8.3 完全平方公式与平方差公式 同步复习讲义2025-2026学年沪科版数学七年级下册

本讲义聚焦完全平方公式与平方差公式核心知识点，系统梳理公式特征、应用方法及几何背景，构建“代数公式推导-几何图形验证-实际问题应用”的学习支架，衔接整式乘法与后续因式分解内容。 资料特色在于融合数学眼光与思维，通过图形面积验证公式培养几何直观，设计变式题（如已知a+b求a²+b²）提升推理能力，结合生活情境题（如长方形绿化面积计算）强化模型意识。课中辅助分层教学，课后助力学生通过分类练习查漏补缺。

第8章 8.3 完全平方公式与平方差公式 题型1 完全平方公式 题型2 完全平方公式的几何背景 题型3 平方差公式 题型4 平方差公式的几何背景 ▉题型1 完全平方公式 【知识点的认识】 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 1．已知a+b＝5，ab＝6，则a2+b2＝（　　） A．13 B．19 C．26 D．31 2．已知（x﹣2023）2+（x﹣2027）2＝38，则（x﹣2025）2的值是（　　） A．11 B．13 C．15 D．19 3．下列计算正确的是（　　） A．4a3﹣3a2＝a B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．a3•a4＝a12 D．a﹣4÷a﹣6＝a2 4．若4y2﹣my+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为（　　） A．﹣8 B．±8 C．16 D．±16 5．下列运算正确的是（　　） A．（﹣2a）2＝4a2 B．a8÷a4＝a2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．3a2b﹣a2b＝3 6．若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个长方形的面积为（　　） A．5 B．10 C．20 D．30 7．某中学开展以“杭州亚运会”为主题的学科活动，要求设计几何图形作品来表达对亚运会的祝福．小冬以长方形ABCD的四条为边分别向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若长方形ABCD的相邻两边之差为6，且四个正方形的面积和为100，则长方形ABCD的面积是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 8．如图，是某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧也都是正方形，它们的边长分别为a米，b米，其面积之和比剩余面积（阴影部分）多1平方米．则主卧与客卧的周长差为（　　） A．1米 B．2米 C．4米 D．8米 9．（2x﹣y）2＝　 ． 10．已知a+b＝5，ab＝﹣6，则a2+b2＝ 　 ． 11．已知a+b＝7，ab＝12，则a2+b2＝　 　 ． 12．若a+b＝3，则a2﹣b2+6b的值为 　 　 ． 13．若a+b＝4，a2+b2＝8，则ab＝ 　 ． 14．已知x2﹣2x＝2，代数式（x﹣1）2+2022＝ 　 　 ． 15．若（2x+m）2＝4x2+4mx+1，则m的值是 　 　 ． 16．用简便方法计算20252﹣4050×2024+20242的结果是　 　 ． 17．【背景】对于两数和（差）的完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2中的三个代数式：a±b，a2+b2和ab，若已知其中任意两个代数式的值，则可求第三个代数式的值．由此解决下列问题： 【应用】（1）若（a+b）2＝49，ab＝6，求a﹣b的值； 【迁移】（2）如图，在长方形ABCD中，AB＝14，BC＝10，点E，F分别是边AD，AB上的点，且DE＝BF＝a，分别以AE，AF为边在长方形ABCD外侧作正方形AEMN和正方形APQF，若长方形AFGE的面积为60，求图中两个正方形的面积之和． 18．按要求完成下列各题： （1）已知实数a、b满足（a+b）2＝1，（a﹣b）2＝9，求a2+b2﹣ab的值； （2）已知（2024﹣a）（2025﹣a）＝2047，试求（a﹣2024）2+（2025﹣a）2的值． 19．在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题，比如，运用两数和的完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，能够在三个代数式a+b，ab，a2+b2中，已知其中任意两个代数式的值，求出第三个代数式的值．例如：已知a+b＝3，ab＝2，求a2+b2的值． 解：将a+b＝3两边同时平方，得（a+b）2＝32，即a2+2ab+b2＝9． 因为ab＝2，等量代换，得a2+b2+2×2＝9，所以a2+b2＝5． 请根据以上信息，解答下列问题． （1）已知a﹣b＝2，a2+b2＝17，则ab＝　 ； （2）如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若a+b＝6，ab＝9，求图中阴影部分的面积． （3）若（2025﹣x）（x﹣2024）＝﹣5，求（2025﹣x）2+（x﹣2024）2的值． ▉题型2 完全平方公式的几何背景 【知识点的认识】 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 20．下列图形阴影部分的面积能够直观地解释（x﹣1）2＝x2﹣2x+1的是（　　） A． B． C． D． 21．如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（　　） A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2+2ab+b2＝（a﹣b）2 C．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 D．（a+b）（a+b）＝a2+b2 22．用如图所示的几何图形的面积可以解释的代数恒等式是（　　） A．（2a）2＝4a2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．2a（a+b）＝2a2+2ab D．2a（2a+b）＝4a2+2ab 23．如图，两个正方形的泳池，面积分别是S1和S2，两个泳池的面积之和S1+S2＝20，点B是线段CG上一点，设CG＝6，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（　　） A．5 B．4 C．8 D．10 24．如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x（x＞y）．则①x﹣y＝n；②xy；③x2﹣y2＝mn中，正确的是（　　） A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② 25．如图，两个正方形的边长分别为a、b（a＞b），若a+b＝17，ab＝60，则阴影部分的面积是（　　） A．52.5 B．53.5 C．54.5 D．55.5 26．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝20，ab＝30，则阴影部分的面积为 　 　 ． 27．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为10，图2的阴影部分面积为4，则图1的阴影部分面积为　 　 ． 28．“筑牢民生之基，增强百姓幸福感”，沙坪坝区如火如荼地进行着社区环境的改善，提升老百姓的生活品质．如图，某小区内有一块长为（3a﹣b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，小区计划在中间留一块边长为（a+b）米的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化． （1）求绿化部分的面积（用含a，b的代数式表示）； （2）当a＝3，b＝1时，求绿化部分的面积． 29．如图，一块长方形铁皮的长为（7a+b），宽为（5a+3b）将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为（a+b）的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． （1）求这个盒子底面的面积；（用含a、b的式子表示） （2）当a＝2，b＝1时，求这个盒子底面的面积． 30．综合与实践： 学习整式的乘法中发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． 数学活动课上，教师准备了许多如图1所示的长方形或正方形卡片，让同学们拼成新的正方形．小明用卡片拼成如图2正方形； （1）①利用图2可得等式：（a+b）2＝ ； ②如图3是小亮围成的长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式：　 ． （2）请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，所拼出图形的面积为（2a+b）（a+3b），（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：　 ． 【问题解决】 （3）已知a+b＝7，ab＝4，利用（1）中①得到的等式求代数式a2+b2的值． 【拓展延伸】 （4）如图5，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和正方形BCFG，已知AB＝8，两正方形的面积和24，请直接写出图中阴影部分的面积． 31．某学校数学项目式学习小组在研究“两数和（差）的平方公式”的应用时，发现这两个公式的用处很大，变式应用也很灵活．请你试着帮他们解决以下问题：在长方形ABCD中，AD长为am，AB长为bm，且a＞b． （1）若该长方形的周长为8m，面积为3m2，求a2+b2的值； （2）若a，b满足a2+ab＝10，b2+ab＝6，求a﹣b的值； （3）为美化校园环境，提升校园文化，某学校计划在一块如图所示面积为216m2的长方形空地ABCD中划出长方形AEFG和长方形JKCL，将这两个长方形重叠部分的区域建一个长为3m，宽为2m的长方形水池JNFM（JM＞JN），将图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为50m，求AB和AD的长． 32．如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为（3a+2b）m，宽为（2a+b）m；另一块长为（a+b）m，宽为（a﹣b）m．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为（a﹣b）m的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪． （1）求计划种植草坪的面积； （2）已知a＝30，b＝10，若种植草坪的价格为30元/m2，求种植草坪应投入的资金是多少元？ 33．知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： （1）直接应用：若xy＝7，x+y＝8，直接写出x2+y2的值　 ； （2）类比应用：填空：①若x（5﹣x）＝6，则x2+（x﹣5）2＝　 　 ； ②若（x﹣2021）（x﹣2025）＝2，则（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝　 　 ； （3）知识迁移：两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝16，S△AOC+S△BOD＝60，求四边形ABCD的面积． （4）深度思考：通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式．如图，表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后再重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式： 　 ． 34．如图，有一块长（3a+b）米，宽（2a+b）米的长方形广场，园林部门要对阴影区域进行绿化，空白区域进行广场硬化，阴影部分是边长为（a+b）米的正方形． （1）计算广场上需要硬化部分的面积； （2）若a＝20，b＝8，求硬化部分的面积． ▉题型3 平方差公式 【知识点的认识】 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 35．下列各式中，能用平方差公式计算的是（　　） A．（2a﹣3b）（﹣2a+3b） B．（a+3b）（a+3b） C．（a﹣3b）（﹣a﹣3b） D．（3a﹣4b）（4a+3b） 36．下列算式能用平方差公式计算的是（　　） A．（2a+b）（2b﹣a） B．（x+1）（x﹣1） C．（3x﹣y）（﹣3x+y） D．（﹣m﹣n）（﹣m+n） 37．在下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（　　） A．（2a﹣3b）（﹣2a+3b） B．（﹣3a+4b）（﹣4b﹣3a） C．（a+1）（﹣a﹣1） D．（a2﹣b）（a+b2） 38．下列式子不能成立的有（　　）个． ①（x﹣y）2＝（y﹣x）2 ②（x﹣2y）2＝x2﹣2y2 ③（x﹣y）3＝（y﹣x）（x﹣y）2 ④（x+y）（x﹣y）＝（﹣x﹣y）（﹣x+y） ⑤1﹣（1+x）2＝﹣x2﹣2x A．1 B．2 C．3 D．4 39．已知M＝20242，N＝2023×2025，则M与N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定 40．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（　　） A．（x+a）（x﹣a） B．（a+b）（﹣a﹣b） C．（﹣x﹣b）（x﹣b） D．（b+m）（m﹣b） 41．下列各多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（　　） A．（﹣x﹣y）（x+y） B．（2x+y）（2x﹣y） C．（x2﹣xy）（x2+xy） D．（x+y+m）（x﹣y﹣m） 42．下列能用平方差公式进行计算的是（　　） A．（3x﹣2）（2x+3） B．（﹣x+y）（x﹣y） C． D．（﹣3 m+n）（﹣3 m﹣n） 43．如果x+y＝6，x2﹣y2＝24，那么y﹣x的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6 44．为了应用平方差公式计算（x+y+z）（y﹣x﹣z），下列变形正确的是（　　） A．[x﹣（y+z）]2 B．[x+（y+z）][x﹣（y+z）] C．[y+（x+z）][y﹣（x+z）] D．[z+（x+y）][z﹣（x+y）] 45．下列各式能用平方差公式运算的是（　　） A． B．（x+2）（2+x） C．（﹣a+b）（b﹣a） D．（x﹣2）（x+1） 46．等式（y﹣x）_____＝y2﹣x2成立，横线内应填入下式中的（　　） A．x﹣y B．y﹣x C．﹣x﹣y D．x+y 47．若a＝20220，b＝2021×2023﹣20222，，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a 48．定义新运算“*”，对于任意实数a，b都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1．例如：5*4＝（5+4）（5﹣4）﹣1＝9﹣1＝8．若x*2＝4x，则x2﹣4x＝　 　 ． 49．计算： （1）； （2）102×98（利用整式乘法公式计算）． 50．（1）【观察】 ①（x﹣1）（x+1）＝ 　 ； ②（x﹣1）（x2+x+1）＝ 　 ； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ 　 ；… （2）【猜想】由此可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝ ； （3）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：52024+52023+52022+52021+…+5+1的值． 51．观察： 22﹣12＝（2+1）（2﹣1）＝2+13； 42﹣32+22﹣12＝（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）＝4+3+2+110； … 探究： （1）82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣12＝　 　 （直接写答案）； （2）求（2n）2﹣（2n﹣1）2+（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2+…+22﹣12的值； 应用： （3）如图，10个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为10cm，向里依次为9cm，8cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留π） 52．简便计算： （1）； （2）899×901+1； （3）2012； （4）20242﹣4050×2024+20252． 53．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积可表示为（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：　 ，方法2：　 ； （2）由（1）可得到一个关于（a+b）2、（a﹣b）2、ab的等量关系式是 　 ； （3）若a﹣b＝5，ab＝2，则（a+b）2＝　 　 ； 【知识迁移】（4）如图5，正方形ABCD和正方形EFGH边长分别为a，b（a＞b），若a+b＝6，ab＝6，E是AB的中点，则图中的阴影部分面积的和是 　 　 ． ▉题型4 平方差公式的几何背景 【知识点的认识】 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 54．从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（　　） A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 55．一位庄园主把一块边长为a米的正方形土地租给租户，第二年，他对租户说：“我把这块地的一组对边增加10米，一组对边减少10米，继续租给你，租金不变，你看如何？”如果这样，你觉得租户的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 56．如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩下部分沿图中实线剪开后排成如图②所示的长方形，通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 57．已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，比较图2与图1的阴影部分的面积，可得等式（　　） A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab 58．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分剪拼成一个长方形，可以得到一个关于a，b的恒等式（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣ab＝a（a﹣b） 59．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＜b），再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②．根据这两个图形的面积关系，表示下列式子成立的是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a﹣b）2 60．某古书记载有一个狡猾的地主，把一块边长为am的正方形土地租给马老汉栽种．过了一年，他对马老汉说：“我把这块地的一边减少10m，另一边增加10m，变成长方形继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道马老汉吃亏了．请运用学过的相关知识分析一下，马老汉租用的土地面积少了 　 　 m2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 8.3 完全平方公式与平方差公式 题型1 完全平方公式 题型2 完全平方公式的几何背景 题型3 平方差公式 题型4 平方差公式的几何背景 ▉题型1 完全平方公式 【知识点的认识】 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 1．已知a+b＝5，ab＝6，则a2+b2＝（　　） A．13 B．19 C．26 D．31 【答案】A 【解答】解：∵a+b＝5， ∴（a+b）2＝25， ∴a2+2ab+b2＝25， ∵ab＝6， ∴a2+b2＝25﹣2×6＝13， 故选：A． 2．已知（x﹣2023）2+（x﹣2027）2＝38，则（x﹣2025）2的值是（　　） A．11 B．13 C．15 D．19 【答案】C 【解答】解：设t＝x﹣2025，则x＝t+2025， ∴（x﹣2023）2＝（t+2025﹣2023）2＝（t+2）2，（x﹣2027）2＝（t+2025﹣2027）2＝（t﹣2）2， ∵（x﹣2023）2+（x﹣2027）2＝38， ∴（t+2）2+（t﹣2）2＝38， ∴t2+4t+4+（t2﹣4t+4）＝38， ∴t2+4t+4+t2﹣4t+4＝38， ∴2t2+8＝38， 解得：t2＝15， ∴（x﹣2025）2＝（t+2025﹣2025）2＝t2＝15． 故选：C． 3．下列计算正确的是（　　） A．4a3﹣3a2＝a B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．a3•a4＝a12 D．a﹣4÷a﹣6＝a2 【答案】D 【解答】解：根据合并同类项，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，完全平方公式逐项分析判断如下： A．4a3、3a2不是同类项不能合并，故原计算错误，不符合题意； B． （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故原计算错误，不符合题意； C．a3•a4＝a7，故原计算错误，不符合题意； D．a﹣4÷a﹣6＝a2，故原计算正确，符合题意； 故选：D． 4．若4y2﹣my+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为（　　） A．﹣8 B．±8 C．16 D．±16 【答案】D 【解答】解：∵4y2﹣my+16是一个完全平方式， ∴﹣my＝±4•y•4， 解得：m＝±16． 故选：D． 5．下列运算正确的是（　　） A．（﹣2a）2＝4a2 B．a8÷a4＝a2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．3a2b﹣a2b＝3 【答案】A 【解答】解：（﹣2a）2＝4a2，则A符合题意， a8÷a4＝a4，则B不符合题意， （a+b）2＝a2+2ab+b2，则C不符合题意， 3a2b﹣a2b＝2a2b，则D不符合题意， 故选：A． 6．若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个长方形的面积为（　　） A．5 B．10 C．20 D．30 【答案】A 【解答】解：设长方形的长为a，宽为b， 由图1可知，（a+b）2﹣4ab＝40，即a2+b2＝2ab+40①， 由图2可知，（2a+b）（a+2b）﹣5ab＝100，即a2+b2＝50②， 由①﹣②得2ab+40﹣50＝0， ∴ab＝5， 即长方形的面积为5， 故选：A． 7．某中学开展以“杭州亚运会”为主题的学科活动，要求设计几何图形作品来表达对亚运会的祝福．小冬以长方形ABCD的四条为边分别向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若长方形ABCD的相邻两边之差为6，且四个正方形的面积和为100，则长方形ABCD的面积是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【解答】解：设AB＝a，BC＝b， 由题意可得，a﹣b＝6，2a2+2b2＝100， 即a﹣b＝6①，a2+b2＝50②， 由①得，a2﹣2ab+b2＝36③， ③﹣②得﹣2ab＝﹣14， 所以ab＝7， 即长方形ABCD的面积为7， 故选：A． 8．如图，是某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧也都是正方形，它们的边长分别为a米，b米，其面积之和比剩余面积（阴影部分）多1平方米．则主卧与客卧的周长差为（　　） A．1米 B．2米 C．4米 D．8米 【答案】C 【解答】解：由题可得：a2+b2＝（a+b）2﹣a2﹣b2+1， ∴a2+b2＝2ab+1， 整理得（a﹣b）2＝1， ∴a﹣b＝1或a﹣b＝﹣1（舍去）， ∴主卧与客卧的周长差为：4a﹣4b＝4（a﹣b）＝4×1＝4（米）， 故选：C． 9．（2x﹣y）2＝　4x2﹣4xy+y2 ． 【答案】4x2﹣4xy+y2 【解答】解：（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2． 10．已知a+b＝5，ab＝﹣6，则a2+b2＝　37　 ． 【答案】37． 【解答】解：∵a+b＝5，ab＝﹣6， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25． ∴a2+b2＝25﹣2ab＝25﹣（﹣12）＝37． 故答案为：37． 11．已知a+b＝7，ab＝12，则a2+b2＝　25　 ． 【答案】25． 【解答】解：∵a+b＝7，ab＝12， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝49﹣24＝25， 故答案为：25． 12．若a+b＝3，则a2﹣b2+6b的值为 　9　 ． 【答案】9 【解答】解：由a+b＝3得a＝3﹣b， 将a＝3﹣b代入a2﹣b2+6b，得： （3﹣b）2﹣b2+6b＝9﹣6b+b2﹣b2+6b＝9． 故答案为：9． 13．若a+b＝4，a2+b2＝8，则ab＝　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：由条件可得， 故答案为：4． 14．已知x2﹣2x＝2，代数式（x﹣1）2+2022＝ 　2025　 ． 【答案】2025 【解答】解：∵x2﹣2x＝2， ∴（x﹣1）2+2022 ＝x2﹣2x+1+2022 ＝2+1+2022 ＝2025． 故答案为：2025． 15．若（2x+m）2＝4x2+4mx+1，则m的值是 　±1　 ． 【答案】±1 【解答】解：（2x+m）2＝4x2+4mx+m2＝4x2+4mx+1， 则m2＝1， 那么m＝±1， 故答案为：±1． 16．用简便方法计算20252﹣4050×2024+20242的结果是　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：原式＝20252﹣2×2025×2024+20242 ＝（2025﹣2024）2 ＝12 ＝1． 故答案为：1． 17．【背景】对于两数和（差）的完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2中的三个代数式：a±b，a2+b2和ab，若已知其中任意两个代数式的值，则可求第三个代数式的值．由此解决下列问题： 【应用】（1）若（a+b）2＝49，ab＝6，求a﹣b的值； 【迁移】（2）如图，在长方形ABCD中，AB＝14，BC＝10，点E，F分别是边AD，AB上的点，且DE＝BF＝a，分别以AE，AF为边在长方形ABCD外侧作正方形AEMN和正方形APQF，若长方形AFGE的面积为60，求图中两个正方形的面积之和． 【答案】（1）±5； （2）136． 【解答】解：（1）∵（a+b）2＝49，ab＝6， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝49﹣24＝25， 则a﹣b＝±5； （2）∵AB＝14，BC＝10，DE＝BF＝a， ∴AE＝10﹣a，AF＝14﹣a， ∵长方形AFGE的面积为60， ∴AE•AF＝（10﹣a）（14﹣a）＝60， ∴（10﹣a）2+（14﹣a）2 ＝[（10﹣a）﹣（14﹣a）]2+2（10﹣a）（14﹣a） ＝（﹣4）2+2×60 ＝16+120 ＝136． 18．按要求完成下列各题： （1）已知实数a、b满足（a+b）2＝1，（a﹣b）2＝9，求a2+b2﹣ab的值； （2）已知（2024﹣a）（2025﹣a）＝2047，试求（a﹣2024）2+（2025﹣a）2的值． 【答案】（1）7；（2）4095． 【解答】解：（1）∵（a+b）2＝1，（a﹣b）2＝9， ∴a2+2ab+b2＝1①，a2﹣2ab+b2＝9②， ①+②得：2a2+2b2＝10， ∴a2+b2＝5， ①﹣②得：4ab＝﹣8， ∴ab＝﹣2， ∴a2+b2﹣ab＝5﹣（﹣2）＝5+2＝7； （2）∵（2024﹣a）（2025﹣a）＝2047， ∴（a﹣2024）（2025﹣a）＝﹣2047， ∵（a﹣2024）2+（2025﹣a）2＝[（a﹣2024）+（2025﹣a）]2﹣2（a﹣2024）2+（2025﹣a）2， ∴（a﹣2024）2+（2025﹣a）2＝12﹣2×（2047）＝1+4094＝4095． 19．在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题，比如，运用两数和的完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，能够在三个代数式a+b，ab，a2+b2中，已知其中任意两个代数式的值，求出第三个代数式的值．例如：已知a+b＝3，ab＝2，求a2+b2的值． 解：将a+b＝3两边同时平方，得（a+b）2＝32，即a2+2ab+b2＝9． 因为ab＝2，等量代换，得a2+b2+2×2＝9，所以a2+b2＝5． 请根据以上信息，解答下列问题． （1）已知a﹣b＝2，a2+b2＝17，则ab＝　　 ； （2）如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若a+b＝6，ab＝9，求图中阴影部分的面积． （3）若（2025﹣x）（x﹣2024）＝﹣5，求（2025﹣x）2+（x﹣2024）2的值． 【答案】（1）； （2）9； （3）11． 【解答】解：（1）∵a﹣b＝2，a2+b2＝17，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab， ∴22＝17﹣2ab， 解得：， 故答案为：； （2）根据题意可得： 图中阴影部分的面积． 根据题意得a2+2ab+b2＝36， ∵ab＝9， ∴a2+b2+2×9＝36， 即a2+b2＝18． ∴图中阴影部分的面积＝18﹣9＝9． （3）令2025﹣x＝m，x﹣2024＝n， 则m+n＝2025﹣x+x﹣2024＝1， ∴mn＝﹣5， ∴（2025﹣x）2+（x﹣2024）2 ＝m2+n2 ＝（m+n）2﹣2mn ＝12﹣2×（﹣5） ＝11． ▉题型2 完全平方公式的几何背景 【知识点的认识】 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 20．下列图形阴影部分的面积能够直观地解释（x﹣1）2＝x2﹣2x+1的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：选项A中的阴影部分的面积可以用（x﹣1）2＝x2﹣2x+1来解释， 故选：A． 21．如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（　　） A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2+2ab+b2＝（a﹣b）2 C．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 D．（a+b）（a+b）＝a2+b2 【答案】A 【解答】解：图甲中：S阴影＝a2﹣2ab+b2， 图乙中：S阴影＝（a﹣b）2， ∴a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2． 故选：A． 22．用如图所示的几何图形的面积可以解释的代数恒等式是（　　） A．（2a）2＝4a2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．2a（a+b）＝2a2+2ab D．2a（2a+b）＝4a2+2ab 【答案】C 【解答】解：整体是长为2a，宽为a+b的长方形，因此面积为2a（a+b）， 这个长方形是由4个部分组成的，这4个部分的面积和为2a2+2ab， 所以有2a（a+b）＝2a2+2ab， 故选：C． 23．如图，两个正方形的泳池，面积分别是S1和S2，两个泳池的面积之和S1+S2＝20，点B是线段CG上一点，设CG＝6，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（　　） A．5 B．4 C．8 D．10 【答案】B 【解答】解：设BC＝a，GB＝b， ∵CG＝6， ∴a+b＝6， ∵S1+S2＝20， ∴a2+b2＝20， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴36＝2ab+20， 解得ab＝8， ∴阴影部分的面积为； 故选：B． 24．如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x（x＞y）．则①x﹣y＝n；②xy；③x2﹣y2＝mn中，正确的是（　　） A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② 【答案】A 【解答】解：①由图得：x﹣y＝n，故①正确，符合题意； ②由图得：4S矩形＝S大正方形﹣S小正方形， ∴m2﹣n2＝4xy， 即，故②正确，符合题意； ③由图得：x+y＝m， ∵x﹣y＝n， ∴（x+y）（x﹣y）＝mn， ∴x2﹣y2＝mn，故③正确，符合题意； 故正确的是①②③． 故选：A． 25．如图，两个正方形的边长分别为a、b（a＞b），若a+b＝17，ab＝60，则阴影部分的面积是（　　） A．52.5 B．53.5 C．54.5 D．55.5 【答案】C 【解答】解：∵两个正方形的边长分别为a、b（a＞b）， ∴，，，， ∵S阴影＝S正方形ABCD+S正方形CGFE﹣S△ABD﹣S△BGF， ∴， ∵a+b＝17，ab＝60， ∴（a+b）2＝172，即a2+2ab+b2＝289， ∴a2+b2＝289﹣2×60＝169， ∴， 故选：C． 26．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝20，ab＝30，则阴影部分的面积为 　155　 ． 【答案】155 【解答】解：由图形面积之间的关系可得： S阴影部分＝S正方形ABCD+S正方形EFGC﹣S△ABD﹣S△BFG， ＝a2+b2a2b（a+b） a2b2ab， [（a+b）2﹣3ab]， （202﹣3×30）， ＝155， 故答案为：155． 27．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为10，图2的阴影部分面积为4，则图1的阴影部分面积为　27　 ． 【答案】27． 【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形乙的边长为b， 由题意可得，a+b＝10，（a﹣b）2＝4， 解得：a＝6，b＝4， ∴S阴影部分＝S正方形甲+S正方形乙﹣S△EFH﹣S△ADH ＝a2+b2AD•AHEF．HE ＝a2+b2ab ＝36+16﹣15﹣10 ＝27． 故答案为：27． 28．“筑牢民生之基，增强百姓幸福感”，沙坪坝区如火如荼地进行着社区环境的改善，提升老百姓的生活品质．如图，某小区内有一块长为（3a﹣b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，小区计划在中间留一块边长为（a+b）米的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化． （1）求绿化部分的面积（用含a，b的代数式表示）； （2）当a＝3，b＝1时，求绿化部分的面积． 【答案】（1）（5a2﹣ab﹣2b2）平方米； （2）40平方米． 【解答】解：（1）依题意得： （3a﹣b）（2a+b）﹣（a+b）2 ＝6a2+3ab﹣2ab﹣b2﹣a2﹣2ab﹣b2 ＝（5a2﹣ab﹣2b2）平方米． 答：绿化面积是（5a2﹣ab﹣2b2）平方米； （2）当a＝3，b＝1时， 5a2﹣ab﹣2b2 ＝5×32﹣3×1﹣2×12 ＝45﹣3﹣2 ＝40（平方米）． 答：绿化面积是40平方米． 29．如图，一块长方形铁皮的长为（7a+b），宽为（5a+3b）将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为（a+b）的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． （1）求这个盒子底面的面积；（用含a、b的式子表示） （2）当a＝2，b＝1时，求这个盒子底面的面积． 【答案】（1）15a2+2ab﹣b2；（2）63． 【解答】解：（1）根据题意可知，盒子底面的面积为：[（7a+b）﹣2（a+b）][（5a+3b）﹣2（a+b）] ＝（7a+b﹣2a﹣2b）（5a+3b﹣2a﹣2b） ＝（5a﹣b）（3a+b） ＝15a2+2ab﹣b2； （2）当a＝2，b＝1时， 盒子底面的面积为：15×22+2×2×1﹣12＝60+4﹣1＝63． 30．综合与实践： 学习整式的乘法中发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． 数学活动课上，教师准备了许多如图1所示的长方形或正方形卡片，让同学们拼成新的正方形．小明用卡片拼成如图2正方形； （1）①利用图2可得等式：（a+b）2＝a2+2ab+b2 ； ②如图3是小亮围成的长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式：　（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2 ． （2）请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，所拼出图形的面积为（2a+b）（a+3b），（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：　（2a+b）（a+3b）＝2a2+7ab+3b2 ． 【问题解决】 （3）已知a+b＝7，ab＝4，利用（1）中①得到的等式求代数式a2+b2的值． 【拓展延伸】 （4）如图5，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和正方形BCFG，已知AB＝8，两正方形的面积和24，请直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】（1）①a2+2ab+b2；②（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2； （2）画图见解析，（2a+b）（a+3b）＝2a2+7ab+3b2； （3）41（4）10． 【解答】解：（1）①结合图形可得大正方形的边长为a+b，是由两个长为a，宽为b的小长方形和一个边长为a，一个边长为b的小正方形组成， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故答案为：a2+2ab+b2； ②结合图形可得大长方形的边长为a+2b，宽为a+b，是由三个长为a，宽为b的小长方形和一个边长为a，两个边长为b的小正方形组成， ∴（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2； 故答案为：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2； （2）面积为（2a+b）（a+3b）的长方形的长为a+3b，宽为2a+b； 如图所示： 拼成的长方形由7个长为a，宽为b的小长方形和2个边长为a，3个边长为b的小正方形组成， ∴（2a+b）（a+3b）＝2a2+7ab+3b2， 故答案为：（2a+b）（a+3b）＝2a2+7ab+3b2； （3）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，a+b＝7，ab＝4， ∴72＝a2+2×4+b2， ∴a2+b2＝49﹣8＝41； （4）设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b， 则， ∵AB＝8， ∴a+b＝8， ∵两正方形的面积和24， ∴a2+b2＝24， ∵， ∴阴影部分的面积为． 31．某学校数学项目式学习小组在研究“两数和（差）的平方公式”的应用时，发现这两个公式的用处很大，变式应用也很灵活．请你试着帮他们解决以下问题：在长方形ABCD中，AD长为am，AB长为bm，且a＞b． （1）若该长方形的周长为8m，面积为3m2，求a2+b2的值； （2）若a，b满足a2+ab＝10，b2+ab＝6，求a﹣b的值； （3）为美化校园环境，提升校园文化，某学校计划在一块如图所示面积为216m2的长方形空地ABCD中划出长方形AEFG和长方形JKCL，将这两个长方形重叠部分的区域建一个长为3m，宽为2m的长方形水池JNFM（JM＞JN），将图中阴影部分的区域作为花圃，且花圃总周长为50m，求AB和AD的长． 【答案】（1）a2+b2的值为10m2； （2）a﹣b的值为1m； （3）AB的长为12m，AD的长为18m． 【解答】解：（1）∵AD＝am，AB＝bm，长方形的周长为8m，面积为3m2， ∴2（a+b）＝8，ab＝3， 即a+b＝4，ab＝3， ∴a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝42﹣2×3 ＝16﹣6 ＝10， 答：a2+b2的值为10m2； （2）∵a2+ab＝10，b2+ab＝6， ∴a2+ab﹣（b2+ab）＝4，a2+ab+ab+b2＝16， ∴a2﹣b2＝4，（a+b）2＝16， ∵a＞b＞0， ∴（a﹣b）（a+b）＝4，a+b＝4， ∴a﹣b＝1， 答：a﹣b的值为1m； （3）∵阴影部分的区域总周长为50m，长方形JMFN长为3，宽为2， ∴50＝2（DL+GD）+2（NK+BK） ＝2[（DL+NK）+（GD+BK）] ＝2[（b﹣MF）+（a﹣JM）] ＝2[b﹣2+a﹣3] ＝2（a+b﹣5）， 即a+b＝30， ∴（a+b）2＝900， ∵长方形ABCD的面积为216m2， ∴ab＝216， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝900﹣2×216＝468， ∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝468﹣2×216＝36， ∵a＞b， ∴a﹣b＝6， ∴， 解得a＝18，b＝12， 答：AB的长为12m，AD的长为18m． 32．如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为（3a+2b）m，宽为（2a+b）m；另一块长为（a+b）m，宽为（a﹣b）m．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为（a﹣b）m的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪． （1）求计划种植草坪的面积； （2）已知a＝30，b＝10，若种植草坪的价格为30元/m2，求种植草坪应投入的资金是多少元？ 【答案】（1）计划种植草坪的面积为（6a2+9ab）m2；（2）种植草坪应投入的资金是243000元． 【解答】解：（1）两块空地总面积：（3a+2b）×（2a+b）+（a+b）×（a﹣b）， ＝6a2+7ab+2b2+a2﹣b2 ＝7a2+7ab+b2， 栽花面积：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， 草坪面积：7a2+7ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2）＝6a2+9ab． （2）a＝30，b＝10，草坪价格为30元/m2， 应投入的资金＝（6a2+9ab）×30＝（6×302+9×30×10）×30＝243000元． 33．知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： （1）直接应用：若xy＝7，x+y＝8，直接写出x2+y2的值　50　 ； （2）类比应用：填空：①若x（5﹣x）＝6，则x2+（x﹣5）2＝　13　 ； ②若（x﹣2021）（x﹣2025）＝2，则（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝　20　 ； （3）知识迁移：两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝16，S△AOC+S△BOD＝60，求四边形ABCD的面积． （4）深度思考：通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式．如图，表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后再重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）　 ． 【答案】（1）50； （2）①13；②20； （3）128； （4）x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）． 【解答】解：（1）∵xy＝7，x+y＝8， ∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝64﹣14＝50， 故答案为：50； （2）①设a＝x，b＝5﹣x，则a+b＝5，ab＝x（5﹣x）＝6， ∴x2+（x﹣5）2＝a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝25﹣12 ＝13， 故答案为：13； ②设m＝x﹣2021，n＝x﹣2025，则mn＝（x﹣2021）（x﹣2025）＝2，m﹣n＝4， ∴（x﹣2021）2+（x﹣2025）2 ＝m2+n2 ＝（m﹣n）2+2mn ＝16+4 ＝20， 故答案为：20； （3）设OA＝p，OD＝q， ∵AD＝16，S△AOC+S△BOD＝60， ∴p+q＝OA+OD＝AD＝16，p2q2＝60， 即p+q＝16，p2+q2＝120， ∵（p+q）2＝p2+2pq+q2， ∴256＝120+2pq， 解得pq＝68， ∴S四边形ABCD＝S△AOC+S△BOD+S△AOB+S△COD p2q2pqpq ＝60+68 ＝128； （4）图3中的几何体的体积可以看作两个几何体体积的差，即x•x•x﹣1×1×x＝x3﹣x，拼成的右图的体积为x（x+1）（x﹣1）， 所以有x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）． 故答案为：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）． 34．如图，有一块长（3a+b）米，宽（2a+b）米的长方形广场，园林部门要对阴影区域进行绿化，空白区域进行广场硬化，阴影部分是边长为（a+b）米的正方形． （1）计算广场上需要硬化部分的面积； （2）若a＝20，b＝8，求硬化部分的面积． 【答案】（1）（ 5a2+3ab）平方米； （2）2480（平方米）． 【解答】解：（1）由题意得， 硬化部分的面积为（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2＝（ 5a2+3ab）平方米； （2）当a＝20，b＝8时， 原式＝5×202+3×20×8 ＝2480（平方米）． ▉题型3 平方差公式 【知识点的认识】 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 35．下列各式中，能用平方差公式计算的是（　　） A．（2a﹣3b）（﹣2a+3b） B．（a+3b）（a+3b） C．（a﹣3b）（﹣a﹣3b） D．（3a﹣4b）（4a+3b） 【答案】C 【解答】解：（2a﹣3b）（﹣2a+3b）＝﹣（2a﹣3b）（2a﹣3b），不符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，它不能用平方差公式计算，则A不符合题意， （a+3b）（a+3b）不符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，它不能用平方差公式计算，则B不符合题意， （a﹣3b）（﹣a﹣3b）＝﹣（a﹣3b）（a+3b），符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，它能用平方差公式计算，则C符合题意， （3a﹣4b）（4a+3b）不符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，它不能用平方差公式计算，则D不符合题意， 故选：C． 36．下列算式能用平方差公式计算的是（　　） A．（2a+b）（2b﹣a） B．（x+1）（x﹣1） C．（3x﹣y）（﹣3x+y） D．（﹣m﹣n）（﹣m+n） 【答案】D 【解答】解：∵（2a+b）（2b﹣a）不符合平方差公式的特点，∴选项A不符合题意； ∵（x+1）（x﹣1）＝﹣（x+1）2，∴选项B不符合题意； ∵（3x﹣y）（﹣3x+y）＝﹣（3x﹣y）2，∴选项C不符合题意； ∵（﹣m+n）（﹣m﹣n）＝（﹣m）2﹣n2，∴选项D符合题意； 故选：D． 37．在下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（　　） A．（2a﹣3b）（﹣2a+3b） B．（﹣3a+4b）（﹣4b﹣3a） C．（a+1）（﹣a﹣1） D．（a2﹣b）（a+b2） 【答案】B 【解答】解：可以用平方差公式计算的只有B． 故选：B． 38．下列式子不能成立的有（　　）个． ①（x﹣y）2＝（y﹣x）2 ②（x﹣2y）2＝x2﹣2y2 ③（x﹣y）3＝（y﹣x）（x﹣y）2 ④（x+y）（x﹣y）＝（﹣x﹣y）（﹣x+y） ⑤1﹣（1+x）2＝﹣x2﹣2x A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：①左边＝（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2， 右边＝（y﹣x）2＝x2﹣2xy+y2， 左边＝右边，故（x﹣y）2＝（y﹣x）2成立，不符合题意； ②左边＝（x﹣2y）2＝x2﹣4xy+4y2， 右边＝x2﹣2y2， 左边≠右边，故（x﹣2y）2＝x2﹣2y2不成立，符合题意； ③左边＝（x﹣y）3， 右边＝（y﹣x）（x﹣y）2＝﹣（x﹣y）（x﹣y）2＝﹣（x﹣y）3， 左边≠右边，故（x﹣y）3＝（y﹣x）（x﹣y）2不成立，符合题意； ④左边＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2， 右边＝（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝x2﹣y2， 左边＝右边，故（x+y）（x﹣y）＝（﹣x﹣y）（﹣x+y）成立，不符合题意； ⑤左边＝1﹣（1+x）2＝﹣x2﹣2x， 右边＝﹣x2﹣2x， 左边＝右边，故1﹣（1+x）2＝﹣x2﹣2x成立，不符合题意； 故选：B． 39．已知M＝20242，N＝2023×2025，则M与N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定 【答案】A 【解答】解：∵M＝20242，N＝2023×2025＝（2024﹣1）（2024+1）＝20242﹣1， 20242﹣（20242﹣1）＝1＞0， ∴M＞N． 故选：A． 40．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（　　） A．（x+a）（x﹣a） B．（a+b）（﹣a﹣b） C．（﹣x﹣b）（x﹣b） D．（b+m）（m﹣b） 【答案】B 【解答】解：A、C、D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算； B、两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算． 故选：B． 41．下列各多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（　　） A．（﹣x﹣y）（x+y） B．（2x+y）（2x﹣y） C．（x2﹣xy）（x2+xy） D．（x+y+m）（x﹣y﹣m） 【答案】A 【解答】解：A、（﹣x﹣y）（x+y）＝﹣（x+y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2，符合题意； B、（2x+y）（2x﹣y）＝（2x）2﹣y2＝4x2﹣y2，不符合题意； C、（x2﹣xy）（x2+xy）＝（x2）2﹣（xy）2＝x4﹣x2y2，不符合题意； D、（x+y+m）（x﹣y﹣m）＝x2﹣（y+m）2＝x2﹣y2﹣2ym﹣m2，不符合题意． 故选：A． 42．下列能用平方差公式进行计算的是（　　） A．（3x﹣2）（2x+3） B．（﹣x+y）（x﹣y） C． D．（﹣3 m+n）（﹣3 m﹣n） 【答案】D 【解答】解：A、（3x﹣2）（2x+3）两个二项式的中相同的项和互为相反数的项都不存在，不能用平方差公式计算，故不符合题意； B、（﹣x+y）（x﹣y）两个二项式中的两项均互为相反数，不能用平方差公式计算，故不符合题意； C、两个二项式中有的两项均互为相反数，不能用平方差公式计算，故不符合题意； D、（﹣3 m+n）（﹣3 m﹣n）两个二项式中存在移项相同、另一项互为相反数，能用平方差公式计算，故符合题意． 故选：D． 43．如果x+y＝6，x2﹣y2＝24，那么y﹣x的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6 【答案】A 【解答】解：∵x+y＝6，x2﹣y2＝24， ∴（x+y）（x﹣y）＝24， ∴6（x﹣y）＝24， ∴x﹣y＝4， ∴y﹣x＝﹣4， 故选：A． 44．为了应用平方差公式计算（x+y+z）（y﹣x﹣z），下列变形正确的是（　　） A．[x﹣（y+z）]2 B．[x+（y+z）][x﹣（y+z）] C．[y+（x+z）][y﹣（x+z）] D．[z+（x+y）][z﹣（x+y）] 【答案】C 【解答】解：原式＝[y+（x+z）][y﹣（x+z）]． 故选：C． 45．下列各式能用平方差公式运算的是（　　） A． B．（x+2）（2+x） C．（﹣a+b）（b﹣a） D．（x﹣2）（x+1） 【答案】A 【解答】解：（y）（y）＝（y）（y）符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则A符合题意， （x+2）（2+x）＝（x+2）（x+2）不符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则B不符合题意， （﹣a+b）（b﹣a）＝（b﹣a）（b﹣a）不符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则C不符合题意， （x﹣2）（x+1）不符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则D不符合题意， 故选：A． 46．等式（y﹣x）_____＝y2﹣x2成立，横线内应填入下式中的（　　） A．x﹣y B．y﹣x C．﹣x﹣y D．x+y 【答案】D 【解答】解：∵（y﹣x）（y+x）＝y2﹣x2， ∴横线内应填入（y+x）． 故选：D． 47．若a＝20220，b＝2021×2023﹣20222，，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a 【答案】D 【解答】解：由题意得，a＝20220＝1＞0； b＝2021×2023﹣20222＝（2022﹣1）×（2022+1）﹣20222＝20222﹣1﹣20222＝﹣1＜0； [（）]2022×（）0， ∵﹣11， ∴a，b，c的大小关系是：b＜c＜a， 故选：D． 48．定义新运算“*”，对于任意实数a，b都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1．例如：5*4＝（5+4）（5﹣4）﹣1＝9﹣1＝8．若x*2＝4x，则x2﹣4x＝　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：根据新运算的定义列出等式可得：（x+2）（x﹣2）﹣1＝4x， 整理得：x2﹣4x﹣5＝0， ∴x2﹣4x＝5． 故答案为：5． 49．计算： （1）； （2）102×98（利用整式乘法公式计算）． 【答案】（1）﹣1； （2）9996． 【解答】解：（1）原式＝﹣4+1﹣（﹣2） ＝﹣3+2 ＝﹣1； （2）原式＝（100+2）（100﹣2） ＝1002﹣22 ＝10000﹣4 ＝9996． 50．（1）【观察】 ①（x﹣1）（x+1）＝ x2﹣1　 ； ②（x﹣1）（x2+x+1）＝ x3﹣1　 ； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ x4﹣1　 ；… （2）【猜想】由此可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝ xn+1﹣1　 ； （3）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：52024+52023+52022+52021+…+5+1的值． 【答案】（1）x2﹣1，x3﹣1，x4﹣1； （2）xn+1﹣1； （3）． 【解答】解：（1）①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； ②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1＝x3﹣1； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4+x3+x2+x﹣x3﹣x2﹣x﹣1＝x4﹣1； 故答案为：x2﹣1，x3﹣1，x4﹣1； （2）由此可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝xn+1﹣1； 故答案为：xn+1﹣1； （3）原式（5﹣1）×（52024+52023+52022+52021+…+5+1） （52025﹣1） ． 51．观察： 22﹣12＝（2+1）（2﹣1）＝2+13； 42﹣32+22﹣12＝（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）＝4+3+2+110； … 探究： （1）82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣12＝　36　 （直接写答案）； （2）求（2n）2﹣（2n﹣1）2+（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2+…+22﹣12的值； 应用： （3）如图，10个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为10cm，向里依次为9cm，8cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留π） 【答案】（1）36； （2）2n2+n； （3）55πcm2． 【解答】解：（1）82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣1236， 故答案为：36； （2）（2n）2﹣（2n﹣1）2+（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2+…+22﹣122n2+n； （3）102π﹣92π+…﹣32π+22π﹣π ＝（102﹣92+…﹣32+22﹣1）π ＝（10+9+…+3+2+1）π ＝55π（cm2）． 52．简便计算： （1）； （2）899×901+1； （3）2012； （4）20242﹣4050×2024+20252． 【答案】（1）； （2）810000； （3）40401； （4）1． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式＝（900﹣1）×（900+1）+1 ＝9002﹣1+1 ＝810000； （3）原式＝（200+1）2 ＝2002+2×200×1+12 ＝40000+400+1 ＝40401； （4）原式＝20242﹣2×2025×2024+20252 ＝（2024﹣2025）2 ＝（﹣1）2 ＝1． 53．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积可表示为（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：　（a+b）2﹣4ab ，方法2：　（a﹣b）2 ； （2）由（1）可得到一个关于（a+b）2、（a﹣b）2、ab的等量关系式是 　（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2 ； （3）若a﹣b＝5，ab＝2，则（a+b）2＝　33　 ； 【知识迁移】（4）如图5，正方形ABCD和正方形EFGH边长分别为a，b（a＞b），若a+b＝6，ab＝6，E是AB的中点，则图中的阴影部分面积的和是 　3　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）方法1：（a+b）2﹣4ab，方法2：（a﹣b）2， 故答案为：（a+b）2﹣4ab，（a﹣b）2； （2）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，、 故答案为：）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2； （3）∵a﹣b＝5，ab＝2， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝25+8＝33， 故答案为：33． （4）阴影部分面积等于 ， ∵a+b＝6，ab＝6， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝62﹣4×6＝12， ∴阴影部分面积等于12＝3． 故答案为：3． ▉题型4 平方差公式的几何背景 【知识点的认识】 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 54．从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（　　） A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 【答案】D 【解答】解：图1中阴影部分的面积为：a2﹣b2，图2中阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b）， ∵两图中阴影部分的面积相等， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， ∴可以验证成立的公式为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：D． 55．一位庄园主把一块边长为a米的正方形土地租给租户，第二年，他对租户说：“我把这块地的一组对边增加10米，一组对边减少10米，继续租给你，租金不变，你看如何？”如果这样，你觉得租户的租地面积会（　　） A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定 【答案】A 【解答】解：∵长方形的长为（a+10）米，长方形的宽为（a﹣10）米， ∴长方形的面积为（a+10）（a﹣10）＝a2﹣100， ∴长方形的面积比正方形的面积a2小了100平方米， 故选：A． 56．如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩下部分沿图中实线剪开后排成如图②所示的长方形，通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【答案】A 【解答】解：阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：A． 57．已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，比较图2与图1的阴影部分的面积，可得等式（　　） A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab 【答案】A 【解答】解：由图1得：正方形ABCD的面积是a2，正方形FGCH的面积是b2， ∴阴影部分的面积是a2﹣b2， 由图2得：AH＝AB+FH＝a+b，AE＝AD﹣DE＝a﹣b， ∴长方形AHDE的面积即阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b）， ∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故选：A． 58．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分剪拼成一个长方形，可以得到一个关于a，b的恒等式（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣ab＝a（a﹣b） 【答案】A 【解答】解：挖掉小正方形后的面积＝a2﹣b2， 新的长方形的面积＝（a+b）（a﹣b）， 则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：A． 59．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＜b），再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②．根据这两个图形的面积关系，表示下列式子成立的是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a﹣b）2 【答案】A 【解答】解：图①阴影部分面积为：a2﹣b2，图②阴影部分面积为：（2a+2b）（a﹣b）2（a+b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：A． 60．某古书记载有一个狡猾的地主，把一块边长为am的正方形土地租给马老汉栽种．过了一年，他对马老汉说：“我把这块地的一边减少10m，另一边增加10m，变成长方形继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道马老汉吃亏了．请运用学过的相关知识分析一下，马老汉租用的土地面积少了 　100　 m2． 【答案】100． 【解答】解：原来的面积是：a2 （m2）， 后来的面积是：（a+10）（a﹣10）＝（a2﹣100）m2， ∵a2﹣（a2﹣100）＝100， ∴马老汉租用的土地面积少了100m2． 故答案为：100． 学科网（北京）股份有限公司 $