8.4 梯形-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（苏科版·新教材）

拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 8.4梯形 ◆“答案与解析”见P32 自基础进阶 幻素能攀升 1.如图，在梯形ABCD中，AC, 6.如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD,AD BD为两条对角线，则其中面 BC=3cm,∠A=60°，BD平分∠ABC,则梯 积相等的三角形至少有( B 形ABCD的周长为 A.1对 B.2对 (第1题) A.12 cm B.15 cm C.18 cm D.21 cm C.3对 D.4对 2.小明用两根同样长的竹棒做对角线，制作四 边形风筝，则该风筝的形状一定是 A.矩形 B.正方形 (第6题) (第8题) 7.在四边形ABCD中，如果AB与CD不平行， C.等腰梯形 D.无法确定 AC与BD相交于点O,那么下列条件中，能 3.(2025·上海浦东新区段考)如图，在等腰梯 判定四边形ABCD是等腰梯形的为() 形ABCD中，AD∥BC,AC⊥BD.若BC=4, A.AC-BD-BC AD=2,则梯形ABCD的面积为 B.AB-AD-CD C.OB=OC,OA=OD D.OB=OC,AB=CD (第3题) (第4题) 8.如图，在梯形ABCD中，ADBC,E,F分别 4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,BD是对 是AB,CD的中点，连接EF,BF.若△BEF 角线.给出下列条件：①AB=DC;②BD平 的面积为4cm,则梯形ABCD的面积为 分∠ABC;③∠ABC=∠C;④∠A+∠C= () 180°.其中，能推出梯形ABCD为等腰梯形 A.8 cm2 B.12 cm2 的是 (填序号) C.16 cm2 D.20 cm2 5.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,点E, 9.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB F在底边BC上，连接AE,DF,∠AEF= DC,AC⊥BD于点O,E,F分别是AB,DC ∠ADF. 的中点，梯形ABCD的面积为25，那么EF= (1)求证：四边形AEFD是平行四边形 (2)若BE=FC,求证：四边形AEFD是 矩形 (第9题) (第10题) 10.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,E,F分 (第5题) 别是AB,CD的中点，EF分别交BD,AC 于点G,H.若AD=6,BC=10,则GH的 长为 62 第8章四边形 11.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,思维拓展 AB=6,CD=14,∠AEC=90°，CE=CB, 14.数形结合思想如图，四边形ABED 则AE的值为 是梯形，DA⊥AB,EB⊥AB AD=AC,BE=BC,连接CD, CE.若AC·BC=5,则图中涂色部分的面 (第11题) 积为 () 12.（2025·上海徐汇期末)如图，在四边形 E ABCD中，AB=AD=CD,∠B=∠C (1)求证：四边形ABCD是等腰梯形 (第14题) (2)当BD⊥DC时，求∠B的度数. A.4 B.5 C.6 D.8 15.如图，矩形ABCD的两条对角线AC与BD 相交于点O,E,F分别是线段OC,OD的中 (第12题) 点，连接EF,AF,BE (1)求证：四边形ABEF是等腰梯形 (2)过点O作OM⊥AB,垂足为M,连接 ME,如果∠OME=∠BAC,求证：四边形 AMEF是菱形 13.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD> (第15题) BC,AB=DC,E是AD上方一点，连接 EA,ED,EB,EC,EA=ED,F,G分别是 EB,EC与AD的交点.求证：四边形FBCG 是等腰梯形 B C (第13题) 637 ∴.四边形DEFG的周长为4X 2 7 =14. 2 B E (第9题) 10.(1)DG=BE且DG⊥BE. 如图，设AG与BE交于点H,DG与 BE交于点K ,·四边形ABCD与四边形AEFG为 正方形， ∴.AB=AD,AG=AE,∠DAB= ∠EAG=90. .'.∠DAB+∠BAG=∠EAG十 ∠BAG,即∠DAG=∠BAE. 在△DAG和△BAE中， AD-AB, ∠DAG=∠BAE, AG-AE, '.△DAG2△BAE. .∴.DG=BE,∠AGD=∠AEB. .∠AEB+∠AHE=90°， ∠AHE=∠KHG, '.∠KHG+∠AGD=90. .∠GKH=90°. .DG⊥BE. (2)正方形：9. G F B H K A E D (第10题) 8.4梯形 1.C2.D3.94.①③④ 5.(1).ADBC, ∴.∠DAE+∠AEF=180°. ,·∠AEF=∠ADF, ∴.∠DAE+∠ADF=180. .AE∥DF '.四边形AEFD是平行四边形 (2),四边形ABCD是等腰梯形， ∴.AB=CD. 四边形AEFD是平行四边形， ∴.∠AEF+∠DFE=180°，AE=DF. 在△ABE和△DCF中， (AB=DC, BE=CF, AE=DF, ∴.△ABE≌△DCF. ∴.∠AEB=∠DFC. ∴.180°-∠AEB=180°-∠DFC,即 ∠AEF=∠DFE. 又：∠AEF+∠DFE=180°， ∴.∠AEF=90°. ∴.四边形AEFD是矩形. 6.B解析：：四边形ABCD是等腰 梯形，DC∥AB,∠A=60°， ∴.∠CBA=∠A=60°.：BD平分 ∠CBA,∴.∠CBD=∠ABD=30. ,AB∥CD,.∠CDB=∠ABD= 30°.∴.∠CDB=∠CBD=30° ∴.DC=BC=3cm.'∠A=60°， ∠ABD=30°，∴.∠ADB=180° 30°-60°=90°.∴.AB=2AD=6cm. ∴.梯形ABCD的周长为AD+DC+ BC+AB=3+3+3+6=15(cm). 7.C解析：A.AC=BD=BC,不能 证明四边形ABCD是等腰梯形，故选 项A不符合题意.BAB=AD= CD,不能证明四边形ABCD是等腰 梯形，故选项B不符合题意.D.OB= OC,AB=CD,不能证明四边形 ABCD是等腰梯形，故选项D不符合 题意.C..·OB=OC,OA=OD, ∴.∠OBC=∠OCB,∠OAD= ∠ODA.在△AOB和△DOC中， (AO=DO. ∠AOB=∠DOC,'.△AOB≌ OB=OC, △DOC..'.∠ABO=∠DCO,AB= CD,∠OAB=∠ODC.'.∠ABO+ 32 ∠OBC=∠DCO+∠OCB,即 ∠ABC=∠DCB:∠OAD+ ∠OAB=∠ODA+∠ODC,即 ∠BAD=∠CDA.:∠ABC+ ∠DCB+∠CDA+∠BAD=360°， .∠BAD+∠ABC=180°..AD∥ BC.又AB与CD不平行，∴.四边 形ABCD是梯形.AB=CD,∴.四 边形ABCD是等腰梯形.故选项C符 合题意. 8.C 9.5解析：如图，过点D作DG∥ AC,交BC的延长线于点G,DH⊥ BC于点H.:AD∥BC,.四边形 ADGC是平行四边形.∴.AC=DG, AD=CG..BD⊥AC,∴.BD⊥DG .AB=CD,.易得AC=BD. BD=DG.易得DH=号BG. DH=7(AD+BC.:梯形 ABCD的面积为25，(AD+ BC)·DH=2AD+BC)X 1 7(AD+BC)=25.·2(ADP BC)=5.连接CE并延长，交DA的 延长线于点M.易证△AEM≌ △BEC,.∴.AM=BC,ME=CE. E,F分别是AB,CD的中点， .EF-MD-(AD+BC)=5. M----- B G (第9题) 10.2 11.84解析：如图，连接AC,过点A 作AF⊥CD于点F,过点B作BG⊥ CD于点G,则易得AF=BG,AB= FG=6,DF=CG=4...FC=FG+ CG=10.在Rt△AF℃中，由勾股定 理，得AC2=AF2十FC2=AF2十 102=AF2+100:在Rt△BGC中，由 勾股定理，得BC2=BG+GC2= AF2+4=AF2+16.又：CE=CB, ∠AEC=90°，∴.AE2=AC2-EC2 AC2-BC2=AF2+100-(AF2+ 16)=84. D G (第11题) 12.(1)如图①，延长BA,CD交于 点P. ∠B=∠C, .'PB=PC. AB=CD, ∴.PB-AB=PC-CD,即PA= PD. .∠PAD=∠PDA. ,∠B+∠C+∠P=∠PAD+ ∠PDA+∠P=180, ∴.∠B+∠C=∠PAD+∠PDA,即 2∠B=2∠PAD .∠B=∠PAD. ∴AD∥BC. ∠B+∠C=180°-∠P<180, ∴.AB与CD不平行. ∴.四边形ABCD是梯形. .AB=CD, ∴.四边形ABCD是等腰梯形 (2)如图②，连接BD AB=AD, ∴.∠ABD=∠ADB AD∥BC, '.∠ADB=∠DBC .∠ABD=∠DBC .∠ABC=2∠DBC BD⊥CD, .∠BDC=90° .∠C+∠DBC=90° ,∠ABC=∠C, .∠C=2∠DBC. ∴.∠C=60°. .'.∠ABC=60 P A D ⊙ ② (第12题) 13.AD//BC,AB=DC, ∴.∠BAD=∠CDA. EA=ED, .'.∠EAD=∠EDA」 ,∠EAB=∠BAD+∠EAD, ∠EDC=∠CDA+∠EDA, ∴.∠EAB=∠EDC. 在△ABE和△DCE中， (AB=DC, ∠EAB=∠EDC, EA-ED, ∴.△ABE≌△DCE. ∴.EB=EC. ∴.∠EBC=∠ECB, AD//BC, ∴.∠EBC=∠EFG,∠ECB= ∠EGF, ∴.∠EFG=∠EGF .EF=EG. ∴.EB-EF=EC-EG,即FB=GC. ,FGBC,FB与GC不平行， ∴.四边形FBCG是等腰梯形 14.B解析：AD=AC,BE=BC AC·BC=5,.S涂色部分=S佛形AD S△nMC-S△x=2(BE+AD)· (BC+AC)-ZAD·AC-2BE· BC=2(BC2+2BC·AC+AC) 33 2ACe-7BC=BC·AC=5 15.(1)四边形ABCD是矩形， ·.AB/CD,C0=2AC,D0= BD.AD-BC.AC-BD, ∠ADC=∠BCD=90°. .DO=CO. '.∠ODC=∠OCD. ∴.∠ADC-∠ODC=∠BCD- ∠OCD,即∠ADF=∠BCE. E,F分别是线段OC,OD的中点， .EF∥DC,CE三2CO,DF目 '.EF∥AB,CE=DF .△ADF≌△BCE. ∴.AF=BE. 易知AF与BE不平行， ∴.四边形ABEF是等腰梯形. (2)如图，连接MF E,F分别是线段OC,OD的中点， EF-7 CD. 四边形ABCD是矩形， ·0A=合AC,OB=2BD,AC= BD.AB=CD. ∴.OA=OB. OM⊥AB, 1 ∴.AM=BM=2AB. .AB=CD, ∴.EF=AM. 由(1)知，EF∥AM, .四边形AMEF是平行四边形. 同理，可得四边形BMFE是平行四 边形. OA=OB, ∴.∠OAB=∠OBA. 又，∠OME=∠BAC, '.∠OME=∠OBA. .∠OME+∠BME=90°， ..∠OBA+∠BME=90°. .FB⊥ME '.四边形BMFE是菱形 ∴.BE=BM. 又，BE=AF,BM=AM, ∴.AF=AM. ∴.四边形AMEF是菱形. (第15题) 第8章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1(1)若选择条件①： ∠B=∠AED, .BC//DE. AB//CD, '.四边形BCDE为平行四边形 若选择条件②： ·AE=BE,AE=CD, .BE=CD AB//CD, .四边形BCDE为平行四边形 (2)由(1)可知，四边形BCDE为平行 四边形， ∴.DE=BC=10. AD⊥AB,AD=8, ∴.AE=√DE-AD=6. [变式]C 典例2√34解析：如图，延长DA 到点G,使DG=DB,连接GF,CG 四边形ABCD是矩形，∴.AD∥ BC,AD=BC=4,DC AB=3, ∠BAD=∠GDC=90.∴.∠GDF= ∠DBE.DF=BE,DG=BD, ∴.△DGF≌△BDE.∴.GF=DE ∴DE+CF=GF+CF..当点G, F,C共线时，GF十CF的值最小，为 CG的长..DE十CF的最小值为 CG的长.∠BAD=90°，.BD √AB2+AD=√32+4=5.在 Rt△GDC中，.GD=BD=5, ∠GDC=90°，∴.CG= √GD+CD=√52+32=√34. .DE+CF的最小值为√34. G (典例2图) [变式]D解析：如图，过点Q作 QE⊥AB于点E.:四边形ABCD 是矩形，∴.易得四边形BCQE是矩 形.∴.CQ=BE.由题意，得AP= tcm,BH=2tcm,CQ=4tcm,且，点 P在点H的左侧.∴.PH=20 AP-BH =(20-3)cm.QP= QH,QE⊥AB,∴.PE=HE PH(10-)cm.CQ- 配，·41=10二之1十2，解得1月 29f的值为9 E—H 典例3(1)ADBC, .∴.∠DMO=∠BNO. ,MN是对角线BD的垂直平分线， .OB=OD,MN⊥BD. 在△MOD和△NOB中， ∠DMO=∠BNO, ∠MOD=∠NOB, OD=OB, ∴.△MOD≌△NOB. ..OM=ON .OB=OD, ∴.四边形BNDM是平行四边形. 又MN⊥BD, '.四边形BNDM是菱形. (2)四边形BNDM是菱形， .BM=BN=DM=DN. 34 设BN=DN=x,则CN=BC- BN=16-x. ∠C=90, ∴.在Rt△CDN中，由勾股定理，得 CD2+CN2=DN2,即82+(16- x)2=x2,解得x=10. .BN=10. ∴.四边形BNDM的周长为4× 10=40. [变式]B解析：，四边形ABCD 是菱形，.AC⊥BD,AO=OC, OB=OD.OA=4,OH =1.5, DHBC,.'AC=20A=8,BD= 1 20H=3.小SAxm=2AC· BD=合×8X3=12 典例4(1)四边形APCD是正 方形， ∴.DP平分∠APC,PC=PA. ∴.∠APD=∠CPD. 在△AEP和△CEP中， AP=CP, ∠APE=∠CPE, PE=PE, .△AEP2△CEP. (2)CF⊥AB. 理由：：△AEP≌△CEP, .∠EAP=∠ECP. '∠EAP=∠BAP, ∴.∠BAP=∠ECP. ·四边形APCD是正方形， ∴.∠APC=90. '.∠ECP+∠CMP=90° :∠AMF=∠CMP, ∴.∠AMF+∠BAP=90. .∠AFM=180°-90°=90. ∴.CF⊥AB. (3)8.解析：如图，过点C作CN⊥ PB于点N,则∠PNC=90°.，CF⊥ AB,BG⊥AB,∴.∠PNC=∠B= 90°，FCBN.∴.∠CPN=∠PCF=