35° C．30° D．45° 【答案】C 【解答】解：如图， 由直尺两边平行，可得：∠1＝∠3＝60°， ∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣60°＝30°， 故选：C． 5．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝133°，则∠ADE的度数为（　　） A．57° B．66° C．67° D．74° 【答案】B 【解答】解：∵AB∥DE， ∴∠BCE＝∠DEC， ∵∠BCE＝67°， ∴∠DEC＝67°， ∵∠CEF＝133°， ∴∠DEF＝∠CEF﹣∠DEC＝133°﹣67°＝66°， ∵AD∥EF， ∴∠ADE＝∠DEF＝66°， 故选：B． 6．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝35°，则∠2＝（　　） A．105° B．145° C．135° D．150° 【答案】B 【解答】解：如图所示，延长AB与直线l2交于点E， ∵l1∥l2，∠1＝35°， ∴∠1＝∠AED＝35°（两直线平行，内错角相等）． ∵∠α＝∠β， ∴AE∥CD（内错角相等，两直线平行）， ∴∠AED+∠2＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠AED＝180°﹣35°＝145°． 故选：B． 7．一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若∠α＝20°，则∠β的度数为（　　） A．45° B．40° C．25° D．20° 【答案】C 【解答】解：如图， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵CM∥BN， ∴∠MCB＝∠α＝20°， ∴∠β＝∠ACB﹣∠MCB＝25°， 故选：C． 8．如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上．已知∠HFB＝18°，∠FED＝56°，则∠GFH的度数为（　　） A．34° B．36° C．38° D．56° 【答案】C 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BFG＝∠FED＝56°， ∵∠HFB＝18°， ∴∠GFH＝∠BFG﹣∠HFB＝38°． 故选：C． 9．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：延长FG，交CH于I． ∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH， ∵FD∥EH， ∴∠EHC＝∠D， ∵FE平分∠AFG， ∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC， ∴3∠EHC＝90°， ∴∠EHC＝30°， ∴∠D＝30°， ∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°， ∴①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°正确， ∵FE平分∠AFG， ∴∠AFI＝30°×2＝60°， ∵∠BFD＝30°， ∴∠GFD＝90°， ∴∠GFH+∠HFD＝90°， 可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可， ∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确． 故选B． 10．下列结论错误的是（　　） A．垂直于同一直线的两条直线互相平行 B．两直线平行，同旁内角互补 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 【答案】A 【解答】解：A、同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，故此选项错误，符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，正确，不合题意； C、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确，不合题意； D、同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，正确，不合题意； 故选：A． 11．将一个直角三角板和一把直尺按如图所示方式摆放（60°角的顶点在直尺的边上），若∠1＝54°，则∠2＝（　　） A．144° B．154° C．134° D．126° 【答案】A 【解答】解：如图， 由题意，知a∥b，∠4＝90°， ∵a∥b，∠1＝54°， ∴∠3＝∠1＝54°（两直线平行，同位角相等）， ∵a∥b，∠4＝90°， ∴∠2＝∠3+∠4＝54°+90°＝144°， 故选：A． 12．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为（　　） A．∠1+∠2﹣∠3 B．∠1+∠3﹣∠2 C．180°+∠3﹣∠1﹣∠2 D．∠2+∠3﹣∠1﹣180° 【答案】D 【解答】解：过点E作EG∥AB，过点F作FH∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EG∥FH， ∴∠1＝∠AEG， ∴∠GEF＝∠2﹣∠1， ∵EG∥FH， ∴∠EFH＝180°﹣∠GEF＝180°﹣（∠2﹣∠1）＝180°﹣∠2+∠1， ∴∠CFH＝∠3﹣∠EFH＝∠3﹣（180°﹣∠2+∠1）＝∠3+∠2﹣∠1﹣180°， ∵FH∥CD， ∴∠4＝∠3+∠2﹣∠1﹣180°， 故选：D． 13．如图是可调节台灯及其示意图．固定支撑杆AO垂直底座MN于点O，现调节台灯使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝158°，则∠DCE＝（　　） A．58° B．68° C．32° D．22° 【答案】B 【解答】解：过点A作AG∥MN，过点B作BH∥CD， ∵CD∥MN， ∴AG∥MN∥BH∥CD， ∵OA⊥MN， ∴AG⊥OA， ∵∠BAO＝158°， ∴∠BAG＝∠BAO﹣∠OAG＝68°， ∴∠ABH＝∠BAG＝68°， 由题意可得：∠ABC+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCD， ∴∠ABH+∠CBH+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCE+∠DCE， ∴∠DCE＝∠ABH＝68°． 故选：B． 14．在一个由工程车搭建的创意展览场景中，小明站在工程车旁边观察，发现从某个角度看，工作篮底部AB与支撑平台CD平行．若∠1＝30°，∠3＝150°，则∠2的度数为（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 【答案】A 【解答】解：如图所示，过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角∠4和∠5， ∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l∥支撑平台， ∴直线l∥支撑平台∥工作篮底部， ∴∠1＝∠4＝30°，∠5+∠3＝180°， ∴∠5＝180°﹣∠3＝180°﹣150°＝30°， ∴∠2＝∠4+∠5＝60°， 故选：A． 15．如图，已知CD∥AB，MN⊥CD于点N，若∠M＝32°，则∠1的大小是（　　） A．32° B．42° C．58° D．68° 【答案】C 【解答】解：如图，∵MN⊥CD， ∴∠MNE＝90°， ∵∠M＝32°， ∴∠MEN＝58°， ∵CD∥AB， ∴∠1＝∠MEN＝58°， 故选：C． 16．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为（　　） A．130° B．140° C．150° D．160° 【答案】D 【解答】解：如图所示，过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠（2分）成两个角∠4和∠5， ∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l∥支撑平台， ∴直线l∥支撑平台∥工作篮底部， ∴∠1＝∠4＝30°、∠5+∠3＝180°， ∵∠4+∠5＝∠2＝50°， ∴∠5＝50°﹣∠4＝20°， ∴∠3＝180°﹣∠5＝160°， 故选：D． 17．如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB∥OA，∠CBO＝122°，∠BON＝90°，则入射角∠AON的度数为（　　） A．22° B．32° C．35° D．122° 【答案】B 【解答】解：∵CB∥OA， ∴∠CBO＝∠BOA＝122°， ∵∠BON＝90°， ∴∠AON＝122°﹣90°＝32°， 故选：B． 18．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝100°，则∠2的度数为（　　） A．60° B．70° C．80° D．100° 【答案】C 【解答】解：如图， ∵两条入射光线平行， ∴∠1＝∠3＝100°， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝80°， 故选：C． 19．如图，AB∥CD，∠A＝70°，则∠1的度数是（　　） A．130° B．110° C．100° D．70° 【答案】B 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠2＝∠A． ∵∠A＝70°， ∴∠2＝70°． ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠2＝110°． 故选：B． 20．如图，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角i等于反射角r，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角i的度数为50°，反射光线DC与镜面OB平行，则两镜面的夹角∠AOB的度数为　40　 °． 【答案】40． 【解答】解：如图， ∵DK⊥OA，∠i＝50°， ∴∠i＝∠r＝50°，∠ADK＝∠1+∠r＝90°， ∴∠1＝40°， ∵CD∥OB， ∴∠AOB＝∠1＝40°， 故答案为：40． 21．如图，已知AB∥CD，M、N是AB、CD之间的两点，且2∠M＝3∠N，若∠B＝45°，∠C＝20°，则∠M的度数为 　75°　 ． 【答案】75． 【解答】解：过点M作ME∥AB，过点N作NF∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥ME∥FN∥CD， 设∠EMN＝x， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠BME＝45°， ∵ME∥FN， ∴∠EMN＝∠MNF＝x， ∵FN∥CD， ∴∠DCN＝∠FNC＝20°， ∵2∠BMN＝3∠MNC， ∴2（45°+x）＝3（x+20°）， 解得：x＝30， ∴∠EMN＝30°， ∴∠BMN＝∠BME+∠EMN＝75°， 故答案为：75°． 22．如图，纸片的边缘AB，CD互相平行，将纸片沿EF折叠，使得点B，D分别落在点B′，D′处．若∠1＝80°，则∠2的度数是 　50°　 ． 【答案】50°． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠AEB′＝80°， ∴∠BEB′＝180°﹣∠AEB′＝100°， 由折叠得： ∠2＝∠FEB′∠BEB′＝50°， 故答案为：50°． 23．如图，AB∥CD，∠A＝30°，DA平分∠CDE，则∠DEB的度数为 　60°　 ． 【答案】60°． 【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝30°， ∴∠CDA＝∠A＝30° ∵DA平分∠CDE， ∴∠CDE＝2∠CDA＝60°， 又∵AB∥CD， ∴∠DEB＝∠CDE＝60°， 故答案为：60°． 24．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC交于G点，若∠EFG＝56°，则∠AEG＝　68°　 ． 【答案】68° 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠GFE＝56°， 由折叠可得，∠GEF＝∠DEF＝56°， ∴∠DEG＝112°， ∴∠AEG＝180°﹣112°＝68°． 故答案为：68° 25．如图，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C，D分别落在点H，G的位置，GH与BC交于点M，如图2，再将三角形MHF沿BC折叠，点H落在点N的位置．若∠DEF＝72°，则∠GMN＝　72°　 ． 【答案】72°． 【解答】解：∵AD∥CB， ∴∠EFC+∠DEF＝180°，∠EFB＝∠DEF， 即∠EFC＝180°﹣72°＝108°，∠EFB＝72°， ∴∠BFH＝108°﹣72°＝36°． ∵∠H＝∠D＝90°， ∴∠HMF＝180°﹣90°﹣36°＝54°． 由折叠可得：∠NMF＝∠HMF＝54°， ∴∠GMN＝72°． 故答案为：72°． 26．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM＝　122°　 ． 【答案】122°． 【解答】解：∵AB∥CD，∠ODC＝32°， ∴∠BOD＝∠ODC＝32°． ∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝90°， ∴∠EOB＝90°+32°＝122°． ∵OE∥DM， ∠ANM＝∠EOB＝122°． 故答案为：122°． 27．如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面EF与槽底HG平行，一束激光AC从空气斜射入水，入射光线AB在水面EF的点B处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若∠ABE＝45°，∠CBD＝19°，则∠BDH的度数为　64　 °． 【答案】64 【解答】解：由对顶角相等可知：∠FBC＝∠ABE＝45°， ∵∠CBD＝19°， ∴∠FBD＝45°+19°＝64°， 由题意可知，EF∥GH， ∴∠BDH＝∠FBD＝64°， 故答案为：64． 28．如图，AB∥CD，EF与AB，CD交于点G，H，GM平分∠FGB，∠3＝60°，求∠1的度数． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：因为EF与CD交于点H（　已知　 ）， 所以∠3＝∠4（　对顶角相等　 ）． 因为∠3＝60°（已知）， 所以∠4＝60°（　等量代换　 ）． 因为AB∥CD（已知）， 所以∠4+∠FGB＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　 ）， 所以∠FGB＝　120°　 ． 因为GM平分∠FGB（已知）， 所以　∠FGB ＝　60°　 （　角平分线的定义　 ）． 【答案】已知；对顶角相等；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；120°；∠FGB；60°；角平分线的定义． 【解答】解：将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 因为EF与CD交于点H（已知）， 所以∠3＝∠4（对顶角相等）． 因为∠3＝60°（已知）， 所以∠4＝60°（等量代换）． 因为AB∥CD（已知）， 所以∠4+∠FGB＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 所以∠FGB＝120°． 因为GM平分∠FGB（已知）， 所以（角平分线的定义）， 故答案为：已知；对顶角相等；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；120°；∠FGB；60°；角平分线的定义． 29．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°．求∠AGD的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵EF∥AD， ∴∠2＝∠3， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3 ∴DG∥AB， ∴∠BAC+∠AGD＝180°， ∴∠AGD＝110° 30．已知：如图，EF∥CD，∠1+∠2＝180°． （1）判断GD与CA的位置关系，并说明理由． （2）若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，且∠A＝40°，求∠ACB的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）AC∥DG． 理由：∵EF∥CD， ∴∠1+∠ACD＝180°， 又∵∠1+∠2＝180°， ∴∠ACD＝∠2， ∴AC∥DG． （2）∵AC∥DG， ∴∠BDG＝∠A＝40°， ∵DG平分∠CDB， ∴∠CDB＝2∠BDG＝80°， ∵∠BDC是△ACD的外角， ∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝80°﹣40°＝40°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠ACD＝80°． 31．【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数． 解：过点A作ED∥BC， ∴∠B＝　∠EAB ，∠C＝　∠DAC ， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°． ∴∠B+∠BAC+∠C＝　180°　 ． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知AB∥CD，BE、CE交于点E，∠BEC＝80°，求∠B−∠C的度数． （3）如图3，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，请直接写出∠B，∠D，∠BPD之间的关系． 【答案】（1）∠EAB；∠DAC；180°； （2）∠B﹣∠C＝100°； （3）∠BPD＝∠B﹣∠D，理由见解答． 【解答】解：（1）过点A作ED∥BC， ∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°， 故答案为：∠EAB；∠DAC；180°； （2）过点E作EF∥AB， ∴∠B+∠BEF＝180°， ∴∠BEF＝180°﹣∠B， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FEC＝∠C， ∵∠BEC＝80°， ∴∠BEF+∠FEC＝80°， ∴180°﹣∠B+∠C＝80°， ∴∠B﹣∠C＝100°； （3）∠BPD＝∠B﹣∠D， 理由：过点P作PE∥CD， ∴∠D＝∠DPE， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE， ∴∠B＝∠BPE， ∵∠BPD＝∠BPE﹣∠DPE， ∴∠BPD＝∠B﹣∠D． 32．经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点M在AB，CD之间． （1）如图1，过点M作MP∥AB，利用平行线的性质可以得出∠1，∠2，∠EMF之间的数量关系为 　∠1+∠2＝∠EMF ． （2）①如图2，若∠1＝30°，∠2：∠3＝1：2，试判断ME与MF的位置关系，并说明理由； ②如图3，若∠1＝30°，点F在点E的右侧，N为直线CD下方一点，EM平分∠AEN，FC平分∠MFN，求∠EMF+∠ENF的大小． 【答案】（1）∠1+∠2＝∠EMF；（2）①ME⊥MF，理由见解析；②90°． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴PM∥CD， ∴∠1＝∠PME，∠2＝∠PMF， ∴∠1+∠2＝∠PME+∠PMF， ∴∠1+∠2＝∠EMF， ∴∠1，∠2，∠EMF 之间的数量关系为：∠1+∠2＝∠EMF， 故答案为：∠1+∠2＝∠EMF； （2）①ME⊥MF，理由如下： ∵∠2：∠3＝1：2，∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝60°， 由（1）知：∠M＝∠2+∠1＝60°+30°＝90°， ∴ME⊥MF； ②由（1）得：∠M＝∠1+∠2＝30°+∠2， ∵ME平分∠AEN， ∴∠AEN＝2∠1＝60°， ∵AB∥CD， ∴∠EKD＝∠AEN＝60°， ∴∠N＝60°﹣∠CFN， ∵FC平分∠MFN， ∴∠2＝∠CFN， ∴∠EMF+∠ENF＝90°． ▉题型2 平行线的判定与性质 【知识点的认识】 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 33．如图所示，小华借助直尺和三角板，根据“一重合、二紧靠、三移动、四画线”的步骤完成了“过直线AB外一点P画直线CD∥AB”，其中依据的数学原理是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【解答】解：由作图可得：画图的依据是：同位角相等，两直线平行． 故选：B． 34．如图，若∠B+∠BAD＝180°，则下列结论正确的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠D+∠BAD＝180° D．∠B＝∠DCE 【答案】B 【解答】解：如图所示，∠B+∠BAD＝180°， ∴AD∥BC， ∴∠3＝∠4， A、由于AB与CD不一定平行，则∠1＝∠2不一定正确，不符合题意； B、∠3＝∠4正确，符合题意； C、由于AB与CD不一定平行，则∠D+∠BAD＝180°不一定正确，不符合题意； D、由于AB与CD不一定平行，则∠B＝∠DCE不一定正确，不符合题意； 故选：B． 35．在学习了平行线的性质与判定后，数学活动小组的同学们对小学学过的光线的折射现象做了如下实验：如图，光线EF从液体中射向空气时会发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行．已知∠GFH＝40°，∠CEF＝120°，则∠HFB 的度数为（　　） A．10° B．20° C．40° D．50° 【答案】B 【解答】解：∵AB∥CD，∠CEF＝120°， ∴∠FE＝∠GFB＝60°， ∵∠HFG＝40°， ∴∠BFH＝∠GFB＝∠HFG＝20°， 故选：B． 36．将一副三角板按如图放置，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝45°，∠E＝60°，则：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝30°，则有AC∥DE；④如果∠2＝45°，则有BC∥AD．上述结论中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：由题意可知，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠1+∠2＝∠3+∠2＝90°， ∴∠1＝∠3，所以结论①正确； ∵∠CAD＝∠1+∠2+∠3， ∴∠CAD+∠2＝∠1+∠2+∠3+∠2＝180°，所以结论②正确； 如果∠2＝30°，则∠1＝90°﹣∠2＝60°＝∠E，故AC∥DE，所以结论③正确； 如果∠2＝45°，则∠3＝90°﹣∠2＝45°＝∠B，故BC∥AD，所以结论④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个，所以只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 37．如图，将一副三角尺的直角顶点重合放置则下列结论不正确的是（　　） A．若∠2＝30°．则AC∥DE B．若BC∥AD，则∠2＝45° C．∠BAE+∠CAD＝180° D．若∠CAD＝140°，则∠4＝∠C 【答案】D 【解答】解：由题意，知∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠C＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°， A．若∠2＝30°， ∴∠1＝∠BAC﹣∠2＝60°， ∴∠1＝∠E， ∴AC∥DE，所以此选项正确，不符合题意； B．若BC∥AD， ∴∠3＝∠B＝45°， ∴∠2＝∠DAE﹣∠3＝45°，所以此选项正确，不符合题意； C．∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°， ∴∠BAE+∠CAD＝∠2+∠1+∠2+∠3＝90°+90°＝180°，所以此选项正确，不符合题意； D．若∠CAD＝140°，∠D＝30°， ∴∠CAD+∠D＝170°． ∴AC和DE不平行， ∴∠4≠∠C，所以此选项错误，符合题意． 故选：D． 38．如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值，其中结论正确的有（　　） A．①④ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【解答】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE， ∴∠1+∠AEB＝90°＝∠AEB+∠DEC， ∴∠1＝∠DEC， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠DEC+∠2＝90°， ∴∠C＝90°， ∴∠B+∠C＝180°， ∴AB∥CD，①正确，故符合要求； ∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， 又∵∠AEB不一定等于∠BAD， ∴∠AEB+∠ADC不一定等于180°，②错误，故不符合要求； ∵AE平分∠BAD交BC于点E， ∴， ∵∠EAD+∠EDA＝90°，∠1+∠2＝90°， ∴∠EDA＝∠2， ∴DE平分∠ADC；③正确，故符合要求； ∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F， ∴，， ∵∠1+∠2＝90°，∠1+∠EAM＝180°，∠2+∠EDN＝180°， ∴∠EAM+∠EDN＝270°， ∴， ∴∠F＝360°﹣∠EAF﹣∠EDF﹣∠AED＝135°，为定值；④正确，故符合要求； 故选：D． 39．如图a∥b，c与a相交，d与b相交，下列说法： ①若∠1＝∠2，则∠3＝∠4； ②若∠1+∠4＝180°，则c∥d； ③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1； ④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正确的有（　　） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③ 【答案】B 【解答】解： ①若∠1＝∠2，则a∥e∥b，则∠3＝∠4，故此说法正确； ②若∠1+∠4＝180°，由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，则∠1＝∠5，则c∥d；故此说法正确； ③由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，由∠2+∠3+∠5+180°﹣∠1＝360°得，∠2+∠3+180°﹣∠4+180°﹣∠1＝360°，则∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1，故此说法正确； ④由③得，只有∠1+∠4＝∠2+∠3＝180°时，∠1+∠2+∠3+∠4＝360°．故此说法错误． 故选：B． 40．在综合与实践课上，同学们以“一副直角三角板和两条平行线”为主题开展活动，把一副直角三角板如图摆放，已知l1∥l2，∠ACD＝60°，∠1＝α°（0＜α＜45），则下列结论：①BC⊥DE；②AB∥ED；③∠2＝（45+α）°；④当α＝15时，AC平分∠MAB．其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：∵∠ACB＝30°，∠ACD＝60°， ∴∠BCD＝∠BCA+∠ACD＝90°， ∴BC⊥DE，故①正确； ∵∠B＝90° ∴∠B+∠BCD＝90°， ∴AB∥ED，故②正确； 延长AB交直线l2于点G，如图， ∵∠1＝α°，AB∥ED， ∴∠G＝∠DEN＝∠DEF+∠1＝（45+α）°， ∵l1∥l2， ∴∠2＝∠G＝（45+α）°，故③正确； 当α＝15°时，∠2＝（45+15）°＝60°， ∴∠CAM＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣60°﹣60°＝60°＝∠BAC ∴AC平分∠MAB，故④正确， 故选：D． 41．我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（　　）度时，AM∥BE． A．15 B．65 C．70 D．115 【答案】C 【解答】解：∵AB∥l，CD∥l， ∴AB∥CD， ∴∠BCD＝∠ABC＝60°， ∵∠BAC＝50°， ∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝70°， ∴当∠MAC＝∠ACB＝70°时，AM∥BE， 故选：C． 42．如图，将长方形纸片ABCD沿着直线EF折叠后，点A，B分别落在点A′，B′的位置上，再沿着线段AD折叠后，A′，B′点分别落在点M，N的位置上，已知∠CFG＝70°，则∠FEM的度数是（　　） A．14° B．15° C．16° D．17° 【答案】B 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠CFG＝∠B′GD， ∵∠CFG＝70°， ∴∠B′GD＝70°， ∵A′E∥B′G， ∴∠A′EG＝∠B′GD＝70°， ∵沿着线段AD折叠后，A′，B′点分别落在点M，N的位置上， ∴∠MEG＝∠A′EG＝70°， ∵∠CFG＝70°， ∴∠GFB＝180°﹣∠CFG＝110°， ∵ABCD沿着直线EF折叠后，点A，B分别落在点A′，B′的位置上， ∴∠BFE＝∠EFG∠GFB＝55°， ∵AD∥BC， ∴∠GEF＝∠BFE＝55°， ∴∠FEM＝∠MEG﹣∠GEF＝70°﹣55°＝15°， 故选：B． 43．下列说法中，正确的是（　　） A．过直线外一点作直线的垂线段，叫做点到直线的距离 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【解答】解：A、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故A选项错误； B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故B选项错误； C、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故C选项错误； D、平行于同一条直线的两条直线平行，故D选项正确； 故选：D． 44．月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的．当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么将太阳光板绕支点P顺时针旋转的最小角度为（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 【答案】C 【解答】解：将太阳能板绕P点旋转到DE位置时，太阳光FB⊥DE、DC⊥DE， ∵DC∥FB， ∴∠DCB＝∠FBA＝40°， ∵∠DPC＝90°， ∴∠CPD＝90°﹣∠DCB＝50°， 故选：C． 45．在中国传统建筑中，“四梁八柱”不仅是一个工艺术语，更是一种独具东方智慧的结构美学．它不仅承载了建筑物的重量，更呈现了生活中的数学之美．其中房梁中的一些图形可抽象出如图所示的几何模型．在三角形ABC中，点D、E、F分别在边AC，AB，BC上，DF∥AB，∠B＝∠EDF，则下列结论错误的是（　　） A．DE∥BC B．∠BFD＝∠BED C．∠B+∠CDE＝180° D．∠AED＝∠DFC 【答案】C 【解答】解：∵DF∥AB， ∴∠B＝∠CFD， ∵∠B＝∠EDF， ∴∠CFD＝∠EDF， ∴DE∥BC，故A正确； ∵DF∥AB， ∴∠B+∠BFD＝180°， ∵DE∥BC， ∴∠B+∠BED＝180° ∴∠BFD＝∠BED，故B正确； ∵DF∥AB， ∴∠B＝∠CFD， ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠AED， ∴∠AED＝∠DFC，故D正确； 无法证明∠B+∠CDE＝180°，故C错误． 故选：C． 46．如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝3∠NEB，∠FGH＝3∠HGC．下列四个结论： ①AB∥CD； ②∠FEN+∠FGH＝3∠H； ③∠H+∠F＝∠FGD； ④4∠H﹣∠F＝180°． 其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：∵点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC， ∴AB∥CD， ∴结论①正确； AB∥CD，如图，过点F作FP∥AB，过点H作HQ∥AB， ∴FP∥AB∥HQ∥CD， 设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝3x，∠FGH＝3y， ∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y， ∴∠FEN+∠FGH＝3∠EHG， ∴结论②正确； ∴∠EFM＝∠GFP﹣∠EFP＝∠FGC﹣∠EFP ＝（∠CGH+∠HGF）﹣（180°﹣∠FEN﹣∠NEB） ＝y+3y﹣（180﹣3x﹣x） ＝4x+4y﹣180°， ∠EHG+∠EFG＝x+y+4x+4y﹣180°＝5x+5y﹣180°， ∵∠FGD＝180﹣4y， ∴∠EHG+∠EFG≠∠FGD， ∴结论③错误； ∵4∠EHG﹣∠EFM＝4（x+y）﹣（4x+4y﹣180°）＝180°， ∴结论④正确． 综上所述，正确的结论为①②④，有3个， 故选：C． 47．如图所示，小亮借助直尺和三角板，根据“一重合、二靠紧、三移动、四画线”的步骤完成了“过直线AB外一点P画直线CD∥AB”．其依据是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等 C．同旁内角互补，两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】A 【解答】解：根据作图过程可知： 画图的依据是：同位角相等，两直线平行． 故选：A． 48．将一副三角板按如图放置，则下列结论①∠1＝∠3；②如果∠1＝30°，则有AC∥DE；③如果∠2＝45°，则有BC∥AD；④如果∠4＝∠C，必有∠2＝30°，其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【解答】解：∵∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°， ∴∠1＝∠3，故①正确； ∵∠1＝30°， ∴∠CAD＝∠1+∠2+∠3＝120°， ∵∠D＝30， ∴∠CAD+∠D＝150， ∴不能判断AC∥DE，故②错误； ∵∠2＝45°， ∴∠3＝45°＝∠B， ∴BC∥AD．故③正确； ∵∠4＝∠C， ∴AC∥DE， ∴∠1＝∠E＝60°， ∴∠2＝90°﹣60°＝30°，故④正确． 故选：C． 49．已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点． （1）【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A+∠D．（完成下面的填空部分） 证明：过点G作直线MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴①MN ∥CD． ∵MN∥AB， ∴②　∠A ＝∠MGA． ∵MN∥CD， ∴∠D＝③　∠DGM （④　两直线平行，内错角相等　 ）． ∴∠AGD＝∠AGM+∠AGM＝∠A+∠D． （2）【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系，并说明理由． （3）【应用拓展】如图3，点E与点A重合，AH平分∠GAB，且∠HDF＝22°，∠AFC＝72°，那么∠H的度数为 　32°　 ． 【答案】（1）MN；∠A；∠DGM；两直线平行，内错角相等； （2）见解答； （3）32°． 【解答】解：（1）过点G作直线MN∥AB， 又∵AB∥CD， ∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∵MN∥AB， ∴∠A＝∠AGM（两直线平行，内错角相等）， ∵MN∥CD， ∴∠D＝∠DGM（两直线平行，内错角相等）， ∴∠AGD＝∠AGM+∠DGM＝∠A+∠D． 故答案为：MN；∠A；∠DGM；两直线平行，内错角相等． （2）如图所示，过点G作直线MN∥AB， 又∵AB∥CD， ∴MN∥CD， ∵MN∥AB， ∴∠A＝∠AGM， ∵MN∥CD， ∴∠D＝∠DGM， ∴∠AGD＝∠AGM﹣∠DGM＝∠A﹣∠D． （3）如图所示， ∵∠AFC＝72°； ∴∠GAB＝180°﹣72°＝108°， ∵AH平分∠GAB， ∴∠HAB54°， ∵DC∥AB， ∴∠HQC＝54°， ∴∠H＝∠HQC﹣∠HDF＝54°﹣22°＝32°． 50．【感知】如图①，若AB∥CD，AM平分∠BAC，求证：∠CAM＝∠CMA． 请将下列证明过程补充完整： 证明：∵AM平分∠BAC，（已知）， ∴∠CAM＝　∠BAM （角平分线的定义）． ∵AB∥CD（已知）， ∴∠CMA＝　∠BAM （两直线平行，内错角相等）． ∴∠CAM＝∠CMA（等量代换）． 【探索】如图②，AM平分∠BAC，∠CAM＝∠CMA，点E在射线AB上，点F在线段CM上，若∠AEF＝∠C，求证：EF∥AC． 【拓展】如图③，将【探索】中的点F移动到线段CM的延长线上，其他条件不变，若∠CAM＝3∠MEF＝57°，请直接写出∠AME的度数． 【答案】（1）∠BAM，∠BAM；（2）证明见解析；（3）76°． 【解答】（1）证明：∵AM平分∠BAC，（已知）， ∴∠CAM＝∠BAM（角平分线的定义）． ∵AB∥CD（已知）， ∴∠CMA＝∠BAM（两直线平行，内错角相等）． ∴∠CAM＝∠CMA（等量代换）． 故答案为：∠BAM，∠BAM． （2）证明：∵AM平分∠BAC， ∴∠CAM＝∠BAM． 又∠CAM＝∠CMA， ∴∠CMA＝∠BAM． ∴AB∥CD． ∴∠AEF＝∠EFD． 又∠AEF＝∠C， ∴∠EFD＝∠C． ∴EF∥AC． （3）解：由（2）EF∥AC，过M作MG∥AC， ∴EF∥MG． ∴∠GME＝∠FEM． 又MG∥AC， ∴∠CAM＝∠AMG． ∴∠CAM+∠FEM＝∠GME+∠AMG＝∠AME． ∵∠CAM＝3∠MEF＝57°， ∴∠MEF＝19°． ∴∠AME＝∠CAM+∠FEM＝57°+19°＝76°． 51．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2． （1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由； （2）若BC平分∠ABD，∠D＝112°，求∠C的度数． 【答案】（1）AB∥CD，理由见解析； （2）34°． 【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下： ∵FG∥AE， ∴∠FGC＝∠2， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠FGC， ∴AB∥CD； （2）∵AB∥CD， ∴∠ABD+∠D＝180°， ∵∠D＝112°， ∴∠ABD＝180°﹣112°＝68°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠ABC∠ABD＝34°， ∵AB∥CD， ∴∠C＝∠ABC＝34°． 所以∠C的度数为34°． 52．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°． （1）求证：AD∥CE； （2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1＝64°，试求∠FAB的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠BDC， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2＝∠ADC（两直线平行，内错角相等）， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠ADC+∠3＝180°（等量代换）， ∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）； （2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝64°， ∴∠BDC＝64°， ∵DA平分∠BDC， ∴∠ADC∠BDC＝32°（角平分线定义）， ∴∠2＝∠ADC＝32°（已证）， 又∵CE⊥AE， ∴∠AEC＝90°（垂直定义）， ∵AD∥CE（已证）， ∴∠FAD＝∠AEC＝90°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣32°＝58°． 53．如图：BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H．∠GFH+∠BHC＝180°，求证：∠1＝∠2． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵∠BHC＝∠FHD，∠GFH+∠BHC＝180°， ∴∠GFH+∠FHD＝180°， ∴FG∥BD， ∴∠1＝∠ABD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠2＝∠ABD， ∴∠1＝∠2． 54．如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D． 求证：∠A＝∠F． 证明：∵∠1＝∠2 （已知），∠1＝∠3（ 　对顶角相等　 ）， ∴∠2＝∠3（ 　等量代换　 ）． ∴BD∥CE （同位角相等，两直线平行）． ∴∠4＝　∠D （两直线平行，同位角相等）． ∵∠C＝∠D（已知）， ∴　∠4　 ＝∠C（等量代换）． ∴DF∥AC（ 　内错角相等，两直线平行　 ）． ∴∠A＝∠F（ 　两直线平行，内错角相等　 ）． 【答案】对顶角相等；等量代换；CE；∠D；∠4；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【解答】证明：∵∠1＝∠2 （已知），∠1＝∠3（对顶角相等）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）， ∴∠4＝∠D（两直线平行，同位角相等）， ∵∠C＝∠D（已知）， ∴∠4＝∠C（等量代换）， ∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行）， ∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）， 故答案为：对顶角相等；等量代换；CE；∠D；∠4；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 55．按要求完成下列说明过程． 已知：如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2＝90°． 请说明：DE∥BC． 解：∵CD⊥AB（ 　已知　 ）， ∴∠ADC＝ 　90°　 （ 　垂直的定义　 ）． ∴∠1+　∠CDE ＝90°． ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴　∠CDE ＝ 　∠2　 （ 　同角的余角相等　 ）． ∴DE∥BC（ 　内错角相等，两直线平行　 ）． 【答案】已知；90°；垂直的定义；∠CDE；∠CDE；∠2；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【解答】解：由条件可知∠ADC＝90°（垂直的定义）， ∴∠1+∠CDE＝90°， ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠CDE＝∠2（同角的余角相等）， ∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；90°；垂直的定义；∠CDE；∠CDE；∠2；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 56．（1）如图，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°，你能求出∠BCD的度数吗？ （2）在AB∥DE的条件下，你能得出∠B、∠BCD、∠D之间的数量关系吗？并说明理由． 【答案】（1）80°； （2）∠B+∠BCD+∠D＝360°． 【解答】解：（1）如图，作CF∥AB，则CF∥DE， ∴∠B+∠BCF＝180°，∠D+DCF＝180°， ∵∠B＝135°，∠D＝145°， ∴∠BCF＝45°，∠DCF＝35°， ∴∠BCD＝80°； （2）∠B+∠BCD+∠D＝360°， 如图，∵CF∥AB，则CF∥DE， ∴∠B+∠BCF＝180°，∠D+DCF＝180°， ∴∠B+∠BCF+∠D+∠DCF＝360°， 即∠B+∠BCD+∠D＝360°． 57．在下列解答中，填空（理由或数学式）． 如图，已知直线b∥c，∠1＝116°，∠3＝∠4． （1）求∠AOB的度数． （2）求证：直线a∥c． 解：（1）∵∠1＝116° （已知），且∠1＝∠2 （ 　对顶角相等　 ）， ∴∠2＝116° （ 　等量代换　 ）． ∵b∥c（已知）， ∴∠AOB＝∠2 （ 　两直线平行，同位角相等　 ）． ∴∠AOB＝　116°　 （等量代换）． 证明：（2）∵∠3＝∠4 （ 　已知　 ）， ∴a∥b （ 　内错角相等，两直线平行　 ）． 又∵b∥c（已知）， ∴a∥c （ 　如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行　 ）． 【答案】（1）对顶角相等；等量代换；两直线平行，同位角相等；116°； （2）已知；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【解答】（1）解：∵∠1＝116° （已知），且∠1＝∠2（对顶角相等）， ∴∠2＝116° （等量代换）， ∵b∥c（已知）， ∴∠AOB＝∠2（两直线平行，同位角相等）， ∴∠AOB＝116°（等量代换）． 故答案为：对顶角相等；等量代换；两直线平行，同位角相等；116°； （2）证明：∵∠3＝∠4（已知）， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行）． 又∵b∥c（已知）， ∴a∥c（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 故答案为：已知；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 58．如图，如图，在△ABC中，点D，E在AB边上，点F在AC边上，点H在BC边上，DH∥AC，且∠1+∠2＝180°． （1）求证：EF∥DC； （2）若CD平分∠ACB，∠BHD＝64°，求∠2的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）148°． 【解答】（1）证明：∵DH∥AC， ∴∠DCF＝∠1， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠DCF+∠2＝180°， ∴EF∥DC； （2）解：∵DH∥AC， ∴∠BHD＝∠ACB， ∵∠BHD＝64°， ∴∠ACB＝64°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝32°， ∵EF∥DC， ∴∠ACD+∠2＝180°， ∴∠2＝148°． 59．综合与实践 问题背景：如图，这是我省北部部分地区使用的太阳能烧水器，其原理是凹面镜的聚光技术．如图1，这是烧水器的截面示意图，平行的太阳光线AB和CD经过凹面镜的反射后，反射光线BE，DF交于一点P． 探索发现： （1）如图1，太阳光线AB，CD平行，利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究，则∠BPD，∠ABP和∠CDP之间存在的数量关系是 　∠BPD＝∠ABP+∠CDP ． （2）如图2，AB∥CD，点M，N分别在AB，CD上，点P是AB，CD之间，且位于MN右侧的任意一点，连接PM，PN，试探究∠MPN，∠AMP与∠CNP之间的数量关系，并写出解答过程． 拓展延伸： （3）如图3，在（2）的条件下，在AB，CD之间，MN左侧再取一点Q，连接QM，QN．若使∠AMQ∠AMP，∠CNQ∠CNP，求∠P与∠Q之间的数量关系． 【答案】（1）∠BPD＝∠ABP+∠CDP； （2）∠MPN+∠AMP+∠CNP＝360°，理由见解析过程； （3），理由见解析过程． 【解答】解：（1）∠BPD＝∠ABP+∠CDP， 过点P作PQ平行于AB， ∵PQ∥AB，AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠QPD＝∠CDP，∠QPB＝∠ABP， ∴∠QPD+∠QPB＝∠CDP+∠ABP， ∴∠BPD＝∠ABP+∠CDP． 故答案为：∠BPD＝∠ABP+∠CDP． （2）过点P作PH平行于AB， ∵PH∥AB，AB∥CD， ∴PH∥CD， ∴∠HPN+∠CNP＝180°，∠AMP+∠HPM＝180°， ∴∠HPN+∠CNP+∠AMP+∠HPM＝360°， ∴∠MPN+∠AMP+∠CNP＝360°． （3）由（1）知， ∠Q＝∠AMQ+∠CNQ． 由（2）知， ∠P+∠AMP+∠CNP＝360°． ∵∠AMQ∠AMP，∠CNQ∠CNP， ∴∠AMQ+∠CNQ120°， ∴∠Q＝120°， 即． 所以∠P与∠Q之间的数量关系是． 60．读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中AB∥CD，点E，M，F在同一直线上，点G，H，N在同一条直线上，且∠AEF＝∠GHD，MG∥FN．求证：∠EFN＝∠G． 证明：如图2，延长EF交CD于点P． ∵AB∥CD（已知）， ∴∠AEF＝∠EPD（ 　两直线平行，内错角相等　 ）． 又∵∠AEF＝∠GHD（ 　已知　 ）， ∴∠EPD＝ 　∠GHD （等量代换）． ∴EP∥GH（ 　同位角相等，两直线平行　 ）． ∴∠EFN+　∠FNG ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵MG∥FN （已知）， ∴∠FNG+∠G＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　 ）． ∴∠EFN＝∠G（ 　同角的补角相等　 ）． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：如图2，延长EF交CD于点P． ∵AB∥CD（已知）， ∴∠AEF＝∠EPD（两直线平行，内错角相等）． 又∵∠AEF＝∠GHD（已知）， ∴∠EPD＝∠GHD（等量代换）． ∴EP∥GH（同位角相等，两直线平行）． ∴∠EFN+∠FNG＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵MG∥FN（已知）， ∴∠FNG+∠G＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠EFN＝∠G（同角的补角相等）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；已知；∠GHD；同位角相等，两直线平行；∠FNG；MG∥FN；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等． 学科网（北京）股份有限公司 $