7.1 不等式及其基本性质 同步复习讲义2025-2026学年沪科版数学七年级下册

本讲义聚焦“不等式及其基本性质”核心知识点，系统梳理不等式的定义（含“＞”“＜”“≤”“≥”“≠”的式子）、基本性质（加减不变向、乘除正数不变向负数变向）、解集（使不等式成立的未知数范围）及数轴表示（定界点虚实与方向），构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以“知识点+题型”设计，通过辨析题（如判断不等式、性质应用）培养抽象能力与推理意识，实际情境题（如高钙牛奶含钙量、保质期表示）体现数学眼光，数轴表示题强化几何直观与数学语言。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升知识应用能力。

第7章 7.1 不等式及其基本性质 题型1 不等式的定义 题型2 不等式的性质 题型3 不等式的解集 题型4 在数轴上表示不等式的解集 ▉题型1 不等式的定义 【知识点的认识】 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 1．下列各式中，是不等式的是（　　） A．x＝3 B．x﹣1 C．x+y＝1 D．4x+5＞0 【答案】D 【解答】解：A、x＝3，是等式，故A不符合题意； B、x﹣1是代数式，不是不等式，故B不符合题意； C、x+y＝1，是等式，故C不符合题意； D、4x+5＞0，是不等式，故D，符合题意； 故选：D． 2．下面给出的5个式子： ①3＞0； ②4x+y＜2； ③2x＝3； ④x﹣1； ⑤x﹣2≥3． 其中不等式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解答】解：①3＞0是不等式、②4x+y＜2是不等式、③2x＝3是等式、④x﹣1是代数式、⑤x﹣2≥3是不等式，共有3个不等式． 故选：B． 3．高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙≥150毫克”，它的含义是指（　　） A．每100克内含钙150毫克 B．每100克内含钙不低于150毫克 C．每100克内含钙高于150毫克 D．每100克内含钙不超过150毫克 【答案】B 【解答】解：根据≥的含义，“每100克内含钙≥150毫克”，就是“每100克内含钙不低于150毫克”， 故选：B． 4．一个数m的2倍与数n的差不小于5，写出这个不等式　2m﹣n≥5　 ． 【答案】2m﹣n≥5． 【解答】解：由题意得：2m﹣n≥5， 故答案为：2m﹣n≥5． 5．a与2的差不大于0，用不等式表示为 a﹣2≤0　 ． 【答案】a﹣2≤0 【解答】解：由题意，用不等式表示为a﹣2≤0， 故答案为：a﹣2≤0． 6．“x与y的2倍的和是正数”用不等式可表示为 x+2y＞0　 ． 【答案】x+2y＞0 【解答】解：依题意得：x+2y＞0． 故答案为：x+2y＞0． 7．某饮料瓶上有这样的字样，保质期18个月．如果用x（单位：月）表示保质期，那么该饮料的保质期可以用不等式表示为　0≤x≤18　 ． 【答案】0≤x≤18 【解答】解：一般饮料和食品应在保质期内，即不超过保质期的时间内食用， 那么该饮料的保质期可以用不等式表示为：0≤x≤18． 故答案为：0≤x≤18． ▉题型2 不等式的性质 【知识点的认识】 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 8．如果a＜b，那么下列不等式正确的是（　　） A．﹣2+a＜﹣2+b B．﹣2a＜﹣2b C． D．a2＞b2 【答案】A 【解答】解：A、∵a＜b，∴﹣2+a＜﹣2+b，故A选项正确； B、∵a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，故B选项错误； C、∵a＜b，∴，故C选项错误； D、由a＜b判断不出a2和b2的大小关系，故D选项错误． 故选：A． 9．已知a＞b，则下列各式中一定成立的是（　　） A．a﹣b＜0 B． C．ac2＞bc2 D．2a﹣1＜2b﹣1 【答案】B 【解答】解：∵a＞b， ∴a﹣b＞0， 故A不符合题意； ∵a＞b， ∴， 故B符合题意； 当c＝0时，ac2＝bc2， 故C不符合题意； ∵a＞b， ∴2a＞2b， ∴2a﹣1＞2b﹣1， 故D不符合题意， 故选：B． 10．若x＜y，则下列结论成立的是（　　） A．x+2＞y+2 B．﹣2x＞﹣2y C．3x＞3y D．﹣1+x＞﹣1+y 【答案】B 【解答】解：∵x＜y， ∴根据不等式的性质1可得x+2＞y+2， 根据不等式的性质3可得﹣2x＞﹣2y， 根据不等式的性质2可得3x＜3y， 根据不等式的性质1可得﹣1+x＜﹣1+y， ∴选项A，C，D不符合题意，选项B不符合题意， 故选：B． 11．已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（　　） A．x+5＜y﹣5 B．﹣2x＜﹣2y C．a2x2＜a2y2 D． 【答案】D 【解答】解：∵x＜y， ∴x+5＜y+5，但是x+5＜y﹣5不一定成立，x+5也有可能大于或等于y﹣5， ∴选项A不符合题意； ∵x＜y， ∴﹣2x＞﹣2y， ∴选项B不符合题意； ∵x＜y时，a2x2＜a2y2不一定成立，例如a＝0时，a2x2＝a2y2， ∴选项C不符合题意； ∵x＜y， ∴， ∴选项D符合题意． 故选：D． 12．若a＞b，则下列不等式变形错误的是（　　） A．a+1＞b+1 B． C．3a﹣1＞3b﹣1 D．1﹣a＞1﹣b 【答案】D 【解答】解：A、两边都加1，不等号的方向不变，故A不符合题意； B、两边都除以﹣3，不等号的方向不变，故B不符合题意； C、两边都乘3，不等号的方向不变，两边都减，不等号的方向不变，故C不符合题意； D、两边都乘﹣1，不等号的方向改变，故D符合题意； 故选：D． 13．已知a≥b，则一定有﹣2025a□﹣2025b，“☐”中应填的符号是（　　） A．≤ B．≥ C．＜ D．＞ 【答案】A 【解答】解：根据不等式的性质，a≥b，﹣2025＜0， ∴﹣2025a≤﹣2025b，即“☐”中应填的符号是≤， 故选：A． 14．若x＞y，且mx＜my，则m的值可能是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解答】解：∵x＞y，且mx＜my， ∴m＜0， 故选：A． 15．根据不等式的性质，下列变形中正确的是（　　） A．由a＜b，得﹣3a＜﹣3b B．由，得a＜2 C．由a（c2+1）＞b（c2+1），得a＞b D．由a＞b，得a+c＜b+c 【答案】C 【解答】解：根据不等式的基本性质逐项分析判断如下： A．由a＜b，两边同乘﹣3时，不等号方向应改变，正确变形为﹣3a＞﹣3b，故A错误，不符合题意； B．由，两边同乘2得a＞4，而非a＜2，故B错误，不符合题意； C．由a（c2+1）＞b（c2+1），因c2+1＞0，两边同除以c2+1后不等号方向不变，得a＞b，故C正确，符合题意； D．由a＞b，两边同加c，不等号方向不变，应为a+c＞b+c，故D错误，不符合题意． 故选：C． 16．由x＜y得到ax≥ay的条件是（　　） A．a＞0 B．a≥0 C．a＜0 D．a≤0 【答案】D 【解答】解：根据不等式的性质3，由x＜y得到ax≥ay的条件是a≤0． 故选：D． 17．下列变形不正确的是（　　） A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a﹣c＞b﹣c，则a＞b C．若，则a＞b D．若a＞b，则ac2＞bc2 【答案】D 【解答】解：A、若a＞b，则a+c＞b+c，计算正确，故选项不符合题意； B、若a﹣c＞b﹣c，则a＞b，计算正确，故选项不符合题意； C、若，则a＞b，计算正确，故选项不符合题意； D、若a＞b，则ac2＞bc2，当c＝0时，不成立，故选项符合题意； 故选：D． 18．把方程变形为x＝6的依据是（　　） A．不等式的基本性质1 B．等式的基本性质1 C．等式的基本性质2 D．分数的基本性质 【答案】C 【解答】解：将方程的两边同时乘以3，可变形为x＝6， ∴的依据是把方程变形为x＝6的依据是等式的基本性质2， 故选：C． 19．若m＞n，则﹣3m　＜　 ﹣3n（填“＞”或“＜”）． 【答案】＜． 【解答】解：∵m＞n， ∴﹣3m＜﹣3n， 故答案为：＜． 20．根据等式和不等式的性质，可以得到：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b．若a﹣b＜0，则a＜b；这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． （1）已知A＝5m2﹣4（m），B＝7（m2﹣m）+3，请运用前面介绍的方法比较代数式A与B的大小； （2）比较3a+2b与2a+3b的大小． 【答案】（1）A＜B； （2）当a＞b，即a﹣b＞0，有3a+2b＞2a+3b， 当a＝b，即a﹣b＝0，有3a+2b＝2a+3b， 当a＜b，则a﹣b＜0，有3a+2b＜2a+3b． 【解答】解：（1）∵A＝5m2﹣4（m）＝5m2﹣7m+2，B＝7（m2﹣m）+3＝7m2﹣7m+3， ∴A﹣B＝（5m2﹣7m+2）﹣（7m2﹣7m+3） ＝5m2﹣7m+2﹣7m2+7m﹣3 ＝﹣2m2﹣1 ＝﹣（2m2+1）＜0， ∴A＜B； （2）（3a+2b）﹣（2a+3b） ＝3a+2b﹣2a﹣3b ＝a﹣b， 当a＞b，即a﹣b＞0，有3a+2b＞2a+3b， 当a＝b，即a﹣b＝0，有3a+2b＝2a+3b， 当a＜b，则a﹣b＜0，有3a+2b＜2a+3b． 21．阅读下面的解题过程，再解题． 已知a＞b，试比较﹣2024a+1与﹣2024b+1的大小． 解：因为a＞b①， 所以﹣2024a＞﹣2024b②， 所以﹣2024a+1＞﹣2024b+1③． 问： （1）上述解题过程中，从第 　②　 步开始出现错误； （2）错误的原因 　不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变　 ． （3）请写出正确的解题过程． 【答案】（1）②； （2）不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （3）见解析． 【解答】解：（1）上述解题过程中，从第②步开始出现错误， 故答案为：②； （2）错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； 故答案为：不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （3）∵a＞b， ∴﹣2024a＜﹣2024b， ∴﹣2024a+1＜﹣2024b+1； ▉题型3 不等式的解集 【知识点的认识】 （1）不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 22．若不等式“x■3”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（　　） A．≤ B．＜ C．≥ D．＞ 【答案】A 【解答】解：“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是：≤， 故选：A． 23．若不等式组有解，则a的取值范围为（　　） A．a＞6 B．a≤6 C．a＜6 D．a≥6 【答案】C 【解答】解：∵不等式组有解， ∴a＜6， 故选：C． 24．下面各数中，是不等式x≥﹣3的解的是（　　） A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣1 【答案】D 【解答】解：在﹣6，﹣5，﹣4，﹣1中，只有﹣1≥﹣3． 故选：D． 25．若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x，则关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集是（　　） A．x B．x C．x D．x 【答案】C 【解答】解：∵mx﹣n＞0， ∴mx＞n， ∵关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x， ∴m＜0，， ∴m＝3n，n＜0， ∴n﹣m＝﹣2n，m+n＝4n， ∴关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集是x， 故选：C． 26．关于x的不等式﹣2x+a≥2的解集如图所示，a的值是（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣4 【答案】A 【解答】解：∵﹣2x+a≥2， ∴x， ∵x≤﹣1， ∴a＝0． 故选：A． 27．如果不等式（a+1）x＜a+1的解集为x＞1，那么a必须满足a＜﹣1　 ． 【答案】a＜﹣1 【解答】解：由x＞1可知a+1＜0，可得a＜﹣1． ▉题型4 在数轴上表示不等式的解集 【知识点的认识】 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 28．不等式3x﹣2＞4的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：不等式移项得：3x＞6， 解得：x＞2， 表示在数轴上得：， 故选：B． 29．下列不等式中，与﹣x+1＞0组成的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式是（　　） A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1 【答案】D 【解答】解：由不等式﹣x+1＞0得：x＜1， 根据数轴可知，这个不等式是x≥﹣1， 故选：D． 30．如图，该数轴表示的不等式的解集为（　　） A．x＞﹣2 B．x≤3 C．﹣2＜x＜3 D．﹣2≤x＜3 【答案】D 【解答】解：根据数轴可知﹣2≤x＜3， ∴不等式的解集为﹣2≤x＜3， 故选：D． 31．若某不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集为（　　） A．1＜x＜2 B．1＜x≤2 C．x＜1 D．x≥2 【答案】D 【解答】解：根据题意可得， 这个不等式组的解集为x≥2． 故选：D． 32．在实数范围内规定新运算“▲”，其规则是：a▲b＝3a﹣b．