精品解析：河北省邢台市2025-2026学年高一上学期期末数学试题

高一（上）学业水平调研 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求得集合，再由并集运算可得结果. 【详解】易知集合，， 则. 故选：D 2. 若是第四象限角，则点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据的符号确定正确答案. 【详解】由于是第四象限角，所以， 所以在第二象限. 故选：B 3. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分性、必要性的概念求解即可. 【详解】若，则由可得， 所以由“”可以推出“”， 由“”不一定有“”， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知是定义在上增函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用定义域的限制及函数的单调性列不等式组，解不等式组求出解集． 【详解】已知是定义在上的增函数，不等式， 则，解得， 不等式的解集为，故A正确． 故选：A． 5. 若，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设，得出结合二次函数的单调性得出最值即可求解. 【详解】设， 则， 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取最小值， 当时，取最大值， 则的取值范围为. 故选：C. 6. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】对平方后化简，利用结合二倍角公式求出，结合求出，代入检验，排除增根． 【详解】已知，， 则，解得， ，， 或，即或， 当时，，舍去； 当时，，符合题意； ，故C正确． 故选：C． 7. 星等是衡量天体光度的量，星等值越小，星星越亮；星等值越大，星星越暗．以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足．若北极星与牛郎星的亮度之比为，则北极星的星等与牛郎星的星等之差为（ ） A. 0.8 B. C. D. 1.2 【答案】D 【解析】 【分析】设北极星与牛郎星的星等分别为，亮度分别为，根据定义得到即可． 【详解】设北极星与牛郎星的星等分别为，亮度分别为， 则 ， ． 故选：D． 8. 已知函数且函数有8个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析分段函数，作函数图象，令，由图象得出有４个解的取值范围，把已知条件转化为在区间内有两个不同根，根据需要满足的条件列不等式组求解． 【详解】当时，是开口向下的二次函数，对称轴为， ，值域为， 当时，，在处取得最小值2，当时，， 当，；函数图象如下， 令，则有8个零点，等价于方程 的两个不同根使得和的解的个数和为8， 由图象可知，当时，有4个解， 要使总解数为8，需均在内， 设，则需满足： ，解得， 的取值范围是，故B正确． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 的最小正周期为 D. 点是图象的一个对称中心 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平移规则可得，即A错误，根据解析式可得其奇偶性和周期，可得BC正确，代入检验可知D正确. 详解】由题意知，即，即A错误， 易知函数为奇函数，B正确， 函数的最小正周期为，C正确， 易知，则点是图象的一个对称中心，D正确. 故选：BCD. 10. 已知幂函数在上单调递增，函数．若，，，则的值可能是（ ） A. 8 B. 18 C. 24 D. 27 【答案】BC 【解析】 【分析】依据幂函数定义和其单调性可得，再利用指数函数单调性分别求出两函数值域，再由值域包含关系解不等式即可得出结果. 【详解】由题意知，解得或； 当时，函数在上单调递增，符合题意； 当时，函数在上单调递减，不合题意； 因此， 由，可得, 因为函数在上单调递增，若，可得， 依题意可知，解得； 所以，即的值可能是18，24. 故选：BC 11. 已知实数，，满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先得到，对于A，，可得，对于B，同理作商，得到，对于C由，，可得，对于D，由题可得，，进而得到，结合函数单调性，可得． 【详解】，， 对于A， ， ，，则， 即，所以， 对于B，，，故B正确； 对于C，，，，即，故C错误； 对于D，，， ，， 得，即， 函数  的增长率大于  的增长率，要产生相同的差值， 自变量增量满足， ，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某扇形的半径为，圆心角为2，则该扇形的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据扇形面积公式直接计算即可. 【详解】易知半径，圆心角， 所以扇形面积为. 故答案为：6. 13. 某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 14. 已知函数 在上的最小值为，则的所有可能取值之和为______． 【答案】6 【解析】 【分析】由题意建立的不等式，利用，解出的值，再一一验证即可. 【详解】令， 由于正弦函数的值域为 ，故  的范围是 ， 故需满足 ，即 ， 又因为，故可能的取值为 . 当 时，由，则 ， 在  上， 单调递增，最小值为 ， 故的最小值为 ， 而 ，符合题意； 当时，由，得， 在  上，在上单调递增，在单调递减， 所以最小值为 ， 故的最小值为 ， ，符合题意； 当 时，由，得， 在  上，在上单调递增，在单调递减， 所以的最小值为 ， 故  的最小值为 ， ，符合题意. 综上： 的值为 ，其和为 . 故答案为：6 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角的正切公式计算可得结果. （2）易知，再根据两角差的正切公式计算即可； （3）利用诱导公式将表达式化简，再由同角关系利用齐次式计算得出结果. 【小问1详解】 由可得 【小问2详解】 由可得； 【小问3详解】 易知 16. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值； （2）求在上的值域； （3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数可得，解得，再进行检验即可； （2）先判断的单调性，利用单调性求值域即可； （3）根据的单调性和奇偶性求解即可. 【小问1详解】 因为是定义域为的奇函数， 所以，所以， 所以 因为， 所以是奇函数，符合题意， 即； 【小问2详解】 为增函数，且恒为正数， 为减函数， 即为减函数， 又， 所以在上的值域为； 【小问3详解】 为奇函数且单调递减， 又， ， 在上恒成立， ， 所以的取值范围为． 17. 已知函数． （1）求的定义域与解析式； （2）利用单调性的定义证明在定义域内单调递增． 【答案】（1），定义域为. （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用换元法求得函数解析式，解不等式求得其定义域； （2）根据复合函数单调性定义按步骤证明即可得出结论. 【小问1详解】 令，则, 可得，则，解得， 又，则，解得, 所以的解析式为，定义域为. 【小问2详解】 设，则, 设，则, 因，则，可得， 即在上单调递增， 又在上单调递增，所以， 即，所以在定义域内单调递增. 18. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中点的坐标为，点的坐标为． （1）求，，的值，并求的单调递增区间； （2）若，，，求的最小值； （3）已知在锐角三角形中，，求的最大值． 【答案】（1），，；单调递增区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象可求得周期，即可计算出，结合点的坐标进而可求得和的值，并求出单调递增区间； （2）求出函数在区间上的值域，再由不等式恒成立计算可得的最小值； （3）根据锐角三角形由可得，可知，再将代入并利用辅助角公式以及正弦函数值域计算可得结果. 【小问1详解】 由题意知，，得， 则函数， 又，可得， 又，当时，， 即函数， 令， 解得 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 因，，则，可得, 所以， 即的最小值为. 【小问3详解】 由可得，即； 又因为，所以，因此， 可得； 由可得， 又易知，所以可得； 因此 ， 由可得， 易知当时，即时，取得最大值为； 所以的最大值为. 19. 已知定义在上的非常数函数满足，，． （1）若，求和值． （2）证明：为偶函数． （3）设函数满足题意． （i）求的值． （ii）设函数，试问是否存在一组正数，，使得对任意的，均满足？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）（i）2；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，令求出，再令求出； （2）利用赋值法推导出； （3）（i）把代入原方程，根据三角函数的性质求出的值； （ii）先化简，再利用三角函数线性无关性列方程，通过解方程组判断是否存在解． 【小问1详解】 令，则， 解得或， 若，令，则， 若，此时函数是常数函数，与已知矛盾，故， 令，得，即， ，． 【小问2详解】 在中，令， 可得，由（1）知， ，即，故是偶函数． 【小问3详解】 （i）将代入得： ， ， ， 不是常函数，， ，且存在使得， ，解得； （ii）， ， 假设存在正数使得， 则， 整理得：， 由于等式对任意成立，取，则 ①， 取，此时，代入原式得： ②， 取，此时，代入得： ③， 令， 则， 由，得，即， 所以，或， 所以，或 由，得，即， 所以，或， 所以，或 当时， ， 解得，不妨取，， 此时， 满足条件，所以存在这样的正数，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一（上）学业水平调研 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若是第四象限角，则点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知是定义在上的增函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 星等是衡量天体光度的量，星等值越小，星星越亮；星等值越大，星星越暗．以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足．若北极星与牛郎星的亮度之比为，则北极星的星等与牛郎星的星等之差为（ ） A. 0.8 B. C. D. 1.2 8. 已知函数且函数有8个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 的最小正周期为 D. 点是图象的一个对称中心 10. 已知幂函数在上单调递增，函数．若，，，则的值可能是（ ） A. 8 B. 18 C. 24 D. 27 11. 已知实数，，满足，，且，则（ ） A B. C D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某扇形的半径为，圆心角为2，则该扇形的面积为______． 13. 某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 14. 已知函数 在上的最小值为，则的所有可能取值之和为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求值． 16. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值； （2）求在上的值域； （3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 17. 已知函数． （1）求的定义域与解析式； （2）利用单调性的定义证明在定义域内单调递增． 18. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中点的坐标为，点的坐标为． （1）求，，的值，并求的单调递增区间； （2）若，，，求最小值； （3）已知在锐角三角形中，，求的最大值． 19. 已知定义在上的非常数函数满足，，． （1）若，求和值． （2）证明：为偶函数． （3）设函数满足题意． （i）求的值． （ii）设函数，试问是否存在一组正数，，使得对任意的，均满足？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $