精品解析：湖南娄底市涟源市民办高中2025-2026学年第一学期高二期末考试数学试题

2025~2026学年度第一学期高二期末考试 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章~第五章5.2． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A B. C. D. 2. 下列各组函数相等的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若函数，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 0 4. 已知向量，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 5 已知函数，则＝（　　） A. B. 1 C. D. 2 6. 双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆的圆心在轴上，半径为2，且与直线相切，则圆的方程为 A. B. 或 C. D. 或 8. 已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则（ ） A. B. 3 C. D. 4 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 复数在复平面中对应的点在第三象限 C. D 10. 《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知正方体的边长为2,、、、分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 二面角的大小为 D. 点到平面距离为2 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数据的第80百分位数为__________． 13. 经过点P（1，4），且在两坐标轴上截距相反的直线方程是_____． 14. 若，则________ 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求的值. 16. 在中，角所对的边分别为，且,,． （1）求； （2）求的面积． 17. 已知函数. （1）若函数的图象恒过定点，且在定点处的切线方程与直线平行，求定点的坐标和实数的值； （2）若函数的图象存在与直线垂直的切线，求实数的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为等边三角形，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 已知椭圆C：的焦距为，且椭圆C过点． （1）求椭圆C的方程； （2）直线l：与椭圆C交于不同的A，B两点，与x轴交于点D，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期高二期末考试 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章~第五章5.2． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定集合，再根据并集的运算法则求两个集合的并集. 【详解】因为. 所以. 故选：D 2. 下列各组函数相等的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项. 【详解】对于A中，函数的定义域为R，的定义域为， 所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误； 对于B中，函数的定义域为R，的定义域为， 所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误； 对于C中，函数的定义域为R，与的定义域为， 所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误； 对于D中，函数与的定义域均为R， 可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 故D正确； 故选：D. 3. 若函数，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】求导可得，即可得结果. 【详解】由题意可得：，所以. 故选：A. 4. 已知向量，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线定理及坐标运算列式计算即可. 【详解】因为，所以，则，解出. 故选：D. 5. 已知函数，则＝（　　） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】因为，所以， 则. 故选：C 6. 双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，则， 且双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的焦点坐标为. 故选：D. 7. 已知圆的圆心在轴上，半径为2，且与直线相切，则圆的方程为 A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】设圆心坐标，由点到直线的距离公式可得或，进而求得答案． 【详解】设圆心坐标，因为圆与直线相切，所以由点到直线的距离公式可得，解得或.因此圆的方程为或. 【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求圆的方程，属于一般题． 8. 已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的定义结合可求得的值，将点代入方程即可求解. 【详解】因为，所以，即，，， 又∵，∴. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 复数在复平面中对应的点在第三象限 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由复数除法求得，然后根据复数的概念、几何意义，复数的运算判断各选项． 【详解】的虚部为5，故A错误； 在复平面中对应的点在第三象限，故B正确； ，故C正确； 虚数不能比较大小，故D错误， 故选：BC. 10. 《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 分析】由已知可得，逐个验证选项即可. 【详解】根据题意可得是首项为，公比为的等差数列，则， ，故A错误；，故B正确； ，，则，故C正确； ，故D正确． 故选：BCD． 11. 如图，已知正方体的边长为2,、、、分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 二面角的大小为 D. 点到平面的距离为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，明确各点的坐标和相关向量的坐标.用向量法证明线线垂直，判断A的真假；判断与平面的法向量的关系，判断B的真假；用向量法求二面角的大小，判断C的真假；用向量法求点到平面的距离判断D的真假. 【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 对A：. ，A项正确； 对B： 设为平面的一个法向量，则， 即，令，得，则， 因为，不在平面内，所以平面，则B项正确； 对C：由图可知，平面，所以是平面的一个法向量， 则， 故二面角的大小不是，所以C项不正确. 对D：由，所以点到平面的距离为，D项正确； 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数据第80百分位数为__________． 【答案】9.1 【解析】 【分析】根据百分位数定义计算即可. 【详解】，则数据的第80百分位数为 故答案为：. 13. 经过点P（1，4），且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是_____． 【答案】y＝4x或y＝x+3 【解析】 【分析】直线在两坐标轴上的截距相反，直线过原点或斜率为1，设直线方程将点P坐标代入，即可求解. 【详解】依题意，设直线方程为或， 代入方程可得或， 所求的直线方程为或. 故答案为:或. 【点睛】本题考查满足条件的直线方程，要注意过原点的直线，在坐标轴上的截距为0，此类直线在两坐标轴的截距是任意倍关系，解题时不要遗漏，属于基础题. 14. 若，则________ 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再利用对数的运算公式化简求值. 【详解】， 从而， 故答案为： 【点睛】本题主要考查对数的运算和换底公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】(1)利用，求出公差，再结合，即可得出数列的通项公式； (2)利用等差数列的前项和公式，化简即可求解. 【详解】解：（1）设数列的公差为，∴，故. （2）， ∴ 解得或（舍去）， ∴ 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本性质，求通项公式以及前项和公式的运用，考查学生的转化能力和计算能力，属于基础题. 16. 在中，角所对的边分别为，且,,． （1）求； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化可求得，结合条件求出的正弦值，利用正弦定理即可求出的值； （2）利用和角的正弦公式求出的值，再由三角形的面积公式计算即得. 【小问1详解】 由， 得， 因为，所以， 所以，则， 因为，所以， 由正弦定理，，因为， 则； 【小问2详解】 因为， 所以 ， 则. 17. 已知函数. （1）若函数的图象恒过定点，且在定点处的切线方程与直线平行，求定点的坐标和实数的值； （2）若函数的图象存在与直线垂直的切线，求实数的取值范围. 【答案】（1）,的值为; （2）. 【解析】 【分析】（1）令可求出定点的坐标，由导数的几何意义可得，根据两直线平行对应的斜率相等列方程可求实数的值； （2）由题意可得有解，分离参数即可求解. 【小问1详解】 令，可得， 所以函数的图象恒过定点. 因为，所以. 因为在定点处的切线方程与直线平行，且直线的斜率为， 所以，解得 验证，点不直线上，故成立. 所以定点的坐标为，的值为. 【小问2详解】 ，直线的斜率为， 若函数的图象存在与直线垂直的切线， 所以有解，即有解. 因为，所以，即， 所以实数的取值范围是. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为等边三角形，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合勾股定理的逆定理，利用线面垂直的判定推理即得. （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用线面垂直的向量求法求解即得. 【小问1详解】 在四棱锥中，正方形的边长为2，取的中点，连接，， 由，，得，由为的中点，得， 由为等边三角形，得，于是，即， 又，则，而，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知，平面，则平面， 而平面，于是平面平面，在平面内过点作， 又平面平面，因此平面，即直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 有， 在中，由，，得，， 设平面的法向量为，，， 则，取，得， 设平面的法向量为，，， 则，取，得， 因此， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 已知椭圆C：的焦距为，且椭圆C过点． （1）求椭圆C的方程； （2）直线l：与椭圆C交于不同的A，B两点，与x轴交于点D，证明：为定值． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出而得椭圆C的方程. （2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理计算得证. 【小问1详解】 由椭圆C：过点，得，而椭圆的半焦距，则， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 由消去得，设， ，则，，而， 因此 ， 所以为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $