精品解析：安徽省六安第二中学河西校区2025-2026学年高一上学期期末数学试题

六安二中河西校区2025年秋学期高一年级期末考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题人：李玉 审题人：杨菲菲 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 3. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形）的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的大致图象为（ ） A. B. C D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 三个数， 之间的大小关系为（ ） A. B. C D. 7. 已知函数，若的图像在区间上有且只有2个最低点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. B. 定义域是 C. 在定义域上单调递增 D. 无最小值 10. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在单调递减 B. 函数图象关于中心对称 C. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D. 若在区间上的值域为，则实数a的取值范围为 11. 已知为非常值函数，若对任意实数x，y均有，且当时，，则下列说法正确有（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，答案需填最简形式 12. 把函数的图像向右平移个单位，所得的图像的函数是偶函数，则的最小正值是___________． 13. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则关于的不等式的解集为_____． 14. 已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（第15题13分；第16题和第17题15分；第18题和第19题17分） 15. 已知，且为第三象限角. （1）求，的值； （2）求的值. 16. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，. （1）写出函数的解析式； （2）若关于x的方程有2个不相等的实数根，求实数的取值范围.（只需写出结论） 17. 已知函数． （1）求函数的定义域，并判断是否具有奇偶性； （2）若，求实数的取值范围． 18. 已知函数，． （1）求的最小正周期； （2）若的图象关于点对称，且，求t的值； （3）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 19. 已知函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数. （1）类比等式，请探究与之间等量关系，并给出证明过程； （2）求函数的零点； （3）解关于的不等式：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安二中河西校区2025年秋学期高一年级期末考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题人：李玉 审题人：杨菲菲 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式可得，再由交集、并集运算可得结果. 【详解】因为集合，， 所以，. 故选：A. 2. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据解析式判断函数在定义域上的连续性，再根据零点存在性定理判断零点所在区间即可. 【详解】由题设，是定义域在上连续不断的递增函数, 又，， 由零点存在定理可知,零点所在区间为. 故选:. 3. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形）的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由扇形面积公式计算（大扇形面积减去小扇形面积）． 【详解】由已知，， 扇面面积为 故选：B． 4. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和特殊点的函数值可确定正确选项. 【详解】， 所以为偶函数，图像关于轴对称，排除A、B选项. 又因为，故排除C， 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式化简求值. 【详解】， 故选：A. 6. 三个数， 之间的大小关系为（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合指数函数、对数函数的单调性，以及临界值，求解即可. 【详解】由题意，即， ，即， ， 综上： 故选：A 7. 已知函数，若的图像在区间上有且只有2个最低点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简为，根据的范围，可求出的范围，根据题意分析可得，计算可求出答案. 【详解】由题意， 因为，所以， ，解得：. 故选：C. 8. 已知函数，若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出、和的图象，结合图象以及函数有两个零点求得的取值范围. 【详解】函数有两个零点， 即有两个不相等的实数根， 即与的图象有两个交点. 画出、和的图象如下图所示， 由解得，设. 由解得，设. 对于函数， 要使与的图象有两个交点，结合图象可知，. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. B. 的定义域是 C. 在定义域上单调递增 D. 无最小值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据待定系数法求解幂函数的表达式，即可由幂函数的性质结合选项逐一判断. 【详解】根据已知，设幂函数，又函数图像过点，解得，即. 对于选项A，因为，所以A正确； 对于选项B，定义域为，B错误； 对于选项，，在上单调递增，在上单调递减，C错误； 对于选项D，值域为，故无最小值，D正确. 故选：AD. 10. 函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在单调递减 B. 函数图象关于中心对称 C. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D. 若在区间上的值域为，则实数a的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象可得函数的解析式，再根据整体法或代入法可判AB的正误，利用图像变换可判断C的正误，根据正弦函数的性质可判断D的正误. 【详解】由图象可得，且，故即， 而，故， 因为，故，故， 对于A，当，， 而在上为减函数，故在为减函数，故A正确. 对于B，，故为函数图象的对称轴，故B错误. 对于C，将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，故C正确. 对于D，当时，， 因为函数的值域为，故， 故，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知为非常值函数，若对任意实数x，y均有，且当时，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 在上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，赋值求出，再结合、单调性逐项判断即可. 【详解】对任意实数x，y均有， 令，则，解得或， 当时，取，则与已知矛盾； 当时，取，则与已知矛盾， 因此，A错误； 对于B，，取，，则， 函数为奇函数，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号， 当时，与已知矛盾；当时，与已知矛盾， 因此，C正确； 对于D，，，由当时，，得， 因此，而， 则，即，函数在上单调递增，D正确. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，答案需填最简形式 12. 把函数的图像向右平移个单位，所得的图像的函数是偶函数，则的最小正值是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】先由平移变换求函数解析式，再根据函数是偶函数得出即可分析求解. 【详解】函数的图像向右平移个单位， 则所得的函数是， 又因为是偶函数，所以， 则，则当时，取得最小正值是. 故答案为：. 13. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则关于的不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先得到在上单调递增，从而得到，结合单调性得到不等式，求出解集. 【详解】是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 故在上单调递增， 又，故，即， 所以，故或，解得或， 故解集为. 故答案为： 14. 已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】参数分离，构造齐次式，结合均值不等式可得结果. 【详解】因为，， 所以且， 所以由不等式恒成立得出： 即 恒成立， 所以等价于求解的最小值， 因为， 当且仅当 即时，等号成立， 所以的最小值为，， 所以的取值范围是：， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（第15题13分；第16题和第17题15分；第18题和第19题17分） 15. 已知，且为第三象限角. （1）求，的值； （2）求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求解； （2）利用诱导公式化简求值. 【小问1详解】 因为，且为第三象限角， 所以， 则. 【小问2详解】 =. 16. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，. （1）写出函数的解析式； （2）若关于x的方程有2个不相等的实数根，求实数的取值范围.（只需写出结论） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，得到，从而求得，再利用是定义在R上的奇函数求解； （2）根据（1），画出函数的图象，利用数形结合法求解. 【小问1详解】 设，则， 所以， 又是定义在R上的奇函数， 所以， 又， 所以； 【小问2详解】 由（1）知：，其图象如图所示： 关于x的方程有2个不相等的实数根， 由图象知： ，且， 所以实数的取值范围是. 17. 已知函数． （1）求函数的定义域，并判断是否具有奇偶性； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），为奇函数 （2） 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的性质求解定义域，再判断其与原点对称，最后结合奇偶性的定义判断奇偶性即可. （2）利用函数的奇偶性和对数函数的单调性解不等式，求解参数范围即可. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以的定义域为，关于原点对称， 判断为奇函数，证明如下：， 都有，对于， 又所以为奇函数； 【小问2详解】 因为为奇函数，所以， 因为，所以，即， 即，故，解，得到或， 解，得， 综上，，即的取值范围是. 18. 已知函数，． （1）求的最小正周期； （2）若的图象关于点对称，且，求t的值； （3）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数，再求出最小正周期； （2）由（1）整理出函数的解析式，利用三角函数的对称中心，列式计算即可； （3）利用整体思想，求得函数在上的值域，去掉绝对值，建立不等式组即可求解. 【小问1详解】 因为， 故的最小正周期为. 【小问2详解】 由（1）知， 由题令，得， 又，故或. 【小问3详解】 当时，，所以， 又恒成立，即恒成立， 所以，即， 故实数m的取值范围是. 19. 已知函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数. （1）类比等式，请探究与之间的等量关系，并给出证明过程； （2）求函数的零点； （3）解关于的不等式：. 【答案】（1），证明见解析 （2）， （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）类比得到，并计算证明； （2）计算得到，解方程得到，即，求出零点； （3）求出，，不等式等价于，即，分，和三种情况，得到不等式解集. 【小问1详解】 由条件类比得到，证明如下： 因， ， 所以； 【小问2详解】 因为， 令，则，即， 显然，解得(舍)， 于是， 整理得，或， 解得， 所以函数的零点为，； 【小问3详解】 因为， ， 所以原不等式可化为， 也即， 当时，，故只需，解得， 原不等式的解集为； 当时，，只需，解得， 原不等式的解集为； 当时，令可得或， 原不等式的解集为； 当时，， 原不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时， 原不等式解集为； 当时，原不等式的解集为. 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $