8.4梯形 同步复习讲义2025-2026学年苏科版数学八年级下册

本初中数学讲义聚焦“梯形”核心知识点，系统梳理梯形定义、直角梯形与等腰梯形的性质及判定，延伸至梯形中位线定理，构建从基础概念到性质应用的递进式学习支架。 资料通过多样化题型（选择、填空、解答）及综合题（如勾股定理证明、实际面积计算），培养学生数学眼光与推理能力，强调辅助线技巧提升几何直观，课中助力分层教学，课后辅助学生查漏补缺强化应用。

第8章第4节 梯形 题型1 梯形 题型2 直角梯形 题型3 等腰梯形的性质 题型4 等腰梯形的判定 题型5 梯形中位线定理 ▉题型1 梯形 （1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形． 梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高． （2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形． （3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形． 1．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于G，BG＝4，则梯形AECD的周长为（　　） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，BC＝AD＝9，CD＝AB＝6， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠AEB＝∠BAE， ∴BE＝AB＝6， ∴CE＝BC﹣BE＝3， ∵BG⊥AE， ∴∠BGE＝90°，AG＝EG， ∴EG2， ∴AE＝2EG＝4， ∴梯形AECD的周长＝AE+CE+CD+AD＝4+3+6+9＝22， 故选：B． 2．梯形的两底长分别为16cm和8cm，两底角分别为60°和30°，则较短的腰长为（　　） A．8cm B．6cm C．1cm D．4cm 【答案】D 【解答】已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝16cm，AD∥BC，∠B＝60°，∠DCB＝30°，求AB的长． 解：过D点作DE∥AB交BC于E点， ∵AD∥BC，∴四边形AEFB为平行四边形， 即BE＝AD＝8，AB＝DE，∠DEC＝∠B＝60°，∠DCB＝30°， ∴△CDE为直角三角形， DE＝CE•sin30°＝（16﹣8）4， ∴AB＝DE＝4． 故选：D． 3．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B＝90°，CD＝7，MN＝11，点M、N分别为AB、CD的中点，则线段AB＝　29　 ． 【答案】29． 【解答】解：如图，过点N作NE∥AD，交AB于E，NF∥BC，交AB于F， 则∠NEF＝∠A，∠NFE＝∠B， ∵∠A+∠B＝90°， ∴∠NEF+∠NFE＝90°， ∴∠ENF＝90°， ∵AB∥CD， ∴四边形ADNE、四边形BCNF为平行四边形， ∴AE＝DN，BF＝NC， ∴AE+BF＝DC＝7， ∵点M、N分别为AB、CD的中点， ∴DN＝NC，AM＝MB， ∴EM＝MF， ∴EF＝2MN＝22， ∴AB＝AE+BF+EF＝7+22＝29， 故答案为：29． 4．已知梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AC与BD交于点O，AC＝4，BD＝6，则梯形ABCD的面积是　12　 ． 【答案】12 【解答】解：∵AC⊥BD， ∴梯形的面积AC×BD4×6＝12． 故答案为：12． 5．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，（a＞0）∠BAC＝∠DEA＝90°，显然BC⊥AD． （1）请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，（提示：S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCD）梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2＝c2． （2）如图3，网格中小正方形边长为1， ①点P为已给网格中格点上的点，求BP的最大值为　　 ． ②请利用“等面积法”解决问题：连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AB边上的高的长度为　　 ． （3）如图4，在△ABC中，AD是BC边上的商，AB＝4，AC＝5，BC＝6，求AD的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）； 【解答】（1）证明：如图，设AD与BC交于点G， ∵BC⊥AD，∠BAC＝∠DEA＝90°，AB＝DE＝a，AC＝AE＝b，BC＝AD＝c， ∴S四边形ABDCAD•BCc2， S梯形AEDC（AC+ED）×AE（b+a）b， S△EBDED•BEa（a﹣b）， ∵S四边形ABDC＝S梯形AEDC+S△EBD， ∴c2（b+a）ba（a﹣b）， 化简，得c2＝b2+a2； （2）解：①PB的最大值， 故答案为：； ②设AB边上的高为h． ∵AB2， ∴2h＝4×42×42×22×4， ∴h． ∴AB边上的高为． 故答案为：； （3）解：设BD＝x， ∵BC＝6， ∴CD＝6﹣x， 在Rt△ABD中， ∵AB＝4， ∴由勾股定理，得AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2， 在Rt△ABD中， ∵AC＝5， ∴由勾股定理，得AD2＝AC2﹣CD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2， ∴16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2， ∴x， ∴AD． 6．背景介绍： 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩纷呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀： 把两个全等的直角三角形如图 （1）放置，其三边长分别为a，b，c显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE，请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到a2+b2＝c2． S梯形ABCD＝　（a2+ab）　 ，S△EBC＝　（ab﹣b2 ，S四边形AECD＝　c2 ，则它们满足的关系式为 　（a2+ab）（ab﹣b2）c2 ，经化简，可得到a2+b2＝c2． （提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半） [知识运用] （1）如图（2），铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距30千米，C，D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝24千米，BC＝14千米，则两个村庄的距离为 　　 千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，请用尺规作图在图（3）中作出P点的位置并求出AP的距离． 【答案】小试牛刀：（1）（a2+ab）；（ab﹣b2；c2；（a2+ab）（ab﹣b2）c2； [知识运用]（1）；（2）千米． 【解答】解：小试牛刀：（1）依题意得：AD＝AB＝a，AE＝BC＝b，AC＝DE＝c，∠ADE＝∠BAC， ∵∠DAB＝∠B＝90°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD为直角梯形， S梯形ABCD（AD+BC）•AB（a+b）•a（a2+ab）， ∵AB＝a，AE＝b， ∴BE＝AB﹣AE＝a﹣b， ∴S△EBCBC•BEb（a﹣b）（ab﹣b2）， ∵∠DAB＝90°， ∴∠ADE+∠AED＝90°， ∵∠ADE＝∠BAC， ∴∠BAC+∠AED＝90°， ∴∠AFE＝180°﹣（∠BAC+∠AED）＝90°， 即AC⊥DE， ∴S△ADEDE•AF，S△CDEDE•CF， ∴S△ADE+S△CDEDE（AF+CF）DE•ACc2， ∴S四边形AECD＝S△ADE+S△CDEc2， ∵S梯形ABCD＝S△EBC+S四边形AECD， ∴（a2+ab）（ab﹣b2）c2， 整理得：a2+b2＝c2， 故答案为：（a2+ab）；（ab﹣b2；c2；（a2+ab）（ab﹣b2）c2． [知识运用]（1）连接CD，过点C作CH⊥AD于H，如图2所示： ∵AD⊥AB，BC⊥AB， ∴四边形ABCG为矩形， ∴AB＝CH＝30千米，AH＝BG＝14千米， ∴DH＝AD﹣AH＝24﹣14＝10（千米）， 在Rt△CDH中，由勾股定理得：CD（千米）； ∴两个村庄的距离为千米， 故答案为：． （2）①连接CD， ②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径画弧，两弧交于R，T， ③过点R，T作直线交AB于点P， 则点P为所求作的点，如图3所示： 理由如下： 由作图可知：RT为线段CD的垂直平分线， ∴PC＝PD， 在Rt△PAD中，由勾股定理得：PD2＝AP2+AD2， 在Rt△PBC中，由勾股定理得：PC2＝PB2+BC2， ∴AP2+AD2＝PB2+BC2， ∵在（1）的背景下，则AB＝30千米，AD＝24千米，BC＝14千米， ∴PB＝AB﹣AP＝（30﹣AP）千米， ∴AP2+242＝（30﹣AP）2+142， 整理得：60AP＝520， ∴AP（千米）． ▉题型2 直角梯形 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形． 边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直． 角：有两个内角是直角． 过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个矩形和直角三角形．这是常用的一种作辅助线的方法． 7．如图，梯形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，E点在CD上，且DE：EC＝1：4．若AB＝5，BC＝4，AD＝8，则四边形ABCE的面积为何？（　　） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】C 【解答】解：连接AC， ∵梯形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝4，AD＝8， ∴S梯形ABCD•（AD+BC）•AB30， S△ABCAB•BC5×4＝10， ∴S△ACD＝30﹣10＝20， ∵DE：EC＝1：4， ∴S△ACE＝2016， ∴S四边形ABCE＝10+16＝26． 故选：C． 8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝18cm，BC＝30cm．点E从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动：点F从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t秒，M为BC上一点且CM＝13cm，t＝　或13　 s秒时，以D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或13 【解答】解：由题意得：DE＝t，CF＝2t， ∵AD∥BC， 当点F在点M的右边MF＝13﹣2t，以D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，DE＝MF， 即t＝13﹣2t， 解得：t； 当点F在点M的左边MF＝2t﹣13，以D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，DE＝MF， 即t＝2t﹣13， 解得：t＝13； 综上所述，ts或13s时，以D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或13． 9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数； （3）在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）75°； （3）4． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BAD＝90°， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC， ∴∠CDE＝∠CED＝45°， ∴EC＝DC， 又∵∠BDE＝15°， ∴∠CDO＝60°， 又∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴OD＝OC， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠DOC＝∠OCD＝60°， ∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°， ∵CO＝CE， ∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°； （3）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝30°， ∴AC＝2AB＝4， 由勾股定理得：BC2， ∴S矩形ABCD＝22＝4． 10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝8，DC＝6，AD＝10．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）． （1）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t． （2）当t为何值时，△BPQ是以BQ或BP为底边的等腰三角形？ 【答案】（1）运动时间t为2； （2）t为或时，△BPQ是以BQ或BP为底边的等腰三角形． 【解答】解：（1）∵四边形ABQP为平行四边形， ∴AP＝BQ， 又∵AP＝AD﹣PD＝10﹣2t， BQ＝BC﹣CQ＝8﹣t， ∴10﹣2t＝8﹣t， 解得t＝2， 答：运动时间t为2； （2）如图，过P作PE⊥BC于E， 当∠BQP为顶角时，QB＝QP，BQ＝8﹣t，PE＝CD＝6，EQ＝CE﹣CQ＝2t﹣t， 依据BQ2＝PQ2有：（8﹣t）2＝62+（2t﹣t）2， 解得 t； 当∠BPQ为顶角时，PB＝PQ， 由BQ＝2EQ有：8﹣t＝2（2t﹣t）， 解得t， 综上，t或t时，符合题意， 答：t为或时，△BPQ是以BQ或BP为底边的等腰三角形． 11．某小区计划在如图所示的空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮的售价为60元/m2，购买这种草皮需要多少钱？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接AC， ∵AD＝3m，CD＝4m，∠D＝90°， ∴AC5m， ∵52+122＝132， ∴S四边形ABCD＝3×4÷2+5×12÷2＝36m2， ∴购买这种草皮需要＝36×60＝2160（元）． 故购买这种草皮需要2160元钱． 12．如图，已知：如图梯形ABCD中，AD∥CB，AD＝2，AB＝5，CD＝4，∠C＝90°，求S梯形ABCD． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示，过点A作AE⊥BC于E， 则四边形AECD是矩形， ∴CE＝AD＝2，AE＝CD＝4， ∴在Rt△ABE中，BE3 ∴BC＝5， ∴S梯形ABCD（2+5）×4＝14． ▉题型3 等腰梯形的性质 （1）性质： ①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线； ②等腰梯形同一底上的两个角相等； ③等腰梯形的两条对角线相等． （2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质． 13．课外活动课上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形状的风筝，（如图），其面积为450cm2，则每条对角线所用的竹条的长为（　　） A．30cm B．30cm C．60cm D．60cm 【答案】B 【解答】解：如图， ∵AC＝BD且AC⊥BD， ∴S梯形ABCD＝S△ABD+S△BCD， BD×OABD×OC， BD2， 又∵等腰梯形ABCD的面积为450cm2， ∴450cm2， 解得，BD＝30cm． 故选：B． 14．等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为（　　） A．120° B．60° C．45° D．135° 【答案】B 【解答】解：如图，过点D作DE∥BC，交AB于点E． ∴DE＝CB＝AD， ∵AD＝AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∴腰与下底的夹角为60°． 故选：B． 15．如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，AC平分∠DAB，∠DCA＝30°，DC＝3cm，则∠BCA＝ 　90　 °，梯形ABCD的周长为 　15　 cm． 【答案】90，15． 【解答】解：∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB， ∵DC∥AB， ∴∠DCA＝∠CAB＝30°，∠DAC＝30°，∠D+∠DAB＝180°， ∴AD＝DC＝3cm， ∵AD＝BC， ∴CB＝3cm，∠DAB＝∠B＝60°， ∴∠ACB＝90°， ∴AB＝2BC＝6cm， ∴梯形ABCD的周长为：3+3+3+6＝15cm． 故答案为：90，15． 16．三条边长分别为2、3、8的等腰梯形的周长是　21　 ． 【答案】21 【解答】解：如图所示， 在等腰梯形ABCD中，过点A作腰CD的平行线，交BC于点E． 在等腰梯形ABCD中， （1）若腰长AB＝2，则AE＝CD＝AB＝2，BE＝BC﹣AD＝8﹣3＝5． 那么AB+AE＝4＜BE＝5．故不成立． （2）若腰长AB＝3，则AE＝CD＝AB＝3，BE＝BC﹣AD＝8﹣2＝6． 那么AB+AE＝BE．故不成立． （3）若腰长AB＝8，则AE＝CD＝AB＝8，BE＝BC﹣AD＝3﹣2＝1． 符合三角形的两边之和大于第三边． 所以等腰梯形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝8+2+3+8＝21． 故答案为：21． 17．等腰梯形两底之差为12cm，高为6cm，则其锐角底角为　45　 度． 【答案】45 【解答】解：过点D作DE∥AB，∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形，∴AB＝DE， ∵AB＝CD，∴DE＝CD， ∴△CDE是等腰三角形，又DF⊥CE， ∴EF＝CFCE（BC﹣AD）＝6cm， ∵高DF＝6cm， ∴DF＝CF＝6cm， 而∠DFC＝90°，∴∠DCF＝45°． ▉题型4 等腰梯形的判定 （1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形； （2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形． （3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形． 判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系． 注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用． 18．下列说法正确的是（　　） A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 【答案】D 【解答】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故本选项错误； B、对角线相等的梯形是等腰梯形，故本选项错误； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误； D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故本选项正确； 故选：D． 19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从A点开始沿边AD以每秒1cm的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿CB以每秒3cm的速度向B移动，P、Q同时出发． （1）当运动多少秒时，四边形PQCD是平行四边形？ （2）当运动多少秒时，四边形PQCD是直角梯形？ （3）多少秒后，梯形PQCD是等腰梯形？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意得：PA＝tcm，CQ＝3tcm，则PD＝AD﹣PA＝24﹣t（cm）． （1）∵AD∥BC， 即PD∥CQ， ∴当PD＝CQ时，四边形PQCD为平行四边形， 即24﹣t＝3t， 解得：t＝6， 即当t＝6s时，四边形PQCD为平行四边形； （2）当PA＝BQ时，四边形PQCD是直角梯形， ∴t＝26﹣3t， ∴t， 即ts时，四边形PQCD是直角梯形． （3）过D作DE⊥BC于E， 则四边形ABED为矩形， ∴BE＝AD＝24cm， ∴EC＝BC﹣BE＝2cm， 当PQ＝CD时，四边形PQCD为等腰梯形，如图所示： 过点P作PF⊥BC于点F，过点D作DE⊥BC于点E， 则四边形PDEF是矩形， ∴EF＝PD，PF＝DE， 在Rt△PQF和Rt△CDE中， ， ∴Rt△PQF≌Rt△CDE（HL）， ∴QF＝CE， ∴QC﹣PD＝QC﹣EF＝QF+EC＝2CE， 即3t﹣（24﹣t）＝4， 解得：t＝7， 即当t＝7s时，四边形PQCD为等腰梯形． ▉题型5 梯形中位线定理 （1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． （2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． （3）梯形面积与中位线的关系： 梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，即 梯形的面积2×中位线的长×高＝中位线的长×高 （4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线． 20．如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF＝3，则梯形ABCD的周长为（　　） A．9 B．10.5 C．12 D．15 【答案】C 【解答】解：∵EF梯形的中位线，∴EF∥BC，AD+BC＝2EF＝6． ∴∠EPB＝∠PBC． 又因为BP平分∠EBC，所以∠EBP＝∠PBC， ∴∠EPB＝∠EBP， ∴BE＝EP，∴AB＝2EP． 同理可得，CD＝2PF，所以AB+CD＝2EF＝6． 则梯形ABCD的周长为6+6＝12． 故选：C． 21．等腰梯形ABCD的中位线EF的长为5，腰AD的长为5，则等腰梯形ABCD的周长为 　20　 ． 【答案】20． 【解答】解：∵等腰梯形ABCD的中位线EF的长为5， ∴AB+CD＝2×5＝10． 又∵腰AD的长为5， ∴这个等腰梯形的周长为AB+CD+AD+BC＝10+5+5＝20． 故答案为：20． 22．已知梯形的中位线长是3cm，下底长是4cm，则它的上底长是　2　 cm． 【答案】2 【解答】解：设上底边长xcm， 根据题意得，（x+4）＝3， 解得x＝2． 故答案为：2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章第4节 梯形 题型1 梯形 题型2 直角梯形 题型3 等腰梯形的性质 题型4 等腰梯形的判定 题型5 梯形中位线定理 ▉题型1 梯形 （1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形． 梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高． （2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形． （3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形． 1．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于G，BG＝4，则梯形AECD的周长为（　　） A．21 B．22 C．23 D．24 2．梯形的两底长分别为16cm和8cm，两底角分别为60°和30°，则较短的腰长为（　　） A．8cm B．6cm C．1cm D．4cm 3．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B＝90°，CD＝7，MN＝11，点M、N分别为AB、CD的中点，则线段AB＝　　 ． 4．已知梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AC与BD交于点O，AC＝4，BD＝6，则梯形ABCD的面积是　　 ． 5．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，（a＞0）∠BAC＝∠DEA＝90°，显然BC⊥AD． （1）请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，（提示：S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCD）梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2＝c2． （2）如图3，网格中小正方形边长为1， ①点P为已给网格中格点上的点，求BP的最大值为　　 ． ②请利用“等面积法”解决问题：连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AB边上的高的长度为　　 ． （3）如图4，在△ABC中，AD是BC边上的商，AB＝4，AC＝5，BC＝6，求AD的长． 6．背景介绍： 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩纷呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀： 把两个全等的直角三角形如图 （1）放置，其三边长分别为a，b，c显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE，请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到a2+b2＝c2． S梯形ABCD＝　）　 ，S△EBC＝，S四边形AECD＝　，则它们满足的关系式为 　 ，经化简，可得到a2+b2＝c2． （提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半） [知识运用] （1）如图（2），铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距30千米，C，D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝24千米，BC＝14千米，则两个村庄的距离为 　　 千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，请用尺规作图在图（3）中作出P点的位置并求出AP的距离． ▉题型2 直角梯形 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形． 边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直． 角：有两个内角是直角． 过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个矩形和直角三角形．这是常用的一种作辅助线的方法． 7．如图，梯形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，E点在CD上，且DE：EC＝1：4．若AB＝5，BC＝4，AD＝8，则四边形ABCE的面积为何？（　　） A．24 B．25 C．26 D．27 8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝18cm，BC＝30cm．点E从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动：点F从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t秒，M为BC上一点且CM＝13cm，t＝　　 s秒时，以D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数； （3）在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积． 10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝8，DC＝6，AD＝10．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）． （1）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t． （2）当t为何值时，△BPQ是以BQ或BP为底边的等腰三角形？ 11．某小区计划在如图所示的空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮的售价为60元/m2，购买这种草皮需要多少钱？ 12．如图，已知：如图梯形ABCD中，AD∥CB，AD＝2，AB＝5，CD＝4，∠C＝90°，求S梯形ABCD． ▉题型3 等腰梯形的性质 （1）性质： ①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线； ②等腰梯形同一底上的两个角相等； ③等腰梯形的两条对角线相等． （2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质． 13．课外活动课上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形状的风筝，（如图），其面积为450cm2，则每条对角线所用的竹条的长为（　　） A．30cm B．30cm C．60cm D．60cm 14．等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为（　　） A．120° B．60° C．45° D．135° 15．如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，AC平分∠DAB，∠DCA＝30°，DC＝3cm，则∠BCA＝ 　　 °，梯形ABCD的周长为 　　 cm． 16．三条边长分别为2、3、8的等腰梯形的周长是　　 ． 17．等腰梯形两底之差为12cm，高为6cm，则其锐角底角为　　 度． ▉题型4 等腰梯形的判定 （1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形； （2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形． （3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形． 判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系． 注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用． 18．下列说法正确的是（　　） A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从A点开始沿边AD以每秒1cm的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿CB以每秒3cm的速度向B移动，P、Q同时出发． （1）当运动多少秒时，四边形PQCD是平行四边形？ （2）当运动多少秒时，四边形PQCD是直角梯形？ （3）多少秒后，梯形PQCD是等腰梯形？ ▉题型5 梯形中位线定理 （1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． （2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． （3）梯形面积与中位线的关系： 梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，即 梯形的面积2×中位线的长×高＝中位线的长×高 （4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线． 20．如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF＝3，则梯形ABCD的周长为（　　） A．9 B．10.5 C．12 D．15 21．等腰梯形ABCD的中位线EF的长为5，腰AD的长为5，则等腰梯形ABCD的周长为 　　 ． 22．已知梯形的中位线长是3cm，下底长是4cm，则它的上底长是　　 cm． 学科网（北京）股份有限公司 $