7.3 一元一次不等式组 同步复习讲义2025-2026学年沪科版数学七年级下册

本讲义聚焦一元一次不等式组这一核心知识点，系统构建从定义认知到实际应用的完整学习支架。先通过概念解析明确一元一次不等式组的构成，再依托解法步骤（求各不等式解集、数轴找公共部分）培养运算能力，进而通过整数解问题强化推理意识，最终以实际应用题型（如温度范围、购物方案）实现知识迁移。 资料特色在于分层设计与素养融合，题型覆盖定义辨析、解法应用、参数探究等，如“关联方程”“新定义运算”等创新题，引导学生用数学眼光抽象问题、用数学思维推理求解。课中助力教师实施分层教学，课后通过多样化练习帮助学生查漏补缺，有效提升抽象能力、应用意识与创新意识。

第7章 7.3 一元一次不等式组 题型1 一元一次不等式组的定义 题型2 解一元一次不等式组 题型3 一元一次不等式组的整数解 题型4 一元一次不等式组的应用 ▉题型1 一元一次不等式组的定义 【知识点的认识】 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 1．下列不等式组是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． ▉题型2 解一元一次不等式组 【知识点的认识】 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 2．小明在网上购买了牛奶和蛋糕，牛奶的储藏温度要求为2℃～6℃，蛋糕的储藏温度要求为0℃～10℃，若快递公司将牛奶和蛋糕一起运送，则储藏温度应为（　　） A．0℃～2℃ B．2℃～6℃ C．0℃～6℃ D．2℃～10℃ 3．关于x的不等式组的解集是3≤x≤5，则a﹣b的值是（　　） A．1 B． C．﹣9 D．9 4．不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 5．关于x的不等式组的整数解仅有3个，且3个整数解的和为6，则m的取值范围是（　　） A．1⩽m＜2 B． C． D． 6．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A．a≥3 B．a≤3 C．a＞3 D．a＜3 7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 8．下列说法中，正确的有（　　） ①若m＞n，则ma2＞na2； ②x＞4是不等式8﹣2x＜0的解集； ③不等式两边乘（或除以）同一个数，不等号的方向不变； ④是方程x﹣2y＝3的唯一解； ⑤不等式组无解． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．若关于x、y的方程组的解是正数，则m的取值范围是 　 ． 10．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为 　 ． 11．阅读材料：对于三个数a，b，c，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：min{﹣1，2，3}＝﹣1；min{﹣3，﹣3，﹣3}＝﹣3；若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则x的取值范围是 　 　 ． 12．定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣3.14]＝﹣4．如果，则x的取值范围为 　 ． 13．解不等式组，并在数轴上表示其解集． 14．若关于x的不等式组的解集为1＜x≤3，求ab的值． 15．解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 16．解不等式组：． 17．已知关于x、y的方程组，若x的值为非负数，y的值为正数． （1）求m的取值范围； （2）已知n﹣m＝2，且n＜2，求m+n的取值范围． 18．已知关于x、y的方程组（实数m是常数）． （1）若x+y＝1，求实数m的值； （2）若﹣1≤x﹣y≤5，求m的取值范围； （3）在（2）的条件下，化简：|m+2|+|m﹣5|． 19．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”． 例如：方程x﹣1＝2的解为x＝3，而不等式组 的解集为1＜x＜4，可以发现x＝3在1＜x＜4的范围内，所以方程x﹣1＝2是不等式组的“相伴方程”． 问题解决： （1） 在方程①3﹣x＝0，②3x＝﹣1中，不等式组 的“相伴方程”是 　 　 （填序号）； （2）若关于x的方程3x﹣k＝6是不等式组 的“相伴方程”，求k的取值范围； （3）若方程 都是关于x的不等式组 的“相伴方程”，试求m的取值范围． 20．解一元一次不等式组，并把解在数轴上表示出来． 21．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“关联方程”．例如：方程x﹣2＝1的解为x＝3，不等式组的解集为﹣1＜x＜4，因为x＝3在﹣1＜x＜4的范围内，所以方程x﹣2＝1是不等式组的“关联方程”． （1）方程2x+1＝﹣x　 　 （填“是”或“不是”）不等式组的“关联方程”． （2）已知关于x的方程x+2m＝5是不等式组的“关联方程”，求m的取值范围． （3）已知关于x的方程x﹣2n＝1是关于x的不等式组的“关联方程”，直接写出n的取值范围为　 ． ▉题型3 一元一次不等式组的整数解 【知识点的认识】 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 22．若关于x的不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是（　　） A．﹣1＜m≤0 B．﹣1≤m＜0 C．﹣1＜m＜0 D．﹣1＜m≤1 23．已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是（　　） A．0≤a＜1 B．0≤a≤1 C．0＜a＜1 D．0＜a≤1 24．若实数m使关于x的不等式组恰有4个整数解，且使方程组有整数解，则符合条件的整数m可能为：9、10、11、12，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．关于x的不等式组恰好只有四个整数解，则a的取值范围是（　　） A．2≤a＜3 B．2≤a≤3 C．a＜3 D．2＜a＜3 26．若整数a是使得关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于y的一元一次方程1的解满足y≤87．则所有满足条件的整数a的值之和为（　　） A．﹣35 B．﹣30 C．﹣24 D．﹣17 27．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是 　 　 ． 28．关于y的不等式组有且只有4个整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是 　 　 ． 29．关于x的不等式组恰好有四个整数解，则a的取值范围是 　 ． 30．不等式组的整数解是　 　 ． 31．若不等式组的所有整数解的和为k，则关于x的一元一次方程的解为 　 ． 32．解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 33．解不等式（组）： （1）解不等式5（x+1）≤3x﹣1，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）求不等式组的整数解． 34．解不等式（组）； （1）解不等式，并在数轴上表示出它的解集． （2）解不等式组：并写出它的所有整数解． 35．阅读运用： 对x，y定义一种新运算，规定T（x，y）＝ax+2by﹣1（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，如：T（0，1）＝a•0+2b•1﹣1＝2b﹣1，已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝3． （1）求a，b的值； （2）求T（3，﹣6）； （3）若关于m的不等式组 恰有2个整数解，求实数P的取值范围． 36．我们约定：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”． 例如：不等式组是的“子集”． （1）若不等式组：，，则其中不等式组 是不等式组的“子集”（填A或B）； （2）若关于x的不等式组不是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 　 ； （3）若关于x的不等式组有解且是不等式组的“子集”，求a的取值范围是 　 　 ； （4）若关于x的不等式组是不等式组N：﹣2≤x≤7的“子集”且不等式组M的所有整数解的和为15，请求出m，n的取值范围． 37．对x，y定义一种新运算M，规定：M（x，y）＝mx+ny（其中m，n均为非零常数）．例如：M（1，1）＝m+n，已知M（1，﹣1）＝9，M（3，1）＝7． （1）求m，n的值； （2）若关于t的不等式组恰好有3个整数解，求a的取值范围． ▉题型4 一元一次不等式组的应用 【知识点的认识】 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 38．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，计算机运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次操作才停止，那么x的取值范围是（　　） A．8＜x≤22 B．22＜x≤64 C．22＜x≤62 D．8＜x≤20 39．小明测量一种玻璃球的体积，他的测量方法是：①将500cm3的水倒进一个容量为750cm3的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小明判断这样的一个玻璃球的体积可能是（　　） A．70cm3 B．65cm3 C．55cm3 D．50cm3 40．按图中程序计算，规定：从“输入一个值x”到“结果是否≥14”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，则x的取值范围为（　　） A．2≤x＜5 B．2≤x≤5 C．1≤x≤5 D．1≤x＜5 41．某种出租车的收费标准：起步价5元（即行驶距离不超过3千米都需付5元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.2元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费15.8元，设甲地到乙地路程是x千米，则x的范围是 　 　 ． 42．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗，某食品厂生产的A，B两种粽子深受广大消费者喜爱．已知3袋A粽子和2袋B粽子进货价为170元，4袋A粽子和5袋B粽子进货价为320元． （1）分别求出每袋A粽子，B粽子的进货价． （2）某超市计划用不超过3450元购进A粽子，B粽子共100袋，且A粽子数量的3倍不超过B粽子数量的4倍．该超市有哪几种进货方案？ 43．太阳山晨光文具店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，那么该商店有哪几种进货方案？ 44．为了拓宽学生视野，某校计划组织900名师生开展以“追寻红色足迹，传承红色精神”为主题的研学活动．某旅游公司有A，B两种型号的客车可以租用，已知1辆A型车和1辆B型车可以载乘客85人，3辆A型车和2辆B型车可以载乘客210人． （1）一辆A型客车和一辆B型客车分别可以载乘客多少人？ （2）若租用A型客车和B型客车（两种都租）刚好能装载这900名师生，请求出所有的租车方案？ （2）该校计划租用A，B两种型号的客车共22辆，其中A型客车数量的一半不少于B型客车的数量，共有多少种租车方案？ 45．【情景引入】 《哪吒之魔童闹海》的火爆上映，不仅为观众带来了精彩的视觉盛宴，也为相关企业和个人带来了巨大的经济效益．在数学课上，老师布置了一个问题，但其中的部分条件被挡住了． 问题：某商家购进哪吒和敖丙两种纪念娃娃，哪吒娃娃25个，敖丙娃娃50个，共花费4500元，，求哪吒和敖丙两种娃娃的单价各是多少元． 通过查看某同学的解题思路发现：“设哪吒娃娃的单价为x元，则可列一元一次方程：25x+50（x﹣30）＝4500．” （1）题目中被覆盖的条件是　 　 ；（填序号） ①哪吒娃娃的单价比敖丙娃娃的单价低30元； ②哪吒娃娃的单价比敖丙娃娃的单价高30元． 【迁移类比】 （2）一位同学看了解析后，认为用二元一次方程组求解也非常方便，请你根据这位同学的想法列出方程组，求哪吒和敖丙娃娃的单价各是多少元． 【拓展延伸】 根据需要，商家决定再次购进哪吒和敖丙娃娃共50个，此次总费用不超过3250元，且购买哪吒娃娃不少于23个，商家共有几种购买方案？ 46．某学校为奖励在趣味运动会上取得好成绩的学生，计划购买“冰墩墩”和“雪容融”两种挂件作为奖品，两种挂件一共买30个．其中“冰墩墩”挂件每个50元，“雪容融”挂件每个32元． （1）如果购买“冰墩墩”和“雪容融”两种挂件共花费1284元，求两种挂件各购买了多少个？ （2）如果购买“冰墩墩”挂作的数量超过10个，总费用又不超过1200元，那么该学校共有哪几种不同的购买方案？ 47．为进一步落实“德智体美劳”五育并举，山西省在2025年实行中考体育改革，把足球，篮球，排球（任选其一）加入到中考体育测试范围，某中学为此准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球．已知购买2个足球和1个篮球共需240元，购买3个足球和2个篮球共需410元． （1）足球和篮球的单价各多少元？ （2）若该学校准备购买足球和篮球共100个（每种至少买一个）；要求总费用不超过8000元，若商店的足球可打八折销售，篮球按原价销售，则至少要买多少个足球？ 48．为倡导读书风尚，打造书香校园．某校计划购买一批图书．若同时购进A种图书20本和B种图书50本，则共需1700元，且购进A种图书16本和购进B种图书28本的价格相同． （1）求A，B两种图书的单价各是多少元． （2）若学校计划购买这两种图书共60本．要求每种都要购买，且A种图书的数量多于B种图书的数量，根据学校预算，购买总金额不能超过1690元．请问学校共有哪几种购买方案？ 49．随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，某校开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的学生，学校准备一次性购买A，B两种航天器模型作为奖品．已知购买1个A模型和1个B模型共需159元；购买3个A模型和2个B模型共需374元． （1）求A模型和B模型的单价； （2）根据学校的实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，但要求购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用． 50．为了迎接军运会，武汉市公交总公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车10辆，已知一辆A型公交车与一辆B型公交车售价之比为2：3，每辆B型车的售价比每辆A型车的2倍少60万元． （1）求购买两种型号的公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为50万人次和80万人次，若购买A型和B型公交车的总费用不超过1500万，且确保这10辆公交车在该线路上的年均载客量综合不少于590万人次，则有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？ 51．某校决定组织学生开展校外拓展活动，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示．学校计划此次拓展活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师． 客车 甲种 乙种 载客量/（人/辆） 30 42 租金/（元/辆） 300 400 （1）参加此次拓展活动的老师有　 　 人，参加此次拓展活动的学生有　 　 人； （2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为　 　 辆． （3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由． 52．某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元 （1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？ （2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？ 53．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元． （1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为正整数），求有哪几种购买方案． （3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 7.3 一元一次不等式组 题型1 一元一次不等式组的定义 题型2 解一元一次不等式组 题型3 一元一次不等式组的整数解 题型4 一元一次不等式组的应用 ▉题型1 一元一次不等式组的定义 【知识点的认识】 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 1．下列不等式组是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A．是一元二次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； B．是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C．是一元一次不等式组，故本选项符合题意； D．是分式不等式组，不是整数不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：C． ▉题型2 解一元一次不等式组 【知识点的认识】 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 2．小明在网上购买了牛奶和蛋糕，牛奶的储藏温度要求为2℃～6℃，蛋糕的储藏温度要求为0℃～10℃，若快递公司将牛奶和蛋糕一起运送，则储藏温度应为（　　） A．0℃～2℃ B．2℃～6℃ C．0℃～6℃ D．2℃～10℃ 【答案】B 【解答】解：牛奶的储藏温度要求为2℃～6℃，蛋糕的储藏温度要求为0℃～10℃， 那么快递公司将牛奶和蛋糕一起运送，则储藏温度应为2℃～6℃， 故选：B． 3．关于x的不等式组的解集是3≤x≤5，则a﹣b的值是（　　） A．1 B． C．﹣9 D．9 【答案】C 【解答】解：解不等式 x﹣a≥b，得 x≥a+b， 解不等式 2x﹣a≤2b+1，得 ， 由条件可知a+b＝3，即a+2b＝9， 联立方程， 解得， ∴a﹣b＝﹣3﹣6＝﹣9， 故选：C． 4．不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由x﹣2≥﹣3得：x≥﹣2， 由8﹣2x＞4得：x＜2， 则不等式组的解集为﹣2≤x＜2， 故选：A． 5．关于x的不等式组的整数解仅有3个，且3个整数解的和为6，则m的取值范围是（　　） A．1⩽m＜2 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵不等式组的整数解仅有3个，且3个整数解的和为6， ∴整数解为1，2，3， ∴， 解得1＜m， ∴m的取值范围是1＜m． 故选：D． 6．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A．a≥3 B．a≤3 C．a＞3 D．a＜3 【答案】A 【解答】解：， 解不等式①得，x， 解不等式②得，x≤1， ∵该不等式组无解， ∴1， 解得a≥3， 故选：A． 7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：， 解不等式①得x＞1， 解不等式②得x≤2， 所以不等式组的解集为1＜x≤2． 故选：C． 8．下列说法中，正确的有（　　） ①若m＞n，则ma2＞na2； ②x＞4是不等式8﹣2x＜0的解集； ③不等式两边乘（或除以）同一个数，不等号的方向不变； ④是方程x﹣2y＝3的唯一解； ⑤不等式组无解． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解答】解：①若m＞n且a≠0，则ma2＞na2，不符合题意； ②x＞4是不等式8﹣2x＜0的解集，符合题意； ③不等式两边乘（或除以）同一个数（不为0），不等号的方向不变，不符合题意； ④是方程x﹣2y＝3的一解，不符合题意； ⑤不等式组的解集为x＝1，不符合题意． 故选：B． 9．若关于x、y的方程组的解是正数，则m的取值范围是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：， ②﹣①×2得：y＝3m﹣4， 把y＝3m﹣4代入①得：x， 根据题意得：3m﹣4＞0，， 解得：， 故答案为：． 10．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为m≥1　 ． 【答案】m≥1． 【解答】解：解不等式2（x+1）＜4得：x＜1， ∵原不等式组无解， ∴m≥1， 故答案为：m≥1． 11．阅读材料：对于三个数a，b，c，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：min{﹣1，2，3}＝﹣1；min{﹣3，﹣3，﹣3}＝﹣3；若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则x的取值范围是 　0≤x≤1　 ． 【答案】0≤x≤1． 【解答】解：∵min{2，2x+2，4﹣2x}＝2， ∴， 解得：0≤x≤1． 故答案为：0≤x≤1． 12．定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣3.14]＝﹣4．如果，则x的取值范围为 　﹣4≤x＜﹣2　 ． 【答案】﹣4≤x＜﹣2． 【解答】解：∵， ∴， 解不等式①，得x≥﹣4， 解不等式②，得x＜﹣2， 所以不等式组的解集是﹣4≤x＜﹣2， 故答案为：﹣4≤x＜﹣2． 13．解不等式组，并在数轴上表示其解集． 【答案】﹣3＜x＜2． 【解答】解： 由①得：2x﹣x＞﹣3， 解得：x＞﹣3， 由②得：5x+2＞8x﹣4， 解得：x＜2， 在数轴上表示不等式的解集如下： ∴不等式组的解集为：﹣3＜x＜2． 14．若关于x的不等式组的解集为1＜x≤3，求ab的值． 【答案】12． 【解答】解：， 由①得：x＞a﹣b， 由②得：x≤2b﹣a+1， 所以不等式组的解集为：a﹣b＜x≤2b﹣a+1， ∵关于x的不等式组的解集为1＜x≤3， ∴，解得， ∴ab＝3×4＝12． 15．解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】见试题解答内容 【解答】解： ∵解不等式①，得x＞2， 解不等式②，得x≤3， ∴不等式组的解集是2＜x≤3， 在数轴上表示为：． 16．解不等式组：． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：， 由①得，x， 由②得，x＞﹣2， 故不等式组的解集为：﹣2＜x． 17．已知关于x、y的方程组，若x的值为非负数，y的值为正数． （1）求m的取值范围； （2）已知n﹣m＝2，且n＜2，求m+n的取值范围． 【答案】（1）； （2）﹣2≤m+n＜2． 【解答】解：（1）解方程组得：， ∵x的值为非负数，y的值为正数， ∴， 解得：； （2）∵n﹣m＝2， ∴n＝m+2， ∵n＜2， ∴m+2＜2， ∴m＜0， ∵﹣2≤m＜0， ∴0≤m+2＜2， ∴0≤n＜2， ∴﹣2≤m+n＜2． 18．已知关于x、y的方程组（实数m是常数）． （1）若x+y＝1，求实数m的值； （2）若﹣1≤x﹣y≤5，求m的取值范围； （3）在（2）的条件下，化简：|m+2|+|m﹣5|． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）， ①+②得，3x+3y＝6m+1， ∴， 由条件可知， 解得； （2）， ①﹣②得，x﹣y＝2m﹣1， 由条件可知﹣1≤2m﹣1≤5， 解得0≤m≤3； （3）∵0≤m≤3， ∴m+2＞0，m﹣5＜0， ∴|m+2|+|m﹣5|＝m+2+5﹣m＝7． 19．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”． 例如：方程x﹣1＝2的解为x＝3，而不等式组 的解集为1＜x＜4，可以发现x＝3在1＜x＜4的范围内，所以方程x﹣1＝2是不等式组的“相伴方程”． 问题解决： （1）在方程①3﹣x＝0，②3x＝﹣1中，不等式组 的“相伴方程”是 　②　 （填序号）； （2）若关于x的方程3x﹣k＝6是不等式组 的“相伴方程”，求k的取值范围； （3）若方程 都是关于x的不等式组 的“相伴方程”，试求m的取值范围． 【答案】（1）②；（2）﹣9＜k≤﹣3；（3）﹣4＜m≤3． 【解答】解：（1）方程①3﹣x＝0， 解得：x＝3， 方程②3x＝﹣1， 解得：x， 不等式组， 解得：﹣4＜x＜1， ∵x在﹣4＜x＜1范围内， ∴方程②是不等式组 的“相伴方程”； 故答案为：②； （2）3x﹣k＝6， 解得：x＝2， ， 解得：﹣1＜x≤1， 由题意可得：， 解得：﹣9＜k≤﹣3； （3）2x+4＝0， 解得：x＝﹣2， ， 解得：x＝﹣1， ， 解得：m﹣5≤x＜m+3， ∵x＝﹣2和x＝﹣1都在m﹣5＜x＜m+3范围内， ∴， 解得：﹣4＜m≤3． 20．解一元一次不等式组，并把解在数轴上表示出来． 【答案】﹣1＜x≤2． 【解答】解：， 解不等式①得x＞﹣1， 解不等式②得x≤2， ∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2． ． 21．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“关联方程”．例如：方程x﹣2＝1的解为x＝3，不等式组的解集为﹣1＜x＜4，因为x＝3在﹣1＜x＜4的范围内，所以方程x﹣2＝1是不等式组的“关联方程”． （1）方程2x+1＝﹣x　是　 （填“是”或“不是”）不等式组的“关联方程”． （2）已知关于x的方程x+2m＝5是不等式组的“关联方程”，求m的取值范围． （3）已知关于x的方程x﹣2n＝1是关于x的不等式组的“关联方程”，直接写出n的取值范围为　　 ． 【答案】（1）是； （2）． 【解答】解：（1）∵方程2x+1＝﹣x的解是x， 不等式组的解集为x＜2， ∴x在x＜2的范围内， ∴方程2x+1＝﹣x是不等式组的“关联方程”， 故答案为：是； （2）由x+2m＝5，解得 x＝5﹣2m， 由，解得1＜x＜3， 根据题意，得1＜5﹣2m＜3， 解得1＜m＜2； （3）∵方程x﹣2n＝1是关于x的不等式组的“关联方程”， ∴不等式组有解，即2＜n+3， ∵方程x﹣2n＝1的解是x＝2n+1， 不等式组的解集为2＜x＜n+3， ∴根据题意，得2＜2n+1＜n+3， ∴． 故答案为：． ▉题型3 一元一次不等式组的整数解 【知识点的认识】 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 22．若关于x的不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是（　　） A．﹣1＜m≤0 B．﹣1≤m＜0 C．﹣1＜m＜0 D．﹣1＜m≤1 【答案】B 【解答】解：解不等式3x﹣2＜1，得x＜1， 解不等式m﹣x＜1，得x＞m﹣1， ∴原不等式组的解集为：m﹣1＜x＜1， ∵不等式组恰有两个整数解， ∴﹣2≤m﹣1＜﹣1， 解得：﹣1≤m＜0． 故选：B． 23．已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是（　　） A．0≤a＜1 B．0≤a≤1 C．0＜a＜1 D．0＜a≤1 【答案】A 【解答】解：不等式组整理得：﹣2≤x≤a， ∵不等式组的整数解共有3个，即﹣2，﹣1，0， ∴a的范围是0≤a＜1． 故选：A． 24．若实数m使关于x的不等式组恰有4个整数解，且使方程组有整数解，则符合条件的整数m可能为：9、10、11、12，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：解不等式组得：﹣3≤x＜﹣2m， ∵实数m使关于x的不等式组恰有4个整数解， ∴0＜﹣2m≤1， 解得：8＜m≤12， ∵m为整数， ∴m为9，10，11，12， 解方程组得：， ∵方程组有整数解， ∴m只能为9或12， 故选：B． 25．关于x的不等式组恰好只有四个整数解，则a的取值范围是（　　） A．2≤a＜3 B．2≤a≤3 C．a＜3 D．2＜a＜3 【答案】A 【解答】解：∵不等式组， ∴解不等式①得：x≤4， 解不等式②得：x＞a﹣2， ∵不等式组恰好只有四个整数解， ∴0≤a﹣2＜1， ∴2≤a＜3， 故选：A． 26．若整数a是使得关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于y的一元一次方程1的解满足y≤87．则所有满足条件的整数a的值之和为（　　） A．﹣35 B．﹣30 C．﹣24 D．﹣17 【答案】A 【解答】解：， 解不等式①得：x＜4， 解不等式②得：x， ∵该不等式组有且仅有4个整数解， ∴该不等式组的解集为：x＜4， ∴﹣10， 解得：﹣11＜a≤﹣5， 1， 去分母得：3（2y+a）＝5（y﹣a）+15， 去括号得：6y+3a＝5y﹣5a+15， 移项得：y＝15﹣8a， ∵该方程的解满足y≤87， ∴15﹣8a≤87， ∴a≥﹣9， ∵﹣9≤a≤﹣5， ∴整数a为：﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，它们的和为﹣35， 故选：A． 27．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是 　﹣2＜m≤﹣1　 ． 【答案】﹣2＜m≤﹣1． 【解答】解：，得：， ∵不等式组有4个整数解， ∴﹣1≤x＜m+4，整数解为：﹣1，0，1，2， ∴2＜m+4≤3， 解得：﹣2＜m≤﹣1； 故答案为：﹣2＜m≤﹣1． 28．关于y的不等式组有且只有4个整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是 　720　 ． 【答案】720． 【解答】解：解不等式2y﹣6≤3（y﹣1），得y≥﹣3， 解不等式，得， 原不等式组有解， ∴， 原不等式组有且只有4个整数解， ∴， 解得：0＜a≤6， ∵a为整数， ∴a＝1或2或3或4或5或6， 所有满足条件的整数a的值之积是1×2×3×4×5×6＝720， 故答案为：720． 29．关于x的不等式组恰好有四个整数解，则a的取值范围是 　﹣2＜a　 ． 【答案】﹣2＜a． 【解答】解：， 解不等式①得：x≤11， 解不等式②得：x＞2﹣3a， ∴原不等式组的解集为：2﹣3a＜x≤11， ∵不等式组恰好有四个整数解， ∴7≤2﹣3a＜8， ∴﹣2＜a， ∴a的取值范围是：﹣2＜a， 故答案为：﹣2＜a． 30．不等式组的整数解是　﹣1，0，1　 ． 【答案】﹣1，0，1． 【解答】解：， 解不等式①，得：x＞﹣2， 解不等式②，得：x≤1， ∴原不等式组的解集为﹣2＜x≤1， ∴该不等式组的整数解为﹣1，0，1， 故答案为：﹣1，0，1． 31．若不等式组的所有整数解的和为k，则关于x的一元一次方程的解为 x＝﹣1　 ． 【答案】x＝﹣1． 【解答】解：， 由不等式①得x＞﹣3， 由不等式②得x≤1， ∴不等式组的解集是﹣3＜x≤1，其中整数解为﹣2，﹣1，0，1，整数解的和为﹣2， ∴k＝﹣2， 将k＝﹣2代入得， 解得：x＝﹣1， 故答案是：x＝﹣1． 32．解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 【答案】10． 【解答】解：， 解不等式①得，x≥1， 解不等式②得，x≤4， ∴不等式组的解集为1≤x≤4， ∴不等式组的所有整数解为1，2，3，4， ∴不等式组的所有整数解和为1+2+3+4＝10． 33．解不等式（组）： （1）解不等式5（x+1）≤3x﹣1，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）求不等式组的整数解． 【答案】（1）x≤﹣3； （2）1和2． 【解答】解：（1）5（x+1）≤3x﹣1， 去括号，得5x+5≤3x﹣1， 移项，得5x﹣3x≤﹣1﹣5， 合并同类项，得2x≤﹣6， 系数化为1，得x≤﹣3， 解集在数轴上表示出来为： ； （2）， 解不等式①得：x＞0， 解不等式②得：x＜3， 故不等式组的解集为0＜x＜3， ∴不等式组的整数解有1和2． 34．解不等式（组）； （1）解不等式，并在数轴上表示出它的解集． （2）解不等式组：并写出它的所有整数解． 【答案】（1）x≤1； （2）﹣3＜x≤1，它的所有整数解为﹣2、﹣1、0、1． 【解答】解：（1）∵， ∴2（x﹣1）≥3（x﹣3）+6， 2x﹣2≥3x﹣9+6， 2x﹣3x≥﹣9+6+2， ﹣x≥﹣1， 则x≤1， 将解集表示在数轴上如下： （2）由3x﹣2≤x得：x≤1， 由得：x＞﹣3， 则不等式组的解集为﹣3＜x≤1， 所以它的所有整数解为﹣2、﹣1、0、1． 35．阅读运用： 对x，y定义一种新运算，规定T（x，y）＝ax+2by﹣1（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，如：T（0，1）＝a•0+2b•1﹣1＝2b﹣1，已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝3． （1）求a，b的值； （2）求T（3，﹣6）； （3）若关于m的不等式组 恰有2个整数解，求实数P的取值范围． 【答案】（1）； （2）﹣8； （3）﹣4≤p． 【解答】解：（1）∵T（x，y）＝ax+2by﹣1，T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝3． ∴， 解得； （2）由（1），得T（x，y）xy﹣1， ∴T（3，﹣6）3（﹣6）﹣1＝1﹣8﹣1＝﹣8； （3）解不等式组 ，得m， 因为原不等式组有2个整数解， 所以23， 解得﹣4≤p． 36．我们约定：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”． 例如：不等式组是的“子集”． （1）若不等式组：，，则其中不等式组 A 是不等式组的“子集”（填A或B）； （2）若关于x的不等式组不是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 a＜3　 ； （3）若关于x的不等式组有解且是不等式组的“子集”，求a的取值范围是 　2≤a＜3　 ； （4）若关于x的不等式组是不等式组N：﹣2≤x≤7的“子集”且不等式组M的所有整数解的和为15，请求出m，n的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）A：，的解集为4＜x＜9， 的解集为x＞1， 的“解集为x＞3， 则不等式组A是不等式组M的子集， 故答案为：A； （2）关于x的不等式组不是不等式组的“子集”， ∵当a≤﹣1时，关于x的不等式组的解集是：x＞﹣1， 不等式组的“解集”是x＞3， 则关于x的不等式组不是不等式组的“子集”， 当a＞﹣1时，关于x的不等式组的解集是：x＞a， ∵不等式组的“解集”是x＞3， 若关于x的不等式组不是不等式组的“子集”， 则a＜3， 综上所述：a＜3时，关于x的不等式组不是不等式组的“子集”； 故答案为：a＜3； （3）∵不等式组有解， ∴解集为：4a﹣5＜x＜a+4，且4a﹣5＜a+4， ∴a＜3， ∵不等式组的“解集”为x＞3， ∵不等式组有解且是不等式组的“子集”， ∴4a﹣5≥3， 解得：a≥2， ∴a的取值范围是 2≤a＜3； （4）关于x的不等式组的解集是：且， ∵关于x的不等式组是不等式组N：﹣2≤x≤7的“子集”， ∴2，7， 解得：m≥﹣5，n≤22， ∵不等式组M的所有整数解的和为15， ∴不等式组M整数解是0、1、2、3、4、5或1、2、3、4、5或4、5、6， ∴①当整数解是0、1、2、3、4、5， ﹣10，56， 解得：﹣3＜m≤﹣1，16＜n≤19， ②当整数解是1、2、3、4、5， 01，56， 解得：﹣1＜m≤1，16＜n≤19， ③当整数解是4、5、6时， ∴34，67， 解得：5＜m≤7，19＜n≤22， ∴m，n的取值范围是﹣3＜m≤1，16＜n≤19或5＜m≤7，19＜n≤22． 37．对x，y定义一种新运算M，规定：M（x，y）＝mx+ny（其中m，n均为非零常数）．例如：M（1，1）＝m+n，已知M（1，﹣1）＝9，M（3，1）＝7． （1）求m，n的值； （2）若关于t的不等式组恰好有3个整数解，求a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得， 解得； （2）由题意得， 解不等式①得t＞﹣1． 解不等式②得t≤a+4． ∵恰好有3个整数解， ∴2≤a+4＜3． ∴﹣2≤a＜﹣1． ▉题型4 一元一次不等式组的应用 【知识点的认识】 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 38．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，计算机运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次操作才停止，那么x的取值范围是（　　） A．8＜x≤22 B．22＜x≤64 C．22＜x≤62 D．8＜x≤20 【答案】B 【解答】解：根据题意可得， ， 解得：22＜x≤64， 故选：B． 39．小明测量一种玻璃球的体积，他的测量方法是：①将500cm3的水倒进一个容量为750cm3的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小明判断这样的一个玻璃球的体积可能是（　　） A．70cm3 B．65cm3 C．55cm3 D．50cm3 【答案】C 【解答】解：设一个球的体积为xcm3，根据题意得， ， 解得， 一个玻璃球的体积可能是55cm3． 故选：C． 40．按图中程序计算，规定：从“输入一个值x”到“结果是否≥14”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，则x的取值范围为（　　） A．2≤x＜5 B．2≤x≤5 C．1≤x≤5 D．1≤x＜5 【答案】A 【解答】解：由题意得，， 解不等式①得，x＜5 解不等式②得，x≥2， ∴2≤x＜5， 故选：A． 41．某种出租车的收费标准：起步价5元（即行驶距离不超过3千米都需付5元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.2元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费15.8元，设甲地到乙地路程是x千米，则x的范围是 　11＜x≤12　 ． 【答案】11＜x≤12． 【解答】解：设甲地到乙地的路程为x千米， 根据题意，可得15.8﹣1.2＜5+（x﹣3）×1.2≤15.8， 解得：11＜x≤12． 故答案为：11＜x≤12． 42．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗，某食品厂生产的A，B两种粽子深受广大消费者喜爱．已知3袋A粽子和2袋B粽子进货价为170元，4袋A粽子和5袋B粽子进货价为320元． （1）分别求出每袋A粽子，B粽子的进货价． （2）某超市计划用不超过3450元购进A粽子，B粽子共100袋，且A粽子数量的3倍不超过B粽子数量的4倍．该超市有哪几种进货方案？ 【答案】（1）每袋A粽子，B粽子的进货价分别为30元和40元； （2）有3种进货方案：①购进A粽子55袋，B粽子45袋；②购进A粽子56袋，B粽子44袋；③购进A粽子57袋，B粽子43袋． 【解答】解：（1）设每袋A粽子，B粽子的进货价分别为x元和y元， ， ∴， 答：每袋A粽子，B粽子的进货价分别为30元和40元； （2）设购进A粽子a袋， ， ∴， 由题意可得：a＝55，56，57， 共3种方案分别为： ①购进A粽子55袋，B粽子45袋；②购进A粽子56袋，B粽子44袋；③购进A粽子57袋，B粽子43袋． 43．太阳山晨光文具店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，那么该商店有哪几种进货方案？ 【答案】（1）购进A种纪念品每件需10元，购进B种纪念品每件需5元； （2）该商店共有3种进货方案， 方案1：购进A种纪念品50件，B种纪念品50件； 方案2：购进A种纪念品51件，B种纪念品49件； 方案3：购进A种纪念品52件，B种纪念品48件． 【解答】解：（1）设购进A种纪念品每件需x元，购进B种纪念品每件需y元， 依题意得：， 解得：． 答：购进A种纪念品每件需10元，购进B种纪念品每件需5元． （2）设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品（100﹣m）件， 依题意得：， 解得：50≤m≤52． 又∵m为正整数， ∴m可以取50，51，52， ∴该商店共有3种进货方案， 方案1：购进A种纪念品50件，B种纪念品50件； 方案2：购进A种纪念品51件，B种纪念品49件； 方案3：购进A种纪念品52件，B种纪念品48件． 44．为了拓宽学生视野，某校计划组织900名师生开展以“追寻红色足迹，传承红色精神”为主题的研学活动．某旅游公司有A，B两种型号的客车可以租用，已知1辆A型车和1辆B型车可以载乘客85人，3辆A型车和2辆B型车可以载乘客210人． （1）一辆A型客车和一辆B型客车分别可以载乘客多少人？ （2）若租用A型客车和B型客车（两种都租）刚好能装载这900名师生，请求出所有的租车方案？ （2）该校计划租用A，B两种型号的客车共22辆，其中A型客车数量的一半不少于B型客车的数量，共有多少种租车方案？ 【答案】（1）一辆A型客车可以载乘客40人，一辆B型客车可以载乘客45人； （2）2种方案，具体见解析； （3）4种方案，具体见解析． 【解答】解：（1）设一辆A型客车可以载乘客x人，一辆B型客车可以载乘客y人． 根据题意列方程组得，， 解得， 即一辆A型客车可以载乘客40人，一辆B型客车可以载乘客45人， 答：一辆A型客车可以载乘客40人，一辆B型客车可以载乘客45人； （2）设租用a辆A型客车，租用b辆B型客车， 根据题意列式得40a+45b＝900，则， ∵a、b是正整数， ∴或， 故有两种租车方案：方案一：租用9辆A型客车，租用12辆B型客车；方案二：租用18辆A型客车，租用4辆B型客车 （3）设租用m辆A型客车，则租用（22﹣m）辆B型客车， 根据题意列一元一次不等式得，， 解得， ∵为正整数， ∴m的值可以为15，16，17，18， ∴共有4种租车方案： 方案一：租用15辆A型客车，7辆B型客车， 方案二：租用16辆A型客车，6辆B型客车， 方案三：租用17辆A型客车，5辆B型客车， 方案二：租用18辆A型客车，4辆B型客车． 45．【情景引入】 《哪吒之魔童闹海》的火爆上映，不仅为观众带来了精彩的视觉盛宴，也为相关企业和个人带来了巨大的经济效益．在数学课上，老师布置了一个问题，但其中的部分条件被挡住了． 问题：某商家购进哪吒和敖丙两种纪念娃娃，哪吒娃娃25个，敖丙娃娃50个，共花费4500元，，求哪吒和敖丙两种娃娃的单价各是多少元． 通过查看某同学的解题思路发现：“设哪吒娃娃的单价为x元，则可列一元一次方程：25x+50（x﹣30）＝4500．” （1）题目中被覆盖的条件是　②　 ；（填序号） ①哪吒娃娃的单价比敖丙娃娃的单价低30元； ②哪吒娃娃的单价比敖丙娃娃的单价高30元． 【迁移类比】 （2）一位同学看了解析后，认为用二元一次方程组求解也非常方便，请你根据这位同学的想法列出方程组，求哪吒和敖丙娃娃的单价各是多少元． 【拓展延伸】 根据需要，商家决定再次购进哪吒和敖丙娃娃共50个，此次总费用不超过3250元，且购买哪吒娃娃不少于23个，商家共有几种购买方案？ 【答案】（1）②； （2）哪吒娃娃的单价为80元．敖丙娃娃的单价为50元； （3）共有3种购买方案． 【解答】解：（1）根据设哪吒娃娃的单价为x元， 则（x﹣30）为哪吒娃娃的单价比敖丙娃娃的单价高30元， 所以题目中被覆盖的条件是②， 故答案为：②； （2）设哪吒娃娃的单价为x元，哪吒娃娃的单价为y元， 根据题意列二元一次方程组得，， 解得， 答：哪吒娃娃的单价为80元．敖丙娃娃的单价为50元； （3）拓展延伸：设购买哪吒娃娃m个，则购买敖丙娃娃（50﹣m）个， 则根据题意列一元一次不等式得，80m+50（50﹣m）≤3250， 整理得，30m≤750， 解得m≤25， ∴23≤m≤25， 又∵m为正整数， ∴m的取值是23，24，25， ∴共有3种购买方案． 46．某学校为奖励在趣味运动会上取得好成绩的学生，计划购买“冰墩墩”和“雪容融”两种挂件作为奖品，两种挂件一共买30个．其中“冰墩墩”挂件每个50元，“雪容融”挂件每个32元． （1）如果购买“冰墩墩”和“雪容融”两种挂件共花费1284元，求两种挂件各购买了多少个？ （2）如果购买“冰墩墩”挂作的数量超过10个，总费用又不超过1200元，那么该学校共有哪几种不同的购买方案？ 【答案】（1）购买“冰墩墩”挂件18个，“雪容融”挂件12个； （2）一共有三种购买方案：当购买“冰墩墩”挂件11件时，购买“雪容融”挂件19件；当购买“冰墩墩”挂件12件时，购买“雪容融”挂件18件，当购买“冰墩墩”挂件13件时，购买“雪容融”挂件17件；选择购买“冰墩墩”挂件11件时，购买“雪容融”挂件19件这种方案的总花费最小，最小为1158元． 【解答】解：（1）设购买“冰墩墩”挂件x个，“雪容融”挂件y个， 由题意得：， 解得， 答：购买“冰墩墩”挂件18个，“雪容融”挂件12个． （2）设购买“冰墩墩”挂件m件，则购买“雪容融”挂件（30﹣m）件， 由题意得：， 解得， ∵m是正整数， ∴m＝11或12或13， ∴一共有三种购买方案： ①当购买“冰墩墩”挂件11件时，购买“雪容融”挂件30﹣11＝19件，总花费为11×50+19×32＝1158元； 当购买“冰墩墩”挂件12件时，购买“雪容融”挂件30﹣12＝18件，总花费为12×50+18×32＝1176元； 当购买“冰墩墩”挂件13件时，购买“雪容融”挂件30﹣13＝17件，总花费为13×50+17×32＝1194元， ∵1194＞1176＞1158， ∴选择购买“冰墩墩”挂件11件时，购买“雪容融”挂件19件这种方案的总花费最小，最小为1158元， 答：一共有三种购买方案：当购买“冰墩墩”挂件11件时，购买“雪容融”挂件19件；当购买“冰墩墩”挂件12件时，购买“雪容融”挂件18件，当购买“冰墩墩”挂件13件时，购买“雪容融”挂件17件；选择购买“冰墩墩”挂件11件时，购买“雪容融”挂件19件这种方案的总花费最小，最小为1158元． 47．为进一步落实“德智体美劳”五育并举，山西省在2025年实行中考体育改革，把足球，篮球，排球（任选其一）加入到中考体育测试范围，某中学为此准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球．已知购买2个足球和1个篮球共需240元，购买3个足球和2个篮球共需410元． （1）足球和篮球的单价各多少元？ （2）若该学校准备购买足球和篮球共100个（每种至少买一个）；要求总费用不超过8000元，若商店的足球可打八折销售，篮球按原价销售，则至少要买多少个足球？ 【答案】（1）足球的单价70元，篮球的单价为100元； （2）46个． 【解答】解：（1）设足球的单价为x元、篮球的单价为y元， 根据题意可得：， 解得， 答：足球的单价70元，篮球的单价为100元； （2）设学校可以购买m个足球，则买（100﹣m）个篮球， 由题意得，70×80%•m+100（100﹣m）≤8000， 解得， ∵m为正整数， ∴m的最小值为46， 答：至少要买46个足球． 48．为倡导读书风尚，打造书香校园．某校计划购买一批图书．若同时购进A种图书20本和B种图书50本，则共需1700元，且购进A种图书16本和购进B种图书28本的价格相同． （1）求A，B两种图书的单价各是多少元． （2）若学校计划购买这两种图书共60本．要求每种都要购买，且A种图书的数量多于B种图书的数量，根据学校预算，购买总金额不能超过1690元．请问学校共有哪几种购买方案？ 【答案】（1）A种图书的单价是35元，B种图书的单价是20元； （2）学校共有2种购买方案， 方案1：购买31本A种图书，29本B种图书； 方案2：购买32本A种图书，28本B种图书． 【解答】解：（1）设A种图书的单价是x元，B种图书的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种图书的单价是35元，B种图书的单价是20元； （2）设购买m本A种图书，则购买（60﹣m）本B种图书， 根据题意得：， 解得：30＜m， 又∵m为正整数， ∴m可以为31，32， ∴学校共有2种购买方案， 方案1：购买31本A种图书，29本B种图书； 方案2：购买32本A种图书，28本B种图书． 49．随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，某校开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的学生，学校准备一次性购买A，B两种航天器模型作为奖品．已知购买1个A模型和1个B模型共需159元；购买3个A模型和2个B模型共需374元． （1）求A模型和B模型的单价； （2）根据学校的实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，但要求购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设A模型的单价是x元，B模型的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A模型的单价是56元，B模型的单价是103元； （2）设购买m个A模型，则购买（20﹣m）个B模型， 根据题意得：， 解得：12＜m≤15， 又∵m为正整数， ∴m的值为13，14，15， ∴该学校共有3种购买方案， 方案1：购买13个A模型，7个B模型，所需费用为56×13+103×7＝1449（元）； 方案2：购买14个A模型，6个B模型，所需费用为56×14+103×6＝1402（元）； 方案3：购买15个A模型，5个B模型，所需费用为56×15+103×5＝1355（元）， ∵1449＞1402＞1355， ∴购买15个A模型，5个B模型费用最少，该方案所需的费用为1355元． 50．为了迎接军运会，武汉市公交总公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车10辆，已知一辆A型公交车与一辆B型公交车售价之比为2：3，每辆B型车的售价比每辆A型车的2倍少60万元． （1）求购买两种型号的公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为50万人次和80万人次，若购买A型和B型公交车的总费用不超过1500万，且确保这10辆公交车在该线路上的年均载客量综合不少于590万人次，则有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？ 【答案】（1）一辆A型公交车售价120元，则一辆B型公交车售价是180元； （2）有三种方案，购进A型公交车7辆，B型公交车3辆，总费用最少，最少总费用为1380万元． 【解答】解：（1）设一辆A型公交车售价2x元，则一辆B型公交车售价是3x元， 根据题意，得3x＝2•2x﹣60， 解得x＝60， ∴2×60＝120（万元）， 3×60＝180（万元）， 答：一辆A型公交车售价120元，则一辆B型公交车售价是180元； （2）设购买A型公交车m辆， 根据题意，得， 解得5≤m≤7， ∴m取正整数5，6，7， 所以有三种购车方案， 方案一：A型公交车5辆，B型公交车5辆，总费用为120×5+180×5＝1500（万元）， 方案二：A型公交车6辆，B型公交车4辆，总费用120×6+180×4＝1440（万元）， 方案三：A型公交车7辆，B型公交车3辆，总费用120×7+180×3＝1380（万元）， ∵1500＞1440＞1380， ∴有三种方案，购进A型公交车7辆，B型公交车3辆，总费用最少，最少总费用为1380万元． 51．某校决定组织学生开展校外拓展活动，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示．学校计划此次拓展活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师． 客车 甲种 乙种 载客量/（人/辆） 30 42 租金/（元/辆） 300 400 （1）参加此次拓展活动的老师有　16　 人，参加此次拓展活动的学生有　284　 人； （2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为　8　 辆． （3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由． 【答案】（1）老师有16人，学生有284人； （2）8； （3）3 种租车方案： 方案一：租用甲种客车3 辆，乙种客车5 辆； 方案二：租用甲种客车2 辆，乙种客车6 辆； 方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7 辆； 方案一最省钱． 【解答】解：（1）设老师有x名，学生有y名． 依题意，得，解得， 故答案为：16，284； （2）∵每辆客车上至少要有2名老师， ∴汽车总数不能超过8辆； 又要保证300名师生有车坐，汽车总数不能小于（取整为8）辆， 综合起来可知汽车总数为8辆； 故答案为：8； （3）设租a辆甲种客车，由题意可得： ， 解得1≤a≤3（a为整数）， ∴共有3 种租车方案： 方案一：租用甲种客车3 辆，乙种客车5 辆，租车费用2900元； 方案二：租用甲种客车2 辆，乙种客车6 辆，租车费用3000元； 方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7 辆，租车费用3100元； ∴最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆． 52．某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元 （1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？ （2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元， 依题意得： ， 解得：． 答：购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元． （2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（50﹣m）个， 依题意得：， 解得：25≤m≤27． 故这次学校购买足球有三种方案： 方案一：购买A种足球25个，B种足球25个； 方案二：购买A种足球26个，B种足球24个； 方案三：购买A种足球27个，B种足球23个． 53．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元． （1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为正整数），求有哪几种购买方案． （3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）依题意，得：， 解得：． 答：m的值为10，n的值为14． （2）依题意，得：， 解得：58≤x≤60． 又∵x为正整数， ∴x可以为58，59，60， ∴共有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜． （3）购买方案1的总利润为（16﹣10）×58+（18﹣14）×42＝516（元）； 购买方案2的总利润为（16﹣10）×59+（18﹣14）×41＝518（元）； 购买方案3的总利润为（16﹣10）×60+（18﹣14）×40＝520（元）． ∵516＜518＜520， ∴利润最大值为520元，即售出甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克． 依题意，得：（16﹣10﹣2a）×60+（18﹣14﹣a）×40≥（10×60+14×40）×20%， 解得：a． 答：a的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $