精品解析：江苏南京市第二十九中学2025—2026学年度第一学期期末调研考试高一数学试题

绝密★启用前 南京市第二十九中学2025—2026学年度第一学期期末调研考试 高一数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题的否定是（    ） A. B. C D. 2. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 3. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A. 62% B. 56% C. 46% D. 42% 4. 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（ ） A. {x|2<x≤3} B. {x|2≤x≤3} C. {x|1≤x<4} D. {x|1<x<4} 5. 函数的单调递增区间是（ ） A B. C. D. 6. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数f（x）=log2x+2x-3，则函数f（x）的零点所在的区间为（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意，都有，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（ ） A. 若，则函数奇函数 B. 若，则 C. 函数的图象必有对称中心 D. ， 10. 已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数， 且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小正周期是 B. 若， 则 C. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 D. 若，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________． 13. 已知，函数的值域为，则的最小值为________． 14. 设，若方程恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为__________；若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，． （1）若方程有4解，求a的取值范围； （2）对恒成立，求a取值范围； （3）对，恒成立，求λ的取值范围． 16. 已知． （1）若为奇函数，求的值，并解方程； （2）解关于的不等式． 17. 设函数. （1）证明函数在上是增函数； （2）若，是否存在常数，，，使函数在上的值域为，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 18. 已知函数（），满足函数是奇函数． （1）求函数，的值域； （2）函数在区间和上均单调递增，求实数a取值范围． 19. 已知函数的定义域为，给定集合D，若满足对任意，，存在实数，当时，都有，则称是D上的“级优函数”． （1）请写出一个上的“1级优函数”，并说明理由； （2）已知是上的“2级优函数”， （ⅰ）证明：； （ⅱ）当时，，其中a，，求a，b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 南京市第二十九中学2025—2026学年度第一学期期末调研考试 高一数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 故选：A. 2. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出中元素的即可. 【详解】由题意，中的元素满足，且， 由，得， 所以满足的有， 故中元素的个数为4. 故选：C. 【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 3. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A. 62% B. 56% C. 46% D. 42% 【答案】C 【解析】 【分析】由容斥原理即可得解.. 【详解】由题意，该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为. 故选：C. 4 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（ ） A. {x|2<x≤3} B. {x|2≤x≤3} C. {x|1≤x<4} D. {x|1<x<4} 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合并集概念求解. 【详解】 故选：C 【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题. 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简函数为，设，根据为增函数，结合复合函数的单调性的判断方法，可得求函数的单调递增区间，即可得答案. 【详解】，设,则为增函数， 求函数的单调递增区间，等价为求函数的单调递增区间， 函数的对称轴为，则函数在上是增函数， 则的单调递增区间是， 故选：. 6. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次函数的性质与对数函数的性质列出不等式且，即可求解. 【详解】由题意可得且， 即且， 整理可得， 解得： 所以函数的定义域为 故选：C 7. 设函数f（x）=log2x+2x-3，则函数f（x）的零点所在的区间为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数，所以f（1）==﹣1＜0，f（2）==2＞0，所以根据根的存在性定理可知在区间（1，2）内函数存在零点． 故选：B． 点睛：一是严格把握零点存在性定理的条件； 二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件； 三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点. 8. 已知函数，若对任意，都有，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将已知函数整理得，令，由二次函数的性质求得，将不等式等价于，求解即可. 【详解】解：由已知得， 令，因为，所以，所以， 所以，当时，，当时，，即， 所以对任意，， 所以对任意，都有，等价于， 即，解得或，所以实数m的取值范围是， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（ ） A. 若，则函数为奇函数 B. 若，则 C. 函数的图象必有对称中心 D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】中心对称函数的性质，利用函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．对于AB选项，利用表达式可以直接进行判断.选项C，直接利用定义判断,求出对称中心点.选项D，不等式恒成立问题，根据的函数性质证明即可. 【详解】对于选项A，记． 因为，所以为奇函数，故选项A正确； 对于选项B，由选项A可知，从而， 所以，故选项B错误； 对于选项C，记．若为奇函数，则， ，即， 所以，即． 上式化简得，． 则必有，解得， 因此当时，的图象必关于点对称，故选项C正确； 对于选项D，由选项C可知，． 当时，是减函数，，所以 ， 故选项D正确． 故选：ACD． 10. 已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集可得判断A、D，再将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C. 【详解】由题设，的解集为， ∴，则， ∴，，则A、D正确； 原不等式可化为的解集为，而的零点分别为且开口向下，又，如下图示， ∴由图知：，，故B错误，C正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：由根与系数关系得，结合二次函数的性质及数形结合思想判断各选项的正误. 11. 已知函数， 且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小正周期是 B. 若， 则 C. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 D. 若，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用单调区间长度不超过周期的一半，求出周期范围，判断A，根据中心对称即可求值，知B正确，由周期的范围求出的范围，利用函数平移求出周期，判断C，结合已知单调区间得出范围后判断D. 【详解】对于A，因为函数在区间上单调递减，所以， 所以的最小正周期，即的最小正周期的最小值为，故A错误； 对于B，因为，所以的图像关于点对称， 所以，故B正确； 对于C，若恒成立，则为函数的周期或周期的倍数，所以，所以，因为，所以， 又，所以，所以， 即满足条件的有且仅有1个，故C正确； 对于D，由题意可知为单调递减区间的子集， 所以，其中，解得，， 当时，，当时，， 故的取值范围是，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果. 【详解】分类讨论：①当时，即：， 整理可得：， 由恒成立的条件可知：， 结合二次函数的性质可知： 当时，，则； ②当时，即：，整理可得：， 由恒成立的条件可知：， 结合二次函数的性质可知： 当或时，，则； 综合①②可得的取值范围是，故答案为. 点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 13. 已知，函数的值域为，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果. 【详解】的值域为， ， ， ， ， 当，即是等号成立， 所以的最小值为， 故答案为. 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误. 14. 设，若方程恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为__________；若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为__________. 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】先作出函数  的大致图象，结合图形，当  时，  与函数  有三个不同的交点，由对称性可知这三个根的和，若方程  有四个不相等的实根，则这四个根关于直线  对称，不妨令  ，则有  ，  ，  ，故有  ，  ，换元  ，求其范围即可. 详解】作出图象如下： 可知当  时，  与函数  有三个不同的交点，其中一根为2，另两根关于对称 ，故这三个根之和为 ；   时，  ，   在  与  上的图象关于  对称， 不妨令  ， 可得  ，  ，  .   ，  ，  ，    ，  ， 令  ， 则原式化为：  ，  ， 其对称轴  ，开口向上，故  在  递增，   ，   的取值范围是  . 故答案为：6； . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，． （1）若方程有4解，求a的取值范围； （2）对恒成立，求a的取值范围； （3）对，恒成立，求λ的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）令，，由题意可得存在两个不等的实数解，由此可求解a的取值范围； （2）根据已知不等式列不等式组，求解即可； （3）求出的值域为，设，则，，不妨设，由不等式的性质可得不等式左侧的范围，从而可得λ的取值范围． 【小问1详解】 令，且函数最小值，则在上存在两个不等的实数解， 所以且，解得，即a的取值范围是． 【小问2详解】 因为，设，且在是单调递增的， ，即解得，满足题设； ，即，解得，满足题设； 若，则在上恒有，而，显然不满足题设； 若，，解得， 综上所述，实数a的取值范围是． 【小问3详解】 因为，在是单调递增的，所以， 设，则，，不妨设，而， ， 当，，即时，取得等号， 从而， 所以， 综上所述，实数λ的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：设，则，，，结合基本不等式求已知不等式左侧的范围为关键. 16. 已知． （1）若为奇函数，求的值，并解方程； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由为奇函数，可令，求出的值，并根据对数运算求出，即得方程的解集； （2）将不等式代入化简为，即，分别在三种情况下分类讨论即可. 【小问1详解】 的定义域为R， 因为为奇函数，则， 解得，故， 又，即， 所以函数为奇函数，故. 又，即， 解得，即. 【小问2详解】 因为，， ， 关于的不等式可转化为， 即， ①当时，； ②当时，，解得， ③当时，或，解得或，， 综上，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. 17. 设函数. （1）证明函数在上是增函数； （2）若，是否存在常数，，，使函数在上的值域为，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）详见解析； （2）不存在，理由详见解析. 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性定义证明； （2）由（1）结合复合函数的单调性得到在上是增函数，从而有，转化为m，n是方程的两个不同的正根求解. 【小问1详解】 证明：任取，且， 则， 因为，则，因为，则， 所以，即， 所以函数在上是增函数； 【小问2详解】 由（1）知：在上是增函数，又， 由复合函数的单调性知在上是增函数， 假设存在常数，，，使函数在上的值域为， 所以，即， 则m，n是方程的两个不同的正根， 则m，n是方程的两个不同的正根， 设，则有两个大于1的不等根， 设， 因为，， 所以方程有一个大于0，一个小于0的根， 所以不存在两个大于1的不等根， 则不存在常数，，满足条件. 18. 已知函数（），满足函数是奇函数． （1）求函数，的值域； （2）函数在区间和上均单调递增，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由奇函数解得，再将看成整体，将所求函数转化为二次函数值域求解即可； （2）将复合函数单调性利用换元法转化为余弦函数的单调性即可求解参数范围. 【小问1详解】 因为， 由是奇函数， 所以，则， 解得， 又，则. 验证：当时，， 由，得是奇函数. 因为函数 ， 由，则， 所以， 故当时，； 当或时，. 故所求函数的值域为； 【小问2详解】 因函数在区间和上均单调递增， 令，则在区间和单调递增， 故，且， 解得， 则实数的取值范围为. 19. 已知函数的定义域为，给定集合D，若满足对任意，，存在实数，当时，都有，则称是D上的“级优函数”． （1）请写出一个上的“1级优函数”，并说明理由； （2）已知是上的“2级优函数”， （ⅰ）证明：； （ⅱ）当时，，其中a，，求a，b的值． 【答案】（1）函数是上的“1级优函数，理由见解析 （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ），或． 【解析】 【分析】（1）根据“级优函数”的定义，即可求解. （2）根据定义可得，即可采用迭代相加法求解（ⅰ），根据（ⅰ）的思想可证明，故，进而可得，进而可判定是上的“2级优函数”，且是上单调递增函数，对分类讨论，结合函数的单调性及可列方程求解（ⅱ）. 【小问1详解】 函数是上的“1级优函数”．理由如下： 因为当时，有，所以是上的“1级优函数”． 【小问2详解】 （ⅰ）因为是上的“2级优函数”，由定义可得对任意，， 当时，有， 所以， 又， 所以． （ⅱ）由（ⅰ）可得 由（ⅰ）可得，， 以上两式相减可得， 在上式中，以x代可得， 再令，可得， 又对任意，，当时，有， 因为是上“2级优函数”，所以， 又，所以，所以， 即对任意，，当时，都有， 故是上的“2级优函数”， 由上述分析可得，且是上单调递增函数． 当时，，其中a，，有， 当时，，此时在上单调递增，满足题意； 当时，则或解得； 当时，则此时无解； 综上所述，，或． 【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $