2026年中考数学第一轮复习 讲义 第20课时：《菱形、矩形、正方形》

2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 + 易错警示 + 真题演练） 第 20 课时 菱形、矩形、正方形 一、核心知识 （一）菱形的相关概念、性质与判定 菱形定义：有一组邻边______相等______的平行四边形叫做菱形（菱形是特殊的平行四边形）。 核心性质（边、角、对角线、对称性） 边的性质：四条边都______相等______，对边平行； 角的性质：对角______相等______，邻角______互补______（同平行四边形）； 对角线的性质：对角线______互相垂直且平分______，且每条对角线平分一组对角； 对称性：既是______中心对称______图形（对称中心为对角线交点），又是______轴对称______图形（有 2 条对称轴，为对角线所在直线）。 菱形判定定理（中考必考） 定义判定：有一组邻边______相等______的平行四边形是菱形； 边的判定：______四条边______都相等的四边形是菱形； 对角线的判定：对角线______互相垂直且平分______的平行四边形是菱形（或对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，需先满足平行四边形）。 菱形的面积公式： 常规公式：S = 底×$高； 对角线公式：S=（、为菱形的两条对角线长，此公式为中考高频考点）。 （二）矩形的相关概念、性质与判定 矩形定义：有一个角是______直角______的平行四边形叫做矩形（矩形是特殊的平行四边形）。 核心性质（边、角、对角线、对称性） 边的性质：对边______平行且相等______（同平行四边形）； 角的性质：四个角都是______直角______； 对角线的性质：对角线______相等且互相平分______； 对称性：既是______中心对称______图形（对称中心为对角线交点），又是______轴对称______图形（有 2 条对称轴，为对边中点连线所在直线）。 矩形判定定理（中考必考） 定义判定：有一个角是______直角______的平行四边形是矩形； 角的判定：有______三个______角是直角的四边形是矩形； 对角线的判定：对角线______相等且互相平分______的平行四边形是矩形（或对角线相等的四边形不一定是矩形，需先满足平行四边形）。 矩形的特殊结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的______一半______（由矩形对角线性质推导）。 （三）正方形的相关概念、性质与判定 正方形定义：有一个角是直角且有一组邻边相等的______平行四边形______叫做正方形（正方形是特殊的 矩形 ，也是特殊的 菱形 ，是最特殊的 平行四边形 ）。 核心性质（边、角、对角线、对称性） 边的性质：四条边都______相等______，对边平行； 角的性质：四个角都是______直角______； 对角线的性质：对角线______相等、互相垂直且平分______，每条对角线平分一组对角，对角线与边的夹角为 45° ； 对称性：既是______中心对称______图形（对称中心为对角线交点），又是______轴对称______图形（有 4 条对称轴，为对边中点连线和对角线所在直线）。 正方形判定定理（中考必考） 定义判定：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形； 矩形判定：有一组______邻边相等______的矩形是正方形； 菱形判定：有一个角是______直角______的菱形是正方形； 对角线判定：对角线______相等且互相垂直______的平行四边形是正方形。 （四）特殊平行四边形的关系 平行四边形矩形正方形； 平行四边形菱形正方形； 矩形正方形； 菱形正方形。 二、核心能力 题型 1 矩形的性质与判定应用 解题思路 求线段长：利用 “对边相等”“对角线相等且平分” 转化线段，结合直角三角形斜边中线定理、勾股定理求解； 求角度：利用 “四个角为直角”“对角线相等”，结合三角形内角和、平行线性质计算； 判定矩形：已知平行四边形，优先证一个角为直角或对角线相等；未知平行四边形，先证为平行四边形，再用矩形判定定理，或直接证三个角为直角。 题型 2 菱形的性质与判定应用 解题思路 求线段长：利用 “四条边相等”“对角线互相垂直平分”，结合勾股定理求解（对角线平分后形成直角三角形为核心）； 求面积：优先用对角线乘积的一半（无高时首选），有高时用底 × 高，注意对角线平分一组对角的角度转化； 判定菱形：已知平行四边形，优先证一组邻边相等或对角线互相垂直；未知平行四边形，先证为平行四边形，或直接证四条边相等。 题型 3 正方形的性质与判定应用 解题思路 性质应用：结合矩形和菱形的所有性质，利用 “对角线与边成45∘”“对角线平分直角” 进行角度和线段的特殊转化，正方形中常出现等腰直角三角形； 判定正方形：三步法（最稳妥）—— 先证是平行四边形→再证是矩形（或菱形）→最后证是菱形（或矩形）；直接证：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。 题型 4 特殊平行四边形的综合判定 解题思路 区分判定条件：明确矩形、菱形、正方形的判定定理差异，避免 “对角线垂直的矩形是菱形”“对角线相等的菱形是正方形” 等表述的逻辑错误； 结合平行四边形判定：所有特殊平行四边形的判定都以平行四边形为基础，先判定平行四边形是前提（除直接证矩形 / 菱形的情况）； 借助图形特征：利用边、角、对角线的数量和位置关系，结合全等三角形证明边 / 角相等、对角线平分 / 垂直 / 相等。 题型 5 特殊平行四边形的综合计算（含折叠、最值、面积） 解题思路 折叠问题：折叠前后图形全等，对应边、角相等，结合矩形 / 菱形 / 正方形的性质构造直角三角形，用勾股定理列方程求解； 最值问题：利用 “垂线段最短”“两点之间线段最短”，结合正方形 / 菱形的对称性转化线段，求最短距离； 面积综合：结合特殊平行四边形的面积公式，利用 “对角线平分图形为面积相等的部分”“全等三角形面积相等” 进行面积转化，注意多图形组合的面积和差计算。 三、易错警示 矩形相关公式与判定误用 错误：认为矩形的对角线互相垂直（非正方形的矩形无此性质）；忽略 “对角线相等的四边形是矩形” 的前提是平行四边形；直角三角形斜边中线定理逆用错误（如 “一边中线等于这边一半的三角形是直角三角形” 不会用）。 提醒：矩形对角线仅相等且互相平分，垂直是正方形的专属性质；判定矩形时，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须先满足平行四边形；牢记直角三角形斜边中线定理的正、逆定理均成立，为中考高频考点。 菱形相关公式与判定误用 错误：混淆菱形面积公式，忘记对角线面积公式除以 2；认为菱形的对角线相等（非正方形的菱形无此性质）；误将 “一组邻边相等的四边形是菱形” 当作判定定理。 提醒：菱形面积的对角线公式为S=​，切记除以 2；菱形对角线仅互相垂直且平分，相等是正方形的专属性质；“一组邻边相等” 的判定必须以平行四边形为前提，否则可能是等腰梯形。 正方形判定条件混淆 错误：直接证 “有一个角是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形”；将正方形的判定简化为 “矩形 + 邻边相等” 但未先证平行四边形。 提醒：正方形的定义判定前提是平行四边形，无平行四边形前提时，需先证平行四边形，再证矩形 / 菱形，最后证正方形；正方形是矩形和菱形的结合体，判定需同时满足两者的核心性质。 特殊平行四边形的性质混淆 错误：将菱形的对称轴记为对边中点连线，将矩形的对称轴记为对角线所在直线；计算正方形对角线长时，忘记边长与对角线的比例关系（对角线=×边长）。 提醒：菱形的对称轴是对角线所在直线，矩形的对称轴是对边中点连线所在直线，正方形两者都是；正方形为特殊的等腰直角三角形载体，边长a与对角线d的关系为d=a​，可直接用于计算，无需重复用勾股定理。 折叠问题的边长转化错误 错误：矩形 / 正方形折叠后，未找准对应边、角，导致勾股定理列方程时线段长度表示错误；忽略折叠后图形的位置变化，漏解多解情况。 提醒：折叠问题的核心是全等，折叠后重合的边、角必相等，解题时先标注对应相等的边和角；构造直角三角形时，设未知线段为x，用含x的式子表示其他线段，再列勾股定理方程；涉及边的折叠时，需考虑折叠方向，避免漏解。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·四川中考）矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角相等 【答案】A 【解析】本题考查了矩形和菱形的性质，特殊四边形的性质要从边、角、对角线三方面入手，并加以考虑它们之间的联系和区别． 根据矩形和菱形的性质判断即可． 【解答】解：、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意； 、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意； 、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意； 、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意； 故选：． 2.（24-25·山西模拟）已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（      ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、有一个角是直角的平行四边形是矩形判断即可． 【解答】 解：如图， 、能判定为矩形，本选项不符合题意； 、能判定为矩形，本选项不符合题意； 、能判定为矩形，本选项不符合题意； 、能判定为菱形，不能判定为矩形，本选项符合题意； 故此题答案为．  3.（24-25·四川中考）如图，要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查了矩形的判定定理和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形等 ）是解题的关键．根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项，判断哪个条件能使平行四边形成为矩形． 【解答】解：选项 平行四边形本身就有的性质， 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误． 选项 ，平行四边形中邻边相等时是菱形，不是矩形的判定条件， 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误． 选项 平行四边形本身就有的性质， 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误． 选项 矩形的判定定理之一是“对角线相等的平行四边形是矩形”，平行四边形中， 平行四边形是矩形，该选项正确． 故选： ． 4.（24-25·山东模拟）如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（      ） A.菱形平行四边形矩形平行四边形菱形 B.菱形正方形平行四边形菱形平行四边形 C.平行四边形矩形平行四边形菱形平行四边形 D.平行四边形菱形正方形平行四边形菱形 【答案】A 【解析】根据题意，分别证明四边形是菱形，平行四边形，矩形，即可求解． 【解答】四边形ABCD是矩形，，， ，, ，， , 对称， ，， , 对称， ，， , 同理， ， ， 四边形是平行四边形， 如图所示，    图 当三点重合时，， ， 即， 四边形是菱形， 如图所示，当分别为的中点时， 设，则，， 在中，， 如图，连接，，     图 ， 是等边三角形， 为的中点， ，， , 根据对称性可得， ， ， 是直角三角形，且， 四边形是矩形, 当分别与重合时，如图，都是等边三角形，则四边形是菱形,    图 在整个过程中，四边形形状的变化依次是菱形平行四边形矩形平行四边形菱形. 故选． 5.（23-24·辽宁模拟）如图：点、、、分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为，且，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查中点四边形，熟练掌握中位线定理是解题的关键 利用三角形中位线定理及特殊四边形的判定与性质求解． 【解答】如图：连接，交于点， 因为、、、分别是四边形边的中点， ，；，；，；， ． ， ， 四边形是菱形． ，， ， 四边形面积为，， ， 解得 ． 在中 ． 故选：． 6.（24-25·四川中考）按如下步骤作四边形：画；以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；连接、、．若，则的度数是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【解答】 解：根据作图可得 四边形是菱形，则， 又， 故选：．  7.（24-25·广东模拟）如图所示，在矩形中，，与相交于点，则下列说法正确的是（      ）   A.点为矩形的对称中心 B.点为线段的对称中心 C.直线为矩形的对称轴 D.直线为线段的对称轴 【答案】A 【解析】由矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，线段的对称中心是线段的中点，矩形是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线，从而可得答案． 【解答】矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，故符合题意；线段的对称中心是线段的中点，故不符合题意； 矩形是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线， 故，不符合题意.故选 8.（24-25·内蒙古中考）如图，是一个矩形草坪，对角线，相交于点，是边的中点，连接，且，，则该草坪的面积为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】此题考查了矩形的性质和三角形中位线定理．根据三角形中位线定理得到，根据矩形的面积公式计算即可． 【解答】解：是一个矩形草坪，对角线，相交于点， ， 是边的中点， 是的中位线， ， ， ， 矩形的面积为， 故选： 9.（24-25·广西模拟）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键；结果矩形的性质的可得，，则，进而根据折叠的性质得出，，即可求解． 【解答】解：四边形是矩形， ， 折叠 ，即 ，故不正确 ，故不正确 折叠， ，故不正确，选项正确 故选：． 10.（24-25·贵州模拟）如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】利用三角形逆时针旋转后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解． 【解答】将绕点逆时针旋转至，    四边形是正方形， ，， 由旋转性质可知：，，， ， 点三点共线， ，，， ，， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 故选：．    11.（23-24·山东中考）如图，在正方形中，对角线相交于点，，分别为，上的一点，且，连接．若，则的度数为（      ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】首先根据正方形的性质得到，，然后结合得到，然后证明出，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【解答】四边形是正方形，，, ，，， ， , 又，， ， ， ， ,故选．  12.（24-25·湖北模拟）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图，过作于，由对折可得：，，，，证明，而，可得，求解，，证明，，可得，再进一步求解即可. 【解答】解：如图，过作于， 正方形， ，，，，，， 由对折可得：，，，， ，而， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 同理可得：， ； 故选： 13.（23-24·黑龙江模拟）如图，在正方形中，为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则下列结论不正确的是（   ） A. B. C.的面积的面积 D.四边形的面积的面积 【答案】D 【解析】本题考查了正方形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．过点作，分别交、于点、，由折叠的性质得，求得，推出，由是的外角，可求得，即可判断选项；设，，则，，证明，利用相似三角形的性质列式求得，求得，，，再根据勾股定理和三角形面积公式求得即可判断其余选项． 【解答】解：过点作，分别交、于点、， 由折叠的性质得，， 为边的中点， ， ， ， 是的外角， ， ， ，故选项正确，不符合题意； 正方形， ，， 设， 为边的中点， ， 由折叠的性质得，，， ， 四边形和为矩形， ，， 设，则，， ， ， ， ，， ， ， 解得， ，，， ，， ，故选项正确，不符合题意； 的面积，的面积， 的面积的面积，故选项正确，不符合题意； 四边形的面积等于的面积的面积， 的面积， 四边形的面积的面积，故选项不正确，符合题意； 故选：． 14.（23-24·江苏中考）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】B 【解析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【解答】解：四边形是矩形， 又是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， 在直线上，则重合， 与的面积不可能相等，故②不正确， 等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：． 15.（23-24·浙江中考）如图，在正方形中，点在边上（不与点、重合），点在的延长线上，且，连接、、，过点作于点，分别交、、于点、、．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤图中共有个等腰三角形．其中正确的结论是（   ） A.①②③⑤ B.①②④⑤ C.①②③④ D.①③④⑤ 【答案】C 【解析】本题考查了正方形性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解三角形等，解题关键是利用垂直证明角的关系，从而证明三角形全等或相似． 容易证明，从而可得，进而可得，从而可得②正确，过点作，交于点，构造，结合四边形是平行四边形可得，可得①正确，再利用角关系证明，，可得，从而得出结论③正确，过点作，设，由可得，解三角形求出，，从而求出，故结论④正确，再判定不一定是等腰三角形，得出等腰三角形有、、、，共四个，故结论⑤错误． 【解答】解：如图，过点作，交于点， 在正方形中， ，，，， 、是等腰三角形， 又，， ， ，，， 是等腰三角形， ， ， 又， ， ， ，， ， 设， ，， ，故结论②正确； ，即是等腰三角形， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，故结论①正确， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，故结论③正确， 过点作，如图； 设，由可得，， ， ， ， ，故结论④正确， ，， 不一定等于，， 不一定是等腰三角形， 故等腰三角形有、、、，共四个，故结论⑤错误， 综上所述：正确结论有①②③④． 故选． （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题）   16.（24-25·江苏模拟）如图，在四边形中，，于点．请添加一个条件：  （荅案不唯一）    ，使四边形成为菱形． 【答案】（荅案不唯一） 【解析】根据题意，先证明四边形是平行四边形，根据，可得四边形成为菱形． 【解答】解：添加条件 ， 四边形是平行四边形， ， 四边形成为菱形． 添加条件 ， 四边形是平行四边形， ， 四边形成为菱形． 添加条件 ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形成为菱形． 故答案为：（或或等）． 17.（23-24·江苏模拟）如图，四边形是的内接四边形，若四边形为菱形，则的度数是____________． 【答案】 【解析】根据菱形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形的性质得到，计算即可． 【解答】解：四边形为菱形， ， 由圆周角定理得：， 四边形为的内接四边形， ， ，解得：， 故答案为：． 18.（22-23·山西中考）如图，在矩形中，点，，分别在，，边上，分别交对角线、线段于点，，且是的中点．若，则的长为___________________． 【答案】 【解析】如图，连接，交于，过作于，求解，证明是的中位线，可得，，，证明四边形是平行四边形，可得，而，，求解，再进一步求解即可. 【解答】解：如图，连接，交于，过作于， ，， ， 矩形， ，， ，， 是的中点， 是的中位线， ，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，而，， ， ， ， ； 故答案为： 19.（24-25·河北中考）如图，四边形是矩形，是正三角形，点是的中点，点是矩形内一点，且是以为底的等腰三角形，则的面积与的面积的比值是_____2_______． 【答案】 【解析】本题考查矩形的性质，正三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，正确设出边长表示出两个三角形的面积是解题的关键． 作辅助线如图，设，，根据相关图形的性表示出三角形的面积即可得到答案． 【解答】解：如图，找，中点为，，连接，，连接，， 过作交的延长线于点，延长，与交于点． 设，， 是以为底的等腰三角形， 在上， 到的距离即为， ， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：． 20.（24-25·四川中考）如图，在矩形中，点、分别在上，且，把沿翻折，点恰好落在矩形对角线上的点处．若、、三点共线，则的值为______________． 【答案】 【解析】此题考查矩形与折叠，平行线的性质，勾股定理，等角对等边，根据矩形的性质及平行线的性质得到，再根据等角对等边推出，设，则，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【解答】解：四边形是矩形， ， ， ，， 由翻折得，， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， 故答案为． 21.（25-26·山东模拟）如图，点是正方形内的一点，将绕点按顺时针方向旋转得到．若，则________________度． 【答案】 【解析】先求得和的度数，再利用三角形外角的性质求解即可． 【解答】解：四边形是正方形， ， ， ， 绕点按顺时针方向旋转得到 ，， ， ， 故答案为：80°   22.（25-26·山东模拟）如图，正方形的对角线相交于点，点是的中点，点是上一点．连接．若，则的值为____________． 【答案】 【解析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到，，再证明，进而可证明，由相似三角形的性质可得，即． 【解答】解：正方形的对角线相交于点， ，， 点是的中点， ， ， ， ， ，即， 故答案为：． 23.（24-25·山西中考）如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接若，则线段的长为____________． 【答案】 【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，延长交延长线于点，过作于点，则，由三线合一性质可得，然后证明四边形是矩形，所以，，又，则可证，所以，求出，然后通过平行线的性质和等角对等边可得，设，则，，最后通过勾股定理求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】解：如图，延长交延长线于点，过作于点，则， ， ， ，， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 由勾股定理得：， ，解得：， 即， ， 故答案为：． 24.（24-25·吉林中考）如图，在边长为的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有_____①②④________． 【答案】①②④ 【解析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，，可得，，可得，故③不符合题意；如图，取的中点，连接，可得在以为圆心，为直径的圆上，当共线时，最小，再进一步可判断④. 【解答】解：正方形， ，，，， ， ， ， ，故①符合题意； ，， ， ，故②符合题意； 当时，， ，， ，故③不符合题意； 如图，取的中点，连接， ， 在以为圆心，为直径的圆上， 当共线时，最小， ， ， ， ， 点与点之间的距离的最小值为．故④符合题意； 故答案为：①②④ 25.（22-23·四川中考）如图，在等边中，过点作射线，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在射线上的点处，连接，已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点与重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是 ①②④ .（填写序号） 【答案】①②④ 【解析】根据将沿折叠，使点落在射线上的点处，得，故，判断①正确；由，得，可得是等边三角形，即可得，判断②正确；当点与重合时，可得，，判断③错误；当最短时，，过作于，交延长线于，设，有，可求得，设，则，，，有，可求出，，在中，，，故，在中，，判断④正确． 【解答】解：将沿折叠，使点落在射线上的点处， ， ， 是等边三角形，， ， ，故①正确； ， ， ， ， ， ， ， 将沿折叠，使点落在射线上的点处， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 四边形为菱形；故②正确； 当点与重合时，如图： ，， ， 将沿折叠，使点落在射线上的点处， ，， ， ，故③错误； 当最短时，，过作于，交延长线于，如图： ， ，，， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， ， ， ， ， ， ，， 设，则，，， ， 在中，， ， 解得， ，， 在中，， ，， ， 在中， ，故④正确， 正确的有①②④， 故答案为：①②④．  （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（23-24·云南中考）如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点，，，． （1）是直角三角形吗？请说明理由； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】见解答． 【解析】（1）由平行四边形的性质得，再证，然后由勾股定理的逆定理即可得出结论； （2）由得，再由菱形的判定定理即可得出结论． 【解答】 （1）解：是直角三角形，理由如下： 四边形是平行四边形，， ， ，，， ， 是直角三角形，且； （2）证明：由（1）可知，， ， 平行四边形是菱形． 27.（24-25·辽宁模拟）如图，在中，，分别为的中点，，垂足为，点在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 【答案】见解答 【解析】（1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）求出，解得到，则；由线段中点的定义可得；过点作于，解得到，则，再利用勾股定即可求出的长． 【解答】（1）解：证明：，分别为的中点， 是的中位线， ，即， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形； （2）解：， ； ， ， 在中，，， ， ； 点为的中点， ； 如图所示，过点作于， 在中，， ， 在中，由勾股定理得． 28.（24-25·广东模拟）如图，在中，点，分别在，上，，．   （1）求证：四边形是矩形； （2），，，求的长． 【答案】见解答; . 【解析】（1）利用平行四边形的性质求出，证明四边形是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论； （2）证明是等腰直角三角形，可得，然后再解直角三角形求出即可． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，，, ，， 四边形是平行四边形, ，平行四边形是矩形. （2）由知四边形是矩形，, ，，是等腰直角三角形， , 又，，， ．  29.（22-23·四川中考）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解答 【解析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【解答】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 30.（24-25·山东模拟）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接． （1）求证：； （2）求的最小值． 【答案】见详解 【解析】（1）根据菱形的性质证明，再结合是的垂直平分线，即可证明； （2）过点作于点，连接，，则，故，此时，在中，进行解直角三角形即可． 【解答】（1）解：证明：连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ； （2）解：过点作于点，连接， ， ， ， ， 当点、、三点共线时，取得最小值，如图： 即， 在中，， 的最小值为． 31.（24-25·贵州模拟）在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图． （1）四边形是菱形， ，，． ． 又，， ______+______． 化简整理得______． 【类比探究】 （2）如图．若四边形是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系． 【拓展应用】 （3）如图，四边形为平行四边形，对角线，相交于点，点为的中点，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长度． 【答案】，， 【解析】（1）根据菱形的性质及勾股定理补充过程，即可求解； （2）过点作于点，过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质得，，，证明， 得，，，根据勾股定理得，，继而得出的值即可； （3）由可得得出，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接，根据勾股定理以及已知条件，分别求得，根据得出，根据得出，进而勾股定理，即可求解． 【解答】（1）四边形是菱形， ，，． ． 又，， ． 化简整理得 故答案为：，，． ，理由如下， 过点作于点，过点作交的延长线于点， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， 在中，， ， 四边形是平行四边形，，，， 由可得 解得：（负值舍去） 四边形是平行四边形， ，，， 如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接， 分别为的中点， ， ， 是的中点， ， ， 在中，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，．   32.（24-25·河北中考）如图，图，正方形的边长为．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上， ，扇形的弧交线段于点，记为． （1）如图，当时，求的度数； （2）如图，当四边形为菱形时，求的长； （3）当时，求的长． 【答案】 或 【解析】（1）根据题意证明出四边形是正方形，得到，然后利用圆周角定理求解即可； （2）首先证明出是等边三角形，如图所示，连接交于点，求出，，然后得到是等腰直角三角形，进而求解即可； （3）分两种情况，根据弧长公式求解即可． 【解答】（1）解：正方形的边长为 当时 四边形是菱形 四边形是正方形 ； （2）四边形为菱形 扇形所在圆的圆心在对角线上， 是等边三角形 如图所示，连接交于点 是等腰直角三角形 ； （3）如图所示，当是劣弧时， ，半径 ； 如图所示，当是优弧时， ，半径 ． 综上所述，的长为或． 33.（23-24·四川中考）康康在学习了矩形定义及判定定理后，继续探究其它判定定理． （1）实践与操作 ①任意作两条相交的直线，交点记为； ②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段； ③顺次连结所得的四点得到四边形． 于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定理是：__对角线互相平分的四边形是平行四边形____． （2）猜想与证明 通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程． 已知：如图，四边形是平行四边形，．求证：四边形是矩形． 【答案】 对角线互相平分的四边形是平行四边形 证明见解答 【解析】（1）由作图结合对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案； （2）先证明，再证明，可得，从而可得结论． 【解答】（1）解：由作图可得：，， 四边形是平行四边形， 该判定定理是：对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ， 四边形是矩形． 34.（24-25·江苏模拟）综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】从初始起右移至图情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】求图情形的与的值； 【深入研究】从图情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） 【答案】随的增大而增大；，；； 【解析】根据矩形的性质得，根据平行四边形的面积公式得，然后分别求出当时，当时，关于的解析式，即可得出结论； 根据（1）的结论可得答案； 当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积，推出，，得，，再根据即可得出结论； 分别确定：当时，当时，当时，各个范围内的最大值，即可得出结论． 【解答】解：四边形是矩形，四边形是平行四边形，，，，在边所在直线上， ，，， 又如图，在上，，， ， ， 当时，如图，设交于点，交于点，则， 此时遮阳区的面积为的面积， ， ，， ， ， ， 当时，随的增大而增大，的值从增大到； 当时，如图，设交于点，则，，， 此时遮阳区的面积为四边形的面积， ， 四边形为梯形， ， 当时，随的增大而增大，的值从增大到； 综上所述，从初始起右移至图情形的过程中，随的增大而增大； 如图，此时点落在上，则， 由知：当时，； 图情形时，，； 当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积， ，，， ，， ，， ，， ， 从图情形起右移至与重合，该过程中关于的解析式为； 当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， 当时，的最大值为：， 综上所述，当时，取得最大值，最大值为， 当遮阳区面积最大时，向右移动了． 35.（23-24·四川中考）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图，在中，，，点、在边上，且，，，求的长． 解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ，， ． ， ，即． ． 在和中， ，，， ___①___． ． 又， 在中，___②___． ，， ___③___． 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 如图，在正方形中，点、分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于、两点．探究的数量关系并证明． 【拓展应用】 如图，在矩形中，点、分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）． 【问题再探】 如图，在中，，，，点、在边上，且．设，，求与的函数关系式． 【答案】【问题解决】①；②；③；【知识迁移】，见解析；【拓展应用】；【问题再探】 【解析】【问题解决】根据题中思路解答即可； 【知识迁移】如图，将绕点逆时针旋转，得到．过点作交边于点，连接．由旋转的特征得．结合题意得．证明，得出．根据正方形性质得出．结合，得出．证明，得出．证明．得出．在中，根据勾股定理即可求解； 【拓展应用】如图所示，设直线交延长线于点，交延长线于点，将绕着点顺时针旋转，得到，连接．则．则，，根据，证明，得出，过点作交于点，过点作交于点，则四边形为矩形．得出，证明是等腰直角三角形，得出，，在中，根据勾股定理即可证明； 【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．过点作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点作交于点、交于点．由旋转的特征得．根据，得出，证明，得出，根据勾股定理算出，根据，表示出，证明，根据相似三角形的性质表示出，，同理可得．，证明四边形为矩形．得出，，在中，根据勾股定理即可求解； 【解答】 【问题解决】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ，， ． ， ，即． ． 在和中，，，， ①． ． 又， 在中，②． ，， ③． 【知识迁移】． 证明：如图，将绕点逆时针旋转，得到． 过点作交边于点，连接． 由旋转的特征得． 由题意得， ． 在和中，， ． ． 又为正方形的对角线， ． ， ． 在和中，， ， ． 在和中，， ． ． 在中，， ． 【拓展应用】． 证明：如图所示，设直线交延长线于点，交延长线于点， 将绕着点顺时针旋转，得到，连接． 则． 则，， ， ， 在和中 ， ， ， 过点作交于点，过点作交于点，则四边形为矩形． ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 即， 又， ， 即， 【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．过点作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点作交于点、交于点． 由旋转的特征得． ， ， ，即， 在和中，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，即， ， 同理可得． ， ， ， 又， 四边形为矩形． ， ， 在中，． ， 解得． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 + 易错警示 + 真题演练） 第 20 课时 菱形、矩形、正方形 一、核心知识 （一）菱形的相关概念、性质与判定 菱形定义：有一组邻边___________的平行四边形叫做菱形（菱形是特殊的平行四边形）。 核心性质（边、角、对角线、对称性） 边的性质：四条边都____________，对边平行； 角的性质：对角____________，邻角____________（同平行四边形）； 对角线的性质：对角线____________，且每条对角线平分一组对角； 对称性：既是____________图形（对称中心为对角线交点），又是____________图形（有 2 条对称轴，为对角线所在直线）。 菱形判定定理（中考必考） 定义判定：有一组邻边____________的平行四边形是菱形； 边的判定：____________都相等的四边形是菱形； 对角线的判定：对角线____________的平行四边形是菱形（或对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，需先满足平行四边形）。 菱形的面积公式： 常规公式：S = 底×$高； 对角线公式：S=（、为菱形的两条对角线长，此公式为中考高频考点）。 （二）矩形的相关概念、性质与判定 矩形定义：有一个角是____________的平行四边形叫做矩形（矩形是特殊的平行四边形）。 核心性质（边、角、对角线、对称性） 边的性质：对边____________（同平行四边形）； 角的性质：四个角都是____________； 对角线的性质：对角线____________； 对称性：既是____________图形（对称中心为对角线交点），又是____________图形（有 2 条对称轴，为对边中点连线所在直线）。 矩形判定定理（中考必考） 定义判定：有一个角是____________的平行四边形是矩形； 角的判定：有____________角是直角的四边形是矩形； 对角线的判定：对角线____________的平行四边形是矩形（或对角线相等的四边形不一定是矩形，需先满足平行四边形）。 矩形的特殊结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的____________（由矩形对角线性质推导）。 （三）正方形的相关概念、性质与判定 正方形定义：有一个角是直角且有一组邻边相等的____________叫做正方形（正方形是特殊的 ，也是特殊的 ，是最特殊的 ）。 核心性质（边、角、对角线、对称性） 边的性质：四条边都____________，对边平行； 角的性质：四个角都是____________； 对角线的性质：对角线____________，每条对角线平分一组对角，对角线与边的夹角为 ； 对称性：既是____________图形（对称中心为对角线交点），又是____________图形（有 4 条对称轴，为对边中点连线和对角线所在直线）。 正方形判定定理（中考必考） 定义判定：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形； 矩形判定：有一组____________的矩形是正方形； 菱形判定：有一个角是____________的菱形是正方形； 对角线判定：对角线____________的平行四边形是正方形。 （四）特殊平行四边形的关系 平行四边形矩形正方形； 平行四边形菱形正方形； 矩形正方形； 菱形正方形。 二、核心能力 题型 1 矩形的性质与判定应用 解题思路 求线段长：利用 “对边相等”“对角线相等且平分” 转化线段，结合直角三角形斜边中线定理、勾股定理求解； 求角度：利用 “四个角为直角”“对角线相等”，结合三角形内角和、平行线性质计算； 判定矩形：已知平行四边形，优先证一个角为直角或对角线相等；未知平行四边形，先证为平行四边形，再用矩形判定定理，或直接证三个角为直角。 题型 2 菱形的性质与判定应用 解题思路 求线段长：利用 “四条边相等”“对角线互相垂直平分”，结合勾股定理求解（对角线平分后形成直角三角形为核心）； 求面积：优先用对角线乘积的一半（无高时首选），有高时用底 × 高，注意对角线平分一组对角的角度转化； 判定菱形：已知平行四边形，优先证一组邻边相等或对角线互相垂直；未知平行四边形，先证为平行四边形，或直接证四条边相等。 题型 3 正方形的性质与判定应用 解题思路 性质应用：结合矩形和菱形的所有性质，利用 “对角线与边成45∘”“对角线平分直角” 进行角度和线段的特殊转化，正方形中常出现等腰直角三角形； 判定正方形：三步法（最稳妥）—— 先证是平行四边形→再证是矩形（或菱形）→最后证是菱形（或矩形）；直接证：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。 题型 4 特殊平行四边形的综合判定 解题思路 区分判定条件：明确矩形、菱形、正方形的判定定理差异，避免 “对角线垂直的矩形是菱形”“对角线相等的菱形是正方形” 等表述的逻辑错误； 结合平行四边形判定：所有特殊平行四边形的判定都以平行四边形为基础，先判定平行四边形是前提（除直接证矩形 / 菱形的情况）； 借助图形特征：利用边、角、对角线的数量和位置关系，结合全等三角形证明边 / 角相等、对角线平分 / 垂直 / 相等。 题型 5 特殊平行四边形的综合计算（含折叠、最值、面积） 解题思路 折叠问题：折叠前后图形全等，对应边、角相等，结合矩形 / 菱形 / 正方形的性质构造直角三角形，用勾股定理列方程求解； 最值问题：利用 “垂线段最短”“两点之间线段最短”，结合正方形 / 菱形的对称性转化线段，求最短距离； 面积综合：结合特殊平行四边形的面积公式，利用 “对角线平分图形为面积相等的部分”“全等三角形面积相等” 进行面积转化，注意多图形组合的面积和差计算。 三、易错警示 矩形相关公式与判定误用 错误：认为矩形的对角线互相垂直（非正方形的矩形无此性质）；忽略 “对角线相等的四边形是矩形” 的前提是平行四边形；直角三角形斜边中线定理逆用错误（如 “一边中线等于这边一半的三角形是直角三角形” 不会用）。 提醒：矩形对角线仅相等且互相平分，垂直是正方形的专属性质；判定矩形时，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须先满足平行四边形；牢记直角三角形斜边中线定理的正、逆定理均成立，为中考高频考点。 菱形相关公式与判定误用 错误：混淆菱形面积公式，忘记对角线面积公式除以 2；认为菱形的对角线相等（非正方形的菱形无此性质）；误将 “一组邻边相等的四边形是菱形” 当作判定定理。 提醒：菱形面积的对角线公式为S=​，切记除以 2；菱形对角线仅互相垂直且平分，相等是正方形的专属性质；“一组邻边相等” 的判定必须以平行四边形为前提，否则可能是等腰梯形。 正方形判定条件混淆 错误：直接证 “有一个角是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形”；将正方形的判定简化为 “矩形 + 邻边相等” 但未先证平行四边形。 提醒：正方形的定义判定前提是平行四边形，无平行四边形前提时，需先证平行四边形，再证矩形 / 菱形，最后证正方形；正方形是矩形和菱形的结合体，判定需同时满足两者的核心性质。 特殊平行四边形的性质混淆 错误：将菱形的对称轴记为对边中点连线，将矩形的对称轴记为对角线所在直线；计算正方形对角线长时，忘记边长与对角线的比例关系（对角线=×边长）。 提醒：菱形的对称轴是对角线所在直线，矩形的对称轴是对边中点连线所在直线，正方形两者都是；正方形为特殊的等腰直角三角形载体，边长a与对角线d的关系为d=a​，可直接用于计算，无需重复用勾股定理。 折叠问题的边长转化错误 错误：矩形 / 正方形折叠后，未找准对应边、角，导致勾股定理列方程时线段长度表示错误；忽略折叠后图形的位置变化，漏解多解情况。 提醒：折叠问题的核心是全等，折叠后重合的边、角必相等，解题时先标注对应相等的边和角；构造直角三角形时，设未知线段为x，用含x的式子表示其他线段，再列勾股定理方程；涉及边的折叠时，需考虑折叠方向，避免漏解。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·四川中考）矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角相等 2.（24-25·山西模拟）已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（      ） A. B. C. D.  3.（24-25·四川中考）如图，要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（   ） A. B. C. D. 4.（24-25·山东模拟）如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（      ） A.菱形平行四边形矩形平行四边形菱形 B.菱形正方形平行四边形菱形平行四边形 C.平行四边形矩形平行四边形菱形平行四边形 D.平行四边形菱形正方形平行四边形菱形 5.（23-24·辽宁模拟）如图：点、、、分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为，且，则（   ） A. B. C. D. 6.（24-25·四川中考）按如下步骤作四边形：画；以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；连接、、．若，则的度数是（   ） A. B. C. D. 7.（24-25·广东模拟）如图所示，在矩形中，，与相交于点，则下列说法正确的是（      ）   A.点为矩形的对称中心 B.点为线段的对称中心 C.直线为矩形的对称轴 D.直线为线段的对称轴 8.（24-25·内蒙古中考）如图，是一个矩形草坪，对角线，相交于点，是边的中点，连接，且，，则该草坪的面积为（   ） A. B. C. D. 9.（24-25·广西模拟）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（    ） A. B. C. D. 10.（24-25·贵州模拟）如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（    ） A. B. C. D. 11.（23-24·山东中考）如图，在正方形中，对角线相交于点，，分别为，上的一点，且，连接．若，则的度数为（      ） A. B. C. D. 12.（24-25·湖北模拟）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A. B. C. D. 13.（23-24·黑龙江模拟）如图，在正方形中，为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则下列结论不正确的是（   ） A. B. C.的面积的面积 D.四边形的面积的面积 14.（23-24·江苏中考）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 15.（23-24·浙江中考）如图，在正方形中，点在边上（不与点、重合），点在的延长线上，且，连接、、，过点作于点，分别交、、于点、、．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤图中共有个等腰三角形．其中正确的结论是（   ） A.①②③⑤ B.①②④⑤ C.①②③④ D.①③④⑤ （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题）   16.（24-25·江苏模拟）如图，在四边形中，，于点．请添加一个条件：      ，使四边形成为菱形． 17.（23-24·江苏模拟）如图，四边形是的内接四边形，若四边形为菱形，则的度数是____________． 18.（22-23·山西中考）如图，在矩形中，点，，分别在，，边上，分别交对角线、线段于点，，且是的中点．若，则的长为___________________． 19.（24-25·河北中考）如图，四边形是矩形，是正三角形，点是的中点，点是矩形内一点，且是以为底的等腰三角形，则的面积与的面积的比值是___________． 20.（24-25·四川中考）如图，在矩形中，点、分别在上，且，把沿翻折，点恰好落在矩形对角线上的点处．若、、三点共线，则的值为_____________． 21.（25-26·山东模拟）如图，点是正方形内的一点，将绕点按顺时针方向旋转得到．若，则_____________度． 22.（25-26·山东模拟）如图，正方形的对角线相交于点，点是的中点，点是上一点．连接．若，则的值为__________． 23.（24-25·山西中考）如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接若，则线段的长为________． 24.（24-25·吉林中考）如图，在边长为的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有_____________． 25.（22-23·四川中考）如图，在等边中，过点作射线，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在射线上的点处，连接，已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点与重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是 .（填写序号）  （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（23-24·云南中考）如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点，，，． （1）是直角三角形吗？请说明理由； （2）求证：四边形是菱形． 27.（24-25·辽宁模拟）如图，在中，，分别为的中点，，垂足为，点在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 28.（24-25·广东模拟）如图，在中，点，分别在，上，，．   （1）求证：四边形是矩形； （2），，，求的长． 29.（22-23·四川中考）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 30.（24-25·山东模拟）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接． （1）求证：； （2）求的最小值． 31.（24-25·贵州模拟）在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图． （1）四边形是菱形， ，，． ． 又，， ______+______． 化简整理得______． 【类比探究】 （2）如图．若四边形是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系． 【拓展应用】 （3）如图，四边形为平行四边形，对角线，相交于点，点为的中点，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长度． 32.（24-25·河北中考）如图，图，正方形的边长为．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上， ，扇形的弧交线段于点，记为． （1）如图，当时，求的度数； （2）如图，当四边形为菱形时，求的长； （3）当时，求的长． 33.（23-24·四川中考）康康在学习了矩形定义及判定定理后，继续探究其它判定定理． （1）实践与操作 ①任意作两条相交的直线，交点记为； ②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段； ③顺次连结所得的四点得到四边形． 于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定理是：______． （2）猜想与证明 通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程． 已知：如图，四边形是平行四边形，．求证：四边形是矩形． 34.（24-25·江苏模拟）综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】从初始起右移至图情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】求图情形的与的值； 【深入研究】从图情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） 35.（23-24·四川中考）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图，在中，，，点、在边上，且，，，求的长． 解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ，， ． ， ，即． ． 在和中， ，，， ___①___． ． 又， 在中，___②___． ，， ___③___． 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 如图，在正方形中，点、分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于、两点．探究的数量关系并证明． 【拓展应用】 如图，在矩形中，点、分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）． 【问题再探】 如图，在中，，，，点、在边上，且．设，，求与的函数关系式． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $