精品解析：河南省邓州市2025～2026学年第一学期期末考试八年级 数学试卷

邓州市2025~2026学年第一学期期末考试八年级数学试卷 注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，答题时间100分钟； 2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上． 1. 在四个数中，最大的数是（ ） A. -3 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，先区分正数与负数，负数小于正数，再比较两个正数的大小即可确定最大数． 详解】解：∵， ∴， ∵正数大于负数， ∴中，最大的数为； 故选：C． 2. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，需运用整式的乘方、合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式等运算法则，逐一验证各选项的运算是否正确． 【详解】解：∵，∴A选项错误； ∵，∴B选项错误； ∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，∴C选项正确； ∵，∴D选项错误； 故选C． 3. 用反证法证明命题：“在中，若，则．”时，第一步应先假设（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反证法的应用，关键是明确反证法第一步需假设命题结论的反面成立．据此进行判断即可． 【详解】解：∵反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，原命题要证明的结论是， ∴该结论的反面为，即第一步应假设， 故选B． 4. 要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 中央电视台《开学第一课》的收视率 B. 对发射“神舟二十二号”的“长征二号遥二十二运载火箭”的零部件质量 C. 某城市居民2025年12月份人均网上购物的次数 D. 某品牌新能源汽车的最大续航里程 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全面调查（普查）和抽样调查的适用范围，普查适用于事关重大、精度要求高、无破坏性且调查对象易全面覆盖的情况，抽样调查适用于范围广、有破坏性或难以全面调查的情况． 【详解】解：A选项中，调查《开学第一课》收视率涉及范围极广，难以全面调查，适合抽样调查． B选项中，火箭零部件质量直接影响发射安全，必须逐一检查，不允许有质量问题，适合普查． C选项中，城市居民数量庞大，全面调查工作量大，适合抽样调查． D选项中，测试新能源汽车最大续航里程会损耗车辆，具有破坏性，适合抽样调查． 故选B 5. 根据下列条件，能判定的是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，与的周长相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据三角形全等的判定方法逐个选项分析即可． 【详解】根据全等三角形判定定理，对选项逐个验证即可． A．，，，没有边边角，故该选项不正确，不符合题意； B．，，，不是对应边相等，故该选项不正确，不符合题意； C．，，，没有对应边相等，故该选项不正确，不符合题意； D．，，由与的周长，可得，根据边边边，能判定，故该选项正确，符合题意． 故选D． 6. 如图，在中，平分，．已知，，则的周长为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，根据角平分线的定义，平行线的性质，推出，进而得到，得到的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长； 故选C． 7. 如图，已知是等边三角形，点为边上一点，点D，F为延长线上的点，连接，且，点是线段上的点，连接，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等边三角形的性质可得：，根据以及外角的性质可得，同理可：． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 同理可得：． 故选：B． 8. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，以为腰，为顶角作等腰三角形（点在格点上），则的面积为（ ） A. 3 B. 5 C. 3或5 D. 4或6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查网格中的等腰三角形，与三角形有关的计算，根据等腰三角形的定义，结合网格特点，画出，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，作图如下： 由图可知：的面积为或； 故选：C． 9. 八（1）班同学开展“用直尺和圆规作角的平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可． 【详解】解：左边起，第一幅图为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 第二幅图，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为的平分线； 第三幅图，由作图可知， ∴，， ∴ ∴， ∴为的平分线； 第四幅图，由作图可知：，， ∴为的平分线； 故选：D． 10. 已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是和，．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，，则铅笔的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方；第二个笔筒中：直径平方；因直径相等，列方程即可求解． 【详解】解：设铅笔长度为，由题意得， ， 解得，， 故铅笔的长为； 故选：A． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 若某数的一个平方根为，则这个数的立方根是______． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据平方根定义求得该数，再根据立方根求得答案． 【详解】解：∵(-8)2=64， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查平方根、立方根，熟练掌握平方根和立方根定义是解题的关键． 12. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有60名学生，其中已经学会炒菜的学生频率是0.45，则该班学会炒菜的学生频数是_____． 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查求频数，根据频数与频率的关系，频数等于频率乘以总人数，进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：27． 13. 若关于的二次三项式，则的值是_____． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则将等式左边展开，进而求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：21． 14. 如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云纹石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为_____米. 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈巨龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：如图， ∵底面周长约为8米，柱身高约12米， ∴米，（米）， ∴（米）， 则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少（米）． 故答案为：20． 15. 如图，，点是延长线上一点，，动点从点出发沿射线以的速度移动，动点从点出发沿射线以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当__________时，是等腰三角形． 【答案】2或6 【解析】 【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段OC上时；（2）当点P在CO的延长线上时．分别列式计算即可求． 【详解】解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时， 设t时后△POQ是等腰三角形， 有OP=OC-CP=OQ， 即6-2t=t， 解得，t=2s； （2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用3s， 当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ=60°， ∴△POQ是等边三角形， ∴OP=OQ， 即2（t-3）=t， 解得，t=6s 故答案为2s或6s． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意要分类讨论，当点P在点O的左侧还是在右侧是解答本题的关键． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. 计算与分解因式： （1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1）-5 （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，因式分解： （1）先进行乘方和开方运算，再进行加减运算即可； （2）利用提公因式法进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： ． 17. 计算与化简： （1）已知，求的值． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，整式的混合运算： （1）利用完全平方公式变形计算即可； （2）根据乘法公式和多项式除以单项式的法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； ； 【小问2详解】 解： ． 18. 教材呈现：华东师大版八年级新教材上册课本92页有这样一道思考题： 如图12.3.8所示，我们还曾利用尺规作图过点作出已知直线的垂线．当点在直线上时，垂线即是平角的平分线所在的直线，那么当点在直线外时，你能证明所作的直线确实是直线的垂线吗？ （1）如图2，请用无刻度的直尺和圆规过直线外一点作的垂线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）写出已知、求证并进行证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图作垂线，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据尺规作垂线的方法作图即可； （2）根据要求写出已知，求证和证明过程即可． 【小问1详解】 解：由题意，作图如下： 【小问2详解】 解：已知：按如图所示的尺规作图． 求证：． 证明：如图所示，连接，设交于点O， 由作图知，． 在和中， ， ， （全等三角形的对应角相等）． 在中， ， （三线合一）， 即． 19. 项目学习 在学校组织的社会实践活动中，八年级“实践活动”社团负责调查同学们每天完成家庭作业的时间情况，他们随机抽取了一部分同学进行调查，并形成了如下调查报告： 调查主题 ××学校学生每天完成家庭作业时间 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校八年级部分学生 调查内容 同学，你每天完成家庭作业的时间为_______． A．小时；B．小时；C．小时；D．小时及以上，E．3小时及以上．（每组含最小值，不含最大值），请根据实际情况选择你最符合的一项，感谢参与！ 数据收集、整理 频数分布表和频数分布直方图 时间x（小时） 频数 百分比 5 a 20 7 3 b 调查结论 …… 请结合调查信息，回答下列问题： （1）频数分布表中的_____，_____； （2）将频数分布直方图补充完整（直接画图，不写计算过程）； （3）若将抽取的学生每天完成家庭作业时间情况绘制成扇形统计图，求完成时间为（小时）范围所在扇形圆心角的度数； （4）规定：初中生每天书面家庭作业时间不超过2小时，根据表中数据，请你提出一条合理化建议． 【答案】（1）15，6% （2）图见解析 （3） （4）作业争取在校内完成或减少书面作业布置量或合理布置作业或精选作业布置等 【解析】 【分析】本题考查统计图表，从统计图表中有效的获取信息是解题的关键： （1）用A的频数除以所占的比例，求出调查总人数，根据频数，总数和百分数之间的关系求出的值即可； （2）由（1）补全直方图即可； （3）用360度乘以对应的百分比，进行计算即可； （4）根据分布表，给出建议即可． 【小问1详解】 解：； ； ； 【小问2详解】 解：补全直方图如图： 【小问3详解】 解：； 答：完成时间为（小时）范围所在扇形圆心角的度数为； 【小问4详解】 解：由题意，建议如下： 作业争取在校内完成或减少书面作业布置量或合理布置作业或精选作业布置等． 20. 综合与实践 【素材】如图，一张长方形硬纸板，长为，宽为； 【实践操作】步骤：将图1长方形硬纸板平均分成四块全等小长方形； 步骤：沿虚线用剪刀剪开； 步骤：按如图所示拼成一个大正方形． 【实践探索】（1）图中的阴影部分正方形的边长是 （用含，的代数式表示）； 观察图，图，请写出，，之间的等量关系是： ； 【实践应用】（2）如图，是线段上的一点，以，为边向上分别作等腰和等腰，点在上，连接，若，，求的面积． 【答案】（）；； （）． 【解析】 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （）根据题意可得出图中阴影部分正方形的边长； 根据图中大正方形的边长为，阴影部分正方形的边长为，进而可得出，，之间的等量关系； （）设，，依题意得，，根据（）的结论得，由此可得的面积． 【详解】解：（）依题意得：图中阴影部分正方形的边长为：， 故答案为：； ∵图2中大正方形的边长为：， ∴图中大正方形的面积为：， ∵图中阴影部分正方形的边长为：， ∴图中阴影部分正方形的面积为：， 由拼图可知：， 故答案为：； （）设，， ∵， ∴， ∵和是等腰直角三角形，且， ∴，， ∵， ∴， 由（）可知：， ∴， ∴， ∴． 21. 消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】（1）米； （2）米． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． （）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【小问1详解】 解：在中，∵米，米， ∴（米）， ∴（米， 答：处与地面的距离是米； 【小问2详解】 解：在中， ∵米，（米）， ∴米， ∴（米）， 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 22. 问题情境： 勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题： （1）如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是6，10，3，6，则正方形的面积是_____，正方形的边长是_______； （2）如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，． ①求证： ②若正方形，正方形的面积分别为16，9，请直接写出的长为______． 【答案】（1）16，5 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质及面积，熟练掌握这些知识是解这道题的关键． （1）根据勾股定理知两直角边的平方和等于斜边的平方，在勾股树中就是两较小正方形的面积和等于较大正方形的面积，知道这点关系即可解决此问题； （2）①证和全等，即可得出结论； ②根据正方形，正方形的面积分别为16，9，求出这两个正方形的边长，从而利用勾股定理求出的长度，根据，即可得出结果． 【小问1详解】 解：根据勾股定理，得， 正方形E的面积是16， 同理可得， ， 正方形G的边长为5． 故答案为：16，5． 【小问2详解】 ①证明：∵正方形和正方形， ，， ， 在和中， ， ． ②解：正方形，正方形的面积分别为16，9， ，，， ． 由①可知：． 23. 综合与实践 在等腰直角中，为直线上任意一点，连接．将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，过点作于点，连接． （1）[尝试发现]如图1，当点在线段上时，请探究线段与的数量关系；以下是小明同学的探究思路梳理：由已知条件的基本图形“一线三垂直”，易证，于是可得．欲探究线段与的数量关系，由直观先猜想，要进一步证明，可尝试证明，由已知，得，于是可得：（______①），所以，可得______②，因此猜想成立． 请填空：以上思路梳理中，空白①处的理由是______，空白②处的线段是_____； （2）[类比探究]如图2，当点在线段的延长线上时， ①再探究线段与的数量关系并证明； ②若，求线段的长； （3）[拓展应用]若，请就图1、图2直接写出线段的长． 【答案】（1）等式性质1，BF （2）①，证明见解析；② （3）线段EC长为或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形与旋转．熟练掌握等腰直角三角形性质，旋转性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． （1）根据，得，理由是等式性质1，可得； （2）①根据， ，，得，得，可得，即得；②由，勾股定理求出的长即可； （3）由，当点D在右侧时，得，即得，当点D在左侧时，得，即得． 【小问1详解】 解：∵中，， ∴， 由旋转知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（ 等式性质1 ）， ∴， 故答案为：等式性质1，； 【小问2详解】 解：①． 证明：∵中，， ∴， 由旋转知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，则：， ∴； 【小问3详解】 解：当时， 由（1）（2）知，， 当点D在右侧时，， ∴； 当点D在左侧时，， ∴． 故线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邓州市2025~2026学年第一学期期末考试八年级数学试卷 注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，答题时间100分钟； 2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上． 1. 在四个数中，最大的数是（ ） A. -3 B. C. D. 2 2. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 用反证法证明命题：“在中，若，则．”时，第一步应先假设（ ） A. B. C. D. 4. 要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 中央电视台《开学第一课》的收视率 B. 对发射“神舟二十二号”的“长征二号遥二十二运载火箭”的零部件质量 C. 某城市居民2025年12月份人均网上购物的次数 D. 某品牌新能源汽车的最大续航里程 5. 根据下列条件，能判定的是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，与的周长相等 6. 如图，在中，平分，．已知，，则的周长为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 7. 如图，已知是等边三角形，点为边上一点，点D，F为延长线上的点，连接，且，点是线段上的点，连接，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，以为腰，为顶角作等腰三角形（点在格点上），则的面积为（ ） A. 3 B. 5 C. 3或5 D. 4或6 9. 八（1）班同学开展“用直尺和圆规作角的平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是和，．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，，则铅笔的长是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 若某数的一个平方根为，则这个数的立方根是______． 12. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有60名学生，其中已经学会炒菜的学生频率是0.45，则该班学会炒菜的学生频数是_____． 13. 若关于的二次三项式，则的值是_____． 14. 如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云纹石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为_____米. 15. 如图，，点是延长线上一点，，动点从点出发沿射线以的速度移动，动点从点出发沿射线以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当__________时，是等腰三角形． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. 计算与分解因式： （1）计算：； （2）分解因式：． 17. 计算与化简： （1）已知，求的值． （2）化简：． 18. 教材呈现：华东师大版八年级新教材上册课本92页有这样一道思考题： 如图12.3.8所示，我们还曾利用尺规作图过点作出已知直线的垂线．当点在直线上时，垂线即是平角的平分线所在的直线，那么当点在直线外时，你能证明所作的直线确实是直线的垂线吗？ （1）如图2，请用无刻度的直尺和圆规过直线外一点作的垂线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）写出已知、求证并进行证明． 19. 项目学习 在学校组织的社会实践活动中，八年级“实践活动”社团负责调查同学们每天完成家庭作业的时间情况，他们随机抽取了一部分同学进行调查，并形成了如下调查报告： 调查主题 ××学校学生每天完成家庭作业时间 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校八年级部分学生 调查内容 同学，你每天完成家庭作业的时间为_______． A．小时；B．小时；C．小时；D．小时及以上，E．3小时及以上．（每组含最小值，不含最大值），请根据实际情况选择你最符合的一项，感谢参与！ 数据收集、整理 频数分布表和频数分布直方图 时间x（小时） 频数 百分比 5 a 20 7 3 b 调查结论 …… 请结合调查信息，回答下列问题： （1）频数分布表中的_____，_____； （2）将频数分布直方图补充完整（直接画图，不写计算过程）； （3）若将抽取的学生每天完成家庭作业时间情况绘制成扇形统计图，求完成时间为（小时）范围所在扇形圆心角的度数； （4）规定：初中生每天书面家庭作业时间不超过2小时，根据表中数据，请你提出一条合理化建议． 20 综合与实践 【素材】如图，一张长方形硬纸板，长为，宽为； 【实践操作】步骤：将图1长方形硬纸板平均分成四块全等的小长方形； 步骤：沿虚线用剪刀剪开； 步骤：按如图所示拼成一个大正方形． 【实践探索】（1）图中阴影部分正方形的边长是 （用含，的代数式表示）； 观察图，图，请写出，，之间的等量关系是： ； 【实践应用】（2）如图，是线段上的一点，以，为边向上分别作等腰和等腰，点在上，连接，若，，求的面积． 21. 消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 22. 问题情境： 勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题： （1）如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是6，10，3，6，则正方形的面积是_____，正方形的边长是_______； （2）如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，． ①求证： ②若正方形，正方形面积分别为16，9，请直接写出的长为______． 23. 综合与实践 在等腰直角中，直线上任意一点，连接．将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，过点作于点，连接． （1）[尝试发现]如图1，当点在线段上时，请探究线段与的数量关系；以下是小明同学的探究思路梳理：由已知条件的基本图形“一线三垂直”，易证，于是可得．欲探究线段与的数量关系，由直观先猜想，要进一步证明，可尝试证明，由已知，得，于是可得：（______①），所以，可得______②，因此猜想成立． 请填空：以上思路梳理中，空白①处的理由是______，空白②处的线段是_____； （2）[类比探究]如图2，当点在线段的延长线上时， ①再探究线段与的数量关系并证明； ②若，求线段长； （3）[拓展应用]若，请就图1、图2直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $