精品解析：湖北省荆州中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

荆州中学2025～2026学年高二上学期期末考试 数 学 试 题 （全卷满分150分，考试用时120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 如图，在四面体中，，点为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若方程表示双曲线，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，则这份密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（ ） A. B. C. 18 D. 24 7. 已知，若两圆和恰有三条公切线，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围为，则线段的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为两个随机事件，表示的对立事件，，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若互斥，则 C. 若相互独立，则 D. 若相互独立，则 10. 一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是（    ） A. 椭圆的离心率是 B. 线段长度的取值范围是 C. 面积的最大值是 D. 的周长不存在最大值 11. 已知数列的前项和为，，且，则（ ） A. B. 是等比数列 C. 数列的前100项和为5050 D. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若向量在向量上的投影向量为，则____________. 13. 已知数列的前项和为，满足，则的通项公式是___________． 14. 已知抛物线的焦点为，圆．如图，过点的直线与抛物线和圆的交点依次为，，，，则的最小值为______（请用表示）． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）已知过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围. 16. 已知圆经过三点，，. （1）求圆的一般方程； （2）若直线：与圆交于两点，且，求直线的方程. 17. 已知为等差数列的前n项和，满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 如图，四棱锥中，底面，，，. （1）若G点为的重心，求； （2）若，证明：平面； （3）若，且二面角的正弦值为，求. 19. 在平面内，若直线将多边形分为两部分，且多边形在两侧的顶点到的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”.已知双曲线与双曲线有相同的离心率，、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一动点，双曲线在点处的切线与双曲线的渐近线交于、两点（在上方），当轴时，直线为的等线. [注]双曲线在其上一点处的切线方程为 （1）求双曲线的方程； （2）若是四边形的等线，求四边形的面积； （3）已知为坐标原点，直线与双曲线的右支交于点，试判断双曲线在点处的切线是否为的等线，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆州中学2025～2026学年高二上学期期末考试 数 学 试 题 （全卷满分150分，考试用时120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，从而可求解. 【详解】由题意知，即得，解得，故A正确. 故选：A. 2. 如图，在四面体中，，点为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】综合应用空间向量的线性运算即可解决. 【详解】因为，所以 故 . 故选：B. 3. 若方程表示双曲线，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】由题意得，解得． 故选：A． 4. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义即可求解. 【详解】由题意有：， 故选：D. 5. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，则这份密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设甲，乙破译密码分别为事件A，B，则密码被破译的概率为：，据此可得答案. 【详解】设甲，乙破译密码分别为事件A，B，则密码不被任何人破译概率为： ， 从而密码被破译概率为：. 故选：B 6. 在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（ ） A. B. C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列下标和性质，结合等差中项列出等式求解即可. 【详解】在正项等比数列中，设公比为， 则，又，，10成等差数列， 则，则， 故， 故选：C 7. 已知，若两圆和恰有三条公切线，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得两圆的圆心和半径，根据两圆有三条公切线，可得两圆外切，即可求得，令，代入上式，化简整理，可得关于m的一元二次方程，根据，结合判别式，即可得答案. 【详解】圆，整理得， 则圆心为，半径为1， 圆，整理得， 则圆心为，半径为2， 因为两圆恰有三条公切线， 所以两圆外切，即圆心距等于半径和， 所以，解得， 令，则，代入， 得，展开得， 因为， 所以，解得. 所以的最大值为. 故选：D 8. 椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围为，则线段的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出. 【详解】 设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得， ， 又 ， ，， ，，则， 即线段的长度的取值范围是. 故选：B. 【点睛】解题的关键是通过两种不同方式求出的面积，得出，再利用离心率的取值范围可求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为两个随机事件，表示的对立事件，，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若互斥，则 C. 若相互独立，则 D. 若相互独立，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由事件关系及概率的性质判断A；由互斥事件的概率求法判断B，应用概率的性质及独立事件的乘法判断C，由对立事件的概率求法、独立事件的乘法判断D. 【详解】A，由，则，错误， B，由互斥，则，正确， C，由相互独立，则，正确， D，，由相互独立，则，正确. 故选：BCD 10. 一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是（    ） A. 椭圆的离心率是 B. 线段长度的取值范围是 C. 面积的最大值是 D. 的周长不存在最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可求出半圆和椭圆的方程，即可求得椭圆离心率，判断A；结合半圆的半径以及椭圆的长半轴长，可确定线段AB长度的取值范围，判断B；设坐标，表示出面积，利用基本不等式求得其最大值，判断C；表示出的周长的表达式，结合t的取值范围可判断D. 【详解】由题意得半圆的方程为， 设椭圆的方程为， 所以 ， 所以椭圆的方程为． A．椭圆的离心率是，故A正确； B． 当时，；当时，， 所以线段AB长度的取值范围是，故B错误； C．由题得面积， 设， 设，所以， 所以 ，当且仅当时等号成立，故C正确； D．的周长， 令， 易知函数在上单调递减， 所以当时，的周长最大，但是不能取零， 所以的周长没有最大值，故D正确． 故选：ACD. 11. 已知数列的前项和为，，且，则（ ） A. B. 是等比数列 C. 数列的前100项和为5050 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】变形得到，是公比为3的等比数列，从而得到，A选项，求出；B选项，根据等比数列的定义进行判断；C选项，，从而利用等差数列求和公式得到答案；D选项，放缩得到，由等比数列求和公式可得. 【详解】由，得，则， 所以，所以是首项为，公比为3的等比数列． 由，得， A选项，，，所以，A正确； B选项，因为，不是常数，所以不是等比数列，B错误； C选项，因为，所以是等差数列， 所以的前100项和为5050，C正确； D选项，由，得，得， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故 ，D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若向量在向量上的投影向量为，则____________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用投影向量的定义列式计算即得. 【详解】因，， 向量在向量上的投影向量为 ， 则. 故答案为：1. 13. 已知数列的前项和为，满足，则的通项公式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据进行求解，得到答案. 【详解】当时，， 当时， ， 当时，， 故， 故答案为： 14. 已知抛物线的焦点为，圆．如图，过点的直线与抛物线和圆的交点依次为，，，，则的最小值为______（请用表示）． 【答案】 【解析】 【分析】设，，由抛物线焦半径公式得，再由，结合基本不等式即可求解； 【详解】根据题意，圆，可得， 所以该圆的圆心为，所以，， 所以， 设点，，易知斜率不为0，设方程为， 联立抛物线方程消去可得，所以， 又，两式相乘可得， 所以， 因，当且仅当时等号成立． 即时，取得最小值. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）已知过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用导数求切线斜率，然后由点斜式可得切线方程； （2）设切点坐标为，表示出切线方程，根据切线过点得关于的一元二次方程，由方程有两个不相等的实根求解即可. 【小问1详解】 ，因为，， 所以切点为，且切线斜率， 所以切线方程为， 得. 【小问2详解】 设切点坐标为，因为， 所以切线的斜率， 所以切线方程是， 因为切线过点， 所以，即， 因为过点可以作曲线的两条切线， 所以方程有两个不同的根， 所以， 解得或. 16. 已知圆经过三点，，. （1）求圆的一般方程； （2）若直线：与圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）解设圆的一般方程，利用待定系数法直接求解即可； （2）根据圆的方程，得到圆心坐标和半径，表示出圆心到直线的距离，然后利用几何法，表示出弦长，即可求出的解，进而得到直线方程. 【小问1详解】 因为圆经过三点，，， 设圆的一般方程为， 则，解得， 则圆的一般方程为. 【小问2详解】 由（1）知，圆的一般方程为， 则其圆心坐标为，半径， 又直线一般方程为， 所以圆心到直线的距离， 则， 即，解得或. 则直线的方程为或. 17. 已知为等差数列的前n项和，满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与前n项和公式，列出关于首项与公差的方程组，解方程组即可得解； （2）利用分组求和法，结合等差数列与等比数列的前n项和公式即可得解. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为， 由，可得， 解得，所以， 即数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得， 即 所以 . 18. 如图，四棱锥中，底面，，，. （1）若G点为的重心，求； （2）若，证明：平面； （3）若，且二面角的正弦值为，求. 【答案】（1） （2） 因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以，在底面上，可知， 又平面，平面，所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）设出空间的一组基向量，将用基向量表示，运用数量积的运算律即可求得； （2）利用题设条件，先由线线垂直证明平面，得出，再证，在底面上，可得，最后由线线平行证线面平行即得； （3）设，，建立空间直角坐标系，求出相关点和平面法向量的坐标，利用向量夹角的坐标公式列出方程，求得，即得. 【小问1详解】 设，，，则，， ，. 如图，连接并延长交于点,连接,则 两边取平方得. ∴，∴. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，，则①，因，如图， 过点作的平行线，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 此时有 因设平面的法向量为， 则，故可取； 又设平面的法向量为， 则，故可取； 则， 由题意，，即，② 联立① ② ，解得故 【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间向量在证明线面关系，空间角等方面的应用，属于较难题. 解题的关键在于结合图形，要么选择空间的一组基底，将相关向量用基底表示，通过向量的线性运算和数量积运算求得结论；要么建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算解决问题. 19. 在平面内，若直线将多边形分为两部分，且多边形在两侧的顶点到的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”.已知双曲线与双曲线有相同的离心率，、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一动点，双曲线在点处的切线与双曲线的渐近线交于、两点（在上方），当轴时，直线为的等线. [注]双曲线在其上一点处的切线方程为 （1）求双曲线的方程； （2）若是四边形的等线，求四边形的面积； （3）已知为坐标原点，直线与双曲线的右支交于点，试判断双曲线在点处的切线是否为的等线，请说明理由. 【答案】（1） （2）36 （3）为的等线，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得，结合等线的定义可得，再根据其离心率为2，求解即可； （2）设，联立渐近线和切线方程，可得两交点的横坐标，从而可得，得是线段的中点，联立直线与双曲线的方程，可得，进而求得两点的纵坐标，最后根据，求解即可. （3）设，可得双曲线在点处的切线的方程为.再根据等线的定义判断即可. 【小问1详解】 将代入双曲线的方程可得， 解得， 因为直线为的等线， 所以点在轴的上方，即. 由，得. 因为双曲线的离心率为， 所以双曲线的离心率为， 又因为， 所以， 所以，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 设， 则双曲线在点处的切线的方程为. 双曲线的渐近线方程为， 联立，可得， 同理可得， 所以， 所以是线段的中点. 因为点、到过原点的直线的距离相等， 所以过原点的等线必定满足点、到该等线的距离相等，且分别位于两侧， 所以该等线必过点， 即直线的方程为. 方程组，解得或， 所以. 所以， 故. 【小问3详解】 设， 则双曲线在点处的切线的方程为. 易知与在的右侧，在的左侧， 因为，， 所以点到的距离. 由,得. 因为，， 所以，， 所以. 因为点到的距离， 点到的距离， 所以， 即为的等线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $