8.2特殊的平行四边形 同步复习讲义2025-2026学年苏科版数学八年级下册

本讲义聚焦特殊平行四边形核心知识点，系统梳理菱形、矩形、正方形的性质（如菱形四边相等、对角线垂直，矩形四角直角、对角线相等）与判定方法，构建从单一性质、判定到综合应用的递进式学习支架。 资料通过51道典型例题（含动点、旋转等动态问题），强化几何直观与空间观念，在性质推导与判定证明中提升推理能力。课中助力教师分层教学，课后学生可通过例题解析巩固知识，弥补薄弱环节，培养用数学语言表达图形关系的能力。

第8章第2节 特殊的平行四边形 题型1 菱形的性质 题型2 菱形的判定 题型3 菱形的判定与性质 题型4 矩形的性质 题型5 矩形的判定 题型6 矩形的判定与性质 题型7 正方形的性质 题型8 正方形的判定 题型9 正方形的判定与性质 ▉题型1 菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度） 1．如图，菱形ABCD中，AB＝6，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是（　　） A．8 B．15 C．10 D．6 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，∠ACB＝∠ACD∠BCD＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝6， 故选：D． 2．如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，DE＝AD，连接EC．若∠ADE＝36°，则∠DEC的度数为（　　） A．72° B．54° C．50° D．48° 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD，CD∥AB， ∵DE＝AD，∠ADE＝36°， ∴DE＝CD，∠A＝∠DEA（180°﹣36°）＝72°， ∵CD∥AB， ∴∠CDE＝∠DEA＝72°， ∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠DCE（180°﹣72°）＝54°， 故选：B． 3．菱形边长是2cm，一条对角线的长是，则菱形面积是（　　） A．4cm2 B． C．2cm2 D． 【答案】D 【解答】解：如图，AB＝2cm，， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC， ∴， ∴， ∴AC＝2OA＝2， ∴菱形的面积． 故选：D． 4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边AB的中点，连接OE，若OE＝3，则菱形ABCD的边长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解答】∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴△AOB是直角三角形， ∵E是AB的中点， ∴OEAB， ∵OE＝3， ∴AB＝6， 即菱形的边长为6． 故选：D． 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，∠BCD＝60°，点D的坐标为（0，4），则点A的坐标为（　　） A． B． C．（﹣8，0） D．（8，0） 【答案】A 【解答】解：∵D（0，4）， ∴OD＝4， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DAB＝∠DCB＝60°， ∵AD＝AB，AO⊥BD， ∴∠DAO＝∠BAO＝30°， ∴OA4， ∴A（﹣4，0）． 故选：A． 6．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于O点，AC＝8，BD＝6，点P为线段AC上的一个动点，过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N，则PM+PN的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图，连接PD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC与BD互相垂直平分， ∴AO＝OC＝4，BO＝DO＝3， ∴， ∵S△ACD＝S△APD+S△CPD，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴， ∴8×3＝5（PM+PN）， ∴PM+PN， 故选：C． 7．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，AH⊥BC于H，则AH等于（　　） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16， ∴COAC＝6，BOBD＝8，AO⊥BO， ∴BC10， ∴S菱形ABCDAC•BD16×12＝96， ∵S菱形ABCD＝BC×AH， ∴BC×AH＝96， ∴AH 故选：B． 8．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝16，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，则OE的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【解答】解：∵在菱形ABCD中，AC＝16， ∴，， ∵AB＝10，OA＝8， ∴， ∵DE⊥BC，， ∴． 故选：A． 9．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝（　　） A．2.4 B．4.8 C．12 D．24 【答案】B 【解答】解：设AC交BD于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD， ∵AC＝8，DB＝6， ∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°， 由勾股定理得AB5， ∵菱形ABCD的面积AC•BD＝AB•DH， ∴8×6＝5DH， ∴DH4.8， 故选：B． ▉题型2 菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 10．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故A不符合题意； 根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形， 故B不符合题意； 一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形， 故C符合题意； 根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故D不符合题意； 故选：C． 11．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，添加一个条件，使得▱ABCD是菱形，则下列选项不符合题意的是（　　） A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝BC D．∠ABD＝∠CBD 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，但四边形ABCD不一定是菱形， 故A选项不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， 故B选项符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形， 故C选项符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形， 故D选项符合题意， 故选：A． 12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．求证：四边形ADCF是菱形． 【答案】见解析． 【解答】证明：在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴ADBC＝BD＝CD， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（ASA）， ∴AF＝BD＝CD， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AD＝DC， ∴四边形ADCF是菱形． 13．如图①所示，有一张平行四边形纸片，将纸片沿着对角线剪开，形成两个全等的三角形，∠ACB＝60°，将△DBC沿着BC的方向以每秒2cm的速度运动得到△DFE（如图②），连接AF，CD． （1）求证：四边形AFDC是平行四边形； （2）若AC＝4cm，BC＝10cm，设运动时间为t秒，当t为何值时，▱AFDC是菱形？请说明你的理由． 【答案】（1）见解析； （2）当t＝3秒时，四边形AFDC是菱形，理由见解析． 【解答】（1）证明：∵△ABC≌△DEF， ∴∠ABC＝∠DEF，AB＝DE． 根据平移的性质得到：BF＝EC． 在△ABF与△DEC中， ， ∴△ABF≌△DEC（SAS）， ∴AF＝CD，∠AFB＝∠DCE， ∴∠AFC＝∠DGF， ∴AF∥DC， ∴四边形AFDC是平行四边形； （2）解：当t＝3秒时，四边形AFDC是菱形，理由如下： ∵t＝3， ∴CF＝10﹣3×2＝4（cm）， ∵AC＝4cm， ∴CF＝AC， ∵ACB＝60°， ∴△ACF是等边三角形， ∴AF＝AC， ∵四边形AFDC是平行四边形， ∴四边形AFDC是菱形． ▉题型3 菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　 （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 14．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝4，则四边形CODE的周长为（　　） A．4 B．8 C．6 D．10 【答案】B 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝BO＝CO＝DOAC＝2， ∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形ODEC是平行四边形，且OC＝OD， ∴四边形ODEC是菱形， ∴OD＝DE＝CE＝OC＝2， ∴四边形CODE的周长＝4×2＝8， 故选：B． 15．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　） A．（1）处可填∠A＝90° B．（2）处可填AD＝AB C．（3）处可填AD＝CB D．（4）处可填∠A＝90° 【答案】C 【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴（1）处可填∠A＝90°是正确的，故该选项不符合题意； B、一组邻边相等的矩形是正方形， ∴（2）处可填AD＝AB是正确的，故该选项不符合题意； C、对边相等是平行四边形的性质，故该选项符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形，故该选项不符合题意； 故选：C． 16．如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求AE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DE＝OC， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵OE＝CD， ∴平行四边形OCED是矩形， ∴∠COD＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，CD＝AB＝BC＝2，AC⊥BD， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝2， ∴OA＝OC＝1， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD， 由（1）可知，四边形OCED是矩形， ∴CE＝OD，∠OCE＝90°， ∴AE， 即AE的长为． 17．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点D作DP∥AC，过点C作CP∥BD，DP、CP交于点P，连接OP． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC＝12，BD＝16，求OP的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵AC 平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∴∠BAC＝∠ACB， ∴AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16， ∴AC⊥BD，OD8，OCAC＝6， ∴CD10， ∵DP∥AC，CP∥BD， ∴四边形OCPD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形OCPD是矩形， ∴OP＝CD＝10． 18．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求线段DP的长． 【答案】（1）见解析； （2）4． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE＝∠AEB． ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE． ∴∠BAE＝∠AEB． ∴AB＝BE． 同理：AB＝AF． ∴AF＝BE． ∴四边形ABEF是平行四边形． ∵AB＝BE， ∴四边形ABEF是菱形； （2）解：∵四边形ABEF是菱形， ∴AE⊥BF， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ABF＝30°，∠BAP＝∠FAP＝60°，△ABE为等边三角形， ∴AB＝AE＝8， ∵AB＝8， ∴AP＝4， 过点P作PM⊥AD于M，如图所示： ∴PM＝2，AM＝2， ∵AD＝12， ∴DM＝10， ∴PD4． ▉题型4 矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 19．如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，∠AOD＝110°，则∠OAD大小是（　　） A．55° B．35° C．45° D．20° 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OD， ∵∠AOD＝110°， ∴35°， 故选：B． 20．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解答】解： ∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形CODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD＝4，OA＝OC，OB＝OD， ∴OD＝OCAC＝2， ∴四边形CODE是菱形， ∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×2＝8． 故选：C． 21．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，CE⊥BD，且∠BCE：∠DCE＝2：1，则∠ACE为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】C 【解答】解：∵在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BCE：∠DCE＝2：1， ∴∠BCD＝90°，AC＝BD，OD＝OC，∠BCE＝2∠DCE， ∴∠BCE+∠DCE＝2∠DCE+∠DCE＝90°， ∴∠DCE＝30°， ∵CE⊥BD， ∴∠DEC＝90°， ∴∠EDC＝60°， ∴△ODC是等边三角形， ∴∠DCO＝60°，∠DCE＝∠OCE， ∵∠ACE+∠DCE＝60°， ∴∠ACE＝30°． 故选：C． 22．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E．若∠ODA＝30°，则∠BOE的度数为（　　） A．45° B．60° C．65° D．75° 【答案】D 【解答】证明：在矩形ABCD中，AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠EAD＝45°，AD∥BC，OA＝OB， ∴∠AEB＝∠EAD＝45°， ∴BE＝BA． ∵∠OAD＝∠ODA＝30°， ∴∠BAC＝60°， 又∵OA＝OB， ∴△AOB为等边三角形， ∴BO＝BA， ∴BO＝BE ∵AD∥BC ∴∠OBE＝∠ADO＝30° ∴∠BOE＝（180°﹣30°）÷2＝75°． 故选：D． 23．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（　　） A．AB＝BE B． C．△ACE是等腰三角形 D． 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，BO＝DOBD， ∵CE∥BD，DC∥BE， ∴四边形DBEC是平行四边形， ∴CE＝BD＝AC， ∴OBCE， ∴△ACE是等腰三角形， 故选：D． 24．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F，则PE+PF的值为（　　） A． B． C．5 D． 【答案】B 【解答】解：连接OP， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝8， ∴∠BAD＝90°，OA＝OCAC，OD＝OBBD，且AC＝BD， ∴BD10， ∴OA＝OD＝5， ∵S△ABDAB•AD6×8＝24， ∴S△AOD＝S△AOBS△ABD＝12， ∵PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F， ∴S△AOP+S△DOPOA•PEOD•PF＝S△AOD， ∴5PE5PF＝12， ∴PE+PF， 故选：B． 25．如图，矩形ABCD中，顶点A（2，5），B（0，4），C（2，0）．将矩形ABCD绕点O逆时针旋转，每秒旋转90°，则第70秒旋转结束时，点D的坐标为（　　） A． B．（4，1） C． D．（﹣4，﹣1） 【答案】D 【解答】解：过点A作AE⊥y轴于E，过点D作DF⊥x轴于F，如图， 由条件可知OB＝4，OE＝5，OC＝AE＝2， ∴BE＝1， ∵矩形ABCD， ∴AB＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴∠ABE+∠OBC＝∠OCB+∠DCF＝90°， ∵∠BOC＝90°， ∴∠OBC+∠OCB＝90°， ∴∠ABE+∠DCF＝90°， ∵∠ABE+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠DCF， ∵∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴△AEB≌△CFD（ASA）， ∴DF＝BE＝1，CF＝AE＝2， ∴OF＝4， ∴D（4，1）， ∵矩形ABCD绕点O逆时针旋转，每秒旋转90°， ∴第1次旋转结束时，点D的坐标为（﹣1，4）， 第2次旋转结束时，点D的坐标为（﹣4，﹣1）， 第3次旋转结束时，点D的坐标为（1，﹣4）， 第4次旋转结束时，点D的坐标为（4，1）， 第5次旋转结束时，点D的坐标为（﹣1，4）， …， ∴旋转4次一个循环， ∵70÷4＝17……2， ∴第70秒旋转结束时，点D的坐标为（﹣4，﹣1）， 故选：D． ▉题型5 矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 26．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、∵AD＝BC＝4，AB＝CD＝3， ∴四边形ABCD是平行四边形，不能判定为矩形，故选项A符合题意； B、∵∠A＝∠B＝∠D＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵∠A＝∠B＝90°， ∴∠A+∠B＝180°， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC＝4， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠A＝90°， ∴平行四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意； D、∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝4， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝5， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意； 故选：A． 27．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形ABCD为矩形，添加的条件可以是（　　） A．OB＝5 B．OD＝5 C．AB＝5 D．BC＝8 【答案】B 【解答】解：添加OD＝5， 理由：∵∠ABC＝90°，AO＝OC＝5， ∴OB＝AO＝OC＝5， ∵OD＝5， ∴OA＝OC＝OB＝OD＝5， ∴AC＝BD＝10， ∴四边形ABCD为矩形， 故选：B． 28．对角线相等且互相平分的四边形一定是（　　） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】B 【解答】解：对角线相等且互相平分的四边形一定是矩形， 故选：B． 29．下列说法正确的是（　　） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．有一组对边平行，有一个内角是直角的四边形是矩形 C．两组对角分别相等，且有一个角是直角的四边形是矩形 D．两条对角线相等的四边形是矩形 【答案】C 【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项A不符合题意； B、一组对边平行且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，如直角梯形，故选项B不符合题意； C、∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴两组对角分别相等，且有一个角是直角的四边形是矩形，故选项C符合题意； D、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项D不符合题意； 故选：C． 30．如图，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，顺次连接EM，MF，FN，NE，若四边形ENFM是矩形，则AB与CD满足的条件是 AB⊥CD ． 【答案】AB⊥CD． 【解答】解：∵四边形ENFM是矩形， ∴MF⊥ME， ∵点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点， ∴MF是△ABC的中位线，ME是△ACD的中位线， ∴MF∥AB，ME∥CD， ∴AB⊥ME， ∵ME∥CD， ∴AB⊥CD， 故答案为：AB⊥CD． 31．如图1，△ABC和△DBC都是边长为4的等边三角形． （1）将△DBC沿BC方向平移得到△D1B1C1，如图2、图3所示，则四边形ABD1C1是平行四边形吗？证明你的结论； （2）在（1）的条件下，若四边形ABD1C1为矩形，求BB1的值． 【答案】（1）四边形ABD1C1是平行四边形，证明： 根据平移的性质，得到BB1＝CC1， 根据等边三角形的性质，得到AC＝B1D1，∠BB1D1＝∠ACC1， ∴△BB1D1≌△ACC1， ∴AC1＝BD1， 又AB＝C1D1， ∴四边形ABD1C1是平行四边形； （2）4． 【解答】解：（1）根据平移的性质，得到AB＝C1D1，AB∥C1D1， ∴四边形ABD1C1是平行四边形； （2）如图，连接BD1，AC1， ∵四边形ABD1C1为矩形， ∴AC＝CD1＝BB1＝B1C1，此时B1，C重合， ∴BB1＝4． 32．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AB，DC上的点，AE＝CF，DE⊥AB，求证：四边形DEBF是矩形． 【答案】见解析． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵AE＝CF， ∴AB﹣AE＝CD﹣CF， 即BE＝DF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形DEBF是矩形． ▉题型6 矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 33．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　） A．3 B． C． D．4 【答案】C 【解答】解：∵四边形COED是矩形， ∴CE＝OD， ∵点D的坐标是（1，3）， ∴OD， ∴CE， 故选：C． 34．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝5，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，动点P从点B出发，沿着BC以每秒1个单位长度的速度匀速向终点C运动，设运动时间为t秒．下列说法正确的有（　　） ①线段EF的长度先减小后增大； ②当时，EF的值最小； ③当t＝6时，EF＝5． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解答】解：①如图，连接AP， ∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，∠A＝90°， ∴四边形AEPF是矩形， ∴EF＝AP， ∴在点P的运动过程中，线段AP的值先减小，后增大， ∴在点P的运动过程中，线段EF的值先减小，后增大，故①符合题意； ②当AP⊥BC时，线段AP的值最小， ∴线段EF的值最小， ∵∠A＝90°，∠C＝30°， ∴∠B＝60°， ∵∠APB＝90°， ∴∠BAP＝30°， ∴BP， ∴， ∴当时，EF的值最小，故②符合题意； ③∵t＝6， ∴BP＝6， 如图，连接EF，或A作AH⊥BC于H， 则BH，AH， ∴PH＝BP﹣BH， ∴EF＝AP.故③不符合题意； 故选：C． 35．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　） A．2.5 B．2.4 C．1.2 D．1.3 【答案】C 【解答】解：如图，连接AP， ∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC5， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴∠AEP＝∠AFP＝90°， ∴四边形AFPE是矩形， ∴EF＝AP， ∵M是EF的中点， ∴PMEFAP， 根据垂线段最短可知，当AP⊥BC时，AP最短， 则PM也最短， 此时，S△ABCBC•APAB•AC， ∴AP2.4， 即AP最短时，AP＝2.4， ∴PM的最小值AP＝1.2， 故选：C． 36．下列关于矩形的说法中正确的是（　　） A．矩形的对角线相等 B．矩形的对角线平分一组对角 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形是矩形 【答案】A 【解答】解：A、矩形的对角线相等，故选项A符合题意； B、菱形的对角线平分一组对角，故选项B不符合题意； C、矩形的对角线相等且互相平分，故选项C不符合题意； D、矩形的对角线互相平分且相等，故选项D不符合题意； 故选：A． 37．如图，在△ABC中，∠C＝90°，在线段AB上有一动点D，作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连接EF．在点D从点A运动到点B的过程中（D不与A、B重合），下列关于线段EF长度变化的描述中，正确的是（　　） A．先变长后变短 B．先变短后变长 C．一直变短 D．始终保持不变 【答案】B 【解答】解：连接CD， ∵∠C＝90°，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F， ∴∠C＝∠DFC＝∠CED＝90°， ∴四边形CFDE是矩形， ∴EF＝CD， 当CD⊥AB时，CD最短， 即EF最短， ∴在点D从点A运动到点B的过程中，CD先变短后变长， 即线段EF的长度先变短后变长， 故选：B． 38．如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，点F在BC边上，且BF＝DE，连接EF交对角线BD于点O，BD＝5，CD＝3，连接CE，若CE＝CF，则EF长为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：作EH⊥BC于点H， ∵四边形ABCD为矩形，BD＝5，CD＝3， ∴AD＝BC＝5，∠CDE＝∠BCD＝90°， ∴四边形CDEH为矩形，， ∴EH＝CD＝3，ED＝HC， ∵BF＝DE，CE＝CF， 设CE＝CF＝x，则BF＝DE＝4﹣x， ∵CD2+DE2＝CE2， ∴32+（4﹣x）2＝x2， 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ▉题型7 正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 39．下列说法正确的是（　　） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【解答】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意； B．矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意； C．正方形的每一条对角线平分一组对角，故C选项符合题意； D．平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：C． 40．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PDEC；②AP＝EF；③AP⊥EF；④EF的最小值为2；⑤△APD一定是等腰三角形．其中正确结论的序号为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解答】解：∵PE⊥BC，PF⊥CD， ∴∠PEF＝∠PFC＝90°， 又∠C＝90°， ∴四边形PECF是矩形， ∴EC＝PF． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠PDF＝45°， ∴△PDF是等腰直角三角形， ∴PDPFEC，①正确； 延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M． ∵四边形ABCD是正方形． ∴∠ABP＝∠CBD 又∵NP⊥AB，PE⊥BC， ∴四边形BNPE是正方形，∠ANP＝∠EPF， ∴NP＝EP， ∴AN＝PF 在△ANP与△FPE中，， ∴△ANP≌△FPE（SAS）， ∴AP＝EF；故②正确； ∠PFE＝∠BAP， △APN与△FPM中，∠APN＝∠FPM，∠NAP＝∠PFM， ∴∠PMF＝∠ANP＝90°， ∴AP⊥EF，故③正确； ∵矩形PECF中，EF＝CP， ∴当CP⊥BD时，CP最小，即EF最小， 此时△BPC是等腰直角三角形，斜边为BC＝4， 则CPBC＝2， ∴EF的最小值为2，故④正确； ∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°， ∴当∠PAD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形， 除此之外，△APD不是等腰三角形，故⑤错误． 故选：C． 41．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P，若．下列结论：①△APD≌△AEB；②∠AEB＝135°；③EB＝8；④S△APD+S△APB＝33；⑤CD＝11．其中正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解答】解：①在正方形ABCD，AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵EA⊥PA， ∴∠EAP＝∠BAD＝90° ∴∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°， ∴∠EAB＝∠PAD， ∵AE＝AP， 在△APD和△AEB中， ， ∴△APD≌△AEB（SAS）；故①成立； ②∵AE＝AP＝3，∠EAP＝90°， ∴∠AEP＝∠APE＝45°，PEAE＝6， ∵△APD≌△AEB， ∴∠AEB＝∠APD＝180°﹣45°＝135°，故②成立； ③∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°， ∴EB⊥ED， 在Rt△BPE中，PE＝6，PB＝10， ∴BE8，故③成立； ④如图，连接BD， 由②得：PE＝6，BE＝8， ∵△APD≌△AEB， ∴S△APD+S△APB ＝S△AEB+S△APB ＝S四边形AEBP ＝S△AEP+S△EPB •AE•AP•PE•BE 336×8 ＝33．故④成立； ∵△APD≌△AEB， ∴PD＝BE＝8， ∴S△BDPPD•BE＝32， ∴S△ABD＝S△APD+S△APB+S△BPD＝33+32＝65， ∴S正方形ABCD＝2S△ABD＝130， ∴CD2＝130， ∴CD，故⑤不成立． 综上所述，正确结论的序号是①②③④，共4个， 故选：C． 42．如图，有一个平行四边形ABCD和一个正方形CEFG，其中点E在边AD上，若∠ECD＝49°，∠AEF＝34°，则∠B＝（　　） A．55° B．65° C．75° D．60° 【答案】C 【解答】解：∵四边形CEFG是正方形， ∴∠FEC＝90°， ∴∠AEF+∠DEC＝90°， ∵∠AEF＝34°， ∴∠DEC＝90°﹣∠AEF＝56°， 在△DEC中，∠ECD＝49°， ∴∠D＝180°﹣（∠DEC+∠ECD）＝180°﹣（56°+49°）＝75°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D＝75°． 故选：C． 43．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角 【答案】B 【解答】解：对于选项A，矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有； 对于选项B，矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分； 对于选项C，菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有； 对于选项D，菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有． 综上所述：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分． 故选：B． 44．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是正方形ABCD的边AD上的一点，点A关于BE的对称点为F，若∠DFC＝90°，则EF的长为（　　） A．1 B． C．1.5 D． 【答案】A 【解答】解：延长EF交CD于点M，连接BM，如图所示： 设AE＝a， ∵四边形ABCD为正方形，且边长为3， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝3，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°， ∴DE＝AD﹣AE＝3﹣a， 根据轴对称的性质得：EA＝EF＝a，AB＝BF＝3，∠A＝∠BFE＝90°， ∴∠BFM＝∠BFE＝90°，BF＝BC＝3， 在Rt△BFM和Rt△BCM中， ， ∴Rt△BFM≌Rt△BCM（HL）， ∴MF＝MC， ∴∠MFC＝∠MCF， ∵∠DFC＝90°， ∴∠MFD+∠MFC＝90°，∠MDF+∠MCF＝90°， ∴∠MFD＝∠MDF， ∴MF＝MD， ∴MC＝MF＝MDCD， ∴EM＝EF+MF， 在Rt△DEM中，DE＝3﹣a，EM，MD， 由勾股定理得：EM2＝DE2+MD2， ∴， 解得：a＝1， ∴AE＝1． 故选：A． ▉题型8 正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 45．下列说法不正确的是（　　） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线互线垂直的矩形是正方形 D．对角线相等的矩形是正方形 【答案】D 【解答】解：由菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形， 故A正确； 由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形， 故B正确； ∵对角线互相垂直的矩形，同时又是菱形， ∴对角线互相垂直的矩形是正方形， 故C正确； 由矩形的性质可知，矩形的对称线相等， ∴对角线相等的矩形不一定是正方形， 故D不正确； 故选：D． 46．在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是正方形的是（　　） A．AB＝AD B．OA＝OB C．AC＝BD D．DC⊥BC 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，OA＝OCAC，OB＝ODBD， A、AB＝AD时，不能判定菱形ABCD是正方形，故选项A符合题意； B、∵OA＝OB， ∴AC＝BD ∴菱形ABCD是正方形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是菱形， ∴AC＝BD， ∴菱形ABCD是正方形，故选项C不符合题意； D、∵DC⊥BC， ∴∠BCD＝90°， ∴菱形ABCD是正方形，故选项D不符合题意； 故选：A． 47．给出下列判断，正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．四条边相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【解答】解：A．对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等，但并非矩形， 故A判断错误，该选项不符合题意； B．四条边相等的四边形是菱形，而正方形需满足对角线相等且垂直，仅四边相等无法确定为正方形， 故B判断错误，该选项不符合题意； C．对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，例如对角线垂直但邻边不等的“风筝”四边形， 故C判断错误，该选项不符合题意； D．根据平行四边形判定定理，一组对边平行且相等的四边形必为平行四边形， 故D判断正确，该选项符合题意； 故选：D． ▉题型9 正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 48．如图，正方形ABCD中对角线AC，BD交于点O，过点O作射线OM，ON，分别交CD，BC于点E，F，且∠EOF＝90°，连接EF．给出下列结论：①△COE≌△BOF；②四边形OECF的面积为正方形ABCD面积的；③EF平分∠OEC；④DE2+BF2＝EF2．正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OB，∠COB＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵∠EOF＝90°， ∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF， ∴∠COE＝∠BOF， ∴△COE≌△BOF（ASA），故①正确； ②由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等， ∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，故②正确； ③∵△COE≌△BOF， ∴OE＝OF， ∴∠OFE＝∠OEF＝45°， ∵∠CEO≠90°， ∴∠OEF≠∠CEF，故③错误； ④∵△COE≌△BOF， ∴CE＝BF， ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝CD， ∴DE＝CF， 在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2， ∴DE2+BF2＝EF2，故④正确； 综上所述，正确的是①②④， 故选：C． 49．如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若正方形ABCD的面积为32，BF＝1，求点F到线段AE的距离． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解答】（1）证明：∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O， ∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF， ∵DE＝BF， ∴BO＝DO， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， ∵∠ADO＝45°， ∴∠DAO＝∠ADO＝45°， ∵AO＝DO， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是正方形． （2）解：∵正方形ABCD的面积为32， ∴， ∴， ∴BO＝DO＝CO＝AO＝4， ∴AC＝2AO＝8， ∵BF＝1， ∴OF＝BO﹣BF＝4﹣1＝3， ∵四边形AFCE是菱形， ∴EF＝2OE＝2OF＝6，AC⊥EF， ∴菱形AFCE的面积， 在Rt△AOE中， ， 设点F到线段AE的距离为h， ∴菱形AFCE的面积＝AE•h＝24， 即5h＝24， ∴， ∴即点F到线段AE的距离为． 50．菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”． （1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°，n°，若我们将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形就越接近正方形． ①当菱形的一个内角为70°时，“接近度”＝　40　 ； ②当菱形的“接近度”＝　0　 时，菱形就是正方形； （2）若我们将菱形的“接近度”定义为（m＜n），则： ①菱形的一个内角为60°时，“接近度”＝　　 ； ②在这种情况下，菱形的“接近度”＝　1　 时，菱形就是正方形； （3）甲、乙两位同学仿照菱形的“接近度”定义，给出了两种矩形的“接近度”定义，在你认为合理的定义后面打“√”，不合理的定义后面打“×”． ①甲：设矩形相邻两条边长分别为a，b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形． 　×　 ②乙：设矩形相邻两条边长分别为a，b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形． 　×　 ． 【答案】（1）①40； ②0； （2）①； ②1； （3）①×； ②×，理由见解析． 【解答】解：（1）①∵内角为70°， ∴与它相邻内角的度数为110°． ∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40， 故答案为：40； ②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形， 故答案为：0； （2）若我们将菱形的“接近度”定义为（m＜n），则： ①当菱形的一个内角为60°时，“接近度”； 故答案为：； ②当菱形的“接近度”＝1时，菱形就是正方形， 故答案为：1； （3）①×． 例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等． ②×，理由如下： ∵越接近1，矩形越接近于正方形； ∴当1时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形， 故答案为：×． 51．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC、∠BAC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足为E、F． （1）求证：四边形DECF为正方形； （2）若BC＝8，AC＝6，求正方形DECF的面积． 【答案】（1）见解析过程； （2）4． 【解答】（1）证明：过D作DN⊥AB，连接CD， ∵∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴四边形DECF是矩形， ∵∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，DN⊥AB， ∴DF＝DN，DE＝DN， ∴FD＝ED， ∴四边形DECF是正方形； （2）解：∵BC＝8，AC＝6， ∴AB10， ∵S△ABCBC•DEAC•DFAB•DN， ∴6×8（6+8+10）×DF， ∴DF＝2， ∴正方形DECF的面积＝DF2＝4． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章第2节 特殊的平行四边形 题型1 菱形的性质 题型2 菱形的判定 题型3 菱形的判定与性质 题型4 矩形的性质 题型5 矩形的判定 题型6 矩形的判定与性质 题型7 正方形的性质 题型8 正方形的判定 题型9 正方形的判定与性质 ▉题型1 菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度） 1．如图，菱形ABCD中，AB＝6，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是（　　） A．8 B．15 C．10 D．6 2．如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，DE＝AD，连接EC．若∠ADE＝36°，则∠DEC的度数为（　　） A．72° B．54° C．50° D．48° 3．菱形边长是2cm，一条对角线的长是，则菱形面积是（　　） A．4cm2 B． C．2cm2 D． 4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边AB的中点，连接OE，若OE＝3，则菱形ABCD的边长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，∠BCD＝60°，点D的坐标为（0，4），则点A的坐标为（　　） A． B． C．（﹣8，0） D．（8，0） 6．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于O点，AC＝8，BD＝6，点P为线段AC上的一个动点，过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N，则PM+PN的值为（　　） A． B． C． D． 7．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，AH⊥BC于H，则AH等于（　　） A． B． C．4 D．5 8．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝16，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，则OE的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 9．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝（　　） A．2.4 B．4.8 C．12 D．24 ▉题型2 菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 10．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 11．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，添加一个条件，使得▱ABCD是菱形，则下列选项不符合题意的是（　　） A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝BC D．∠ABD＝∠CBD 12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．求证：四边形ADCF是菱形． 13．如图①所示，有一张平行四边形纸片，将纸片沿着对角线剪开，形成两个全等的三角形，∠ACB＝60°，将△DBC沿着BC的方向以每秒2cm的速度运动得到△DFE（如图②），连接AF，CD． （1）求证：四边形AFDC是平行四边形； （2）若AC＝4cm，BC＝10cm，设运动时间为t秒，当t为何值时，▱AFDC是菱形？请说明你的理由． ▉题型3 菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　 （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 14．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝4，则四边形CODE的周长为（　　） A．4 B．8 C．6 D．10 15．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　） A．（1）处可填∠A＝90° B．（2）处可填AD＝AB C．（3）处可填AD＝CB D．（4）处可填∠A＝90° 16．如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求AE的长． 17．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点D作DP∥AC，过点C作CP∥BD，DP、CP交于点P，连接OP． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC＝12，BD＝16，求OP的长． 18．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求线段DP的长． ▉题型4 矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 19．如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，∠AOD＝110°，则∠OAD大小是（　　） A．55° B．35° C．45° D．20° 20．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 21．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，CE⊥BD，且∠BCE：∠DCE＝2：1，则∠ACE为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 22．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E．若∠ODA＝30°，则∠BOE的度数为（　　） A．45° B．60° C．65° D．75° 23．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（　　） A．AB＝BE B． C．△ACE是等腰三角形 D． 24．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F，则PE+PF的值为（　　） A． B． C．5 D． 25．如图，矩形ABCD中，顶点A（2，5），B（0，4），C（2，0）．将矩形ABCD绕点O逆时针旋转，每秒旋转90°，则第70秒旋转结束时，点D的坐标为（　　） A． B．（4，1） C． D．（﹣4，﹣1） ▉题型5 矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 26．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（　　） A． B． C． D． 27．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形ABCD为矩形，添加的条件可以是（　　） A．OB＝5 B．OD＝5 C．AB＝5 D．BC＝8 28．对角线相等且互相平分的四边形一定是（　　） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 29．下列说法正确的是（　　） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．有一组对边平行，有一个内角是直角的四边形是矩形 C．两组对角分别相等，且有一个角是直角的四边形是矩形 D．两条对角线相等的四边形是矩形 30．如图，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，顺次连接EM，MF，FN，NE，若四边形ENFM是矩形，则AB与CD满足的条件是 ． 31．如图1，△ABC和△DBC都是边长为4的等边三角形． （1）将△DBC沿BC方向平移得到△D1B1C1，如图2、图3所示，则四边形ABD1C1是平行四边形吗？证明你的结论； （2）在（1）的条件下，若四边形ABD1C1为矩形，求BB1的值． 32．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AB，DC上的点，AE＝CF，DE⊥AB，求证：四边形DEBF是矩形． ▉题型6 矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 33．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　） A．3 B． C． D．4 34．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝5，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，动点P从点B出发，沿着BC以每秒1个单位长度的速度匀速向终点C运动，设运动时间为t秒．下列说法正确的有（　　） ①线段EF的长度先减小后增大； ②当时，EF的值最小； ③当t＝6时，EF＝5． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 35．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　） A．2.5 B．2.4 C．1.2 D．1.3 36．下列关于矩形的说法中正确的是（　　） A．矩形的对角线相等 B．矩形的对角线平分一组对角 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形是矩形 37．如图，在△ABC中，∠C＝90°，在线段AB上有一动点D，作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连接EF．在点D从点A运动到点B的过程中（D不与A、B重合），下列关于线段EF长度变化的描述中，正确的是（　　） A．先变长后变短 B．先变短后变长 C．一直变短 D．始终保持不变 38．如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，点F在BC边上，且BF＝DE，连接EF交对角线BD于点O，BD＝5，CD＝3，连接CE，若CE＝CF，则EF长为 　 ． ▉题型7 正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 39．下列说法正确的是（　　） A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 40．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PDEC；②AP＝EF；③AP⊥EF；④EF的最小值为2；⑤△APD一定是等腰三角形．其中正确结论的序号为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 41．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P，若．下列结论：①△APD≌△AEB；②∠AEB＝135°；③EB＝8；④S△APD+S△APB＝33；⑤CD＝11．其中正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 42．如图，有一个平行四边形ABCD和一个正方形CEFG，其中点E在边AD上，若∠ECD＝49°，∠AEF＝34°，则∠B＝（　　） A．55° B．65° C．75° D．60° 43．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角 44．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是正方形ABCD的边AD上的一点，点A关于BE的对称点为F，若∠DFC＝90°，则EF的长为（　　） A．1 B． C．1.5 D． ▉题型8 正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 45．下列说法不正确的是（　　） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线互线垂直的矩形是正方形 D．对角线相等的矩形是正方形 46．在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是正方形的是（　　） A．AB＝AD B．OA＝OB C．AC＝BD D．DC⊥BC 47．给出下列判断，正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．四条边相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ▉题型9 正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 48．如图，正方形ABCD中对角线AC，BD交于点O，过点O作射线OM，ON，分别交CD，BC于点E，F，且∠EOF＝90°，连接EF．给出下列结论：①△COE≌△BOF；②四边形OECF的面积为正方形ABCD面积的；③EF平分∠OEC；④DE2+BF2＝EF2．正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④ 49．如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若正方形ABCD的面积为32，BF＝1，求点F到线段AE的距离． 50．菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”． （1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°，n°，若我们将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形就越接近正方形． ①当菱形的一个内角为70°时，“接近度”＝　　 ； ②当菱形的“接近度”＝　　 时，菱形就是正方形； （2）若我们将菱形的“接近度”定义为（m＜n），则： ①菱形的一个内角为60°时，“接近度”＝　　 ； ②在这种情况下，菱形的“接近度”＝　　 时，菱形就是正方形； （3）甲、乙两位同学仿照菱形的“接近度”定义，给出了两种矩形的“接近度”定义，在你认为合理的定义后面打“√”，不合理的定义后面打“×”． ①甲：设矩形相邻两条边长分别为a，b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形． 　　 ②乙：设矩形相邻两条边长分别为a，b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形． 　　 ． 51．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC、∠BAC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足为E、F． （1）求证：四边形DECF为正方形； （2）若BC＝8，AC＝6，求正方形DECF的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $