精品解析：陕西省渭南市华州区2025-2026学年高二上学期期末数学试题

2025-2026学年度华州区第一学期期末质量监测 高二数学科试题 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 直线与直线互相垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据互相垂直的直线斜率关系即可求解． 【详解】因为直线的斜率为， 所以直线的斜率为， 故选：Ｂ． 2. 已知与圆外切，则的取值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据求得. 【详解】由题意可知，，半径；，半径， 因为两圆外切，所以，得. 故选：B 3. 若关于的方程有且仅有一个实数根，则实数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将方程根的个数转化为曲线与直线交点个数，数形结合即可求解． 【详解】方程的解的个数即为曲线与直线交点个数， 因为， 所以曲线表示圆心为，半径为3的半圆， 因为，所以直线过定点， 同一直角坐标系中画出半圆与直线，如图所示， 当直线过点时，有两个交点，此时， 当直线过点时，有两个交点，此时， 所以当半圆与直线有1个交点时，， 故选：A． 4. 已知椭圆的左右焦点分别为，过倾斜角为的直线交椭圆于两点．若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，求出直线的方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示列式求出离心率. 【详解】设，由直线的倾斜角为，得直线的方程为， 由消去得， 设，则， 由，得，即， 则，于是， 整理得，即，因此，而，解得， 所以椭圆的离心率为. 故选：D 5. 在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为，则侧棱与底面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于点，连接，由正四棱锥的性质即可求解． 【详解】连接交于点，连接， 由正四棱锥的性质可知，平面， 所以直线与平面所成角为， 又因为为正方形，， 所以， 则， 在中，， 故选：B． 6. 将标号为1，2，3，4，5的五个小球放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球．则标号为1和2的两个小球放入同一个盒子的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用先分组后排列来计数，结合古典概型概率公式即可求出概率. 【详解】将标号为1，2，3，4，5的五个小球放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，共有放法为：（种）， 若将标号为1和2的两个小球放入同一个盒子的放法有：（种）， 所以将标号为1和2的两个小球放入同一个盒子的概率为， 故选：C 7. 在的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简得到，求得二项式的展开式的通项为，进而求得展开式中含的项，得到答案. 【详解】由， 又由二项式的展开式的通项为，其中， 所以展开式中含的项为： ， 所以展开式中含的系数为. 故选：A. 8. 某化学实验中有2个型分子和2个型分子．每次实验随机选取两个分子让其发生反应．若选中的是1个和1个，则有的概率发生“有效反应”，反应后的标记数变为的标记数变为1；另有的概率发生“无效反应”，反应后两个分子的标记数均为0．若选中的是两个同型分子，则不会发生反应，它们的标记数保持为0．实验步骤：先从4个分子中随机取出两个进行反应．反应结束后，从这两个参与反应的分子中随机抽取一个，发现其标记数为2．在此条件下，实验开始时取出的两个分子中，型分子个数的期望值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设条件可判断参与反应的两个分子中必然是一个，一个，据此可求期望. 【详解】因为反应结束后，从这两个参与反应的分子中随机抽取一个，发现其标记数为2． 故参与反应的两个分子中必然是一个，一个， 型分子个数为1的概率为1，个数为0或2的概率为0， 故型分子个数的期望值为1， 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 华山、少华山、渭华起义纪念馆是华州区的三大文化地标．现有甲、乙、丙、丁4位同学计划利用假期研学，每人从这三个地点中随机选择一个前往，且每个地点至少有一人前往．设事件A为“甲同学前往华山研学”，事件B为“乙同学前往少华山研学”．则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 事件A与事件B不独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据古典概型即可判断AC；根据条件概率公式即可判断B；根据互相独立事件的概率公式即可判断D． 【详解】由题可知，总基本事件数为，事件为“甲同学前往华山”，此时其余3名同学的分配需保证少华山和渭华起义纪念馆都有人前往，一类是从其余3人中任选1人与A同往华山，其余2人在少华山和渭华起义纪念馆一人一处排列，第二类是其余3人，选出2人合成一组，与其与1人在少华山和渭华起义纪念馆排列，共有种， 所以，同理可得，故A错误； 事件：当甲同学前往华山研学，乙同学前往少华山研学时，有两种情况， ①渭华起义纪念馆有两位同学研学，即丙丁，只有1种情况； ②华山或少华山有两位同学研学， 在丙丁2人中先选1人去渭华起义纪念馆，另1人去华山或少华山，共有种情况； 所以事件共有种情况， 所以，故C正确； 因为，，，， 所以，故B正确； 因为， 所以事件A与事件B不独立，故D正确； 故选：BCD． 10. 在空间直角坐标系中，．则下列结论正确的是（ ） A. B. 与向量平行且长度为1的单位向量为或 C. 向量在向量上的投影向量的坐标为 D. 与的夹角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标运算可判断A，利用单位向量的坐标运算可判断B，利用投影向量的坐标运算可判断C，利用向量夹角的余弦值的坐标运算可判断D. 【详解】对于A， 由于，所以与不垂直， 故A错误； 对于B，与向量平行且长度为1的单位向量为，故B正确； 对于C，向量在向量上的投影向量的坐标为： ， 故C正确； 对于D，， ， 所以与的夹角的余弦值为，故D正确； 故选：BCD 11. 曲线，，下列说法正确的是（ ） A. 若点在曲线C上，则点也一定在曲线C上 B. 若曲线C表示双曲线，则其离心率 C. 若，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆 D. 不论为何值，直线与曲线C恒有两个交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，对各选项进行分析即可. 【详解】A：将点代入方程左边： 由于在曲线上，故原式等于1，所以也在曲线上，该曲线C关于原点对称，所以A正确. B：曲线方程可改写为：，当时，即， 此时方程为：， 即标准双曲线形式：， 其中，， 双曲线离心率公式：， 所以B正确. C：因为，所以， 方程为：， 是椭圆标准形式，可得：，， 因为，所以，故，焦点在y轴上， 所以C错误. D：将直线代入曲线方程： ，展开：， 整理成关于的二次方程： ， 根据判别式：， 化简得：，因为，所以恒成立, 方程恒有两个不同实根，直线与曲线恒有两个交点. 所以D正确 故选：ABD 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分．把答案填在答题卡相应横线上 12. 已知双曲线，过点且与该双曲线有且仅有一个公共点的直线斜率可以是___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解. 【详解】联立与，解得，这表明满足题意的直线斜率一定存在， 设所求直线斜率为，则过点且斜率为的直线方程为， 联立，得， 由题意得解得， 或，此方程无解. 综上所述，所求直线的斜率为. 故答案为：（答案不唯一）. 13. 圆关于直线对称的圆与直线相切，则实数的取值可以是___________．（写出一个即可） 【答案】0（或者） 【解析】 【分析】根据直线过圆心及直线与圆相切的位置关系即可求解． 【详解】圆的圆心，半径为， 因为在直线上， 所以圆关于直线对称的圆为圆本身， 所以直线与圆相切， 则圆心到直线的距离为，解得或， 故答案为：0（或者）． 14. 在棱长为的正方体中，所有顶点位于过点的平面的同侧，若和与平面所成角均为，则到平面的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间坐标系, 设平面法向量,根据和与平面所成角均为,列方程组求解,进而求得点面距. 【详解】以D点为原点，建立空间坐标系如图，， ， 设平面法向量， 则①， ②， 联立①②可得③, 若,则, 若,则取,不符合题意, 若,代入③得,取,符合题意, 若,即, 代入③得, 整理得,即,则(舍), 所以, 则到平面的距离. 故答案为:. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（温馨提示：考生请注意在答题卡规定区域内用黑色笔作答，超出指定区域答题不给分） 15. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将圆的方程配方，由题意得，求解即得； （2）结合图形，由垂径定理求出，在中列出方程，求解即得. 【小问1详解】 方程可化为， 此方程表示圆，，即， 故实数的取值范围是； 【小问2详解】 由（1）可得圆心，半径， 如图，过点作于点，则， 圆心到直线的距离为， 由图可得：，即， 解得：． 即的值为2. 16. 如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为等腰直角三角形，，D为中点． （1）求证：； （2）当时，求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】(1)用线面垂直证明线线垂直; (2)建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,利用法向量夹角的余弦值, 求得两个平面夹角的余弦值,也可以作出二面角的平面角,几何法求解. 【小问1详解】 证明：设的中点为,连接,连接,则, 又因为为等腰直角三角形,, , 又是正三角形,, 又因为平面,则面, 面. 【小问2详解】 【法一】 由题意知,,又由, 得为等腰直角三角形,且; 又,得,,且,在面内, 所以面,面,得面面且交线为, 设的中点为,则,面. 以为坐标原点,过点与平行的直线为轴,分别以、所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系, 得,，,, 为的中点,得, ,; 设平面的一个法向量为， 则，， 可取； 平面的一个法向量可取， 因为， 所以平面和平面夹角的余弦值为． 【法二】 取的中点,连结,则,且,, ,,,又,面, 又,面,而平面，, 过作于,,且, 又,平面,面, 而平面，得, 为二面角的平面角, ,, 所以平面和平面夹角的余弦值为. 17. 已知双曲线的两个焦点坐标分别是，且经过点 （1）求双曲线的标准方程； （2）过焦点且斜率为2的直线交双曲线于两点，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两点间距离公式求出，即可求出，再根据，求出，即可得到答案； （2）由题意写出直线方程，将直线方程与双曲线方程联立，根据弦长公式求出，根据双曲线定义求出，代入即可求出答案. 小问1详解】 因为，，， 所以，， 所以，所以， 又，所以， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由题意知直线方程为， 联立，得， 解得或， 所以， ， 所以的周长为. 18. 为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，现从高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的2×2列联表： 喜欢跑步 不喜欢跑步 合计 男生 64 女生 54 合计 已知在这200名学生中随机抽取1人抽到不喜欢跑步的概率为0.45. （1）判断是否有95%的把握认为喜欢跑步与性别有关？ （2）从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取5名学生，再在这5人中随机抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中男生的人数，求X的分布列及数学期望. 附：，其中. 0.150 0.100 0.050 0.010 k 2.072 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）有 （2）分布列见解析，期望 【解析】 【分析】（1）根据卡方计算公式求解卡方，即可与临界值比较求解； （2）根据分层抽样比求解抽取人数，即可利用超几何分布的概率公式求解概率，进而即得. 【小问1详解】 由题可知，从200名学生中随机抽取1人抽到不喜欢跑步的概率为0.45， 故不喜欢跑步的人有（人），喜欢跑步的人有（人）． 喜欢跑步 不喜欢跑步 合计 男生 64 36 100 女生 46 54 100 合计 110 90 200 ∴，，，， 故有95%把握认为喜欢跑步与性别有关． 【小问2详解】 按分层抽样，设女生名，男生名，，解得，， ∴从不喜欢跑步的学生中抽取女生3名，男生2名，故可取. ，，， 故X的分布为： 0 1 2 ∴ 19. 已知椭圆：的右顶点，为椭圆上的动点，且点不在轴上，是坐标原点，面积的最大值为1． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与轴相交于点．当时，求直线的方程． 【答案】（1），离心率 （2）或． 【解析】 【分析】(1)由椭圆的右顶点可得，由 面积最大值，可得，从而求得椭圆C的方程，再由可求得，从而可得离心率； (2)分类讨论，当斜率存在时设直线的方程为：，与椭圆联立方程组可解得一元二次方程，从而可得出韦达定理的表达式，再通过直线，的方程得出点E，F坐标，进而表达出，从而可解得，求得直线的方程. 【小问1详解】 因为右顶点，故， 又因为面积的最大值为，所以，故， 又，所以， 所以椭圆的方程为，离心率为． 【小问2详解】 ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为． 设，则．由于． 所以．不合题意． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为 由，得， ， 设，则， 直线的方程为，由于 令，得点的纵坐标，则， 同理可得． 所以 因为 因为，则，解得，满足 所以直线的方程为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度华州区第一学期期末质量监测 高二数学科试题 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 直线与直线互相垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知与圆外切，则的取值为（ ） A. B. C. D. 3 3. 若关于的方程有且仅有一个实数根，则实数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的左右焦点分别为，过倾斜角为的直线交椭圆于两点．若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为，则侧棱与底面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 将标号为1，2，3，4，5的五个小球放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球．则标号为1和2的两个小球放入同一个盒子的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 8. 某化学实验中有2个型分子和2个型分子．每次实验随机选取两个分子让其发生反应．若选中的是1个和1个，则有的概率发生“有效反应”，反应后的标记数变为的标记数变为1；另有的概率发生“无效反应”，反应后两个分子的标记数均为0．若选中的是两个同型分子，则不会发生反应，它们的标记数保持为0．实验步骤：先从4个分子中随机取出两个进行反应．反应结束后，从这两个参与反应的分子中随机抽取一个，发现其标记数为2．在此条件下，实验开始时取出的两个分子中，型分子个数的期望值为（ ） A. B. C. D. 1 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 华山、少华山、渭华起义纪念馆是华州区的三大文化地标．现有甲、乙、丙、丁4位同学计划利用假期研学，每人从这三个地点中随机选择一个前往，且每个地点至少有一人前往．设事件A为“甲同学前往华山研学”，事件B为“乙同学前往少华山研学”．则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 事件A与事件B不独立 10. 在空间直角坐标系中，．则下列结论正确的是（ ） A. B. 与向量平行且长度为1的单位向量为或 C. 向量在向量上的投影向量的坐标为 D. 与的夹角的余弦值为 11. 曲线，，下列说法正确的是（ ） A. 若点曲线C上，则点也一定在曲线C上 B. 若曲线C表示双曲线，则其离心率 C. 若，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆 D. 不论为何值，直线与曲线C恒有两个交点 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分．把答案填在答题卡相应横线上 12. 已知双曲线，过点且与该双曲线有且仅有一个公共点的直线斜率可以是___________．（写出一个即可） 13. 圆关于直线对称的圆与直线相切，则实数的取值可以是___________．（写出一个即可） 14. 在棱长为的正方体中，所有顶点位于过点的平面的同侧，若和与平面所成角均为，则到平面的距离为___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（温馨提示：考生请注意在答题卡规定区域内用黑色笔作答，超出指定区域答题不给分） 15. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值． 16. 如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为等腰直角三角形，，D为中点． （1）求证：； （2）当时，求平面和平面夹角的余弦值． 17. 已知双曲线的两个焦点坐标分别是，且经过点 （1）求双曲线的标准方程； （2）过焦点且斜率为2的直线交双曲线于两点，求的周长． 18. 为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，现从高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的2×2列联表： 喜欢跑步 不喜欢跑步 合计 男生 64 女生 54 合计 已知在这200名学生中随机抽取1人抽到不喜欢跑步的概率为0.45. （1）判断是否有95%把握认为喜欢跑步与性别有关？ （2）从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取5名学生，再在这5人中随机抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中男生的人数，求X的分布列及数学期望. 附：，其中. 0.150 0.100 0.050 0010 k 2072 2.706 3.841 6.635 19. 已知椭圆：的右顶点，为椭圆上的动点，且点不在轴上，是坐标原点，面积的最大值为1． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与轴相交于点．当时，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $