精品解析：湖北省沙市中学2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题

2023—2024学年度上学期2022级 期末考试数学试卷 命题人：冷劲松 审题人：叶世安 考试时间：2024年1月26日 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列直线经过第一象限且斜率为-1的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知样本空间含有等可能的样本点，且，，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（ ） A B. 或 C 或 D. 4. 已知数列满足，，若，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 5. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 6. 若为圆上任意两点，为直线上一个动点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，是双曲线C：的左、右焦点，以为圆心的圆与双曲线左右两支交于P、Q两点，且则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在等差数列中，是的前项和，满足，，则有限项数列中，最大项和最小项分别为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设直线与圆，则下列结论正确的为（ ） A. 与可能相离 B. 不可能将的周长平分 C. 当时，被截得的弦长为 D. 被截得的最短弦长为 10. 已知数列的首项为4，且满足，则（ ） A. 为等差数列 B. 为递增数列 C. 的前n项和 D. 的前n项和 11. 已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（ ） A. 若O为线段中点，则 B. 若，则 C. 存在直线l，使得 D. △PFQ面积的最小值为2 12. 如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体的侧面上的一个动点（含边界），P是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为 B. 若保持，则点M在侧面内运动路径的长度为 C. 三棱锥的体积最大值为 D. 若点M在上运动，则到直线PM的距离的最小值为 三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分. 13. 直线经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的一半，则l的方程为________. 14. 已知平面内一点，点在平面外，若的一个法向量为，则到平面的距离为______________． 15. 二面角的棱上有两个点,,线段与分别在这个二面角的两个面内,并且垂直于棱,若,,,,则平面与平面的夹角为________. 16. 数学中也有一朵美丽雪花——“科赫雪花”.它的绘制规则是：任意画一个正三角形，并把每一条边三等分，以三等分后的每边的中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线.重复上述两步，画出更小的三角形，一直重复，直到无穷，形成雪花曲线.设雪花曲线边长构成数列，面积构成数列.若的边长为3，则________；=________. 四､解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列通项公式； （2）令，求数列的前项和． 18. 某校举行数学竞赛，竞赛要完成三道题：代数，几何，组合各一道，竞赛记分方法如下：在规定时间内，答对代数题、几何题，每题均可获得30分，答对组合题，可获得40分，每答错一题，则扣除总分中的10分（假设答题只有对与错两种结果）.根据以往统计结果，小明答对代数、几何、组合的概率分别为，假设解答这三题结果彼此独立.已知小明初始分为0分，设比赛结束后，小明的总分为，求： （1）已知小明在规定时间内，将三题都答对的概率为，求该学生恰能答对三题中的一题的概率； （2）已知，求总分不低于50分的概率． 19. 如图，在五面体中，面为矩形，且与面垂直，，，. （1）证明：//； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 20. 已知抛物线， （1）经过点作直线，若与抛物线有且仅有一个公共点，求的方程； （2）设抛物线的准线与轴的交点为，直线过点，且与抛物线交于两点，的中点为，若，求的面积． 21. 已知数列的前n项和为. （1）求证：数列是等差数列； （2）设的前n项和为； ①求； ②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围. 22. 点双曲线上，离心率. （1）求双曲线的方程； （2）是双曲线上的两个动点（异于点），分别表示直线的斜率，满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标. 第1页/