10.3分式的加减 同步复习讲义2025-2026学年苏科版数学八年级下册

本讲义聚焦初中数学“分式的加减”核心知识点，系统阐述同分母分式加减法（分母不变、分子相加减）和异分母分式加减法（先通分转化为同分母）的法则，强调通分中分母因式分解、分子整体相乘等要点，搭建起分式基本性质与混合运算间的学习支架。 该资料通过多样化题型设计，如“美妙分式”“n阶差分式”等新定义题、分式分解阅读理解题，培养学生抽象能力、推理意识与应用意识。例如“分式分解”类比整式乘法与因式分解，引导学生用数学眼光发现变形规律，课中助力教师分层教学，课后帮助学生强化练习、弥补知识盲点。

第10章第3节 分式的加减 题型1 分式的加减法 ▉题型1 分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 1．计算的结果等于（　　） A． B． C．1 D． 2．下列各式从左到右的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如果A，B，那么代数式A与B之间的关系是（　　） A．A+B＝0 B．A＝B C．AB＝0 D．A＝2B 4．计算的结果是（　　） A． B．x C．1 D．2 5．计算的结果等于（　　） A．3 B．x C． D． 6．下列分式中，从左到右变形错误的是（　　） A． B． C． D． 7．定义：若两个分式A与B满足：|A﹣B|＝3，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且a，b均为不等于0的实数，则分式　　 ． 8．若，则分式　　 ． 9．计算：　 ． 10．若，则 　　 ． 11．已知，则代数式的值为　　 ． 12．已知，则的值为 　 ． 13．化简： 　 ． 14．化简： 　 ． 15．计算的结果为 　 ． 16．我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形．我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：．（1）将分式分解的结果为 　　 ； （2）若可以分式分解为（其中m、p、q是常数）．则p＝ 　　 ，q＝ 　　 ； （3）当x＞1时．判断与的大小关系，并证明． 17．计算： （1）； （2）． 18．定义：若分式A和分式B满足A﹣B＝n（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”． 例如：，我们称是的“3阶差分式”． 解答下列问题： （1）分式是分式的“　　 阶差分式”． （2）分式A是分式的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求A的值． 19．计算： （1）； （2）． 20．阅读理解题． 我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． （1）已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”．若不是，请说明理由；若是，请求出C关于D的“雅中值”． （2）已知分式，，M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，x为整数，且M的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值． 21．化简与计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 22．阅读材料： 在处理分数和分式的问题时，我们采用分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行， 如：，这样，分式就拆分成了一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．根据以上阅读材料，解答问题： （1）将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式： ①　　 ；②　　 ； （2）利用分离常数法，求分式的最大值． （3）已知：P＝x+2，Q，设，若x，y均为非零整数，求xy的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章第3节 分式的加减 题型1 分式的加减法 ▉题型1 分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 1．计算的结果等于（　　） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解答】解：原式 ． 故选：D． 2．下列各式从左到右的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、，变形正确，符合题意； B、，变形错误，不符合题意； C、，变形错误，不符合题意； D、，变形错误，不符合题意． 故选：A． 3．如果A，B，那么代数式A与B之间的关系是（　　） A．A+B＝0 B．A＝B C．AB＝0 D．A＝2B 【答案】A 【解答】解：∵B， 又∵A， ∴A+B0． 故选：A． 4．计算的结果是（　　） A． B．x C．1 D．2 【答案】C 【解答】解：根据同分母分式的加法运算法则可得： ， 故选：C． 5．计算的结果等于（　　） A．3 B．x C． D． 【答案】A 【解答】解： ＝3， 故选：A． 6．下列分式中，从左到右变形错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A.，故此选项不合题意； B.，故此选项符合题意； C.，故此选项不合题意； D.，故此选项不合题意； 故选：B． 7．定义：若两个分式A与B满足：|A﹣B|＝3，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且a，b均为不等于0的实数，则分式　或　 ． 【答案】或． 【解答】解：∵与互为“美妙分式”， ∴， ∵， ∴或， ∴3a2+ab＝3（a2﹣b2）或3a2+ab＝﹣3（a2﹣b2）， ∵a、b均为不等于0的实数， ∴①a＝﹣3b，②ab＝3b2﹣6a2， 把①代入， 把②代入， 综上：分式的值为或． 故答案为：或． 8．若，则分式　　 ． 【答案】． 【解答】解：根据题意可知，， ∴a+b＝3ab， ∴． 故答案为：． 9．计算：x+2　 ． 【答案】x+2 【解答】解：x+2．故答案为x+2． 10．若，则 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵， ∴， ， ∴a+b＝2ab， ∴ ， 故答案为：． 11．已知，则代数式的值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵， ∴y﹣x＝xy， ∴x﹣y＝﹣xy， ∴ ． 故答案为：． 12．已知，则的值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵， ∴， ， ∴b﹣a＝3ab， ∴ ， 故答案为：． 13．化简： 　　 ． 【答案】． 【解答】解： ． 故答案为：． 14．化简： a+1　 ． 【答案】a+1 【解答】解：原式a+1． 故答案为：a+1． 15．计算的结果为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：原式， 故答案为：． 16．我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形．我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：．（1）将分式分解的结果为 　，　 ； （2）若可以分式分解为（其中m、p、q是常数）．则p＝ 　1　 ，q＝ 　3　 ； （3）当x＞1时．判断与的大小关系，并证明． 【答案】（1）； （2）1，3； （3），证明见解析． 【解答】解：（1） 故答案为：； （2）∵（x﹣1）（2x﹣1） ＝2x2﹣x﹣2x+1 ＝2x2﹣3x+1， ∵可以分式分解为（其中m、p、q是常数）， ∴（x﹣1）（2x﹣1）＝mx2﹣3x+1， ∴m＝2， ∴ ， ∴p＝1，q＝3， 故答案为：1，3； （3），证明如下： ， ∵x＞1， x2＞1， ∴3x2＞3， ∴x﹣1＞0，3x2﹣1＞2， ∴， ∴． 17．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 18．定义：若分式A和分式B满足A﹣B＝n（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”． 例如：，我们称是的“3阶差分式”． 解答下列问题： （1）分式是分式的“　1　 阶差分式”． （2）分式A是分式的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求A的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵， ∴分式是分式的“1阶差分式”， 故答案为：1； （2）∵A是分式的“2阶差分式”， ∴， ∵A的值为正整数， ∴3﹣x＝1或2或3或6， 解得：x＝2或1或0或﹣3， ∵x取正整数， ∴x＝2或1， ∴当x＝2时，； 当x＝1时，， ∴A的值为6或3． 19．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 20．阅读理解题． 我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． （1）已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”．若不是，请说明理由；若是，请求出C关于D的“雅中值”． （2）已知分式，，M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，x为整数，且M的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值． 【答案】（1）C不是D的“雅中式”，理由见解析； （2）E＝3x+9，x的值为：0，2，4，6． 【解答】解：（1）C不是D的“雅中式”，理由如下， C﹣D ＝﹣1， ∴C不是D的“雅中式”； （2）∵M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1， ∴M﹣N＝1， ∴1， E﹣3x﹣x2＝9﹣x2， ∴E＝3x+9， ∴M． ∵M的值也为整数，且分式有意义， 故3﹣x＝±1或3﹣x＝±3， ∴x的值为：0，2，4，6． 21．化简与计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）1； （4）． 【解答】解：（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ＝1； （4）原式（x﹣1） ． 22．阅读材料： 在处理分数和分式的问题时，我们采用分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行， 如：，这样，分式就拆分成了一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．根据以上阅读材料，解答问题： （1）将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式： ①　　 ；②　　 ； （2）利用分离常数法，求分式的最大值． （3）已知：P＝x+2，Q，设，若x，y均为非零整数，求xy的值． 【答案】（1），；（2）3；（3）18或12． 【解答】解：（1）将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式： ①； ②． 故答案为：，； （2）， ∵x2≥0，当x＝0时，分式中分母不为零，有意义，且分式值最大， 当x＞0时，分母的值越大，分式的值越小， ∴当x＝0时，， 即当x＝0时，分式有最大值，最大值为3． （3）∵，P＝x+2，， ∴ ， ∵x、y均为非零整数， ∴当x＝﹣3时，y＝﹣6，此时xy＝18， 当x＝﹣6时，y＝﹣2，此时xy＝12， 当x＝﹣18时，y＝﹣1，此时xy＝18， 综上所述，xy的值为18或12． 学科网（北京）股份有限公司 $