精品解析：湖北 恩施土家族苗族自治州来凤县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025年秋季学期期末质量监测考试 九年级数学试题 本试卷共6页，24个小题，满分120分，考试时间120分钟 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卷两个部分． 2．答题前，请将你的姓名、准考证号填写在答题卷相应位置． 3．选择题务必使用2B铅笔在答题卷选择题的答题区域内填涂：非选择题务必使用黑色签字笔在答题卷非选择题各题指定的答题区域内作答，填涂、书写在试题卷上的一律无效． 4．考试结束，试题卷、答题卷分别上交． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的，请将正确选项填在答题卷的相应位置．） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可． 【详解】解：选项A、B、C不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 2. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 明天太阳从东方升起 B. 从地面发射一枚导弹，未击中空中目标 C. 购买一张体育彩票中奖 D. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了必然事件的判断，根据必然事件的定义：在一定条件下，必然发生的事件进行判断即可． 【详解】解：A选项中，明天太阳从东方升起是确定会发生的事件，属于必然事件，故本选项符合题意． B选项中，发射导弹是否击中空中目标是不确定的，属于随机事件，故本选项不符合题意． C选项中，购买体育彩票是否中奖是不确定的，属于随机事件，故本选项不符合题意． D选项中，翻书页码可能是奇数也可能是偶数，属于随机事件，故本选项不符合题意． 故选：A． 3. 已知的半径为5，，则点P在（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 外或上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：∵的半径，点P到圆心O的距离， ∴，即点到圆心的距离大于圆的半径， ∴点P在外． 故选：C 4. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，依据一元二次方程一般形式中各部分的定义确定一次项系数即可． 【详解】解：∵方程可变形为 ∴该方程的一次项系数是． 故选：B． 5. 如图，是的直径，是的弦，，若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理及推论，关键是熟练应用知识点解题；根据垂径定理得到垂直平分，从而得到，又根据同弧所对的圆周角相等即可得到结论． 【详解】解：∵是的直径，是的弦，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选：C ． 6. 如图，在平面直角坐标系中，，在轴上，，，将绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，关键是熟练应用知识点解题；根据旋转可得两三角形全等，进而根据对应边相等得出结果． 【详解】解：如图所示：绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 7. 二次函数在时有最大值，则这个函数的图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，关键是抛物线开口向上时，二次函数在顶点处取得最小值；开口向下时，二次函数在顶点处取得最大值；根据二次函数最值问题对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：∵二次函数在时有最大值， ∴抛物线开口向下，顶点为：， ∴选项C符合题意， 故选：C． 8. 随着生态环境变好，各湿地越冬水鸟种类逐年增多，如中华秋沙鸭、白鹤等珍稀物种，据统计，湖北荆州地区的湿地越冬水鸟种类从2023年75种增至2025年85种，设从2023年到2025年鸟的种类数量的年平均增长率为x，依据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用之增长率问题，解题的关键是找准等量关系． 设年平均增长率为x，根据增长率公式，即可列出方程． 【详解】解：设年平均增长率为x，根据题意得， ， 故选：D． 9. 如图，是的直径，点C、D、E、F在上，且点C、D和点E、F分别是半圆的三等分点，点P、Q在上，连接，若的半径为3，则图中阴影部分图形的面积和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同圆中弧、弦和圆心角的关系，求扇形面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式． 连接，根据三等分点得出相等的弧和弦，得出阴影部分图形的面积和等于扇形的面积，然后利用扇形面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点C、D和点E、F分别是半圆的三等分点， ∴，，； 又∵， ∴阴影部分图形的面积和等于扇形的面积， ∴， 故选：B． 10. 如下数表、数表均是由从开始的连续自然数组成，观察数表，探究规律，计算数表中第行第个数与数表中第行第个数的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形及数字规律探究问题，关键是找到数字的规律用式子表示出来；根据数字排列规律得到，代入求解即可． 【详解】解：观察图形可得：表，第行最后一个数为：， 表，第行最后一个数为：， ∴，， ∴， 故选：A ． 二、填空题（本题共5题，每题3分，共15分） 11. 写出一个函数图象开口向上的二次函数的解析式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，根据，抛物线开口向上即可求解，掌握二次函数图象的特征是解题的关键． 【详解】解：∵时，抛物线开口向上， ∴函数图象开口向上的二次函数的解析式可以为， 故答案为：． 12. 点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是； 故答案为：． 13. 某校为了让学生更多的了解，计划举办手抄报展览，确定了“即梦”、“”“豆包”“星图”四个主题，若各班随机选择其中两个主题，则各班恰好选中“”与“星图”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】设“即梦”、“”“豆包”“星图”分别用A，B，C，D表示，根据题意，列出表格，可得一共有12种等可能结果． 各班恰好选中“”与“星图”的有2种，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：设“即梦”、“”“豆包”“星图”分别用A，B，C，D表示，根据题意，列出表格，如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 一共有12种等可能结果． 各班恰好选中“”与“星图”的有2种， 所以各班恰好选中“”与“星图”的概率是． 故答案为： 14. 如图，一次物理实验中，利用一个半径是定滑轮提起一物体，小明拉起绳子一端，使定滑轮绕点逆时针旋转，此时重物上升______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，关键是找到圆心角和半径；根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，将与正方形按如图所示的方式摆放，边在直线上，，cm，，以的速度沿着方向运动，初始时点与点重合，当点与点重合时停止运动，在运动过程中，与正方形重叠部分面积（）与运动时间（）的函数图象如图所示，则=______，=______，=______． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】分情况讨论当时，当时，当时，画出图形，求出三角形与正方形重叠部分的面积即可得出结论． 【详解】解：当时， ∵，，， ∴； 当时，； 当时， ∵ ∴； 当时，，即：， 当时， 当时，（舍），即：； 当时， 当时， ，解得：（舍），即：． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、动点问题以及三角形面积的计算方法，关键是应用分类讨论思想解题． 三、解答题（本大题共9小题，共75分，请将答案填写在答题卷对应题号的位置上，解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程， 对于（1），先移项，再开方即可求出解； 对于（2），先求出，再用求根公式解答即可． 【小问1详解】 解：移项，得， 开方，得， 即或， ∴； 【小问2详解】 解：由， 得， ∴， ∴． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知，点、和． （1）画出绕点旋转后的图形，并写出点的坐标为______． （2）请在轴上找出一点，使的值最大，并直接写出点的坐标______． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图、两线段差的最大值，关键是画出正确的图形； （1）根据题目要求画出图形，根据图形写出点的坐标即可； （2）作出直线与轴交点，根据图形写出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：连接，并延长到点，使，同理可得，顺次连接，如图所示：即为所求， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：当三点共线时，的值最大， 延长交轴于点，点即为所求，由图可知：； 故答案为：． 18. 为促进学生全面有个性的发展，某校开设了内容丰富的社团活动，如“三味蔬屋”“鲁班传人”“花式编织”等，大受同学们的欢迎，李亮参加了“三味蔬屋”社团，该社团准备种植一批油麦菜，他与社团几个成员经过大量的种子发芽实验对种子的发芽率进行了统计，得到数据如表： 实验种子数量（粒） 80 120 200 300 400 500 600 发芽种子数量（粒） 74 112 189 284 380 474 571 种子发芽率（精确到） （1）根据表中数据，估计这批油麦菜种子的发芽率为______（精确到． （2）社团成员在农场播种2000粒该批油麦菜种子，估计大约能有多少粒种子发芽？ 【答案】（1） （2）大约能有1900粒种子发芽 【解析】 【分析】本题考查了，用频率估计概率，由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）当实验的种子越来越多时，这批油麦菜种子的发芽率越接近，由此即可得解； （2）用2000乘以①中得到的发芽率即可得解． 【小问1详解】 解：根据表中数据，当实验的种子越来越多时，这批油麦菜种子的发芽率越接近， 所以估计这批油麦菜种子的发芽率为； 【小问2详解】 解：（粒）， 故大约能有粒种子发芽． 19. 某景区内有一块的矩形郁金香园地（如图所示，单位：米），现在其中修建长方形和平行四边形花道（阴影部分所示），供游人散步赏花，若改造后种植郁金香的面积为平方米，求图中的值． 【答案】的值是 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程与实际问题，关键是根据等量关系列方程；根据改造后种植郁金香的面积为平方米列方程即可. 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 解得：（舍）， 答：的值是． 20. 已知关于x的方程，求证：不论k取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】 证明：∵在方程中， ， ∴不论k取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】求出，再根据一元二次方程根的判别式的大小判断即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． 21. 如图，是的直径，为外的一点，与相交于点，为上的一点，分别连接、、，且． （1）求证：为的切线： （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明即可论证为的切线； （2）根据求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定、扇形面积、勾股定理、直角三角形的性质，关键是灵活应用知识点解题． 22. 根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出件，每件盈利元 每天可售出件，每件盈利元 市场调查 每件衬衫每降价元，甲店一天可多售出件，乙店一天可多售出件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量______件（用含的代数式表示）； 乙店每天的销售量______件（用含的代数式表示）． 任务2 总公司规定：在保证两家分店都不亏损的情况下，两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利额相等． 【答案】任务1：，；任务2：每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利额相等． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务：由每件衬衫每降价元，甲店一天可多售出件，乙店一天可多售出件，即可得出结论； 任务：设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利额相等，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：任务1：∵每件衬衫每降价元，甲店一天可多售出件，乙店一天可多售出件， ∴甲店每天的销售量为：件， 乙店每天的销售量为：件． 故答案为：， 任务：设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利额相等， ∵两家分店下降的价格必须相同， ∴， 整理得：， 解得：， ∵要保证两家分店都不亏损， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答：每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利额相等． 23. 如图，在中，，，在边的延长线上，在边上，，连接． （1）如图1，连接，，可以由通过逆时针旋转变换得到，请写出旋转中心及旋转角的大小． （2）将图1中的绕点旋转，连接，，如图2． ①探究与的位置关系，并说明理由； ②当直线经过的中点时，求证：． 【答案】（1）旋转中心是点，旋转角是 （2）①，理由见解析 ②见解析 【解析】 【分析】(1)由旋转的性质得到旋转中心和旋转角； (2)由旋转可知，根据全等三角形的性质可知，由三角形内角和定理可得，可得：，可知； (3)过点作，交的延长线于点，可证，由全等三角形的性质可得，，从而可证，由可知，，由角之间的关系可得，根据内错角相等，两直线平行，可证结论成立． 【小问1详解】 解：可以由绕点逆时针旋转得到， 旋转中心是点，旋转角是； 【小问2详解】 ①解：， 理由如下， 由旋转可知， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， ； ②证明：如下图所示，过点作，交的延长线于点， 则有， 点是的中点， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰直角三角形、平行线的判定，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找对应边、角之间的关系． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，若点是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，，设． ①直接写出关于的函数解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据为底的等腰三角形，判断垂直平分，据此列方程组求直线与抛物线的交点的横坐标即可； （3）①分情况讨论在不同位置时的的表达式即可；②将代入①中的解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，与轴交点， ∴， 解得， 抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： ∵点，点， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴平分两坐标轴的夹角， ∴ 解得，， 即， ∵点是直线下方抛物线上一动点， ∴； 【小问3详解】 解：①∵该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，，， 当时，最高点为点，最低点为点， ，， ∴； 当时，最高点为点，最低点为顶点， ， ∴； 当时，最高点为点，最低点为顶点， ， ∴， 综上所述，解析式为； ②根据题意，当时，解得，不符合题意，舍去， 当时，， 当时，解得（不合题意，舍去），， 综上所述，m的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质、待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、直线与抛物线的交点问题，关键是分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期期末质量监测考试 九年级数学试题 本试卷共6页，24个小题，满分120分，考试时间120分钟 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卷两个部分． 2．答题前，请将你的姓名、准考证号填写在答题卷相应位置． 3．选择题务必使用2B铅笔在答题卷选择题的答题区域内填涂：非选择题务必使用黑色签字笔在答题卷非选择题各题指定的答题区域内作答，填涂、书写在试题卷上的一律无效． 4．考试结束，试题卷、答题卷分别上交． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的，请将正确选项填在答题卷的相应位置．） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 明天太阳从东方升起 B. 从地面发射一枚导弹，未击中空中目标 C. 购买一张体育彩票中奖 D. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 3. 已知的半径为5，，则点P在（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 外或上 4. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，是的弦，，若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，，在轴上，，，将绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数在时有最大值，则这个函数的图象可以是（ ） A. B. C. D. 8. 随着生态环境变好，各湿地越冬水鸟种类逐年增多，如中华秋沙鸭、白鹤等珍稀物种，据统计，湖北荆州地区的湿地越冬水鸟种类从2023年75种增至2025年85种，设从2023年到2025年鸟的种类数量的年平均增长率为x，依据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，点C、D、E、F在上，且点C、D和点E、F分别是半圆的三等分点，点P、Q在上，连接，若的半径为3，则图中阴影部分图形的面积和为（ ） A. B. C. D. 10. 如下数表、数表均是由从开始的连续自然数组成，观察数表，探究规律，计算数表中第行第个数与数表中第行第个数的和为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5题，每题3分，共15分） 11. 写出一个函数图象开口向上的二次函数的解析式______． 12. 点关于原点对称的点的坐标是________． 13. 某校为了让学生更多的了解，计划举办手抄报展览，确定了“即梦”、“”“豆包”“星图”四个主题，若各班随机选择其中两个主题，则各班恰好选中“”与“星图”的概率是______． 14. 如图，一次物理实验中，利用一个半径是定滑轮提起一物体，小明拉起绳子一端，使定滑轮绕点逆时针旋转，此时重物上升______（结果保留）． 15. 如图，将与正方形按如图所示的方式摆放，边在直线上，，cm，，以的速度沿着方向运动，初始时点与点重合，当点与点重合时停止运动，在运动过程中，与正方形重叠部分面积（）与运动时间（）的函数图象如图所示，则=______，=______，=______． 三、解答题（本大题共9小题，共75分，请将答案填写在答题卷对应题号的位置上，解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1） （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知，点、和． （1）画出绕点旋转后的图形，并写出点的坐标为______． （2）请在轴上找出一点，使的值最大，并直接写出点的坐标______． 18. 为促进学生全面有个性的发展，某校开设了内容丰富的社团活动，如“三味蔬屋”“鲁班传人”“花式编织”等，大受同学们的欢迎，李亮参加了“三味蔬屋”社团，该社团准备种植一批油麦菜，他与社团几个成员经过大量的种子发芽实验对种子的发芽率进行了统计，得到数据如表： 实验种子数量（粒） 80 120 200 300 400 500 600 发芽种子数量（粒） 74 112 189 284 380 474 571 种子发芽率（精确到） （1）根据表中数据，估计这批油麦菜种子的发芽率为______（精确到． （2）社团成员在农场播种2000粒该批油麦菜种子，估计大约能有多少粒种子发芽？ 19. 某景区内有一块的矩形郁金香园地（如图所示，单位：米），现在其中修建长方形和平行四边形花道（阴影部分所示），供游人散步赏花，若改造后种植郁金香的面积为平方米，求图中的值． 20. 已知关于x的方程，求证：不论k取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 21. 如图，是的直径，为外的一点，与相交于点，为上的一点，分别连接、、，且． （1）求证：为的切线： （2）若，求图中阴影部分的面积． 22. 根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出件，每件盈利元 每天可售出件，每件盈利元 市场调查 每件衬衫每降价元，甲店一天可多售出件，乙店一天可多售出件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量______件（用含的代数式表示）； 乙店每天的销售量______件（用含的代数式表示）． 任务2 总公司规定：在保证两家分店都不亏损的情况下，两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利额相等． 23. 如图，在中，，，在边的延长线上，在边上，，连接． （1）如图1，连接，，可以由通过逆时针旋转变换得到，请写出旋转中心及旋转角的大小． （2）将图1中的绕点旋转，连接，，如图2． ①探究与的位置关系，并说明理由； ②当直线经过的中点时，求证：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，若点是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，，设． ①直接写出关于的函数解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $