湖南岳阳市华容县2025-2026学年第一学期期末监测高二数学试卷

2025－2026学年度第一学期期末监测试卷 高二数学 注意事项： 1、本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页。时量120分钟，满分150分。答题前，考生要将自己的姓名、考号填写在答题卡上。 2、回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷和草稿纸上无效。 3、回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案按题号写在答题卡上。写在本试卷和草稿纸上无效。 4、考试结束时，将答题卡交回。 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。) 经过A(0，2)，B(1，0)两点的直线的方向向量为(1，k)，则k的值是(　　) A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 在等差数列{aₙ}中，若a₃+a₇+a₁₁=18，则S₁₃=(　　) A. 78 B. 84 C. 90 D. 96 直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　) A.相切 B. 相交但直线不过圆心 C. 直线过圆心 D. 相离 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　) A. 3 B. 2 C. D. 1 若圆C₁:x²+y²+4x-6y+9=0与圆C₂:x²+y²-2x+2y+1=0相交，则公共弦所在直线方程为(　　) A. 3x-4y+4=0 B. 3x+4y-4=0 C. 6x-8y+7=0 D. 6x+8y-7=0 中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第五天行走的里程数约为(　　) A. 2.76 B. 5.51 C. 11.02 D. 22.05 设函数.若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为(　　) A. B. C. D. 如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，三点共线，若直线的斜率为，直线的斜率为，则双曲线的离心率是(　　) A. B. C. D. 3 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 1. 已知函数f(x)=x³-3x，则下列说法正确的是(　　) A. f(x)在(1，1)上单调递减 B. f(x)的极大值点为(1，2) C. 曲线y=f(x)在点(1，2)处的切线方程为y= 2 D. 方程f(x)=a有三个不同实根时，a∈(2，2) 2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a4＋a11>0，a7a8<0，则(　　) A. 数列{an}是递增数列 B. S6>S9 C. 当n＝7时，Sn最大 D. 当Sn>0时，n的最大值为15 3. 在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，点在抛物线的准线上，则以下命题正确的是(　　) A. 的最小值是2 B. C. 当点的纵坐标为4时，存在点，使得 D. 若是等边三角形，则点的横坐标是3 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 4. 已知向量＝(－2，1，4)，＝，若∥，则x＝________ 5. 动点P与两个定点O，A满足＝2，则点P到直线l：3x+4y－10＝0的距离的最大值为________. 6. 已知数列的前n项和为，且，.若，则正整数k的最小值为_________ 四、解答题(本大题共5小题，满分77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 7. (13分)已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)求证：直线l恒过定点； (2)当a为何值时，直线l与圆C相切； (3)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程. 8. (15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E为PD的中点。 (1)求证：PB∥平面ACE； (2)求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值。 9. (15分)已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n+1－2，等差数列{bn}满足b2＝a2＋2，b3＝S2＋3. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前n项和Tn. 10. (17分)已知双曲线=1(a>0，b>0)，O为坐标原点，离心率e=2，点M()在双曲线上. (1)求双曲线的方程; (2)如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且=0，求|OP|2+|OQ|2的最小值. 11. (17分)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在[1，e2]上有且仅有2个零点，求a的取值范围. (3)对任意，f(x)恒成立，求a的取值范围. 2025－2026学年度第一学期期末监测 高二数学参考答案及评分标准 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。) 1-5．DABCA 6-8．DCB 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9．ACD 10.BC 11.ABD 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12．-1 13． 14．13 四、解答题(本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (1)证明：直线l：ax＋y＋2a＝0，可整理成 当 ， 解得 ，即直线l恒过定点……………………4分 (2)解：根据题意，圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，则圆C的标准方程，圆心为,半径,若直线l与圆C相切,则有,解得.……8分 (3)解：设圆心C到直线l的距离为d，则有，即，解得, 则有， 解得， 直线l的方程为………………………13分 16. (1) 证明：连结BD交AC于F点，连接EF，因ABCD为菱形，∴F为BD的中点 又∵E为PD的中，在三角形BPD中，EF//PB 又EF平面ACE，PB平面ACE，∴PB//平面ACE.………………6分 (2) 解：建立如图所示坐标系，则P(2,0,0)，D(0,2,0)，C(0,1,)，B(0,1,)，A(0,0,0) ＝(2,1,) ＝(0,2,0) ＝(0,1,) 设平面PBC法向量＝(x1, y1, z1)， 则, 令z1＝，则＝(,0,) 设平面PBC法向量＝(x2, y2, z2)， 则, 令x2＝1，则＝(1,1,) 设平面PBC与平面PCD夹角，cos＝|cos<, >|＝＝ .……15分 17. 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－2)－(2n－2)＝2n， 当n＝1时，上式也成立，所以an＝2n. 由题意得b2＝a2＋2＝22＋2＝6，b3＝2＋4＋3＝9， 设等差数列{bn}的公差为d， 则d＝b3－b2＝3，b1＝b2－d＝3， 故bn＝b1＋(n－1)d＝3n. 综上，an＝2n，bn＝3n.………………7分 (2)由(1)知anbn＝3n·2n， 所以Tn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋an－1bn－1＋anbn ＝3×21＋6×22＋9×23＋…＋3(n－1)·2n－1＋3n·2n，① 2Tn＝3×22＋6×23＋9×24＋…＋3(n－1)·2n＋3n·2n＋1，② 所以①－②得, Tn＝3×(21+22+23+…+2n－1+2n)－3n·2n＋1＝3×－3n·2n＋1 ＝(3－3n)·2n＋1－6， 所以Tn＝(3n－3)·2n＋1＋6.………………15分 18. 解：(1)由离心率e=2,点M()在双曲线上, 可得=2,=1,结合a2+b2=c2, 解得a=2,b=2,c=4, 则双曲线的方程为=1.………………5分 (2)由=0,可得OP⊥OQ, 设OP的方程为y=kx,则OQ的方程为y=-x, 由解得x2=,y2=, 则|OP|2=, 将k换为-,可得|OQ|2=<k2<3, 所以|OP|2+|OQ|2=, 令1+k2=t,则k2=t-1, 所以|OP|2+|OQ|2=, 当t=2,即k2=1时,|OP|2+|OQ|2取得最小值24.………………17分 19. 解：(1)因为f(x)＝ln x－ax(a∈R)，x>0， 则f′(x)＝－a＝，当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>0时，由f′(x)＝0，得x＝， 若0<x<，则f′(x)>0； 若x>，则f′(x)<0. 所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)； 当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.………………4分 (2)当x∈[1，e2]时， 由f(x)＝0可得a＝， 令g(x)＝，其中x∈[1，e2]， 则直线y＝a与函数g(x)在[1，e2]上的图象有两个交点， g′(x)＝， 当1<x<e时，g′(x)>0，此时函数g(x)单调递增，当e<x<e2时，g′(x)<0，此时函数g(x)单调递减． 所以函数g(x)的极大值为g(e)＝， 且g(1)＝0，g(e2)＝，g(x)在[1，e2]的图象如图所示． 由图可知，当≤a<时， 直线y＝a与函数g(x)在[1，e2]上的图象有两个交点， 因此，实数a的取值范围是.………………10分 (3)由f(x)，得ln x－ax恒成立，移项ln x+xax，得ax恒成立。构造函数,所以恒成立。 又在定义域内单调递增， 在内恒成立， 恒成立，即 由(2)可知g(x)＝最大值为g(e)＝，所以 ………………17分 高二数学期末试卷(4－6) 学科网（北京）股份有限公司 $