18.1 勾股定理 同步复习讲义2025-2026学年沪科版数学八年级下册

本讲义聚焦“勾股定理”核心知识点，系统阐述定理定义（直角三角形两直角边平方和等于斜边平方）、公式变形及应用前提，搭建从直角三角形性质到几何计算、实际问题解决的学习支架，为后续几何证明与综合应用奠定基础。 资料通过网格计算、数轴表示无理数、蚂蚁爬行路径等多样化题型，如判断网格三角形面积与角度、用勾股定理确定数轴上点的位置，培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），综合题如动点问题提升推理能力（数学思维）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固应用，查漏补缺。

第18章 18.1 勾股定理 题型1 勾股定理 ▉题型1 勾股定理 【知识点的认识】 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 1．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 2．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A．S△ABC＝10 B．∠BAC＝90° C．AB＝2 D．点A到直线BC的距离是2 3．若实数m，n满足|m﹣3|0，且m，n恰好是Rt△ABC的两条边长，则第三条边长为（　　） A．3或4 B．5或 C．5 D． 4．如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB长为半径画弧，交最上方的网格线与点D，则CD的长为（　　） A． B．0.8 C． D． 5．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC和△ABD中，AB＝AC＝AD，AC⊥AD，AE⊥BC于点E，AE的反向延长线与BD交于点F，连结CD，则线段BF，DF，CD三者之间的关系为（　　） A．BF﹣DF＝CD B．BF+DF＝CD C．BF2+DF2＝CD2 D．2BF﹣2DF＝CD 7．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（　　） A．50 B．16 C．25 D．41 8．如图，数轴上点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，BC＝1，∠ABC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点P，则点P表示的数是（　　） A． B． C． D． 9．如图，一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形，每个小正方形的边长都是1cm，则一只蚂蚁从正方体表面A处爬到B处至少要爬（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 10．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（　　） A．4 B．8 C．16 D．64 11．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（　　） A． B． C． D． 12．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．5 D． 13．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（　　） A．1 B．3 C． D． 14．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，如果S2+S1﹣S3＝16，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B．4 C．5 D．8 15．如图，l1和l2是两块相互平行的平面镜，l1与l2之间的距离为3dm，光线从点A出发，照射到点B后，再反射到点C，AC＝8dm．根据“知识桥”的内容可知，光线AB的长为（　　） 知识桥：根据镜面反射规律，若一束光线AB照射到镜面l1上，反射光线为BC，则一定有∠1＝∠2． A．3dm B．4dm C．5dm D．6dm 16．已知一个直角三角形的两条边长为5和13，则第三边的平方是（　　） A．12 B．169 C．144或194 D．144或169 17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．4π﹣6 D． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，则△ABD的周长为（　　） A．18 B．24 C．12 D．30 19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以这个三角形三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S1﹣S2＝26，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．12 D．13 20．如图，Rt△ABC的直角边AC在数轴上，点A表示﹣2，且AC＝3，BC＝1，若以点A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点P，则点P表示的数为（　　） A． B．3 C．1.2 D．2 21．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为（　　）cm2． A．36 B．18 C．81 D．27 22．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径画弧交数轴于点M，则点M表示的数为（　　） A． B． C． D． 23．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（　　） A． B． C． D． 24．如图，点O，B在数轴上所表示的数分别为0，4，CB⊥OB于点B，BC＝2，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点A，若点A所表示的数为a，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 25．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，∠C＝30°．小红作图过程如下：以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，连接AD，则CD的长是（　　） A．3 B． C．2 D． 26．在Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2+AC2+BC2的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．无法计算 27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝1，BC＝2，则AB的长是（　　） A． B． C．2 D． 28．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于点D，若CB＝10，AC＝6，则△ACD的周长为（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 29．如图，把一块含45°角的三角板放入2×4的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示﹣1的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　） A．2 B．1.8 C．﹣1+2 D． 30．如图，在△ABC中，AB＝4，点D，E在边BC上，∠BAD＝90°，AD＝2，BE＝DE＝CD，若点F是AC边的中点，则DF的长度为（　　） A． B． C．2 D．1 31．如图，数轴上的点A，点C表示的实数分别是﹣2，1，BC⊥AC于点C，且BC＝1，连接AB．若以点A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点A右边的点P，则点P所表示的实数为（　　） A． B． C． D． 32．如图，数轴上的点A表示的数是﹣2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B．2 C．2 D．2 33．如图，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，点A恰好落在数轴上表示﹣2的点上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（　　） A． B． C． D． 34．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB，BC为边在△ABC外侧作正方形ABDE和正方形BCFG，再以AC为斜边在△ABC外侧作Rt△ACH，∠H＝90°，若AH＝1，CH＝2，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 35．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1＝2，S2＝3，S3＝4，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 36．如图，等腰三角形ABC的底边长为16，底边上的高AD长为6，则腰AB的长度为　 　 ． 37．直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为　 　 cm． 38．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为 　 ． 39．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 　 　 ． 40．如图，正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36，则以AD为直径的半圆的面积是 　 ． 41．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP2025＝ ． 42．在△ABC中，AB＝30，AC＝26，高AD＝24，则三角形ABC的周长为　 　 ． 43．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为 ． 44．如图：用四个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x为长直角边，y为短直角边），则下列四个说法：①x2+y2＝49，②x﹣y＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9．其中说法正确的是 　 　 ． 45．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，则点D到BC的距离为 　 　 ． 46．如图，△ABC中，∠A＝45°，D、E分别在AC、AB上，BD、CE交于点O，BD＝CE，∠BOC＝120°，若，CD＝6，则BD＝　 ． 47．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD＝4，BD平分∠ABC交AC于点D，则点D到AB的距离是 　 ． 48．一个直角三角形的三边长从小到大依次为x，4，5，则x＝ 　 　 ． 49．如图，5×5网格中每个小正方形的边长均为1，点A，D在格点上，点B在网格线上，线段AB的垂直平分线恰好经过格点C，则BD的长是 　 ． 50．若我们把对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AD＝3，BC＝8，则AB2+CD2＝ 　 　 ． 51．如图，∠ACB＝90°，AB＝4cm，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为 　 ． 52．如图，∠AOB＝30°，OA＝6cm，点M是射线OB上一个动点，当△AOM为直角三角形时，OM的长为 ， 53．如图，矩形ABCD的顶点A、B在数轴上，点A表示﹣2，AB＝2，AD＝1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧，交数轴的正半轴于点M，则点M所表示的数为　 ． 54．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，CD是边AB上的中线，则CD的长为 　 ． 55．如图，这是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线AB，BC将它剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD，则正方形ABCD的边长为 　 ． 56．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝25，BC＝14，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC于点E，则DE的长为　 　 ． 57．将一副三角尺如图所示叠放在一起，点A、C、D在同一直线上，AE与BC交于点F，若AB＝10cm，则AF＝ 　 cm． 58．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以BC和AC为边向外分别作正方形，面积分别为S1和S2．若S1＝52，S2＝16，则△ABC的面积为　 　 ． 59．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当t＝2秒时，求PQ的长； （2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？ （3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 60．【定义新知】 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”． 【应用探究】 （1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝2．求证：△ABC是“奇异三角形”； （2）已知，等腰△ABC是“奇异三角形”，AB＝AC＝20，求底边BC的长．（结果保留根号） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18章 18.1 勾股定理 题型1 勾股定理 ▉题型1 勾股定理 【知识点的认识】 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 1．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 【答案】B 【解答】解： 根据勾股定理得出：AB， ∴EF＝AB＝5， ∴阴影部分面积是25， 故选：B． 2．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　） A．S△ABC＝10 B．∠BAC＝90° C．AB＝2 D．点A到直线BC的距离是2 【答案】A 【解答】解：A、S△ABC＝4×43×41×22×4＝5，本选项结论错误，符合题意； B、∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴∠BAC＝90°，本选项结论正确，不符合题意； C、∵AB2＝20， ∴AB＝2，本选项结论正确，不符合题意； D、设点A到直线BC的距离为h， 则25×h， 解得，h＝2，本选项结论正确，不符合题意； 故选：A． 3．若实数m，n满足|m﹣3|0，且m，n恰好是Rt△ABC的两条边长，则第三条边长为（　　） A．3或4 B．5或 C．5 D． 【答案】B 【解答】解：∵|m﹣3|0， ∴m﹣3＝0，n﹣4＝0， ∴m＝3，n＝4， 当m、n为直角边时，第三边长是5， 当n为斜边时，第三边长是， 综上所述，第三条边长为5或， 故选：B． 4．如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB长为半径画弧，交最上方的网格线与点D，则CD的长为（　　） A． B．0.8 C． D． 【答案】D 【解答】解：如图：连接AD， 由题意可得：AD＝AB＝CE＝3， AE＝2，∠E＝90°， ∴DE， ∴CD＝CE﹣DE＝3， 故选：D． 5．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：11， 故选：B． 6．如图，在△ABC和△ABD中，AB＝AC＝AD，AC⊥AD，AE⊥BC于点E，AE的反向延长线与BD交于点F，连结CD，则线段BF，DF，CD三者之间的关系为（　　） A．BF﹣DF＝CD B．BF+DF＝CD C．BF2+DF2＝CD2 D．2BF﹣2DF＝CD 【答案】C 【解答】解：如图，连接CF， ∵AC＝AD，AC⊥AD， ∴∠ACD＝45°＝∠ADC， ∵AB＝AC＝AD， ∴∠ABC＝∠ACB，∠ADB＝∠ABD， ∵∠ABC+∠ACB+∠ADB+∠ABD+∠ACD+∠ADC＝180°， ∴∠CBD＝45°， ∵AB＝AC，AE⊥BC， ∴AE是线段BC的垂直平分线， ∴BF＝CF， ∴∠CBD＝∠BCF＝45°，即∠CFD＝90°， ∴BF2+DF2＝CD2＝AC2+AD2． 故选：C． 7．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（　　） A．50 B．16 C．25 D．41 【答案】A 【解答】解：由勾股定理得，AB2＝132﹣122＝25， ∴CD2+BD2＝BC2＝25， ∴阴影部分的面积＝25+25＝50， 故选：A． 8．如图，数轴上点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，BC＝1，∠ABC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点P，则点P表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， ∴AC， ∵以A为圆心，AC为半径作弧交数轴于点P， ∴AP＝AC， ∴点P表示的数是﹣1； 故选：A． 9．如图，一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形，每个小正方形的边长都是1cm，则一只蚂蚁从正方体表面A处爬到B处至少要爬（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】C 【解答】解：将正方体的前面、上面展开后如图所示， 此时AB5（cm）， 故选：C． 10．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（　　） A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】D 【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225， ∴即PQ2＝225， ∵正方形PRGF的面积为289， ∴PR2＝289， 又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得： PR2＝PQ2+QR2， ∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64， 则正方形QMNR的面积为64． 故选：D． 11．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积， ∴每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的边长的平方， A、由勾股定理得：S＝5+15＝20，故选项A不符合题意； B、由勾股定理得：S＝8+6＝14，故选项B不符合题意； C、由勾股定理得：S＝8﹣6＝2，故选项C不符合题意； D、由勾股定理得：S＝15﹣5＝10，故选项D符合题意； 故选：D． 12．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．5 D． 【答案】B 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2， 即S1+S2＝S3， ∵S3+S2﹣S1＝18， ∴S2＝9， 由图形可知，阴影部分的面积S2， ∴阴影部分的面积， 故选：B． 13．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（　　） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【解答】解：连接AD， 由题意知：AD＝AB＝3， 在Rt△AED中，由勾股定理得：ED， ∴CD＝CE﹣DE＝3， 故选：B． 14．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，如果S2+S1﹣S3＝16，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【解答】解：由勾股定理得S2﹣S3＝S1， ∵S2+S1﹣S3＝16， ∴S1＝8， 由图形可知，阴影部分的面积为， 故选：B． 15．如图，l1和l2是两块相互平行的平面镜，l1与l2之间的距离为3dm，光线从点A出发，照射到点B后，再反射到点C，AC＝8dm．根据“知识桥”的内容可知，光线AB的长为（　　） 知识桥：根据镜面反射规律，若一束光线AB照射到镜面l1上，反射光线为BC，则一定有∠1＝∠2． A．3dm B．4dm C．5dm D．6dm 【答案】C 【解答】解：l1和l2是两块相互平行的平面镜，l1与l2之间的距离为3dm，如图，作BD⊥AC于D， ， ∴∠BAD＝∠1，∠BCD＝∠2，BD＝3dm， ∵∠1＝∠2， ∴∠BAD＝∠BCD， ∴AB＝CB， ∵BD⊥AC， ∴AD＝CD＝4dm， ∴， 故选：C． 16．已知一个直角三角形的两条边长为5和13，则第三边的平方是（　　） A．12 B．169 C．144或194 D．144或169 【答案】C 【解答】解：分为两种情况：①当第三边是斜边时，第三边的平方是52+132＝194； ②当第三边是直角边时，第三边的平方是132﹣52＝144； 故选：C． 17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．4π﹣6 D． 【答案】A 【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝25， 则阴影部分的面积AC×BCπ×（）2π×（）2π×（）2 3×4π（AC2+BC2﹣AB2） ＝6， 故选：A． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，则△ABD的周长为（　　） A．18 B．24 C．12 D．30 【答案】D 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， 由勾股定理得，AB10， ∵分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D， ∴AB＝AD＝BD＝10， ∴△ABD的周长为3×10＝30． 故选：D． 19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以这个三角形三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S1﹣S2＝26，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．12 D．13 【答案】B 【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，由勾股定理得：BC2﹣AC2＝AB2， ∵分别以这个三角形三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3S1， ∴S3﹣S2＝S1， ∵S3+S1﹣S2＝26， ∴S1＝13， 由图形可知，阴影部分的面积为， 故选：B． 20．如图，Rt△ABC的直角边AC在数轴上，点A表示﹣2，且AC＝3，BC＝1，若以点A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点P，则点P表示的数为（　　） A． B．3 C．1.2 D．2 【答案】D 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1， ∴AB， 由题意可知，AP＝AB， ∵点A表示﹣2， ∴点P表示的数为：2， 故选：D． 21．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为（　　）cm2． A．36 B．18 C．81 D．27 【答案】C 【解答】解：如图， 由勾股定理可得：正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形E的面积，正方形C的面积+正方形D的面积＝正方形F的面积，正方形E的面积+正方形F的面积＝正方形G的面积， ∴正方形A，B，C，D的面积之和＝92＝81cm2， 故选：C． 22．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径画弧交数轴于点M，则点M表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝1， ∴BC＝AD＝1，∠ABC＝90°． ∵∠ABC＝90°，BC＝1，AB＝3， ∴AC， ∴AM＝AC， ∴点M所表示的数为1． 故选：D． 23．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：数轴上正方形的边长为1， 则正方形的对角线长为：， 则点A表示的数为． 故选：C． 24．如图，点O，B在数轴上所表示的数分别为0，4，CB⊥OB于点B，BC＝2，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点A，若点A所表示的数为a，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【答案】A 【解答】解：在Rt△OBC中，由勾股定理得， OC2， ∴OA＝OC＝2， 故选：A． 25．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，∠C＝30°．小红作图过程如下：以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，连接AD，则CD的长是（　　） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【解答】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，如图： ∵AB＝AD， ∵AE⊥BD， ∴BE＝DE， 在Rt△AEC，AC＝8，∠C＝30°， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， ∴DE＝BE＝3， ∴． 故选：D． 26．在Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2+AC2+BC2的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．无法计算 【答案】C 【解答】解：在Rt△ABC中，斜边BC＝2， 由勾股定理得：BC2＝AB2+AC2，即4＝AB2+AC2， ∴AB2+AC2+BC2＝BC2+BC2＝4+4＝8． 故选：C． 27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝1，BC＝2，则AB的长是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝1，BC＝2， ∴AB， 故选：D． 28．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于点D，若CB＝10，AC＝6，则△ACD的周长为（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【解答】解：由题意可得：AD＝BD， ∴AD+CD＝BD+CD， ∴AD+CD＝BC， ∴AC+CD+AD＝AC+BC＝6+10＝16． 故选：B． 29．如图，把一块含45°角的三角板放入2×4的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示﹣1的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　） A．2 B．1.8 C．﹣1+2 D． 【答案】C 【解答】解：如图， 由题意可知，BA＝BC，∠BDC＝90°，BD＝CD＝2， ∴BC2， ∴BA＝2， ∴DA＝BA﹣BD＝22， ∴数轴上点A所表示的数为22+1＝﹣1+2， 故选：C． 30．如图，在△ABC中，AB＝4，点D，E在边BC上，∠BAD＝90°，AD＝2，BE＝DE＝CD，若点F是AC边的中点，则DF的长度为（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【解答】解：∵∠BAD＝90°，AD＝2，AB＝4， ∴BD， ∵BE＝DE， ∴AE， ∵DE＝CD，点F是AC的中点， ∴DF， 故选：B． 31．如图，数轴上的点A，点C表示的实数分别是﹣2，1，BC⊥AC于点C，且BC＝1，连接AB．若以点A为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点A右边的点P，则点P所表示的实数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵数轴上的点A，点C表示的实数分别是﹣2，1， ∴AC＝1﹣（﹣2）＝3， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB， ∴点P表示的数为2， 故选：A． 32．如图，数轴上的点A表示的数是﹣2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B．2 C．2 D．2 【答案】C 【解答】解：由题意可得， AB＝3，BC＝2，AB⊥BC， ∴AC， ∴AD． ∴点D表示数为2． 故选：C． 33．如图，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，点A恰好落在数轴上表示﹣2的点上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，AO＝2， ∴OB， 又∵OB＝OP， ∴OP， 又∵点P在原点的左边， ∴点P表示的数为． 故选：A． 34．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB，BC为边在△ABC外侧作正方形ABDE和正方形BCFG，再以AC为斜边在△ABC外侧作Rt△ACH，∠H＝90°，若AH＝1，CH＝2，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：在Rt△AHC中，由勾股定理得， AC2＝AH2+HC2＝1+24＝25， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， AB2+BC2＝AC2＝25， ∵分别以AB，BC为边在△ABC外侧作正方形ABDE和正方形BCFG， ∴正方形AEDB的面积+正方形BGFC的面积＝AB2+BC2＝AC2＝25， 又∵S△AHC， ∴图中阴影部分的面积＝25， 故选：C． 35．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1＝2，S2＝3，S3＝4，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解答】解：∵BC2＝AC2+AB2，， ∴S阴影＝S四边形DEFG， ∴S四边形DEFG＝S1+S2+S3＝2+3+4＝9， 即两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为9， 故选：C． 36．如图，等腰三角形ABC的底边长为16，底边上的高AD长为6，则腰AB的长度为　10　 ． 【答案】10 【解答】解：如图，AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝DCBC＝8， ∴AB10， 故答案为：10． 37．直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为　24　 cm． 【答案】24 【解答】解：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2．由勾股定理得： （2n﹣2）2+（2n）2＝（2n+2）2， 解得：n1＝4，n2＝0（不合题意舍去）， 即：该直角三角形的三边边长分别为6cm，8cm，10cm． 所以，其周长为6+8+10＝24cm． 38．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为 　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：如图所示： ∵BC，BC＝BA， ∴AO1， ∵点A在原点左边， ∴a的值为1． 39．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 　25　 ． 【答案】25． 【解答】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方＝9，一直角边的平方＝16， 则斜边的平方＝9+16＝25． 故答案为：25． 40．如图，正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36，则以AD为直径的半圆的面积是 　8π　 ． 【答案】8π． 【解答】解：∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB2＝100，BD2＝36， ∴AD2＝100﹣36＝64， ∴AD＝8， ∴以AD为直径的半圆的面积是π（AD）2πAD2＝8π． 故答案为：8π． 41．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，得；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP2025＝ 　　 ． 【答案】． 【解答】解：在直角三角形OPP1中，由勾股定理得：， 在直角三角形OP1P2中，由勾股定理得：， 在直角三角形OP2P3中，由勾股定理得：， ……， 依此类推，（n为正整数）， 当n＝2025时，， ∴． 故答案为：． 42．在△ABC中，AB＝30，AC＝26，高AD＝24，则三角形ABC的周长为　84或64　 ． 【答案】84或64． 【解答】解：当高AD在△ABC的内部时，如图1， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：， ∴BC＝BD+CD＝28， 此时△ABC的周长是AB+BC+AC＝30+28+26＝84； 当高AD在△ABC的外部时，如图2， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：， ∴BC＝BD﹣CD＝8， 此时△ABC的周长是AB+BC+AC＝30+8+26＝64； 综上所述，△ABC的周长是84或64． 故答案为：84或64． 43．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为 　3　 ． 【答案】3 【解答】解：连接AD， 由题意知：AD＝AB＝3， 在Rt△ADE中，由勾股定理得： DE， ∴CD＝CE﹣DE＝3， 故CD的长为3， 故答案为：3． 44．如图：用四个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x为长直角边，y为短直角边），则下列四个说法：①x2+y2＝49，②x﹣y＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9．其中说法正确的是 　①②③　 ． 【答案】①②③． 【解答】解：①大正方形的面积是49，则其边长是7，利用勾股定理可得x2+y2＝49， 故①说法正确，符合题意； ②小正方形面积为4，则其边长是2， 因为是四个全等三角形，所以有x＝y+2，所以x﹣y＝2， 故②说法正确，符合题意； ③根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积＝大正方形的面积，即4xy+4＝49，化简得2xy+4＝49， 故③说法正确，符合题意； ④因为（x+y）2＝x2+y2+2xy＝49+45＝94，所以x+y， 故④说法不正确，不符合题意； 综上所述，说法正确的是①②③． 故答案为：①②③． 45．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，则点D到BC的距离为 　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：过点D作DE⊥BC于E， 在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝5， 则AD3， ∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC， ∴DE＝AD＝3，即点D到BC的距离为3， 故答案为：3． 46．如图，△ABC中，∠A＝45°，D、E分别在AC、AB上，BD、CE交于点O，BD＝CE，∠BOC＝120°，若，CD＝6，则BD＝　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：如图，过点C作NF∥AB，且CF＝BE，过点D作DN⊥FN于N， 则∠DCN＝∠A＝45°， ∴DN＝CN， 由勾股定理得：DN2+CN2＝CD2＝62＝36， ∴DN＝CN＝3， ∴FN＝347， ∵CF∥BE，CF＝BE， ∴四边形BEFC为平行四边形， ∴BF＝EC＝BD，BF∥EC， ∴∠DBF＝180°﹣∠BOC＝180°﹣120°＝60°， ∴△BDF为等边三角形， ∴BD＝DF， 由勾股定理得：DF2， 故答案为：2． 47．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD＝4，BD平分∠ABC交AC于点D，则点D到AB的距离是 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：如图，过点D作DM⊥AB于M，则∠AMD＝90°， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°， ∵BD平分∠ABC， ∴， ∴∠ABD＝∠A， ∴AD＝BD＝4， ∴， ∴点D到AB的距离是2， 故答案为：2． 48．一个直角三角形的三边长从小到大依次为x，4，5，则x＝ 　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：根据题意知，该直角三角形的斜边长为5，x、4是两条直角边，则x3． 故答案为：3． 49．如图，5×5网格中每个小正方形的边长均为1，点A，D在格点上，点B在网格线上，线段AB的垂直平分线恰好经过格点C，则BD的长是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：连接CA，CB， 因为每个小正方形的边长均为1， 则勾股定理得， AC2＝12+52＝26． 因为线段AB的垂直平分线恰好经过格点C， 所以CB＝CA， 则CB2＝CA2＝26． 在Rt△BCD中， BD． 故答案为：． 50．若我们把对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AD＝3，BC＝8，则AB2+CD2＝ 　73　 ． 【答案】73． 【解答】解：∵BD⊥AC， ∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°， 在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得：BO2+CO2＝CB2，OD2+OA2＝AD2， ∴CB2+AD2＝BO2+CO2+OD2+OA2＝64+9＝73， ∵AB2＝BO2+AO2，CD2＝OC2+OD2， ∴AB2+CD2＝BO2+AO2+OC2+OD2＝（BO2+OD2）+（AO2+OC2）＝CB2+AD2＝73． 故答案为：73． 51．如图，∠ACB＝90°，AB＝4cm，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为 　16cm2 ． 【答案】16cm2． 【解答】解：由已知可得， 阴影部分的面积为， ∵∠ACB＝90°，AB＝4cm， ∴BC2+AC2＝AB2＝42＝16， ∴ ＝16， 故答案为：16cm2． 52．如图，∠AOB＝30°，OA＝6cm，点M是射线OB上一个动点，当△AOM为直角三角形时，OM的长为　3cm和4cm ， 【答案】3cm和4cm． 【解答】解：分两种情况： 当∠AMO＝90°时，如图： ∵∠AOM＝30°， ∴AMOA6＝3（cm）， ∴OM3（cm）； 当∠OAM＝90°时，如图： ∵∠AOM＝30°， ∴OM＝2AM， ∵AM2+OA2＝OM2， 即 AM2+OA2＝（2AM）2， ∴AMOA＝2（cm）， ∴OM＝2AM＝4（cm）． 综上所述：OM的值为3cm和4cm． 故答案为：3cm和4cm． 53．如图，矩形ABCD的顶点A、B在数轴上，点A表示﹣2，AB＝2，AD＝1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧，交数轴的正半轴于点M，则点M所表示的数为　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AD＝BC， ∵AB＝2，AD＝1， ∴， ∵以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，A表示的数为﹣2， ∴， ∴， ∴点M表示点数为． 故答案为：． 54．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，CD是边AB上的中线，则CD的长为　　 ． 【答案】． 【解答】解：由勾股定理得：AC2＝12+22＝5，BC2＝22+52＝20，AB2＝32+42＝25， 则AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∵AB2＝25， ∴AB＝5（负值舍去）， 在Rt△ABC中，CD是边AB上的中线， 则CDAB， 故答案为：． 55．如图，这是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线AB，BC将它剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD，则正方形ABCD的边长为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：设左下角的字母为E，如图所示： 在Rt△ABE中，AE＝1，BE＝3，∠AEB＝90°， ∴， ∴正方形ABCD的边长为． 故答案为：． 56．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝25，BC＝14，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC于点E，则DE的长为　6.72　 ． 【答案】6.72． 【解答】解：作DF⊥AB于点F，如图所示， ∵∠B＝∠C， ∴AB＝AC， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴AD⊥BC，DE＝DF，∠ADB＝90°，D为BC的中点， ∵AB＝25，BC＝14， ∴BD＝7， ∴AD24， ∵S△ABC＝S△ADB+S△ADC， ∴， 即， 解得DE＝DF＝6.72， 故答案为：6.72． 57．将一副三角尺如图所示叠放在一起，点A、C、D在同一直线上，AE与BC交于点F，若AB＝10cm，则AF＝ 　5　 cm． 【答案】5cm． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°， ∴ACcm， 由题意可知，BC∥DE， ∴∠AFC＝∠E＝45°， ∴∠CAF＝∠AFC＝45°， ∴CF＝AC＝5cm， ∴AF5（cm）， 故答案为：5cm． 58．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以BC和AC为边向外分别作正方形，面积分别为S1和S2．若S1＝52，S2＝16，则△ABC的面积为　12　 ． 【答案】12． 【解答】解：∵S1＝52，S2＝16， ∴，， ∴AC＝4， 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°， 由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2＝36， ∴AB＝6， ∴△ABC的面积为， 故答案为：12． 59．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当t＝2秒时，求PQ的长； （2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？ （3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm， BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm， ∵∠B＝90°， PQ2（cm）； （2）解：根据题意得：BQ＝BP， 即2t＝8﹣t， 解得：t； 即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形； （3）解：分三种情况： ①当CQ＝BQ时，如图1所示： 则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°， ∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ ∴BQ＝AQ， ∵∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm， ∴AC10（cm）， ∴CQ＝AQAC＝5（cm）， ∴BC+CQ＝11（cm）， ∴t＝11÷2＝5.5秒． ②当CQ＝BC时，如图2所示： 则BC+CQ＝12（cm）， ∴t＝12÷2＝6秒． ③当BC＝BQ时，如图3所示： 过B点作BE⊥AC于点E， 则BE4.8（cm） ∴CE3.6cm， ∴CQ＝2CE＝7.2cm， ∴BC+CQ＝13.2cm， ∴t＝13.2÷2＝6.6秒． 由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时， △BCQ为等腰三角形． 60．【定义新知】 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”． 【应用探究】 （1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝2．求证：△ABC是“奇异三角形”； （2）已知，等腰△ABC是“奇异三角形”，AB＝AC＝20，求底边BC的长．（结果保留根号） 【答案】（1）见解析； （2）或． 【解答】（1）证明：如图，BD为三角形ABC底边AC上的中线， 则CD1， 又∵BC， ∴BDAC， ∴△ABC是“奇异三角形”； （2）解：分两种情况：如图，当腰上的中线BD＝AC时，则AB＝BD，过B作BE⊥AD于E ∵AB＝AC＝20， ∴BD＝20，， ∴CE＝10+5＝15， ∴Rt△BDE中，BE2＝BD2﹣DE2＝375， ∴Rt△BCE中，； 如图，当底边上的中线AD＝BC 时，则AD⊥BC，且AD＝2BD， 设BD＝x，则x2+（2x）2＝202， ∴x2＝80， 又∵x＞0， ∴， ∴， 综上所述，底边BC的长为或． 学科网（北京）股份有限公司 $