6.1 平方根、立方根同步复习讲义2025-2026学年沪科版数学七年级下册

本讲义聚焦初中数学“平方根、立方根”核心知识点，系统梳理平方根的定义与性质、算术平方根的双重非负性、立方根的特性及运算，通过知识点讲解与阶梯式题型训练，搭建从概念理解到综合应用的学习支架。 资料以题型分类为特色，从基础辨析（如判断平方根性质正误）到实际应用（如卡片与信封尺寸计算），融入生活情境培养应用意识。通过辨析题提升推理意识，计算题强化运算能力，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，深化数学概念的理解与运用。

第6章 6.1 平方根、立方根 题型1 平方根 题型2 算术平方根 题型3 非负数的性质：算术平方根 题型4 立方根 ▉题型1 平方根 【知识点的认识】 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 1．若m+4与m﹣2是同一个正数的两个平方根，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 【答案】D 【解答】解：∵m+4与m﹣2是同一个正数的两个平方根， ∴m+4+m﹣2＝0， 解得m＝﹣1， 故选：D． 2．若m与m﹣2是同一个正数的两个平方根，则m的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】C 【解答】解：∵m与m﹣2是同一个正数的两个平方根， ∴m+m﹣2＝0， 解得m＝1， 故选：C． 3．一个正数的两个不同的平方根是a+3和2a﹣6，则a的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3 【答案】A 【解答】解：∵一个正数的平方根是a+3和2a﹣6， ∴（a+3）+（2a﹣6）＝0， ∴3a﹣3＝0， 解得a＝1． 故选：A． 4．下列各数中，没有平方根的是（　　） A．﹣3 B．0 C．48 D． 【答案】A 【解答】解：因为负数没有平方根， 所以﹣3没有平方根． 故选：A． 5．有下列说法： ①﹣3是的平方根；②﹣7是（﹣7）2的算术平方根；③25的平方根是±5；④﹣9的平方根是±3；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0、1． 其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①﹣3是的平方根；故①正确， ②7是（﹣7）2的算术平方根；故②错误， ③25的平方根是±5；正确 ④﹣9的平方根是±3；负数没有平方根，故④错误， ⑤0没有算术平方根；错误， ⑥的平方根为；正确， ⑦平方根等于本身的数有0、1．只有0，故错误． 正确的有①③⑥， 故选：C． 6．一个正数的两个平方根分别是2a﹣1和﹣a+3，则这个正数是　25　 ． 【答案】25． 【解答】解：由条件可知2a﹣1+（﹣a+3）＝a+2＝0， 解得a＝﹣2， ∴2a﹣1＝2×（﹣2）﹣1＝﹣5， ∴（﹣5）2＝25， ∴这一个正数为25． 7．一个正数的两个不同的平方根为2a+1和a﹣10，则a为 　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：由题可知， 2a+1+a﹣10＝0， 解得a＝3． 故答案为：3． 8．求x的值：3（x+1）2＝48． 【答案】x＝3或x＝﹣5． 【解答】解：3（x+1）2＝48， （x+1）2＝16， x+1＝±4， x＝3或x＝﹣5． 9．求下列各式中的x： （1）4x2＝1； （2）（x﹣1）2﹣27＝0． 【答案】（1）x或x； （2）x＝1+3或x＝1﹣3． 【解答】解：（1）4x2＝1， x2， x＝±±， 故x或x； （2）（x﹣1）2﹣27＝0， （x﹣1）2＝27， x﹣1＝±±3， x＝1±3， 故x＝1+3或x＝1﹣3． 10．求下列式子中x的值． （1）x2＝49； （2）4（x﹣1）2＝169； 【答案】（1）x1＝7，x2＝﹣7； （2）． 【解答】解：（1）x2＝49， ， ∴x1＝7，x2＝﹣7； （2）4（x﹣1）2＝169， ， ， ， ． ▉题型2 算术平方根 【知识点的认识】 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 11．下列说法正确的是（　　） A．﹣4的平方根是±2 B．﹣4的算术平方根是﹣2 C．的平方根是±4 D．0的平方根与算术平方根都是0 【答案】D 【解答】解：A．﹣4没有平方根，因此选项A不符合题意； B．﹣4没有平方根，也没有算术平方根，因此选项B不符合题意； C.的平方根，即4的平方根，4的平方根为±2，因此选项C不符合题意； D.0的平方根和算术平方根都是0，因此选项D符合题意； 故选：D． 12．设S1＝1，，，…，，则 的值为（　　） A． B． C．24 D．23 【答案】C 【解答】解：1+1，1，1，1，…， ， ∴ ＝1+11 ＝24+1 ＝24． 故选：C． 13．一个自然数的算术平方根为a，则下一个自然数的算术平方根是（　　） A． B． C．﹣a+1 D．a2+1 【答案】B 【解答】解：一个自然数的算术平方根为a，则下一个自然数的算术平方根是， 故选：B． 14．如图是一个数值转换器，当输入的x的值为81时，输出的y的值是（　　） A． B．9 C．3 D． 【答案】A 【解答】解：第一次输入x＝81，则，是有理数； 第二次输入x＝9，则，是有理数； 第三次输入x＝3，则不是有理数，所以输出y， 故选：A． 15．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： ••• ••• ••• 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 ••• 根据以上规律，若，则（　　） A．37.9 B．379 C．12 D．120 【答案】A 【解答】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∵1440＝14.4×100， ∴， 故选：A． 16．的算术平方根是 　3　 ． 【答案】3 【解答】解：∵9， ∴的算术平方根是3． 故答案为：3． 17．若，则　14.14　 ，　44.72　 ． 【答案】14.14，44.72． 【解答】解：1.414×10＝14.14， 4.472×10＝44.72， 故答案为：14.14，44.72． 18．我们经过探索知道1，1，1，…，若已知an＝1，则n　 （用含n的代数式表示，其中n为正整数）． 【答案】n 【解答】解：∵1，1，1，…， ∴以此类推，． ∵an＝1， ∴1． ∴1+1，1，1，…，1． ∴ ＝1+1111 ＝n+1 ＝n． 故答案为：n． 19．已知，则的值为 　34.56　 ． 【答案】34.56 【解答】解：10×3.456＝34.56． 故答案为：34.56． 20．为宣传山西旅游资源，促进旅游业发展，山西某中学课外活动小组制作了精美的山西省景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 课题 山西省景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为64cm2，长方形封皮的长与宽的比为2：1，面积为140cm2． 计算结果 …… 【答案】正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 【解答】解：设长方形的宽为xcm，则长为2xcm， 依题意，得x•2x＝140， 整理，得x2＝70，解得（负值已舍去）， ∵正方形卡片的面积为64cm2， ∴正方形卡片的边长为． ∵， ∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 21．小明制作了一张面积为100cm2的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为240cm2． （1）求长方形信封的长和宽； （2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 【答案】（1）长为，宽为；（2）小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封，理由见解析． 【解答】（1）解：设长方形信封的长为3xcm，宽为2xcm， 3x•2x＝240， 解得：x＝±2，负值舍去， ∴3x＝3×26，2x＝2×24， 答：长方形信封的长为，宽为； （2）小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封， 由题意得：面积为100cm2的正方形贺卡的边长是10cm， ∵160＞100， ∴， ∴信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 22．【综合与实践】如图，把两个面积均为18cm2的小正方形纸片分别沿对角线裁剪后拼成一个大的正方形纸片． （1）大正方形纸片的边长为 　6　 cm； （2）若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为24cm2？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得：大正方形的面积＝18×2＝36（cm2）， ∴大正方形纸片的边长6（cm）． 故答案为：6； （2）沿此大正方形边的方向，能裁剪出符合要求的长方形纸片，理由如下： ∵长方形纸片的长宽之比为4：3， ∴设长方形纸片的长和宽分别是4xcm，3xcm， ∴3x•4x＝24， ∴x2＝2， ∵x＞0， ∴x， ∴长方形纸片的长是4x＝4cm， ∵46， ∴沿此大正方形边的方向，能裁剪出符合要求的长方形纸片． 23．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． （1）请直接判断3，12，32是不是“和谐组合”，　不是　 ． （2）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根． （3）已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值． 【答案】（1）不是； （2）4，12； （3）81． 【解答】（1）解：∵，，， ∵，不是整数， ∴3，12，32不是“和谐组合”； 故答案为：不是； （2）证明：∵，，， ∴2，18，8这三个数是“和谐组合”， ∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （3）解：分三种情况：①当9≤a≤25时，得：a＝0（舍去）， ②当a≤9＜25时，，得：（舍去）， ③当9＜25≤a时，．得：a＝81． 综上所述，a的值为81． 24．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”． 例如：﹣1，﹣4，﹣9这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完类组合数”． （1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． （2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值． 【答案】（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”； （2）m＝﹣48． 【解答】解：（1）∵12，6，4， ∴﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”； （2）∵三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”其中有两个数乘积的算术平方根为12， ∴﹣3m＝144或﹣12m＝144， 解得m＝﹣48，m＝﹣12（不符合题意舍去）， 又∵12，24，6， ∴m＝﹣48符合题意． 25．小明的爸爸打算用如图一块面积为1600cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为1350cm2的桌面． （1）求正方形木板的边长； （2）若要求裁出的桌面的长宽之比为3：2，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由． 【答案】（1）40cm； （2）不能，见解析． 【解答】解：（1）设正方形木板的边长为a（a＞0）cm，则a2＝1600， ∵402＝1600， ∴a＝40，即正边形边长为40cm． （2）设长方形的长、宽分别为3kcm，2kcm，则： 3k⋅2k＝1350，k2＝225， ∴k＝15． ∴3k＝15×3＝45＞40． ∴不能裁出符合要求的长方形． ▉题型3 非负数的性质：算术平方根 【知识点的认识】 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 26．若，则（a+b）2025的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2025 【答案】A 【解答】解：由题可知， a+3＝0，b﹣2＝0， 解得a＝﹣3，b＝2， ∴（a+b）2025＝（﹣3+2）2025＝﹣1， 故选：A． 27．已知x，y为实数，且，则x﹣y＝　﹣3　 ． 【答案】﹣3． 【解答】解：∵， ∴x+1＝0，y﹣2＝0， ∴x＝﹣1，y＝2， ∴x﹣y＝﹣1﹣2＝﹣3， 故答案为：﹣3． 28．若与互为相反数，则ab＝ 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵和互为相反数， ∴0， ∴a+2＝0，0， ∴a＝﹣2，b， ∴ab． 故答案为：． 29．若则|a﹣1|（c﹣3）2＝0，（a+b）c＝　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：∵|a﹣1|（c﹣3）2＝0， ∴a﹣1＝0，b+2＝0且c﹣3＝0， 则a＝1，b＝﹣2，c＝3， 所以（a+b）c＝（1﹣2）3＝﹣1． 故答案为：﹣1． 30．已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n． （1）求m的值； （2）|a﹣1|（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？ 【答案】（1）m＝121； （2）±． 【解答】解：（1）∵正数m的平方根为2n+1和4﹣3n，这两个数互为相反数， ∴2n+1+4﹣3n＝0， 解得：n＝5， 解得：m＝121； （2）∵|a﹣1|（c﹣n）2＝0， ∴a﹣1＝0，b＝0，c﹣n＝0， ∴a＝1，b＝0，c＝n＝5， ∴a+b+c＝1+0+5＝6， ∴a+b+c的平方根是±． ▉题型4 立方根 【知识点的认识】 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 31．已知0.5981，1.289，2.776，则（　　） A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981 【答案】A 【解答】解：102.776×10＝27.76． 故选：A． 32．下列各式中，正确的是（　　） A．4 B．± C．±± D．±4 【答案】C 【解答】解：A、，本选项错误， B、，本选项错误， C、±±，本选项正确， D、4，本选项错误， 故选：C． 33．下列说法中正确的有（　　） A． B．是5的一个平方根 C． D． 【答案】B 【解答】解：A、，故此选项不符合题意； B、是5的一个平方根，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 34．如图，二阶魔方由8个形状大小完全相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积约为48cm3（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为（　　） A．cm B．3cm C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题意得，每个小正方体的体积为48÷8＝6（cm3）， ∴每个小正方体的棱长为cm， 故选：A． 35．已知按照一定规律排成的一列实数：﹣1，，，﹣2，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2024个数应是（　　） A． B． C． D．2024 【答案】C 【解答】解：由于2024÷3＝674…2，每三个相邻的数为一组，2024处在第674组后的第2个数，因此可得， 第2024个数应是． 故选：C． 36．下列说法中正确的是（　　） A．4的平方根是2 B．平方根是它本身的数只有0 C．﹣8没有立方根 D．立方根是它本身的数只有0和1 【答案】B 【解答】解：A.4的平方根是±2，因此选项A不符合题意； B．平方根是它本身的数只有0，因此选项B符合题意； C．﹣8的立方根是﹣2，因此选项C不符合题意； D．立方根是它本身的数只有0、1或﹣1，因此选项D不符合题意． 故选：B． 37．下列判断错误的是（　　） A．若，则a＝b B．若，则a＝b C．若，则a＝b D．若，则a＝b 【答案】D 【解答】解：A、若，则a＝b，说法正确，故本选项错误； B、若，则a＝b，说法正确，故本选项错误； C、若，则a＝b，说法正确，故本选项错误； D、若，则a不一定等于b，例如：，但﹣3≠3，故本选项正确． 故选：D． 38．下列说法中，正确的是（　　） A．2是﹣4的算术平方根 B．﹣5是（﹣5）2的算术平方根 C．16的平方根是±4 D．27的立方根是±3 【答案】C 【解答】解：A、﹣4没有算术平方根，错误； B、5是（﹣5）2的算术平方根，错误； C、16的平方根是±4，正确； D、27的立方根是3，错误； 故选：C． 39．已知1.147，2.472，0.5325，则的值是（　　） A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7 【答案】C 【解答】解：1.147×10＝11.47． 故选：C． 40．若一个数的平方根与它的立方根完全相同．则这个数是 　0　 ． 【答案】0 【解答】解：0的平方根和立方根都是0． 故答案为：0． 41．若，则x+y的立方根是 　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：∵， ∴， 解得：x＝25，y＝39， ∴x+y＝64， ∴x+y的立方根为：4． 故答案为：4． 42．平方根等于本身的是　0　 ，算术平方根等于本身的数是　0，1　 ，立方根等于本身的数是　0，1，﹣1　 ． 【答案】0；0，1；0，1，﹣1 【解答】解：∵02＝0， ∴平方根等于本身的是0； 12＝1，02＝0， ∴算术平方根等于本身的数是1； ∵03＝0，13＝1，（﹣1）3＝﹣1， ∴立方根等于本身的数是0，1，﹣1． 故答案为0；0，1；0，1，﹣1． 43．已知2a+1的平方根是±5，1﹣b的立方根为﹣1． （1）求a与b的值； （2）求a+2b的算术平方根． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵2a+1的平方根是±5， ∴2a+1＝25， 解得a＝12， 又∵1﹣b的立方根为﹣1． ∴1﹣b＝﹣1， 解得b＝2， 答：a＝12，b＝2； （2）当a＝12，b＝2时， a+2b＝12+4＝16， ∴a+2b的算术平方根为4． 44．已知正数a的两个不同平方根分别是2x﹣2和6﹣3x，a﹣4b的算术平方根是4． （1）求a和b的值； （2）求2a﹣b2+17的立方根． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得，2x﹣2+6﹣3x＝0， 解得x＝4， ∴2x﹣2＝6， ∴a＝62＝36， ∵a﹣4b的算术平方根是4， ∴a﹣4b＝16， ∴b＝5； （2）∵2a﹣b2+17＝2×36﹣52+17＝64， 而64的立方根是4， ∴2a﹣b2+17的立方根为4． 45．已知2m﹣1的算术平方根是3，m﹣n﹣9的立方根是﹣2，求m2﹣n2的平方根． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵2m﹣1的算术平方根是3，m﹣n﹣9的立方根是﹣2， ∴2m﹣1＝9，m﹣n﹣9＝﹣8， 解得：m＝5，n＝4， ∴m2﹣n2＝9， ∴m2﹣n2的平方根为±3． 46．（1）已知3m+1的平方根是±5，5n﹣m的立方根是3．求m﹣n的平方根； （2）已知2x﹣4和x﹣6是正数m的平方根，求正数m的值． 【答案】（1）±1； （2）或64． 【解答】解：（1）由题意得3m+1＝52，5n﹣m＝33， 解得m＝8，n＝7， ∴m﹣n＝8﹣7＝1， ∵1的平方根为±1， ∴m﹣n的平方根为±1； （2）∵2x﹣4和x﹣6是正数m的平方根， ∴2x﹣4+x﹣6＝0或2x﹣4＝x﹣6， 即或x＝﹣2， 当时，，， ∴； 当x＝﹣2时，2x﹣4＝x﹣6＝﹣8， ∴m＝（﹣8）2＝64； 综上，正数m的值为或64． 47．（1）解不等式组； （2）若（2x﹣1）3＝﹣8，求x的值． 【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1）， 解不等式①得：x≤1， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：； （2）（2x﹣1）3＝﹣8， 2x﹣1＝﹣2， 2x＝﹣2+1， 2x＝﹣1， 解得：． 48．解下列方程． （1）x2＝16； （2）． 【答案】（1）x＝4或x＝﹣4； （2）x． 【解答】解：（1）开平方，得x＝4或x＝﹣4； （2）开立方，得x﹣1， 移项并合并，得x． 49．已知一个正数m的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2，a﹣2b的立方根是﹣2． （1）求a，b，m的值； （2）求a2﹣b﹣1的算术平方根． 【答案】（1）a＝4，b＝6，m＝4； （2）3． 【解答】解：（1）因为一个正数m的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2， 所以3a﹣14+a﹣2＝0， 解得：a＝4； ∴a﹣2＝4﹣2＝2， ∴m＝22＝4； 因为a﹣2b的立方根是﹣2， 所以a﹣2b＝﹣8， 解得：b＝6． （2）由上一问结论可知a＝4，b＝6， 则a2﹣b﹣1＝42﹣6﹣1＝9， ∵9的算术平方根为3． ∴a2﹣b﹣1的算术平方根为3． 50．求下列各式中的x： （1）4x2＝25； （2）（x+1）3﹣8＝0． 【答案】（1）x＝±；（2）x＝1． 【解答】解：（1）根据题意得x2， ∴x＝±； （2）根据题意得（x+1）3＝8， ∴x+1＝2， ∴x＝1． 51．解方程： （1）2x2＝8； （2）27x3＝64； （3）3（2x﹣1）2＝27． 【答案】（1）x＝2或x＝﹣2；（2）；（3）x＝2或x＝﹣1． 【解答】解：（1）由2x2＝8，可得x2＝4， 解得：x＝2或x＝﹣2； （2）由27x3＝64，可得， 解得：； （3）由3（2x﹣1）2＝27，可得（2x﹣1）2＝9， 2x﹣1＝±3， 解得：x＝2或x＝﹣1． 52．解下列方程： （1）3（x+1）2＝48； （2）． 【答案】（1）x＝3或x＝﹣5； （2）x． 【解答】解：（1）3（x+1）2＝48， （x+1）2＝16， x+1＝±4， x＝3或x＝﹣5； （2）， ， ， x． 53．已知a﹣1的立方根是﹣2，b是16的算术平方根，求a+2b的平方根． 【答案】±1． 【解答】解：∵a﹣1的立方根是﹣2，b是16的算术平方根． ∴a﹣1＝﹣8，b＝4， 即a＝﹣7，b＝4， ∴a+2b＝﹣7+8＝1， ∴a+2b的平方根是． 54．已知m+1的立方根是﹣2，n﹣4的算术平方根是9． （1）求m，n的值； （2）求n﹣m+6的算术平方根． 【答案】（1）m＝﹣9，n＝85； （2）10． 【解答】解：（1）∵m+1的立方根是﹣2，n﹣4的算术平方根是9， ∴m+1＝（﹣2）3＝﹣8，n﹣4＝92＝81， ∴m＝﹣9，n＝85； （2）∵m＝﹣9，n＝85， ∴n﹣m+6＝85+9+6＝100， ∴n﹣m+6的算术平方根为． 55．若是a+3b的算术平方根，是1﹣a2的立方根，求的值． 【答案】1． 【解答】解：由题意，可知6﹣2b＝2，2a﹣3＝3， 解得a＝3，b＝2 ∴a+3b＝3+3×2＝9，1﹣a2＝1﹣32＝﹣8， ∴，， ∴． 56．已知a+2的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是4． （1）求a，b的值； （2）求3a﹣b﹣3的平方根． 【答案】（1）a＝6，b＝﹣1；（2）±4． 【解答】解：（1）∵a+2的立方根是2， ∴a+2＝8， 解得：a＝6， ∵3a+b﹣1的算术平方根是4， ∴18+b﹣1＝16， 解得：b＝﹣1， ∴a＝6，b＝﹣1； （2）3a﹣b﹣3＝3×6﹣（﹣1）﹣3＝16， ， ∴3a﹣b+c的平方根为±4． 57．已知实数x、y满足，求2x的立方根． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由非负数的性质可知：2x﹣16＝0，x﹣2y+4＝0， 解得：x＝8，y＝6． ∴2xy＝2×86＝8． ∴2x的立方根是2． 58．已知2a一1的平方根是±5，3a+b﹣1的立方根是4，求a+2b+10的平方根． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵2a一1的平方根是±5，3a+b﹣1的立方根是4， ∴2a﹣1＝25，3a+b﹣1＝64． 解得：a＝13，b＝26． ∴a+2b+10＝13+52+10＝75． ∴a+2b+10的平方根为±5． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 6.1 平方根、立方根 题型1 平方根 题型2 算术平方根 题型3 非负数的性质：算术平方根 题型4 立方根 ▉题型1 平方根 【知识点的认识】 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 1．若m+4与m﹣2是同一个正数的两个平方根，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 2．若m与m﹣2是同一个正数的两个平方根，则m的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 3．一个正数的两个不同的平方根是a+3和2a﹣6，则a的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3 4．下列各数中，没有平方根的是（　　） A．﹣3 B．0 C．48 D． 5．有下列说法： ①﹣3是的平方根；②﹣7是（﹣7）2的算术平方根；③25的平方根是±5；④﹣9的平方根是±3；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0、1． 其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．一个正数的两个平方根分别是2a﹣1和﹣a+3，则这个正数是　 　 ． 7．一个正数的两个不同的平方根为2a+1和a﹣10，则a为 　 　 ． 8．求x的值：3（x+1）2＝48． 9．求下列各式中的x： （1）4x2＝1； （2）（x﹣1）2﹣27＝0． 10．求下列式子中x的值． （1）x2＝49； （2）4（x﹣1）2＝169； ▉题型2 算术平方根 【知识点的认识】 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 11．下列说法正确的是（　　） A．﹣4的平方根是±2 B．﹣4的算术平方根是﹣2 C．的平方根是±4 D．0的平方根与算术平方根都是0 12．设S1＝1，，，…，，则 的值为（　　） A． B． C．24 D．23 13．一个自然数的算术平方根为a，则下一个自然数的算术平方根是（　　） A． B． C．﹣a+1 D．a2+1 14．如图是一个数值转换器，当输入的x的值为81时，输出的y的值是（　　） A． B．9 C．3 D． 15．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： ••• ••• ••• 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 ••• 根据以上规律，若，则（　　） A．37.9 B．379 C．12 D．120 16．的算术平方根是 　 　 ． 17．若，则　 　 ，　 　 ． 18．我们经过探索知道1，1，1，…，若已知an＝1，则n　 （用含n的代数式表示，其中n为正整数）． 19．已知，则的值为 　 　 ． 20．为宣传山西旅游资源，促进旅游业发展，山西某中学课外活动小组制作了精美的山西省景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 课题 山西省景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为64cm2，长方形封皮的长与宽的比为2：1，面积为140cm2． 计算结果 …… 21．小明制作了一张面积为100cm2的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为240cm2． （1）求长方形信封的长和宽； （2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 22．【综合与实践】如图，把两个面积均为18cm2的小正方形纸片分别沿对角线裁剪后拼成一个大的正方形纸片． （1）大正方形纸片的边长为 　 　 cm； （2）若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为24cm2？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由． 23．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． （1）请直接判断3，12，32是不是“和谐组合”，　 　 ． （2）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根． （3）已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值． 24．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”． 例如：﹣1，﹣4，﹣9这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完类组合数”． （1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． （2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值． 25．小明的爸爸打算用如图一块面积为1600cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为1350cm2的桌面． （1）求正方形木板的边长； （2）若要求裁出的桌面的长宽之比为3：2，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由． ▉题型3 非负数的性质：算术平方根 【知识点的认识】 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 26．若，则（a+b）2025的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2025 27．已知x，y为实数，且，则x﹣y＝　 　 ． 28．若与互为相反数，则ab＝ 　 ． 29．若则|a﹣1|（c﹣3）2＝0，（a+b）c＝　 　 ． 30．已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n． （1）求m的值； （2）|a﹣1|（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？ ▉题型4 立方根 【知识点的认识】 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 31．已知0.5981，1.289，2.776，则（　　） A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981 32．下列各式中，正确的是（　　） A．4 B．± C．±± D．±4 33．下列说法中正确的有（　　） A． B．是5的一个平方根 C． D． 34．如图，二阶魔方由8个形状大小完全相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积约为48cm3（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为（　　） A．cm B．3cm C． D． 35．已知按照一定规律排成的一列实数：﹣1，，，﹣2，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2024个数应是（　　） A． B． C． D．2024 36．下列说法中正确的是（　　） A．4的平方根是2 B．平方根是它本身的数只有0 C．﹣8没有立方根 D．立方根是它本身的数只有0和1 37．下列判断错误的是（　　） A．若，则a＝b B．若，则a＝b C．若，则a＝b D．若，则a＝b 38．下列说法中，正确的是（　　） A．2是﹣4的算术平方根 B．﹣5是（﹣5）2的算术平方根 C．16的平方根是±4 D．27的立方根是±3 39．已知1.147，2.472，0.5325，则的值是（　　） A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7 40．若一个数的平方根与它的立方根完全相同．则这个数是 　 　 ． 41．若，则x+y的立方根是 　 　 ． 42．平方根等于本身的是　 　 ，算术平方根等于本身的数是　 　 ，立方根等于本身的数是　 　 ． 43．已知2a+1的平方根是±5，1﹣b的立方根为﹣1． （1）求a与b的值； （2）求a+2b的算术平方根． 44．已知正数a的两个不同平方根分别是2x﹣2和6﹣3x，a﹣4b的算术平方根是4． （1）求a和b的值； （2）求2a﹣b2+17的立方根． 45．已知2m﹣1的算术平方根是3，m﹣n﹣9的立方根是﹣2，求m2﹣n2的平方根． 46．（1）已知3m+1的平方根是±5，5n﹣m的立方根是3．求m﹣n的平方根； （2）已知2x﹣4和x﹣6是正数m的平方根，求正数m的值． 47．（1）解不等式组； （2）若（2x﹣1）3＝﹣8，求x的值． 48．解下列方程． （1）x2＝16； （2）． 49．已知一个正数m的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2，a﹣2b的立方根是﹣2． （1）求a，b，m的值； （2）求a2﹣b﹣1的算术平方根． 50．求下列各式中的x： （1）4x2＝25； （2）（x+1）3﹣8＝0． 51．解方程： （1）2x2＝8； （2）27x3＝64； （3）3（2x﹣1）2＝27． 52．解下列方程： （1）3（x+1）2＝48； （2）． 53．已知a﹣1的立方根是﹣2，b是16的算术平方根，求a+2b的平方根． 54．已知m+1的立方根是﹣2，n﹣4的算术平方根是9． （1）求m，n的值； （2）求n﹣m+6的算术平方根． 55．若是a+3b的算术平方根，是1﹣a2的立方根，求的值． 56．已知a+2的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是4． （1）求a，b的值； （2）求3a﹣b﹣3的平方根． 57．已知实数x、y满足，求2x的立方根． 58．已知2a一1的平方根是±5，3a+b﹣1的立方根是4，求a+2b+10的平方根． 学科网（北京）股份有限公司 $