6.2 无理数和实数 同步复习讲义2025-2026学年沪科版数学七年级下册

本讲义聚焦“无理数和实数”核心知识点，系统梳理无理数的定义与三种形式，实数的分类及性质，实数与数轴的一一对应关系，大小比较、估算及运算等内容，构建从概念理解到综合应用的学习支架。 资料通过7大题型分层设计，涵盖选择、填空、解答等形式，如无理数判断培养抽象能力，数轴问题发展几何直观，估算大小提升推理意识。课中助力教师系统授课，课后便于学生针对性练习，有效查漏补缺。

第6章 6.2 无理数和实数 题型1 无理数 题型2 实数 题型3 实数的性质 题型4 实数与数轴 题型5 实数大小比较 题型6 估算无理数的大小 题型7 实数的运算 ▉题型1 无理数 【知识点的认识】 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 1．在数，π，，0.3333…中，其中无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在﹣2，π，四个实数中，是无理数的是（　　） A．﹣2 B．π C．0 D． 3．下列各数：，3.14，，0.2525525552…（相邻两个2之间5的个数逐次加1），其中无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．在，，3.14，，﹣π，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 5．下列实数0，，，﹣2.367，，，，3.1212122⋯（每两个1之间依次多一个2）中，是无理数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示．其中正确的说法的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 ▉题型2 实数 【知识点的认识】 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 7．下列说法正确的有（　　） （1）带根号的数都是无理数； （2）立方根等于本身的数是0和1； （3）﹣a一定没有平方根； （4）实数与数轴上的点是一一对应的； （5）两个无理数的差还是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．在数，，，，3，14，0.808008，π中，有理数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 9．已知一个正数x的两个不相等的平方根分别是y+2与y﹣2． （1）求y的值及这个正数x； （2）若kx+y＝4，求k的值． ▉题型3 实数的性质 【知识点的认识】 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 10．的相反数是（　　） A． B． C． D．5 11．下列各组数中，互为相反数的组是（　　） A．﹣2与 B．﹣2和 C．与2 D．|﹣2|和2 12．实数的绝对值是（　　） A．3 B． C． D． 13．下列说法正确的是（　　） A．与互为相反数 B．与（）2互为相反数 C．与互为相反数 D．与互为相反数 14．已知互为相反数，则6y﹣4x+3的值是 　 　 ． 15．若a、b互为相反数，c为8的立方根，则2a+2b﹣c＝　 　 ． ▉题型4 实数与数轴 【知识点的认识】 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 16．如图，数轴上A，B两点所对应的实数分别是﹣π，1．若线段CB＝2AB，则点C所表示的实数是（　　） A．π+1 B．﹣2π C．﹣2π﹣1 D．﹣2π﹣2 17．如图，数轴上点A，B表示的数分别是，且B，C两点到点A的距离相等，则点C表示的数是（　　） A． B． C． D． 18．如图，面积为3的正方形ABCD的顶点C在数轴上，且表示的数为﹣1．若将正方形ABCD绕点C逆时针旋转，使点D落到数轴上的点P处，则点P在数轴上所对应的数为（　　） A． B． C． D． 19．如图，数轴上A、B两点所对应的实数分别是﹣1、，若线段AB＝BC，则点C所表示的实数是（　　） A． B． C． D． 20．在如图所示的数轴上，点A是线段BC的中点，A，B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是（　　） A． B． C． D． 21．如图，已知C，B两点对应的数字分别为3和，且点C是AB的中点，则点A表示的数是（　　） A． B．3 C． D．6 22．实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式不成立的是（　　） A．b﹣a B． C．|a|＝a D．|b|＝b 23．如图，正方形OBCD的面积为3，OA＝OB，则数轴上点A对应的数是 ． 24．如图，周长为14的长方形ABCD，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为﹣1，CD＝6，若将长方形ABCD沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2023次翻滚后到达数轴上的点P，则P点所对应的数为 　 　 ． 25．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为．设点B表示的数为m． （1）实数m的值为 　 ； （2）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且（2c+4）20．请计算的值． 26．已知：|a+2|+（b﹣4）2＝0，c比b大2． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ． （2）在数轴上，点A，B，C分别对应实数a，b，c． ①数轴上点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，求点P对应的数． ②动点M从点A出发以4个单位速度向右运动，动点N从点B出发以1个单位速度向右运动，点D在数轴上对应的数是10，动点M与动点N同时出发，当M运动到D后立即以原来的速度向左运动，当点M到达出发点A时，两个动点同时停止运动，设运动时间是t，当t＝　2或或　 时，M、N两点到点C的距离相等（直接写出t的值）． ▉题型5 实数大小比较 【知识点的认识】 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 27．在﹣1，，0，1这四个数中，最小的数是（　　） A．﹣1 B． C．0 D．1 28．已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 29．下列四个实数中，最小的实数是（　　） A．﹣2023 B．0 C．0.999 D．1 30．下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 31．下列实数比较大小正确的个数是（　　） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．已知三个数﹣π，﹣3，，它们的大小顺序是（　　） A．﹣π＜﹣3 B．﹣3＜﹣π C．3＜﹣π D．﹣π3 33．比较大小： 　 　 ．（填“＞”“＜”或“＝”） 34．比较大小：﹣2 　 　 ， 　 　 1， 　 　 ． 35．比较下列实数的大小（在空格中填上＞、＜或＝） ①　 　 ； ②　 　 ； ③　 　 ． 36．阅读下面的材料： 对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5． 根据上面的材料回答下列问题： （1）　 　 ； （2）当时，求x的取值范围． ▉题型6 估算无理数的大小 【知识点的认识】 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 37．估计的值更接近（　　） A．3 B．4 C．9 D．10 38．估算的值（　　） A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间 39．实数m在数轴上对应点的位置如图所示，若实数x满足m＜x＜﹣m，则x的值可以是（　　） A． B． C． D． 40．如果4与4的小数部分分别是m，n，那么m+n﹣1的值为（　　） A．7 B．1 C．0 D．﹣1 41．估计的值（　　） A．在2和3之间 B．在4和5之间 C．在5和6之间 D．在6和7之间 42．m，n是连续的两个整数，若，则m+n的值为 　 　 ． 43．已知m为整数，且，则m的值为 　 　 ． 44．是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分．类似的，的小数部分可以表示为　 ． 45．已知实数a+9的一个平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求2a+b的算术平方根． 46．已知a的平方根是±2，b是27的立方根，c是的整数部分． （1）求a+b+c的值； （2）若x是的小数部分，求的平方根． 47．已知2a﹣7和a+4是某正数m的两个平方根，b﹣12的立方根为﹣2，c是的整数部分． （1）求m的值； （2）求a+3b+c的平方根． 48．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． （1）实数m的值是 　 ； （2）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，并且，c、d是相邻的整数，求4d﹣4c的平方根． 49．已知a，b，c均为实数，6a+34的立方根是4，正数b的平方根分别是3x﹣7与x﹣9，c是的整数部分．求2a+b+c的值？ ▉题型7 实数的运算 【知识点的认识】 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 50．有下列说法：①带根号的数是无理数；②不带根号的数一定是有理数；③是17的平方根；④任何数的平方根都有两个；⑤无理数与无理数的和一定是无理数．其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 51．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算“*”如下，如，计算：9*7＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 52．如图是一个数值转换机的示意图，当输入的值时，输出的结果为（　　） A．3 B．5 C．﹣5 D．﹣2 53．用“⊕”定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝2a2﹣b． 如：2⊕1＝2×22﹣1＝8﹣1＝7，那么（﹣3）⊕2＝　 　 ． 54．计算：． 55．计算：． 56．计算： （1）求下列各式中的x值： ①x2＝16； ②2（x﹣3）3﹣16＝0． （2）． 57．计算： （1）； （2）． 58．计算：． 59．（1）已知一个正数的平方根分别是x+3和x﹣1，求这个正数． （2）利用平方根求（x+2）2﹣81＝0中x的值： 60．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： （3﹣i）+（4+3i）＝（3+4）+（﹣1+3）i＝7+2i（1﹣i）×（2+i）＝1×2+i﹣2×i﹣i2＝2+i﹣2i+1＝3﹣i 根据以上信息，完成下列问题 （1）填空：i3＝　 i ，i4＝　 　 ； （2）计算：（1﹣2i）×（4﹣5i）； （3）计算：i+i2+i3+i4+⋯+i2023． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 6.2 无理数和实数 题型1 无理数 题型2 实数 题型3 实数的性质 题型4 实数与数轴 题型5 实数大小比较 题型6 估算无理数的大小 题型7 实数的运算 ▉题型1 无理数 【知识点的认识】 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 1．在数，π，，0.3333…中，其中无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：无理数有：，π共2个． 故选：B． 2．在﹣2，π，四个实数中，是无理数的是（　　） A．﹣2 B．π C．0 D． 【答案】B 【解答】解：﹣2是负整数，是有理数； π是无限不循环小数，是无理数； 0是整数，是有理数； 2，是正整数，是有理数； 故选：B． 3．下列各数：，3.14，，0.2525525552…（相邻两个2之间5的个数逐次加1），其中无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：是有理数，3.14是有理数，是无理数，0.2525525552…（相邻两个2之间5的个数逐次加1）是无理数， 所以无理数有2个， 故选：B． 4．在，，3.14，，﹣π，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】D 【解答】解：， ∴无理数有、﹣π、0.1010010001……（相邻两个1之间0的个数逐次加1），共3个， 故选：D． 5．下列实数0，，，﹣2.367，，，，3.1212122⋯（每两个1之间依次多一个2）中，是无理数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：6， 在实数0，，，﹣2.367，，，，3.1212122⋯（每两个1之间依次多一个2）中，是无理数的有，，3.1212122⋯（每两个1之间依次多一个2），共3个． 故选：C． 6．有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示．其中正确的说法的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：（1）π是无理数，而不是开方开不尽的数，则命题错误； （2）无理数就是无限不循环小数，则命题正确； （3）0是有理数，不是无理数，则命题错误； （4）正确； 故选：B． ▉题型2 实数 【知识点的认识】 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 7．下列说法正确的有（　　） （1）带根号的数都是无理数； （2）立方根等于本身的数是0和1； （3）﹣a一定没有平方根； （4）实数与数轴上的点是一一对应的； （5）两个无理数的差还是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解：（1）无限不循环小数都是无理数，故（1）不符合题意； （2）立方根等于本身的数是0和1、﹣1故（2）不符合题意； （3）﹣a可能有平方根，故（3）不符合题意； （4）实数与数轴上的点是一一对应的，故（4）符合题意； （5）两个无理数的差可能是无理数、可能是有理数，故（5）不符合题意； 故选：A． 8．在数，，，，3，14，0.808008，π中，有理数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【解答】解：在数，，，，3，14，0.808008，π中，有理数有，，3，14，0.808008，共5个． 故选：C． 9．已知一个正数x的两个不相等的平方根分别是y+2与y﹣2． （1）求y的值及这个正数x； （2）若kx+y＝4，求k的值． 【答案】（1）y的值为0，正数x的值为4； （2）k的值为1． 【解答】解：（1）（y+2）+（y﹣2）＝0， ∴y＝0； ∴x＝（y+2）2＝22＝4． 答：求y的值为0，正数x的值为4； （2）∵x＝4，y＝0， ∴kx+y＝4，即4k+0＝4， 解得：k＝1． ▉题型3 实数的性质 【知识点的认识】 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 10．的相反数是（　　） A． B． C． D．5 【答案】C 【解答】解：的相反数是． 故选：C． 11．下列各组数中，互为相反数的组是（　　） A．﹣2与 B．﹣2和 C．与2 D．|﹣2|和2 【答案】A 【解答】解：A、﹣2与2，符合相反数的定义，故选项正确； B、﹣2与2不互为相反数，故选项错误； C、与2不互为相反数，故选项错误； D、|﹣2|＝2，2与2不互为相反数，故选项错误． 故选：A． 12．实数的绝对值是（　　） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：实数的绝对值是：． 故选：B． 13．下列说法正确的是（　　） A．与互为相反数 B．与（）2互为相反数 C．与互为相反数 D．与互为相反数 【答案】D 【解答】解：A、与相等，不一定互为相反数，故本选项错误； B、与（）2相等，不一定互为相反数，故本选项错误； C、与相等，不一定互为相反数，故本选项错误； D、与互为相反数正确，故本选项正确． 故选：D． 14．已知互为相反数，则6y﹣4x+3的值是 　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：∵与互为相反数， ∴1﹣2x和3y﹣2互为相反数， ∴3y﹣2+1﹣2x＝0， ∴3y﹣2x＝1， ∴6y﹣4x+3＝2（3y﹣2x）+3＝2+3＝5； 故答案为：5． 15．若a、b互为相反数，c为8的立方根，则2a+2b﹣c＝　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【解答】解：∵a、b互为相反数， ∴a+b＝0， ∵c为8的立方根， ∴c＝2， 则2a+2b﹣c ＝2（a+b）﹣c ＝2×0﹣2 ＝﹣2， 故答案为：﹣2． ▉题型4 实数与数轴 【知识点的认识】 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 16．如图，数轴上A，B两点所对应的实数分别是﹣π，1．若线段CB＝2AB，则点C所表示的实数是（　　） A．π+1 B．﹣2π C．﹣2π﹣1 D．﹣2π﹣2 【答案】C 【解答】解：∵A，B两点所对应的实数分别是﹣π，1， ∴AB＝|1﹣（﹣π）|＝|1+π|＝1+π， ∵CB＝2AB， ∴CB＝2+2π， ∴C点表示的实数为：1﹣（2+2π）＝1﹣2﹣2π＝﹣2π﹣1， 故选：C． 17．如图，数轴上点A，B表示的数分别是，且B，C两点到点A的距离相等，则点C表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵数轴上点A，B表示的数分别是， ∴AB， ∵B，C两点到点A的距离相等， ∴AC＝AB， ∴点C表示的数是， 故选：C． 18．如图，面积为3的正方形ABCD的顶点C在数轴上，且表示的数为﹣1．若将正方形ABCD绕点C逆时针旋转，使点D落到数轴上的点P处，则点P在数轴上所对应的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵正方形ABCD的面积为3， ∴正方形ABCD的边长为， 即， ∵点C表示的数为﹣1，点P在点C的左边， ∴点P表示的数为， 故选：C． 19．如图，数轴上A、B两点所对应的实数分别是﹣1、，若线段AB＝BC，则点C所表示的实数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设点C所对应的实数是x． 则有x（﹣1）， 解得x＝21． 故选：C． 20．在如图所示的数轴上，点A是线段BC的中点，A，B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵AC＝AB1，A的坐标为， ∴C点坐标为1＝21， 故选：D． 21．如图，已知C，B两点对应的数字分别为3和，且点C是AB的中点，则点A表示的数是（　　） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【解答】解：设点A表示的数是x， ∵数轴上表示3、的对应点分别为C、B，点C是AB的中点， ∴， 解得x＝6． 故选：D． 22．实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式不成立的是（　　） A．b﹣a B． C．|a|＝a D．|b|＝b 【答案】D 【解答】解：A、|a﹣b|＝﹣（a﹣b）＝b﹣a，正确； B、，正确； C、，正确； D、，故错误； 故选：D． 23．如图，正方形OBCD的面积为3，OA＝OB，则数轴上点A对应的数是 　　 ． 【答案】 【解答】解：∵正方形OBCD的面积为3， ∴OA＝OB， ∴数轴上点A对应的数是， 故答案为：． 24．如图，周长为14的长方形ABCD，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为﹣1，CD＝6，若将长方形ABCD沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2023次翻滚后到达数轴上的点P，则P点所对应的数为 　7083　 ． 【答案】7083 【解答】解：长方形的周长是14，长为6，则宽为1，点A对应﹣1，点B 对应5． 翻滚1次到达数轴上的点对应6，翻滚2次到达数轴上的点对应12； 翻滚3次到达数轴上的点对应13，翻滚4次到达数轴上的点对应19； 翻滚5次到达数轴上的点对应20，翻滚6次到达数轴上的点对应26； •••••• 翻滚2021次到达数轴上的点对应7076，翻滚1次到达数轴上的点对应7082； 翻滚2023次到达数轴上的点对应7083，故点P对应的数是7083． 故答案为：7083． 25．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为．设点B表示的数为m． （1）实数m的值为 　　 ； （2）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且（2c+4）20．请计算的值． 【答案】（1）； （2）4． 【解答】解：（1）由题意可知：AB＝2， ∴， ， ， 或（不合题意舍去）， ∴实数m的值为， 故答案为：； （2）∵（2c+4）20，， ∴2c+4＝0，d﹣4＝0， 解得：c＝﹣2，d＝4， ∴ ＝4． 26．已知：|a+2|+（b﹣4）2＝0，c比b大2． （1）a＝　﹣2　 ，b＝　4　 ，c＝　6　 ． （2）在数轴上，点A，B，C分别对应实数a，b，c． ①数轴上点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，求点P对应的数． ②动点M从点A出发以4个单位速度向右运动，动点N从点B出发以1个单位速度向右运动，点D在数轴上对应的数是10，动点M与动点N同时出发，当M运动到D后立即以原来的速度向左运动，当点M到达出发点A时，两个动点同时停止运动，设运动时间是t，当t＝　2或或　 时，M、N两点到点C的距离相等（直接写出t的值）． 【答案】（1）﹣2，4，6； （2）①2或10；②2或或． 【解答】解：（1）由题意可得a+2＝0，b﹣4＝0，c＝b+2， a＝﹣2，b＝4，c＝6， 故答案为：﹣2，4，6； （2）①设点P表示的数为x， 则：|x+2|＝2|x﹣4|， 解得：x＝2或x＝10， ∴点P对应的数为2或10； ②设t秒时相等， ∵A，D对应的数分别是﹣2，10， ∴AD＝10﹣（﹣2）＝12， ∴0≤t≤6， 由题意得点N对应的数是4+t， 当0≤t≤3 时，点M对应的数是﹣2+4t， ∵M、N两点到点C的距离相等， ∴|﹣2+4t﹣6|＝|4+t﹣6|， 解得t＝2； 当3＜t≤6时，点M对应的数是﹣2+24﹣4t＝22﹣4t， ∵M、N两点到点C的距离相等， ∴|22﹣4t﹣6|＝|4+t﹣6|， 解得t或； 综上，t的值为2或或． ▉题型5 实数大小比较 【知识点的认识】 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 27．在﹣1，，0，1这四个数中，最小的数是（　　） A．﹣1 B． C．0 D．1 【答案】B． 【解答】解：∵1＜0＜1， ∴最小的数是：． 故选：B． 28．已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则 ①ab+ac＞0，故原结论正确； ②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误； ③1﹣1+1＝1，故原结论错误； ④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原结论错误； ⑤当b≤x≤a时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b，故原结论正确． 故正确结论有2个． 故选：B． 29．下列四个实数中，最小的实数是（　　） A．﹣2023 B．0 C．0.999 D．1 【答案】A 【解答】解：∵﹣2023＜0＜0.999＜1， ∴最小的实数是﹣2023． 故选：A． 30．下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵4＜6＜9， ∴23， 故选：C． 31．下列实数比较大小正确的个数是（　　） ① ② ③ ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①∵35＜36， ∴6，符合题意； ②∵25＜27， ∴﹣25＞﹣27， ∴3，符合题意； ③∵2.236， ∴1≈2.236﹣1＝1.236； ∵1.732， ∴0.866， ∵1.236＞0.866， ∴1，符合题意； ④∵4＜5＜9， ∴23， ∴11＜2， ∴0.5，不符合题意． 故选：C． 32．已知三个数﹣π，﹣3，，它们的大小顺序是（　　） A．﹣π＜﹣3 B．﹣3＜﹣π C．3＜﹣π D．﹣π3 【答案】A 【解答】解：∵2.65， ∴﹣π＜﹣3． 故选：A． 33．比较大小： 　＜　 ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＜． 【解答】解：∵，，676＜1331， ∴， 故答案为：＜． 34．比较大小：﹣2 　＞　 ， 　＜　 1， 　＞　 ． 【答案】＞；＜；＞． 【解答】解：∵4＜6， ∴， ∴； ∵7＜9， ∴， ∴， ∴； 根据积的乘方计算法则可得，， ∵63＞60，且， ∴ 故答案为：＞；＜；＞． 35．比较下列实数的大小（在空格中填上＞、＜或＝） ①　＜　 ； ②　＞　 ； ③　＜　 ． 【答案】＜；＞；＜ 【解答】解：①∵||，||，， ∴， ②∵1＞1， ∴； ③∵，， ∴， 即． 故答案为：①＜，②＞，③＜． 36．阅读下面的材料： 对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5． 根据上面的材料回答下列问题： （1）　﹣2　 ； （2）当时，求x的取值范围． 【答案】（1）﹣2； （2）． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴． 故答案为：﹣2； （2）根据题意，得， 解得， ∴x的取值范围是． ▉题型6 估算无理数的大小 【知识点的认识】 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 37．估计的值更接近（　　） A．3 B．4 C．9 D．10 【答案】A 【解答】解：∵， ∴， ∴的值更接近3， 故选：A． 38．估算的值（　　） A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间 【答案】A 【解答】解：∵36＜40＜49， ∴， ∴． 故选：A． 39．实数m在数轴上对应点的位置如图所示，若实数x满足m＜x＜﹣m，则x的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：在数轴上表示出﹣m，如图： ∵m＝﹣2， ∴﹣m＝2． ∴x在m和﹣m之间． ∴x在﹣2和2之间， 选项中只有符合条件． 故选：D． 40．如果4与4的小数部分分别是m，n，那么m+n﹣1的值为（　　） A．7 B．1 C．0 D．﹣1 【答案】C 【解答】解：由23得 6＜47， 则4的小数部分是m2， 由﹣32，得 1＜42， 4的小数部分是n＝3， m+n﹣12+31＝0； 故选：C． 41．估计的值（　　） A．在2和3之间 B．在4和5之间 C．在5和6之间 D．在6和7之间 【答案】C 【解答】解：∵32＝9，42＝16， ∴34， ∴5＜26， 故选：C． 42．m，n是连续的两个整数，若，则m+n的值为 　9　 ． 【答案】9． 【解答】解：∵， 而m，n是两个连续整数，若， ∴m＝4，n＝5， ∴m+n＝9， 故答案为：9． 43．已知m为整数，且，则m的值为 　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：已知m为整数，且， ∵15＜16＜17， ∴4， 则m＝4， 故答案为：4． 44．是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分．类似的，的小数部分可以表示为　　 ． 【答案】 【解答】解：∵， ∴是的小数部分， 故答案为：． 45．已知实数a+9的一个平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求2a+b的算术平方根． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵实数a+9的一个平方根是﹣5， ∴a+9＝25， ∴a＝16， ∵2b﹣a的立方根是﹣2， ∴2b﹣a＝﹣8， ∴b＝4， ∵， ∴， ∴的整数部分是6， ∴c＝6； （2）当a＝16，b＝4时，2a+b＝2×16+4＝36， ∵36的算术平方根是6， ∴2a+b的算术平方根是6． 46．已知a的平方根是±2，b是27的立方根，c是的整数部分． （1）求a+b+c的值； （2）若x是的小数部分，求的平方根． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵a的平方根是±2，b是27的立方根，c是的整数部分， ∴a＝（±2）2＝4，b3，c＝3， ∴a+b+c＝4+3+3＝10． （2）∵x是的小数部分，的整数部分是3， ∴x3， ∴319＝16， ∴±±4， ∴的平方根是±4． 47．已知2a﹣7和a+4是某正数m的两个平方根，b﹣12的立方根为﹣2，c是的整数部分． （1）求m的值； （2）求a+3b+c的平方根． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵某正数m的两个不同的平方根是2a﹣7和a+4， ∴2a﹣7+a+4＝0， ∴a＝1， ∴m＝（﹣5）2＝25； （2）∵b﹣12的立方根为﹣2， ∴b﹣12＝（﹣2）3＝﹣8， ∴b＝4， ∵c是的整数部分，且， ∴c＝3， ∴a+3b+c＝1+12+3＝16， ∵16的平方根为±4， ∴a+3b+c的平方根是±4． 48．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． （1）实数m的值是 　2　 ； （2）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，并且，c、d是相邻的整数，求4d﹣4c的平方根． 【答案】（1）2； （2）±2． 【解答】解：（1）∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示， ∴点B所表示的数为2， 即m＝2， 故答案为：2； （2）∵16＜20＜25， ∴45， ∵，c、d是相邻的整数， ∴c＝4，d＝5， ∴4d﹣4c＝20﹣16＝4， 则4d﹣4c的平方根是±2． 49．已知a，b，c均为实数，6a+34的立方根是4，正数b的平方根分别是3x﹣7与x﹣9，c是的整数部分．求2a+b+c的值？ 【答案】41． 【解答】解：∵正数b的平方根分别是3x﹣7与x﹣9， ∴3x﹣7+x﹣9＝0． ∴4x﹣16＝0． ∴x＝4． ∴b＝（3x﹣7）2＝25． ∵6a+34的立方根是4，c是的整数部分， ∴． ∴a＝5，c＝6． ∴2a+b+c＝2×5+25+6＝10+25+6＝41． ▉题型7 实数的运算 【知识点的认识】 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 50．有下列说法：①带根号的数是无理数；②不带根号的数一定是有理数；③是17的平方根；④任何数的平方根都有两个；⑤无理数与无理数的和一定是无理数．其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解答】解：①带根号的数不一定是无理数，故①错误，例如：4； ②不带根号的数不一定是有理数，故②错误；例如：π； ③是17的平方根，故③正确； ④任何正数的平方根都有两个，故④错误； ⑤无理数与无理数的和不一定是无理数，故⑤错误；例如：0； 所以，上列说法，其中正确的有1个， 故选：B． 51．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算“*”如下，如，计算：9*7＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【解答】解：由题意得：， 故选：A． 52．如图是一个数值转换机的示意图，当输入的值时，输出的结果为（　　） A．3 B．5 C．﹣5 D．﹣2 【答案】B 【解答】解：根据题意得．3×2﹣1＝5， 故选：B． 53．用“⊕”定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝2a2﹣b． 如：2⊕1＝2×22﹣1＝8﹣1＝7，那么（﹣3）⊕2＝　16　 ． 【答案】16 【解答】解：由题意得， （﹣3）⊕2＝2×（﹣3）2﹣2＝2×9﹣2＝18﹣2＝16， 故答案为：16． 54．计算：． 【答案】见试题解答内容 【解答】解： ＝﹣1﹣4+3（﹣2） ＝﹣1﹣4+32 ． 55．计算：． 【答案】 【解答】解： ． 56．计算： （1）求下列各式中的x值： ①x2＝16； ②2（x﹣3）3﹣16＝0． （2）． 【答案】（1）①x1＝4，x2＝﹣4； ②x＝5； （2）． 【解答】（1）①∵x2＝16， ∴x＝±， 即x1＝4，x2＝﹣4； ②∵2（x﹣3）3﹣16＝0， ∴2（x﹣3）3＝16， 则（x﹣3）3＝8， 那么x﹣3＝2， 即x＝5； （2）原式 ． 57．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1； （2）5． 【解答】解：（1） ＝5+1﹣3﹣2 ＝1； （2） ＝3﹣24 ＝5． 58．计算：． 【答案】． 【解答】解：原式． 59．（1）已知一个正数的平方根分别是x+3和x﹣1，求这个正数． （2）利用平方根求（x+2）2﹣81＝0中x的值： 【答案】（1）4；（2）x＝7或x＝﹣11． 【解答】解：（1）根据题意可知，x+3+x﹣1＝0， 2x+2＝0， 解得：x＝﹣1； ∴这个正数是（x+3）2＝22＝4； （2）（x+2）2﹣81＝0， ∴（x+2）2＝81， ∴x+2＝±9， 解得：x＝7或x＝﹣11． 60．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： （3﹣i）+（4+3i）＝（3+4）+（﹣1+3）i＝7+2i（1﹣i）×（2+i）＝1×2+i﹣2×i﹣i2＝2+i﹣2i+1＝3﹣i 根据以上信息，完成下列问题 （1）填空：i3＝　﹣i ，i4＝　1　 ； （2）计算：（1﹣2i）×（4﹣5i）； （3）计算：i+i2+i3+i4+⋯+i2023． 【答案】（1）﹣i，1；（2）﹣6﹣13i；（3）﹣1． 【解答】解：（1）i3＝i2i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1， 故答案为：﹣i，1； （2）（1﹣2i）×（4﹣5i） ＝1×4﹣1×5i﹣4×2i+10i2 ＝4﹣5i﹣8i﹣10 ＝﹣6﹣13i； （3）i+i2+i3+i4+⋯+i2023 ＝i﹣1﹣i+1+⋯+i﹣1﹣i ＝﹣1． 学科网（北京）股份有限公司 $