19.1 多边形 同步复习讲义2025-2026学年沪科版数学八年级下册

本讲义聚焦多边形核心知识点，系统梳理多边形的概念、对角线及内角与外角，从基础定义（如凸凹多边形、正多边形）到公式推导（对角线条数n(n-3)/2、内角和(n-2)×180°），再到综合应用（折叠、旋转问题），构建完整学习支架。 资料通过分层题型设计（选择、填空、解答），结合凹四边形计算、行走路线等实例，培养学生抽象能力与几何直观。例题解析注重推理过程，助力学生理解数学原理，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生强化练习，弥补知识盲点。

第19章 19.1 多边形 题型1 多边形 题型2 多边形的对角线 题型3 多边形内角与外角 ▉题型1 多边形 【知识点的认识】 （1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形． （5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心． 常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形． 1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．轴对称图形 2．下列结论中：①两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形；②两条对角线互相垂直的四边形是菱形；③顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形；④对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；⑤平行四边形对角相等；⑥菱形每一条对角线平分一组对角．其中正确的结论是　 　 （填序号）． 3．如图，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD是一个凹四边形． （1）求凹四边形ABCD的周长； （2）连接AC，∠ACD是直角吗？求出凹四边形ABCD的面积． ▉题型2 多边形的对角线 【知识点的认识】 （1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数） （3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． （4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 4．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是 　 ． ▉题型3 多边形内角与外角 【知识点的认识】 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 5．若一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形是（　　） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 6．若一个多边形的内角和为其外角和的4倍，则这个多边形的边数是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 7．小敏利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如你从点A出发，沿直线走10米后向左转θ度，接着沿直线前进10米后，再向左转θ度…如此下去，当她第一次回到A点时，发现自己走了100米，则θ的度数为（　　） A．36° B．40° C．45° D．60° 8．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是（　　） A．七 B．八 C．九 D．十 9．下列说法错误的是（　　） A．多边形的外角和为360° B．等边三角形的每一个内角都为60° C．五边形的内角和为720° D．正六边形的每一个外角都为60° 10．若一个多边形的内角和等于1800°，这个多边形的边数是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 11．如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1260°，那么这个多边形的一个外角等于（　　） A．30° B．36° C．40° D．45° 12．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（　　） A．5 B．5或6 C．6或7 D．5或6或7 13．若一个多边形的内角和与外角和之差是720°，则此多边形是（　　）边形． A．6 B．7 C．8 D．9 14．一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（　　） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 15．如果一个多边形的内角和等于一个五边形的外角和，那么这个多边形是（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 16．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是 　 　 边形． 17．一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 　 　 ． 18．如果一个正多边形的外角和与内角和的比为1：2，那么这个多边形是正 　 　 边形． 19．如图，已知∠POQ＝50°，正六边形ABCDEF的顶点A，E分别在射线OP、OQ上，则∠OEF+∠OAF＝　 　 ． 20．正六边形的一个内角的度数是 　 　 °． 21．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED的度数是　 　 ． 22．如图由内角分别相等的四边形、五边形、六边形组合而成的图形中，∠1＝30°，则∠2+∠3的度数为 　 　 度． 23．如图，将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D共线，E为公共顶点．则∠BEC＝　 　 ． 24．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将四边形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A′处，若∠A′BC＝20°，则∠A′BD的度数为 　 ． 25．如图，小林从点P向西直走6米后，向左转，转动的角度为α，再走6米，如此重复，小林共走了72米回到点P，则α为 　 ． 26．如图，由一个正六边形和一个正五边形组成的图形中∠1的度数是 　 　 ． 27．如图，某人从点A出发沿直线前进5m到达点B后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5m，到达点C后，又向左旋转α，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了60m，则每次旋转的角度α为 　 　 ． 28．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A＝100°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　 ． 29．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，这个多边形是　 　 边形． 30．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A＝120°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　 ． 31．已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（A，B，C不与点O重合），连接AB，连接AC交射线OE于点D，设∠BAC＝α． （1）如图1，若AB∥ON， ①∠ABO的度数是 　 　 ； ②当∠BAD＝∠ABD时，∠OAC的度数是 　 　 ； 当∠BAD＝∠BDA时，∠OAC的度数是 　 　 ； （2）在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为“完美四边形”时，求α的值． 32．按要求完成下列各小题． （1）如图1，若一个正方形和一个正六边形有一边重合，求∠BAC的度数； （2）如图2，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，过点A作AE⊥BC于点E，若∠EAD＝5°，∠C＝50°，求∠B的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19章 19.1 多边形 题型1 多边形 题型2 多边形的对角线 题型3 多边形内角与外角 ▉题型1 多边形 【知识点的认识】 （1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形． （5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心． 常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形． 1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．轴对称图形 【答案】A 【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立． 故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分． 故选：A． 2．下列结论中：①两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形；②两条对角线互相垂直的四边形是菱形；③顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形；④对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；⑤平行四边形对角相等；⑥菱形每一条对角线平分一组对角．其中正确的结论是　①③⑤⑥　 （填序号）． 【答案】①③⑤⑥ 【解答】解：①两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形； ②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ③顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形； ④对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； ⑤平行四边形对角相等； ⑥菱形每一条对角线平分一组对角， 故答案为：①③⑤⑥． 3．如图，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD是一个凹四边形． （1）求凹四边形ABCD的周长； （2）连接AC，∠ACD是直角吗？求出凹四边形ABCD的面积． 【答案】（1）12+5；（2）∠ACD是直角，6.5． 【解答】解：（1）由勾股定理得：AD5，CD5， ∵AB＝4，BC＝3， ∴凹四边形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD＝4+3+5+512+5； （2）由勾股定理得：AC2＝32+42＝25， ∵AC2+CD2＝25+25＝50，AD2＝50， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴∠ACD是直角， 凹四边形ABCD的面积＝△ACD的面积﹣△ABC的面积AC•CDAB•BC5×54×3＝6.5． ▉题型2 多边形的对角线 【知识点的认识】 （1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数） （3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． （4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 4．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是 　10　 ． 【答案】10 【解答】解：设多边形有n条边， 则n﹣2＝8，解得n＝10． 所以这个多边形的边数是10． ▉题型3 多边形内角与外角 【知识点的认识】 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 5．若一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形是（　　） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】D 【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意得： 180（n﹣2）＝3×360， 180n﹣360＝1080， 180n＝1440， n＝8， ∴这个多边形是八边形， 故选：D． 6．若一个多边形的内角和为其外角和的4倍，则这个多边形的边数是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【解答】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n﹣2）×180°， 依题意得：（n﹣2）×180°＝360°×4， 解得：n＝10， ∴这个多边形的边数是10． 故选：D． 7．小敏利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如你从点A出发，沿直线走10米后向左转θ度，接着沿直线前进10米后，再向左转θ度…如此下去，当她第一次回到A点时，发现自己走了100米，则θ的度数为（　　） A．36° B．40° C．45° D．60° 【答案】A 【解答】解：由题意可知，这个多边形是正多边形，边数为100÷10＝10， 所以θ36°， 故选：A． 8．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是（　　） A．七 B．八 C．九 D．十 【答案】A 【解答】解：设这个多边形的边数是n， 根据题意得，（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°， 解得n＝7， 故选：A． 9．下列说法错误的是（　　） A．多边形的外角和为360° B．等边三角形的每一个内角都为60° C．五边形的内角和为720° D．正六边形的每一个外角都为60° 【答案】C 【解答】解：A．多边形的外角和为360°，故此选项说法正确，不符合题意； B．等边三角形的每一个内角都为60°，故此选项说法正确，不符合题意； C．五边形的内角和为540°，不是720°，故此选项说法错误，符合题意； D．正六边形的每一个外角都为60°，故此选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 10．若一个多边形的内角和等于1800°，这个多边形的边数是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【解答】解：设这个多边形是n边形， 根据题意得（n﹣2）×180＝1800， 解得n＝12， ∴这个多边形是12边形． 故选：D． 11．如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1260°，那么这个多边形的一个外角等于（　　） A．30° B．36° C．40° D．45° 【答案】C 【解答】解：设这个多边形是n边形， 根据题意得：（n﹣2）•180°＝1260， 解得n＝9； 那么这个多边形的一个外角是360÷9＝40度， 即这个多边形的一个外角等于40度． 故选：C． 12．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（　　） A．5 B．5或6 C．6或7 D．5或6或7 【答案】D 【解答】解：如图， 剪切的三种情况：①不经过顶点剪，则比原来边数多1， ②只过一个顶点剪，则和原来边数相等， ③按照顶点连线剪，则比原来的边数少1， 设内角和为720°的多边形的边数是n， ∴（n﹣2）•180＝720， 解得：n＝6． 则原多边形的边数为5或6或7． 故选：D． 13．若一个多边形的内角和与外角和之差是720°，则此多边形是（　　）边形． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解答】解：∵一个多边形的内角和与外角和之差为720°，多边形的外角和是360°， ∴这个多边形的内角和为720°+360°＝1080°， 设多边形的边数为n， 则（n﹣2）×180°＝1080°， 解得：n＝8， 即多边形是八边形， 故选：C． 14．一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（　　） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】A 【解答】解：设多边形的边数为n， （n﹣2）•180°＝900°， 解得：n＝7． 故选：A． 15．如果一个多边形的内角和等于一个五边形的外角和，那么这个多边形是（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】B 【解答】解：设这个多边形的边数是n，根据题意得： （n﹣2）•180＝360， 解得：n＝4， 故选：B． 16．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是 　六　 边形． 【答案】六 【解答】解：设这个多边形的边数是n， 则（n﹣2）•180°＝2×360°， 解得：n＝6， 即这个多边形是六边形， 故答案为：六． 17．一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是 　10　 ． 【答案】10 【解答】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n﹣2）×180°， 依题意得：（n﹣2）×180°＝360°×4， 解得：n＝10， ∴这个多边形的边数是10． 故答案为：10． 18．如果一个正多边形的外角和与内角和的比为1：2，那么这个多边形是正 　6　 边形． 【答案】6． 【解答】解：∵一个正多边形的外角和与内角和的比为1：2， ∴这个正多边形的内角和为360°×2＝720°， 720°÷180°+2 ＝4+2 ＝6（条）． 故答案为：6． 19．如图，已知∠POQ＝50°，正六边形ABCDEF的顶点A，E分别在射线OP、OQ上，则∠OEF+∠OAF＝　70°　 ． 【答案】70°． 【解答】解：延长AF交OQ于点G， ∵∠POQ＝50°， ∴∠EGF＝∠O+∠OAF＝∠OAF+50°， ∴∠EFA＝∠OEF+∠EGF＝∠OEF+∠OAF+50°， ∵ABCDEF为正六边形， ∴， ∴∠OEF+∠OAF+50°＝120°， ∴∠OEF+∠OAF＝70°． 故答案为：70°． 20．正六边形的一个内角的度数是 　120　 °． 【答案】120． 【解答】解：由题意得：180°×（6﹣2）÷6＝120°， 故答案为：120． 21．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED的度数是　100°　 ． 【答案】100° 【解答】解：根据多边形外角和定理得到：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°， ∴∠5＝360﹣4×70＝80°， ∴∠AED＝180﹣∠5＝180﹣80＝100°． 22．如图由内角分别相等的四边形、五边形、六边形组合而成的图形中，∠1＝30°，则∠2+∠3的度数为 　102　 度． 【答案】102． 【解答】解：如图： ∵四边形、五边形、六边形的各内角相等， ∴四边形的每个内角是90°，五边形的每个内角是108°，六边形的每个内角是120°， ∴∠2+∠BAC＝90°，∠3+∠BCA＝90°，∠1+∠ABC＝360°﹣108°﹣120°＝132°， ∵∠1＝30°， ∴∠ABC＝132°﹣30°＝102°， ∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣102°＝78°， ∵∠2+∠BAC+∠3+∠BCA＝90°+90°＝180°， ∴∠2+∠3＝180°﹣78°＝102°， 故答案为：102． 23．如图，将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D共线，E为公共顶点．则∠BEC＝　75°　 ． 【答案】75°． 【解答】解：由多边形的内角和可得， ∠ABE135°， ∴∠EBC＝180°﹣∠ABE＝180°﹣135°＝45°， ∵∠DCE120°， ∴∠BCE＝180°﹣∠DCE＝60°， 由三角形的内角和得： ∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCE＝180°﹣45°﹣60°＝75°． 故答案为：75°． 24．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将四边形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A′处，若∠A′BC＝20°，则∠A′BD的度数为 　25°　 ． 【答案】25° 【解答】解：∵∠A′BC＝20°， ∴∠BA′C＝70°， ∴∠DA′B＝110°， ∴∠DAB＝110°， ∴∠ABC＝70°， ∴∠ABA′＝∠ABC﹣∠A′BC＝70°﹣20°＝50°， ∴∠A′BD∠ABA′＝25°． 故答案为：25° 25．如图，小林从点P向西直走6米后，向左转，转动的角度为α，再走6米，如此重复，小林共走了72米回到点P，则α为 　30°　 ． 【答案】30°． 【解答】解：设边数为n，根据题意， n＝72÷6＝12， 则α＝360°÷12＝30°． 故答案为：30°． 26．如图，由一个正六边形和一个正五边形组成的图形中∠1的度数是 　84°　 ． 【答案】84° 【解答】解：如图， 由题意得：∠3＝360°÷6＝60°，∠4＝360°÷5＝72°， 则∠2＝180°﹣60°﹣72°＝48°， 所以∠1＝360°﹣48°﹣120°﹣108°＝84° 故答案为84°． 27．如图，某人从点A出发沿直线前进5m到达点B后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5m，到达点C后，又向左旋转α，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了60m，则每次旋转的角度α为 　30°　 ． 【答案】30° 【解答】解：向左转的次数60÷5＝12（次）， 则左转的角度是360°÷12＝30°． 故答案为：30°． 28．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A＝100°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　280°　 ． 【答案】280° 【解答】解：如图，∵∠EAB+∠5＝180°，∠EAB＝100°， ∴∠5＝80°． ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360﹣80°＝280° 故答案为280°． 29．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，这个多边形是　十　 边形． 【答案】十 【解答】解：设这个多边形有n条边． 由题意得：（n﹣2）×180°＝360°×4， 解得n＝10． 则这个多边形是十边形． 故答案为：十． 30．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A＝120°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　300°　 ． 【答案】300° 【解答】解：由题意得，∠5＝180°﹣∠EAB＝60°， 又∵多边形的外角和为360°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣∠5＝300°． 故答案为：300°． 31．已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（A，B，C不与点O重合），连接AB，连接AC交射线OE于点D，设∠BAC＝α． （1）如图1，若AB∥ON， ①∠ABO的度数是 　20°　 ； ②当∠BAD＝∠ABD时，∠OAC的度数是 　120°　 ； 当∠BAD＝∠BDA时，∠OAC的度数是 　60°　 ； （2）在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为“完美四边形”时，求α的值． 【答案】（1）①20°； ②120°，60°； （2）30°或 75°或 15°． 【解答】解：（1）①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON， ∴∠AOB＝∠BON＝20°， ∵AB∥ON， ∴∠ABO＝∠BON＝20°； ②当∠BAD＝∠ABD时， ∵∠ABO＝∠AOB＝20°， ∴∠BAD＝20°，∠BAO＝180°﹣20°﹣20°＝140°， ∴∠OAC＝∠BAO﹣∠BAD＝120°； 当∠BAD＝∠BDA时， ∵∠ABO＝20°， ∴∠BAD＝∠BDA＝80°， ∵∠AOB＝20°， ∴∠OAC＝∠BDA﹣∠AOB＝60°； 故答案为：①20°； ②120°，60°； （2）①当∠BDC＝2∠BFC时，如图， ∵AB⊥OM，∠MON＝40°， ∴∠BFC＝50°， ∴∠BDC＝2∠BFC＝100°， ∵∠ABO＝∠BFC+∠BON＝50°+20°＝70°， ∴∠BAC＝∠BDC﹣∠ABO＝100°﹣70°＝30°， ∴α＝30°； ②当点C在F左边，∠DBF＝2∠DCF时， ∵AB⊥OM，∠AOB＝20°，∠MON＝40°， ∴∠DBF＝∠AOB+∠OAB＝20°+90°＝110°，∠BFC＝50°， ∴∠DCF∠DBF＝55°， ∴∠BAC＝180°﹣∠BFC﹣∠ACF＝180°﹣50°﹣55°＝75°， ∴α＝75°； ③当点C在F右边，∠DBF＝2∠DCF时， ∵AB⊥OM，∠AOB＝20°，∠MON＝40°， ∴∠DBF＝∠ABO＝90°﹣∠AOB＝90°﹣20°＝70°，∠AFO＝50°， ∴∠DCF∠DBF＝35°，∠AFC＝130°， ∴∠BAC＝180°﹣∠DCF﹣∠AFC＝180°﹣35°﹣130°＝15°， ∴α＝15°； 综上所述，当四边形DCFB为“完美四边形”时，α的值是30°或75°或15°． 32．按要求完成下列各小题． （1）如图1，若一个正方形和一个正六边形有一边重合，求∠BAC的度数； （2）如图2，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，过点A作AE⊥BC于点E，若∠EAD＝5°，∠C＝50°，求∠B的度数． 【答案】（1）150°； （2）60°． 【解答】解：（1）∵正方形内角和为360°， ∴其每个内角为360°÷4＝90°． ∵正六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°， ∴其每个内角为720°÷6＝120°， ∴∠BAC＝360°﹣90°﹣120°＝150°； （2）∵AE⊥BC， ∴∠AED＝90°． ∵∠EAD＝5°， ∴∠ADE＝90°﹣∠EAD＝85°． ∵∠C＝50°， ∴∠CAD＝∠ADE﹣∠C＝35°． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠CAD＝70°， ∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝60°． 学科网（北京）股份有限公司 $