已知关于x的不等式x▲k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是 　﹣5　 ． 【答案】﹣5 【解答】解：由新定义运算的定义可知，关于x的不等式x▲k≥2，即3x﹣k≥2， 解得x， 由在数轴上表示的不等式解集可知，这个不等式的解集为x≥﹣1， 所以1， 解得k＝﹣5， 故答案为：﹣5． 33．如图，数轴上表示关于x的不等式的解集为 x≤2　 ． 【答案】x≤2． 【解答】解：根据空心即为不取等号，在该点的左边即为小于该数可得： 解集是x≤2， 故答案为：x≤2． 34．关于x的不等式2x﹣a≤﹣3的解集如图所示，则a的值是 　1　 ． 【答案】1 【解答】解：∵2x﹣a≤﹣3， ∴x， ∵x≤﹣1， ∴a＝1． 故答案为：1． 35．综合与实践 我们知道|x|的几何意义是在数轴上x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上x与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为：|x1﹣x2|表示在数轴上x1与x2对应的点之间的距离． 例1：解方程：|x|＝2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|＝2的解为x＝±2． 例2：解不等式：|x﹣1|＞2．在数轴上找出|x﹣1|＝2的解（如图1），因为在数轴上与数1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解为x＝﹣1或x＝3．因此不等式|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3． 例3：解方程：|x﹣1|+|x+2|＝5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上与数1和数﹣2对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上数1和数﹣2对应的点的距离为3（如图2），满足方程的x对应的点在数1的右边或数﹣2的左边．若x对应的点在数1的右边，可得x＝2；若x对应的点在数﹣2的左边，可得x＝﹣3，因此方程|x﹣1|+|x+2|＝5的解是x＝2或x＝﹣3． 参考阅读材料，解答下列问题． （1）方程|x﹣3|＝4的解为 x＝﹣1或x＝7　 ． （2）解不等式：|x﹣3|≤1． （3）解不等式：|x﹣4|+|x+5|≥11． 【答案】（1）x＝﹣1或x＝7； （2）2≤x≤4； （3）x≥5或x≤﹣6． 【解答】解：（1）依题意，|x﹣3|＝4表示在数轴上到3对应的点的距离等于4的点对应的数为﹣1或7， ∴方程|x﹣3|＝4的解为x＝﹣1或x＝7； （2）在数轴上找出|x﹣3|＝1的解． ∵在数轴上与数3对应的点的距离等于1的点对应的数为2或4， ∴不等式|x﹣3|≤1的解集为2≤x≤4． （3）在数轴上找出|x﹣4|+|x+5|＝11的解． 由绝对值的几何意义知， 该方程就是求在数轴上与数4和数﹣5对应的点的距离之和等于11的点对应的x的值． ∵在数轴上数4和数﹣5对应的点的距离为9， ∴满足方程的x对应的点在数4的右边或数﹣5的左边． 若x对应的点在数4的右边，可得x＝5； 若x对应的点在数﹣5的左边，可得x＝﹣6， ∴方程|x﹣4|+|x+5|＝11的解是x＝5或x＝﹣6， ∴不等式|x﹣4|+|x+5|≥11的解集为x≥5或x≤﹣6． 36．请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集过程． 对于绝对值不等式|x|＜3，从图1的数轴上看：大于﹣3而小于3的绝对值是小于3的，所以|x|＜3的解集为﹣3＜x＜3； 对于绝对值不等式|x|＞3，从图2的数轴上看：小于﹣3而大于3的绝对值是是大于3的，所以|x|＞3的解集为x＜﹣3或x＞3． （1）不等式|2x|＜5的解集为 　　 ． （2）不等式2•|3x﹣1|＞10的解集为 x＞2或　 ． （3）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足|x﹣2y|≤10其中m是非负整数，求m的值． 【答案】（1）； （2）x＞2或； （3）0，1，2． 【解答】解：（1）∵|2x|＜5， ∴﹣5＜2x＜5， 即， ∴不等式|2x|＜5的解集为：， 故答案为：． （2）∵2•|3x﹣1|＞10 ∴|3x﹣1|＞5， ∴3x﹣1＞5或3x﹣1＜﹣5， 由3x﹣1＞5，解得：x＞2， 由3x﹣1＜﹣5，解得：， ∴不等式2•|3x﹣1|＞10的解集为：x＞2或． 故答案为：x＞2或． （2）对于方程组 ①×4+②，得：9x＝9m﹣18，解得x＝m﹣2， 将x＝m﹣2代入①，得：y＝﹣2m+1， ∴x﹣2y＝m﹣2﹣（﹣2m+1）＝5m﹣4， ∵|x﹣2y|≤10 ∴|5m﹣4|≤10， 即﹣10≤5m﹣4≤10， ∴， 又∵m是非负整数， ∴m的值为0，1，2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 7.1 不等式及其基本性质 题型1 不等式的定义 题型2 不等式的性质 题型3 不等式的解集 题型4 在数轴上表示不等式的解集 ▉题型1 不等式的定义 【知识点的认识】 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 1．下列各式中，是不等式的是（　　） A．x＝3 B．x﹣1 C．x+y＝1 D．4x+5＞0 2．下面给出的5个式子： ①3＞0； ②4x+y＜2； ③2x＝3； ④x﹣1； ⑤x﹣2≥3． 其中不等式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙≥150毫克”，它的含义是指（　　） A．每100克内含钙150毫克 B．每100克内含钙不低于150毫克 C．每100克内含钙高于150毫克 D．每100克内含钙不超过150毫克 4．一个数m的2倍与数n的差不小于5，写出这个不等式　 　 ． 5．a与2的差不大于0，用不等式表示为 　 ． 6．“x与y的2倍的和是正数”用不等式可表示为 　 ． 7．某饮料瓶上有这样的字样，保质期18个月．如果用x（单位：月）表示保质期，那么该饮料的保质期可以用不等式表示为　 ． ▉题型2 不等式的性质 【知识点的认识】 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 8．如果a＜b，那么下列不等式正确的是（　　） A．﹣2+a＜﹣2+b B．﹣2a＜﹣2b C． D．a2＞b2 9．已知a＞b，则下列各式中一定成立的是（　　） A．a﹣b＜0 B． C．ac2＞bc2 D．2a﹣1＜2b﹣1 10．若x＜y，则下列结论成立的是（　　） A．x+2＞y+2 B．﹣2x＞﹣2y C．3x＞3y D．﹣1+x＞﹣1+y 11．已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（　　） A．x+5＜y﹣5 B．﹣2x＜﹣2y C．a2x2＜a2y2 D． 12．若a＞b，则下列不等式变形错误的是（　　） A．a+1＞b+1 B． C．3a﹣1＞3b﹣1 D．1﹣a＞1﹣b 13．已知a≥b，则一定有﹣2025a□﹣2025b，“☐”中应填的符号是（　　） A．≤ B．≥ C．＜ D．＞ 14．若x＞y，且mx＜my，则m的值可能是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 15．根据不等式的性质，下列变形中正确的是（　　） A．由a＜b，得﹣3a＜﹣3b B．由，得a＜2 C．由a（c2+1）＞b（c2+1），得a＞b D．由a＞b，得a+c＜b+c 16．由x＜y得到ax≥ay的条件是（　　） A．a＞0 B．a≥0 C．a＜0 D．a≤0 17．下列变形不正确的是（　　） A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a﹣c＞b﹣c，则a＞b C．若，则a＞b D．若a＞b，则ac2＞bc2 18．把方程变形为x＝6的依据是（　　） A．不等式的基本性质1 B．等式的基本性质1 C．等式的基本性质2 D．分数的基本性质 19．若m＞n，则﹣3m　 ﹣3n（填“＞”或“＜”）． 20．根据等式和不等式的性质，可以得到：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b．若a﹣b＜0，则a＜b；这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． （1）已知A＝5m2﹣4（m），B＝7（m2﹣m）+3，请运用前面介绍的方法比较代数式A与B的大小； （2）比较3a+2b与2a+3b的大小． 21．阅读下面的解题过程，再解题． 已知a＞b，试比较﹣2024a+1与﹣2024b+1的大小． 解：因为a＞b①， 所以﹣2024a＞﹣2024b②， 所以﹣2024a+1＞﹣2024b+1③． 问： （1）上述解题过程中，从第 　 　 步开始出现错误； （2）错误的原因 　 　 ． （3）请写出正确的解题过程． ▉题型3 不等式的解集 【知识点的认识】 （1）不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 22．若不等式“x■3”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（　　） A．≤ B．＜ C．≥ D．＞ 23．若不等式组有解，则a的取值范围为（　　） A．a＞6 B．a≤6 C．a＜6 D．a≥6 24．下面各数中，是不等式x≥﹣3的解的是（　　） A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣1 25．若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x，则关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集是（　　） A．x B．x C．x D．x 26．关于x的不等式﹣2x+a≥2的解集如图所示，a的值是（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣4 27．如果不等式（a+1）x＜a+1的解集为x＞1，那么a必须满足 　 ． ▉题型4 在数轴上表示不等式的解集 【知识点的认识】 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 28．不等式3x﹣2＞4的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 29．下列不等式中，与﹣x+1＞0组成的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式是（　　） A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1 30．如图，该数轴表示的不等式的解集为（　　） A．x＞﹣2 B．x≤3 C．﹣2＜x＜3 D．﹣2≤x＜3 31．若某不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集为（　　） A．1＜x＜2 B．1＜x≤2 C．x＜1 D．x≥2 32．在实数范围内规定新运算“▲”，其规则是：a▲b＝3a﹣b．已知关于x的不等式x▲k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是 　 　 ． 33．如图，数轴上表示关于x的不等式的解集为 　 ． 34．关于x的不等式2x﹣a≤﹣3的解集如图所示，则a的值是 　 　 ． 35．综合与实践 我们知道|x|的几何意义是在数轴上x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上x与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为：|x1﹣x2|表示在数轴上x1与x2对应的点之间的距离． 例1：解方程：|x|＝2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|＝2的解为x＝±2． 例2：解不等式：|x﹣1|＞2．在数轴上找出|x﹣1|＝2的解（如图1），因为在数轴上与数1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解为x＝﹣1或x＝3．因此不等式|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3． 例3：解方程：|x﹣1|+|x+2|＝5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上与数1和数﹣2对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上数1和数﹣2对应的点的距离为3（如图2），满足方程的x对应的点在数1的右边或数﹣2的左边．若x对应的点在数1的右边，可得x＝2；若x对应的点在数﹣2的左边，可得x＝﹣3，因此方程|x﹣1|+|x+2|＝5的解是x＝2或x＝﹣3． 参考阅读材料，解答下列问题． （1）方程|x﹣3|＝4的解为 　 ． （2）解不等式：|x﹣3|≤1． （3）解不等式：|x﹣4|+|x+5|≥11． 36．请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集过程． 对于绝对值不等式|x|＜3，从图1的数轴上看：大于﹣3而小于3的绝对值是小于3的，所以|x|＜3的解集为﹣3＜x＜3； 对于绝对值不等式|x|＞3，从图2的数轴上看：小于﹣3而大于3的绝对值是是大于3的，所以|x|＞3的解集为x＜﹣3或x＞3． （1）不等式|2x|＜5的解集为 　 ． （2）不等式2•|3x﹣1|＞10的解集为 或 ． （3）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足|x﹣2y|≤10其中m是非负整数，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $